重庆市渝中区、九龙坡区等主城区2020届高三数学（理）第二次调研试题（Word版带答案）

高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 1 页 （共 12 页） 高 2020 届高三学业质量调研抽测（第二次） 理科数学试题卷 理科数学试题卷共 6 页，考试时间 120 分钟，满分 150 分. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上. 1. 已知集合 ，则 A． B． C． D. 2.已知复数 在复平面内对应点的坐标是 ， 为虚数单位，则 A. B. C. D. 3.某公司生产了一批新产品,这种产品的综合质量指标值 服从正态分布 且 ．现从中随机抽取该产品 1000 件，估计其综合质量指标值在 内的产品件数为 A. B. C. D. 4.已知 ，则 A. B. C. D. 5.已知 且 ， ，则 是 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2 2{ | 2 3 0}, { | log 1}A x x x B x x= − − ≤ = > =BA (2 )+ ∞， ]3,2( ]3,1[− ),1[ +∞− z ( 3,4)− i 1 z i− = 1 1 2 2 i− + 1 7 2 2 i− + 2 7 1 2 i− + 7 1 2 2 i+ x 2 )010 ,(N σ 80) 0.2(P x < = [ ]100,120 200 300 400 600 3sin( )2 4 3 α π− = cos2α = 7 9 7 9 − 2 2 3 2 2 3 − :p 2 2x y− ≤ − ≤ 2 2x y− ≤ + ≤ 2 2: 2q x y+ ≤ p q [机密]2020 年 4 月 25 日前高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 2 页 （共 12 页） 6.已知函数 的定义域为 且满足 ，若 则 A. B. C. D. 7.已知函数 , , ,且 最小 值为 ,若将 的图象沿 轴向左平移 个单位，所得图象关于原点对称， 则实数 的最小值为 A. B. C. D. 8.2020 年 2 月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有 4 名党员报名参加 该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名党员均从这四个社区中任意选取一个社区参 加疫情防控服务工作，则恰有一个社区未被这 4 名党员选取的概率为 A. B. C. D. 9.已知 对任意 ， 且 ，都有 ，那么实数 的取值范围是 A． B． C． D． 10.在三棱锥 中， ,点 到 底面 的距离为 ，则三棱锥 的外接球的体积为 A. B. C. D. 11.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，一条渐近线为 ， 过点 且与 平行的直线交双曲线 于点 ,若 ,则双曲线 的离心率为 A. B. C. D. ( )f x R ( ) ( ), ( ) (2 )f x f x f x f x− = − = − (1) 4f = (6) (7)f f+ = 8− 4− 0 4 ( ) 3 sin cos ( 0)f x x xω ω ω= − > 1( ) 2f x = 2( ) 2f x = − 1 2| |x x− 2 π ( )y f x= x ϕ ( 0)ϕ > ϕ 12 π 6 π 3 π 7 12 π 81 256 27 64 9 64 9 16 (3 4) 2 , 1( ) log , 1a a x a xf x x x − − − a (1, )+∞ (0,1) 4( ,2]3 4( ,4]3 ABCP − 60 , 90 , 6BAC PBA PCA PB PC∠ = ° ∠ = ∠ = ° = = P ABC 2 ABCP − 4π 3 3π 4 3π 36π C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,F F l 2F l C M 1 2| | 2 | |MF MF= C 2 3 5 6高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 3 页 （共 12 页） 12.已知函数 ，若存在实数 使得 恒成立，则实 数 的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应的位置 上． 13.设非零向量 满足 ，且 ，则向量 与 的夹角为 ． 14.过抛物线 焦点的直线 与该抛物线相交于 两点,点 是 的中点, 则 的值为 ． 15.设 的内角 的对边分别为 ， ， ，已知 的外接圆面积为 ， 且 ,则 的最大值为 ． 16.如图，在正方体 中， ， 是 （不含端点）上一动 点，则下列正确结论的序号是__________． ① 平面 ； ② ∥平面 ； ③三棱锥 体积为定值； ④二面角 的平面角的正弦值为 . （16 题图） 三、解答题：共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．并答在答题 卡相应的位置上．