2020届安徽省安庆市高三第二次模拟数学（理）试题（解析版）

第 1 页 共 24 页 2020 届安徽省安庆市高三第二次模拟数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先求解化简集合 、 ，由此能求出 . 【详解】 因为 ， 所以 . 故选:A. 【点睛】 本题主要考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式、一元二 次不等式解集的计算方法. 2．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 ，则下列判断正确的是（ ） A．z 的虚部为 i B． C． D． 【答案】C 【解析】先整理已知的复数，再根据复数的概念、运算及其性质即可判断结论． 【详解】 ，其虚部为 1，A 错误； ，B 错误； ，C 正确； ，D 错误. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查复数的概念、运算及其性质，属于基础题. 3．设 p： ，q： ，则 p 是 q 成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 { }1 0A x x= + > { }2 5 6 0B x x x= + − < A B = ( )1,1− ( )1,2− ( )1,3− ( )1,6− A B A B { }1A x x= > − { }6 1B x x= − < < { }1 1A B x x∩ = − < < ( )31 i 2z+ = 2z = 2z z⋅ = 2 2z = 3 2 2 1 i1 i 1 iz = = = ++ − 2 21 1 2z = + = ( )( )1 i 1 i 2z z⋅ = + − = ( )22 1 i 2 2z i= + = ≠ 20 log 1x< < 2 1x >第 2 页 共 24 页 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】利用对数函数、指数函数的性质分别化简 ， ，即可判断出关系． 【详解】 因为 p： ，q： 而  所以 p 是 q 成立的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语.考查学生的计算能力. 4．函数 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用函数的定义域及奇偶性可排除 CD，利用 时，可排除 B，由此得 出正确选项． 【详解】 函数 的定义域为 ∵ ∴ 为偶函数，偶函数的图象关于 轴对称，排除 C，D 选项； 当 时， ，排除 B 选项. 故选：A. 【点睛】 p q 1 2x< < 0x > { }1 2x x< < { }0x x > ( ) 2 sin 1 xf x xx = − (1, )x π∈ ( )f x { }1x R x∈ ≠ ± ( ) ( ) ( ) ( )2 2 sin sin 11 f x x x x f xxx x − −= = =−− − − ( )f x y ( )1,x π∈ ( ) 0f x >第 3 页 共 24 页 考查函数的概念、奇偶性，考查学生对函数图像的分析及计算能力. 5．等比数列 的前 n 项和为 .若 ， ，则 （ ） A． B． C．32 D．40 【答案】B 【解析】由题设条件求出等比数列 的首项与公比，然后求出结果，选出正确选 项． 【详解】 设公比为 q，则 ， 所以 ， ，解得 ， 所以 ， ， . 故选：B. 【点睛】 考查等比数列的概念、通项公式与前 n 项和公式等基础知识，考查学生的逻辑思维能力 和运算求解能力. 6．改革开放 40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主逐渐转变到更多元化 的精神追求，消费结构明显优化.下图给出了 1983~2017 年部分年份我国农村居民人均 生活消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重） 统计图.对所列年份进行分析，则下列结论错误的是（ ） A．农村居民人均生活消费支出呈增长趋势 B．农村居民人均食品支出总额呈增长趋势 C．2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长最快 D．2015 年到 2017 年农村居民人均生活消费支出增长比率大于人均食品支出总额增长 { }na nS 2 3 6 52a a a= 4 15 2S = 2 4a a+ = 3 2 5 2 { }na 2 4 5 52a a a= 5 4 1 2 aq a = = ( )4 1 1 15 1 2 a q q − =− 1 4a = 2 2a = 4 1 2a = 2 4 5 2a a+ =第 4 页 共 24 页 比率 【答案】D 【解析】根据图表数据进行判断，求增长速度，增长率，进行判断． 