数学(文科)
注意事项：
1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷
和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答
题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知全集 U＝{x∈N|x≤6}，集合 A＝{0，1}，B＝{0，1，2，3}，则 (A∩B)＝
A.{2，3，4} B.{0，1} C.{2，3，4，5，6} D.{3，4，5，6}
2.已知 i 为虚数单位，则复数 ＝
A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3i D.－1－3i
3.已知函数 f(x－1)＝x2＋1，则曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为
A.1 B.2 C.4 D.5
4.已知向量|a|＝1，|b|＝ ，且 b·(2a＋b)＝3，则向量 a，b 的夹角的余弦值为
A. B.－ C. D.
5.在 Rt△ABC 中，A＝90°，AB＝AC＝a，在边 BC 上随机取一点 D，则事件“AD> a”
发生的概率为
A. B. C. D.
6.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 3π＋6，则 x 等于
U
3 i
i
−
2
2
4
2
4
10
4
14
4
10
4
3
4
2
3
1
3
1
2
A.4 B.5 C.6 D.7
7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
A.2 B.3 C.4 D.5
8.如果两个函数的图象可以经过一系列变换最终重合，那么称这两个函数为“同志函数”，
有函数 f(x)＝sin(2x＋ )，为了得到其“同志函数”g(x)＝sin2x 的图象，则只需将函数 f(x)
的图象
A.沿 x 轴向右平移 个单位长度 B.沿 x 轴向左平移 个单位长度
C.沿 x 轴向左平移 个单位长度 D.沿 x 轴向右平移 个单位长度
9.已知定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)满足 f(x＋8)＋f(x)＝0，且 f(5)＝5，则 f(2019)＋f(2024)＝
A.－5 B.5 C.0 D.4043
10.已知双曲线 C：x2－ ＝1 的离心率为 e.直线 y＝ x＋m 与 C 交于 A，B 两点，若线
段 AB 的中点为(－ ，n)，则 n＝
A.－ B.－ C.－ D.－
11.如图，在四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为边长为 2 的正方形，点 A1 在底面
6
π
12
π
12
π
6
π
6
π
2
3
y 1
e
1
11
3
11
5
11
4
11
6
11
ABCD 内的射影为正方形 ABCD 的中心，B1C 与底面 ABCD 所成的角为 45°，则侧棱 AA1
的长度为
A. B. C.2 D.2
12.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，∠ACB＝90°，D 为 AB 边上的一
点，∠ACD＝30°，且 CD＝2，则 a＋ b 的最小值为
A.4 B.4＋2 C.8 D.8＋2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.函数 f(x)＝sin(2x－ )＋cos(2x－ )的单调增区间为 。
14.已知正数 x，y 满足 3x＋2y＝4。则 xy 的最大值为 。
15.过坐标轴上的点 M 且倾斜角为 60°的直线被圆 x2＋y2－4y＝0 所截得的弦长为 2 ，则
符合条件的点 M 的个数为 。
16.已知抛物线 y2＝9x 的焦点为 F，其准线与 x 轴相交于点 M，N 为抛物线上的一点，且满
足 |NF|＝2|MN|，则点 F 到直线 MN 的距离为 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(本小题满分 12 分)
已知等比数列{an}中，a1＝2，a3－4a2＝－8。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和，求使得 16Sn≤31an 的正整数 n 的所有取值。
18.(本小题满分 12 分)
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，△PAD 为等边三角形，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB//CD，
AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4。
2 3 2
3
3 3
3
π
6
π
3
6
(1)求证：平面 PCD⊥平面 PAD；
(2)求三棱锥 P－ABC 的体积。
19.(本小题满分 12 分)
某重点中学高三的一名学生在高考前对他在高三近一年中的所有数学考试(含模拟考试、月
考平时训练等各种类型的试卷)分数进行统计，以此来估计自己在高考中的大致分数。为此，
随机抽取了若干份试卷作为样本，根据此样本数据作出如下频率分布统计表和频率分布直方
图。
(1)求表中 c，d，e 的值和频率分布直方图中 g 的值；
(2)若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试根据频率分布直方图求该学生高三年
级数学考试分数的中位数和平均数，并对该学生自己在高考中的数学成绩进行预测。
20.(本小题满分 12 分)
如图，椭圆 C 短轴的两个端点分别为 B1(0，－1)，B2(0，1)。离心率为 ，线段 B1B2 为
圆 O 的直径。
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点。△OAB 的
3
2
面积为 1。求直线 l 的方程。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝ex－e－x＋2ax(a∈R)，g(x)＝f(x)＋e－x。
(1)讨论函数 g(x)的单调性；
(2)是否存在实数 a，使得“对任意 x∈[0，＋∞)，f(x)≥0 恒成立”?若存在，求出 a 的取值
范围；若不存在，请说明理由。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 (t 为参数)，以 O 为极点，x
轴 非 负 半 轴 为 极 轴 且 取 相 同 的 单 位 长 度 建 立 极 坐 标 系 ， 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为
。
(1)求直线 l 和圆 C 的直角坐标方程；
(2)若由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值。
23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 f(x)＝|x－1|－|x＋1|(x∈R)。
(1)解不等式 f(x)≥7x；
(2)若 f(x)≥t2－3t 对 x∈R 恒成立，求实数 t 的取值范围。
2
2
2 42
x t
y t
=
= +
2 4 2 cos( ) 6 04
πρ ρ θ− − + =
∀
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