第 17 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题 第 23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17．（本小题满分为 12 分） 已知数列 的前 项和为 ， ， ． （Ⅰ）求 的通项公式； 2( ) (ln 1 )( )x mf x x ax e ax−= + − − a ( ) 0f x < m 1( , )2 +∞ 1( , )2 −∞ 1( ,1)2 1( 1, )2 − ,a b  ( )a a b⊥ −   | | 2 | |b a=  a b 2 8y x= l ,A B 0(4, )P y AB | |AB ABC∆ , ,A B C a b c ABC∆ 16π 2 2 2cos cos sin sin sinC B A A C− = + a c+ 1 1 1 1ABCD A B C D− AC BD O= E 1B C 1D O ⊥ 1 1AC D OE 1 1AC D BDEA −1 1B AC B− − 6 6   { }na n nS 1 1a = 1 2 1n na S+ = + { }na A B CD A1 B1 C1D1 O E高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 4 页 （共 12 页） （Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： 18. （本小题满分为 12 分） 某工厂通过改进生产工艺来提高产品的合格率，现从改进工艺前和改进工艺后所生 产的产品中用随机抽样的方法各抽取了容量为 100 的样本，得到如下的 列联表： 改进工艺前 改进工艺后 合计 合格品 85 95 180 次品 15 5 20 合计 100 100 200 （Ⅰ）是否有 的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”？ （Ⅱ）该工厂有甲、乙两名工人均使用改进工艺后的新技术进行生产，每天各生产 50 件产品，如果每生产 1 件合格品可获利 30 元，生产 1 件次品损失 50 元.甲、 乙两名工人 30 天中每天出现次品的件数和对应的天数统计如下表： 将统计的 30 天中产生不同次品数的天数的频率作为概率，记 表示甲、 乙两名工人一天中各自日利润不少于 1340 元的人数之和，求随机变量 的分 布列和数学期望. 附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ， . 甲一天生产的次品数（件） 0 1 2 3 4 对应的天数（天） 2 8 10 7 3 乙一天生产的次品数（件） 0 1 2 3 4 对应的天数（天） 3 6 9 10 2 3 1log ( )n n nb a a += ⋅ { }nb n nT 1 2 1 1 1... 2 nT T T + + + < 2 2× 99% X X 2 0( )P K k≥ 0k ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + +高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 5 页 （共 12 页） 19.（本小题满分 12 分） 如图，在正三棱柱 中，点 分别是 的中点, 为 与 的交点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）已知 , ，求 与平面 所成角的正弦值. (第 19 题图) 20.（本小题满分 12 分） 已知圆 与定点 ，动圆 过 点且与圆 相切，记动圆 圆心 的轨迹为曲线 ． （Ⅰ）求曲线 的方程； （Ⅱ）斜率为 的直线 过点 ,且与曲线 交于 两点， 为直线 上的一点， 若 为等边三角形，求直线 的方程. 21.（本小题满分 12 分） 设函数 ， ． （Ⅰ）若直线 （ ）与曲线 和 分别交于点 和 ,求 的最小值； （Ⅱ）设函数 ，当 时，证明： 存在极小值点 ， 且 ． 1 1 1ABC A B C− ,M N 1,AB CC D 1AB 1A B / /CM 1AB N 2AB = 1 4AA = 1 1A B 1AB N 2 2:( 2) 24C x y+ + = (2,0)M I M C I E E k l M E ,A B P 3x = ABP∆ l ( ) xef x x = 1( ) lng x x x = + x m= 0m > ( )f x ( )g x P Q | |PQ ( ) ( )[ ( )]F x xf x a g x= + (0,ln 2)a∈ ( )F x 0x 0 0( ln ) 0xe a x+ < A A1 M B C D N B1 C1高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 6 页 （共 12 页） （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题 计分. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标 原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点 的直角坐标为 ，直线 和曲线 交于 、 两点，求 的值． 