【详解】 从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故 A 正确； 根据“农村居民人均食品支出总额 农村居民人均生活消费支出 恩格尔系数”， 计算可得农村居民人均食品支出总额呈增长趋势，故 B 正确； 年 份 1983 1987 1991 1995 1999 2003 2007 2011 2015 2017 农村居民人均生活消费支出 212 283 492 736 895 942 2016 3408 7486 9050 恩格尔系数 67 61 61 56 52 50 52 49 42 43 农村居民人均食品支出总额 142.0 172.6 300.1 412.2 465.4 471 1048.3 1669.9 3144.1 3891.5 农村居民人均生活消费支出比较上一统计数据的增长量 71 209 244 159 47 1074 1392 4078 1564 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长 4078 元，为最快；故 C 正确； 2015 年到 2017 年农村居民人均生活消费支出增长比率为 ， 人均食品支出 7486 总额增长比率为 ，故 D 错 误. 故选：D. 【点睛】 考查统计图的应用，考查学生“读图识图”的能力和从统计图中提取数据的能力. 7．已知矩形 ， ，E，F 分别为 ， 的中点，将四边形 沿 折起，使 ，则过 A，B，C，D，E，F 六点的球的表面积 为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知条件画出示意图，求出球的半径即可求解结论． 【详解】 折起的如图所示， = × 9050 7486 20.892%7486 −= = 9050 0.43 7486 0.42 23.771%7486 0.42 × − ×= =× ABCD 2 4AB AD= = AB CD AEFD EF 120AEB∠ =  5 2 π 5π 10π 20π第 5 页 共 24 页 其中 ， 分别为正方形 和 的中心， 为过 ， ， ， ， ， 六点的球的球心， 为 中点， 则 ， 分别垂直于这两个平面，且 ， 所以 ， 而 ， 所以 ， 所以球的表面积为 ． 故选：D. 【点睛】 考查了直棱柱和球的相关概念，考查了学生逻辑推理能力、运算求解能力以及分析问题 和解决问题的能力. 8．已知函数 （ ）的最小正周期为 ，若将其图象沿 x 轴向右 平移 m（ ）个单位，所得图象关于 对称，则实数 m 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先利用降幂公式将函数式化简为 的形式，然后利用图象 变换的规律求出变换后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出 的值． 【详解】 ，由其最小正周期为 ，有 ， 所以 将其图象沿 x 轴向右平移 m（ ）个单位 所得图象对应函数为 1O 2O AEFD BCFE O A B C D E F G EF 1OO 2OO 1 2 60OGO OGO∠ = ∠ = ° 1 1 1tan 3OO O G OGO= ∠ = 1 1 22O A AF= = 2 2 1 1 5OA OO O A= + = 24 20OAπ π= ( ) 22sin xf x ω= 0>ω π 0m > 3x π= 4 π 3 π 3 4 π π cos( )y A x kw j= + + m ( ) cos2 1xf x ω= − + π 1ω = ( ) cos2 1f x x= − + 0m > ( )cos 2 2 1y x m= − − +第 6 页 共 24 页 其图象关于 对称，则有 所以 ， ，解得 ， 由 ，实数 m 的最小值为 . 故选：B. 【点睛】 本题考查学生对余弦型三角函数的图像与性质（对称性、周期性、单调性）的掌握情况. 考查学生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解与转换.考查学生对三 角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力. 9．今年（2020 年）是闰年.如图所示是判断 2000~3000（包括 2000，但不包括 3000） 年中哪些年份是闰年的程序框图，那么由框图可知，在 2000~3000 年中年份是闰年的个 数是（ ） A．241 B．242 C．243 D．244 【答案】C 【解析】根据流程图，判断其意义，进行判断．“” 【详解】 根据框图可知，判断是闰年的条件是年份能被 4 整除但不能被 100 整除，或者能被 400 整除. 由 ，得 ， 所以在 2000~3000 年中，年份能被 4 整除个数是 250. 