唐山市 2019—2020 学年度高三年级第一次模拟考试
理科数学
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合 ， ， ，则集合 M 的子集个数是
A．2 B．3 C．4． D．8
2．设 i 是虚数单位，复数 ，则 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010 年第六次全国人口普查资料表明，随着
我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预
期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此
图，下列结论错误的是
A．男性的平均预期寿命逐渐延长
B．女性的平均预期寿命逐渐延长
C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性
D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性
4．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈
八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多
少斛米”（古制 1 文=10 尺，1 斛=1.62 立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米
A．900 斛 B．2700 斛 C．3600 斛 D．10800 斛
5．已知向量 a，b 满足|a+b|=|b|，且 la|=2，则 b 在 a 方向上的投影是
A． 2 B．- 2 C．1 D． -1
{ }2,1,0,1−=A { }xyyB 2== BAM =
i
iz −
+=
3
2 z6．已知数列 是等差数列， 是等比数列， ，若 m，n 为正数，且 m≠n，
则
A． B． C． D． 的大小关系不确定
7．已知随机变量 服从正态分布 N（0，1），随机变量 服从正态分布 N（1，1），且 ，
则 =
A． B． C． D．
8．函数 在 上的图象大致为
9．设函数 ，则下列结论中正确的是
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 号对称
C． 在 上单调递减 D． 在 上的最小值为 0
10．已知四棱锥 的顶点都在球 O 的球面上，PA⊥底面 ABCD，AB=AD=1，BC=CD=2，若球 O 的表
面积为 36 ，则直线 PC 与底面 ABCD 所成角的余弦值为
A． B． C． C．
11．已知 P 是双曲线 的右焦点，M 是 C 的渐近线上一点，且 MF⊥x 轴，过 F 作
直线 OM 的平行线交 C 的渐近线于点 N（O 为坐标原点），若 MN⊥ON，则双曲线 C 的离心率是
A． B． C． D．2
{ }na { }nb nbamba ==== 3322 ，
11 ba < 11 ba > 11 ba = 11 ba，
X Y 1587.0)1( =>XP
)21( >=− bab
y
a
xC：
3
32 3 2
612．已知 ，有如下结论：
① 有两个极值点； ② 有 3 个零点；
③ 的所有零点之和等于零．
则正确结论的个数是
A．0 B．1 C．2 D． 3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若 满足约束条件 ，则 的最小值为 .
14．中国古代的四书是指：《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》，甲、乙、丙、丁 4 名同学从中各选一书进
行研读，已知四人选取的书恰好互不相同，且甲没有选《中庸》，乙和丙都没有选《论语》，则 4 名同
学所有可能的选择有 种
15．在数列 中，已知 （ 为非零常数），且 成等比数列，则
．
16．已知 F 为抛物线 的焦点， 为 的准线与 x 轴的交点，点 在抛物线 上，设
， ， ，有以下 3 个结论：
① 的最大值是 ；② ③存在点 ，满足 ．
其中正确结论的序号是 .
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
的内角 的对边分别为 ，已知 ， 的面积为 ．
（1）若 ，求 的周长；
（2）求 的最大值．
axaxexfa x ++−=> )()(2，
)(xf )(xf
)(xf
yx,
≤+−
≤−+
≥+−
013
03
01
yx
yx
yx
yxz −= 2
{ }na maaa nn +== +11 1， tNn ，*∈ 321 aaa ，，
=na
)0(22 >= ppxyC： K C P C
α=∠KPF β=∠PKF θ=∠PFK
β
4
π θβ sintan = P βα 2=
ABC∆ CBA ，， cba ，， 4=a ABC∆ 32
3
π=A ABC∆
CB sinsin ⋅18．（12 分）
如图，直三棱柱 的底面为等边三角形， 分别为 的中点，点 在棱
上，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的余弦值．
19．（12 分）
甲、乙二人进行一场比赛，该比赛采用三局两胜制，即先获得两局胜利者获得该场比赛胜利．在每一
局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率都为 ．
（1）求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；
（2）若 ，比赛结束时，设甲获胜局数为 ，求其分布列和期望
（3）若甲获得该场比赛胜利的概率大于甲每局获胜的概率，求 的取值范围。
111 CBAABC − ED， 11CAAC， F 1CC
BFEF ⊥
⊥BEF BDF
FCFCAB 24 1 == ， FBED −−
)10( xf
a )(xf x a
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