23.【选修 4-5：不等式选讲】(本小题满分 10 分） 已知 . （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若对于任意实数 ，不等式 成立，求实数 的取值范围. xOy l t O x C l C M l C A B 1 1 | | | |MA MB + 22 2 2 2 x t y t  = +  = 2sin 8cosρ θ θ= (2,0) 2( ) 2f x x a= + 2a = ( ) 1 5f x x+ − ≥ x 2 3 ( ) 2x f x a+ − < a高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 7 页 （共 12 页） 高 2020 届高三学业质量调研抽测（第二次） 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：1—5：D C B A B 6—10: B A D D C 11—12：C B 二、填空题： 13. 14. 15． 16. ② ③(在无错选答案的前提下，选对 1 个给 2 分，选对两个给 5 分) 三、解答题： 17．解：（Ⅰ）因为 ，所以 ， ， ……………2 分 两式相减化简得 ，……………………………………………4 分. 又 ，所以 ， 符合上式， 所以 是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列，所以 ……………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 所以 ， …………………………………………………8 分 所以 …10 分 ． ……………………………12 分 18.解：（Ⅰ） ∴没有 的把握认为“提高产品的合格率与改进生产工艺有关”．………4 分 （Ⅱ）∵每天生产的次品数为 ， 日利润 ，其中 ， ． 由 得 ……………………………………………5 分 ∵ 是甲、乙 1 天中生产的次品数不超过 2 件的人数之和， 3 π 8 2 2 200 (85 5 95 15) 50 5.556 6.635100 100 20 180 9K × × − ×= = ≈ 0 1x< < ( 0h x′ < ( )h x 1x > ( ) 0h x′ > ( )h x ( )h x (0, )+∞ min( ) (1) 1h x h e= = − 0k ≠ P 3x =高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）理科数学 第 11 页 （共 12 页） 当 时， 的最小值为 . ………………………………………………5 分 （Ⅱ） ， ， 因为 ，所以 与 同号． 设 ，则 ……………6 分 所以对任意 ，有 ，故 在 单调递增． ………7 分 因 ， ， ， 所以存在 ，使得 ……………………………………………8 分 当 ， ， 单调递减； 当 ， ， 单调递增； 所以若 ，存在 ，使得 是 的极小值点．………10 分 由 得 ，即 ， 所以 ．…………………………………………12 分 22．解：（Ⅰ）将 中参数 消去得 ，………………2 分 将 代入 ，得 ,…………………………5 分 ∴直线 和曲线 的直角坐标方程分别为 和 ． 1m = | |PQ 1e − 1( ) ( ln )xF x e a xx = + + 2 2 1 1 1 2 1( ) ( ln ) ( ) ( ln )x x xF x e a x e e a xx x x x x ′ = + + + − = + − + e 0x > ( )F x′ 2 2 1 lna xx x + − + 2 2 1( ) lnt x a xx x = + − + 2 2 3 3 2 2 ( 1) 1( ) x x xt x x x − + − +′ = = ( )0,x∈ +∞ ( ) 0t x′ > ( )t x ( )0,+∞ ( )0,ln 2a∈ ( ) 01 1t a= + > 1 1( ) ln 02 2t a= + < 0 1( ,1)2x ∈ 0( ) 0t x = 0 )1( ,2x x∈ ( ) 0F x′ < ( )F x 0 , )( 1x x∈ ( ) 0F x′ > ( )F x ( )0,ln2a∈ 0 1( ,1)2x ∈ 0x ( )F x 0( ) 0t x = 02 0 0 2 1 ln 0a xx x + − + = 0 0 2 2 0 0 0 1 21 2ln xa x x x x −+ = − = 0 0 0 0 2 0 1 2( ln ) 0x x xe a x e x −+ =   + + − ≥ 1x > ( ) 1 5f x x+ − ≥ 8( , ] [0, )3 −∞ − +∞ x 2 3 ( ) 2x f x a+ − < 22 3 2 2x x a a+ − + < 2 2 22 3 2 2 3 2 3x x a x x a a+ − + ≤ + − − = − 2 3 2a a− < 22 3 2a a a− < − < 1 3a< < a (1,3) 2 8 2 32 0t t− − = 1 2 8 2t t+ = 1 2 32t t = − 16= 1 2 = ( ) | 1| | 2 4 | | 1| 5f x x x x+ − = + + − ≥