3x π= 2cos 2 13 m π − = ±   2 23 m k π π− = k Z∈ 3 2 km π π= − k Z∈ 0m > 3 π ( )2000 1 4 3000n+ − × < 251n 2 2 2 2 4 p px y − + =   3AB = 3 FA F 2 2 2( )2 4 p px y− + = FA KA⊥ AKB∆ FA 2 2 2 2 4 p px y − + =   FA KA⊥ 2 pFA = KF p= 30AKF∠ =  60AKB∠ =  AKB△ 3 2AB AK p= = 3AB = 2p =第 8 页 共 24 页 生对数量关系的分析能力. 11．棱长为 1 的正方体 中，P，Q 分别为 ， 的中点，现有 下列结论：① ；② 平面 ；③ 平面 ；④四面体 的体积等于 .其中正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解析】如图 1，取 中点 ，连接 与 ，说明 与 异面，判断①； 如图 2，取 中点 ，推出平面 平面 ，判断②；通过 ， 则 ，推出矛盾，判断③；利用体积求解判断④． 【详解】 如图 1，取 中点 M，连接 与 ，则 ， 平面 ，则 与 异面，矛盾，故①错误； 如图 2，取 中点 ，易得平面 平面 ，故②正确； 若③正确，则 ，则 ，矛盾，故③错误； （另解：由结论 平面 和①知 ， 不平行也可判断错误）. 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1C D BC 1//PQ BD //PQ 1 1BB D D PQ ⊥ 1AB C 1D PQB− 1 24 AD M 1MD MQ PQ 1BD CD R / /PQR 1 1BB D D 1PQ B C⊥ 1 1C Q B C⊥ AD 1MD MQ 1 1MQ D C 1BD ⊄ 1 1MQC D PQ 1BD CD R / /PQR 1 1BB D D 1PQ B C⊥ 1 1C Q B C⊥ 1BD ⊥ 1AB C PQ 1BD第 9 页 共 24 页 ，故④正确 （④也可以这样判断：如图 3，过点 B 作 的垂线，垂足为 H， ， 因此， 平面 ， ， ， . 或者 ）. 故选：C. 【点睛】 本题侧重于考查学生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以及空间几何 体的体积的计算，考查学生的空间想象能力和转化能力. 12．函数 恰有两个零点 ， ，且 ，则 所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】结合导数分析函数的特征性质，然后结合函数图象的基本趋势及零点判定定理 进行求解即可． 【详解】 当 时不符合题意； 当 时，考查函数 与 图象 易知， 与 图象在区间 上必有一个交点 则在区间 上有且仅有一个公共点， 当 时， ， 1 1 1 1 1 1 1 113 2 2 2 24D PQB C PQB P C QBV V V− − −=  = × × × × =  = 三棱锥 三棱锥 三棱锥 1C Q 1 1BH C D⊥ BH ⊥ 1D PQ 5 5BH = 1 5 2C Q = 1 1 1 1 1 1 5 5 1 3 3 2 2 2 5 24D PQD PQB SV BH− = ⋅ = × × × × =△ 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 3 3 4 2 24D PQB D C QB P C QB C QBV V S PDV− − −= = ⋅ = × × == △ ( ) lnf x x ax= − 1x 2x 1 2x x< 1x 3 10, e      23 1 1,e e      2 1 1,e e      1 ,1e      0a ≤ 0a > ( ) lng x x= ( )h x ax= ( )g x ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )1,x∈ +∞ ( ) lnf x x ax= −第 10 页 共 24 页 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ， 则只需 ，故 ， 当 时， ， 易知 ， ，可知 . 故选：D 【点睛】 本题考查对数函数的概念与性质，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运 用数学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想. 二、填空题 13．已知向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 ______. 【答案】 【解析】根据题意，求出 的值，由数量积的计算性质可得 ，变形分析可得答案． 【详解】 由于 ， 所以 所以 . 故答案为：3. 【点睛】 本题考查平面向量的概念，代数运算以及向量模的基础知识，考查学生的逻辑思维能力 和运算求解能力. 14．