数学(理科)
注意事项：
1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷
和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答
题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{x|2x>6}，B＝{x|2x8”是“a2>9”的
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 3π＋6，则 x 等于
A.4 B.5 C.6 D.7
5.若函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(－ >
5
3
3
2
5
4
11.已知以正方体所有面的中心为顶点的多面体的各个顶点都在球 O 的球面上，且球 O 的表
面积为 20π，则该正方体的棱长为
A.5 B.2 C.2 D.6
12.设函数 f(x)的定义域为 R，f'(x)是其导函数，若 3f(x)＋f'(x)>0，f(0)＝1，则不等式 f(x)>e－
3x 的解集是
A.(0，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，0) D.(0，1)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.函数 f(x)＝sin(2x－ )＋cos(2x－ )的单调增区间为 。
14.已知正数 x，y 满足 3x＋2y＝4，则 xy 的最大值为 。
15.古代人常常会研究“最大限度”问题，右图是一个正三角形内最大限度地可以放入三个
同样大小的圆，若将一个质点随机投入如图所示的正三角形 ABC 中(阴影部分是三个半径相
同的圆，三个圆彼此互相外切，且三个圆与正三角形 ABC 的三边分别相切)，则质点落在阴
影部分内部的概率是 。
16.已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的准线方程为 x＝－ ，若过抛物线 C 焦点的直线 l 被抛物
线截得线段 AB 长为 1。则以线段 AB 为直径的圆的方程是 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(本小题满分 12 分)
在等差数列{an}中。a4＝－6，且 a2，a3，a5 成等比数列。
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的公差不为 0，设 bn＝an＋ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
18.(本小题满分 12 分)
如图，在几何体 ABCDEF 中，平面 ADE⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，∠DAB＝
60°，EA＝ED＝AB＝2EF，EF//AB，M 为 BC 中点。
5 6
3
π
6
π
1
4
3 na
(1)求证：FM//平面 BDE；
(2)求平面 BDE 与平面 BCF 所成二面角(平面角不大于 90°)的余弦值。
19.(本小题满分 12 分)
政府机构改革是深化管理体制改革的重要组成部分，按照精简、统一、效能的原则和决策权、
执行权、监督权既相互制约又相互协调的要求，着力优化组织结构、规范机构设置、完善运
行机制。为调研某地社保中心的改革情况，现特地对某市医保报销流程的简化过程以及老百
姓报销所花费的时间是否有所减少作了调查统计。假设报销时所需携带的资料已经搜集齐全
的情况下，来统计将各种所需资料带齐到当地社保中心相关部门门申请办理，经审核等各流
程办理通过所花费的时间，为此，在该市社保中心的 60 名报销人员中进行随机抽样，共抽
取 10 人进行调查反馈，所选报销人员情况如下表所示：
(1)估计这 60 名报销人员中办理时间大于等于 10 分钟且小于 30 分钟的人数；
(2)现从这 10 人中随机抽取 2 人。求这 2 人全部不来自于第二组的概率；
(3)现从这 10 人中随机抽取 3 人进行问卷调查，设这 3 个人共来自 X 个组，求随机变量 X
的分布列及数学期望。
20.(本小题满分 12 分)
如图，椭圆 C 短轴的两个端点分别为 B1(0，－1)，B2(0，1)，离心率为 。线段 B1B2 为
圆 O 的直径。
3
2
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，△OAB 的面
积为 1，求直线 l 的方程。
21.(本小题满分 12 分)
设函数 。
(1)当 a＝－1 时，求曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)设函数 ，当 x≥0 时，函数 g(x)的最大值为 a，求
实数 a 的取值范围。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 (t 为参数)，以 O 为极点，x
轴 非 负 半 轴 为 极 轴 且 取 相 同 的 单 位 长 度 建 立 极 坐 标 系 ， 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为
。
(1)求直线 l 和圆 C 的直角坐标方程；
(2)若由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值。
23.(本小题满分 10 分)选修 4－5:不等式选讲
已知函数 f(x)＝|x－1|－|x＋1|(x∈R)。
(1)解不等式 f(x)≥7x；
(2)若 f(x)≥t2－3t 对 x∈R 恒成立，求实数 t 的取值范围。
( ) ( )2
31
3 2
a axf x x ax a R
−= − + ∈
( ) ( ) 3 22 2 33
ag x f x x x ax a
−= + + − +
2
2
2 42
x t
y t
=
= +
2 4 2 cos( ) 6 04
πρ ρ θ− − + =
∀
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