等差数列 中， ， 是其前 n 项和，则使 取最大值的 n 的值为______. ( ) 1 axf x x =′ − ( )f x 10, a      1 ,a  +∞   ( ) max 1 1ln 1f x f a a =  = −      1ln 1 0a − = 1 ea = ( )0,1x∈ ( ) 1ln ef x x x= − − 2 1 11 0e ef   = − >   ( ) 11 0f e = − < 1 1 ,1ex  ∈   ( )1, 3a = 1a b− = a a b−  60 ⋅ =a b 3 | |a ( ) | || | cos60 1a a b a a b− = − ° =     2=a ( ) cos60 1a a b a a b⋅ − = − =     2 1a a b− ⋅ =  3⋅ =a b { }na 2 16 1 112 3a a a a+ < < nS nS第 11 页 共 24 页 【答案】 【解析】直接套用等差数列的通项公式，化简题中不等式，根据等差数列的基本性质或 二次函数的最值来求解 的最大值． 【详解】 方法一： 设公差为 d，由 得 ， 故 ， ，即 ， 所以 时， 取得最大值. 方法二： 设公差为 d，由 得 ， 故 ，且 ， 又因为 ， 其对应为二次函数 的图像开口向下， 对称轴为 ， 故 时， 取得最大值. 故答案为：16. 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式和前 项和最值的求解，对学生的逻辑推理能力、运算求 解能力有一定要求． 15．鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质. 如图，若点 C 为线段 的三等分点且 ，分别以线段 ， ， 为 直径且在 同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部 分）.现等可能地从以 为直径的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为 ______. 16 nS 2 16 1 112 3a a a a+ < < 131 2 30d a d< − < 16 1 15 0a a d= + > 16 17 12 31 0a a a d+ = + < 17 16 0a a< − < 16n = nS 2 16 1 112 3a a a a+ < < 131 2 30d a d< − < 0d < 1 3115 2 a d < − < 2 12 2n d dS n a n = + −   2 12 2 d dy x a x = + −   11 31,162 2 ax d  = − ∈   16n = nS n AB 2AC CB= AB AC BC AB AB第 12 页 共 24 页 【答案】 . 【解析】分别求出各自的面积，转化为面积比即可． 【详解】 设 ， ，则 ， ， 于是阴影部分的面积为： ， 于是所求概率为 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及分 析问题和解决问题的能力. 16．已知双曲线 C： （ ， ）的左、右焦点分别为 、 ，双 曲线 C 的一条渐近线方程记为 （ ），直线 l： 与双 曲线 C 在第一象限交于点 P，若 ，则双曲线 C 的离心率为______. 【答案】 【解析】由题意画出图形，延长 交直线 于点 ，可得 为 的中点， ，求得 点坐标，进一步求得 点坐标，把 点坐标代 入双曲线方程即可求得双曲线的离心率． 4 9 12AC r= 22BC r= 1 22 2AB r r= + 1 22r r= ( )2 2 2 1 2 1 2 1 22 2 2 r r r r rr π π π π+ − − = ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 4 4 93 2 rr rr rP r r r r r π π = = = = + + 4 9 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 1F 2F tany xα= ⋅ 0 2 πα< < tan 2y x α= ⋅ 2OP PF⊥ 5 1− 2F P tan (0 )2y x πα α= < > 1 2 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 0y y ≠ AB 3AB = 2x a=第 19 页 共 24 页 直线 过线段 的中点. 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】（1）通过离心率推出 ，结合 ．转化求解 ， ， 求解椭圆 的方程． （2）求出 ， ，得到线段 的中点为 ．①当直线 与 轴垂直 时，说明直线 过线段 的中点．②当直线 不与 轴垂直时，可设其方程为 ，代入 ，利用韦达定理设 ， ， ， ， ， 求出 的方程为 ．推出直线系方程，说明直线 过线段 的中点． 【详解】 （1）由 ，得 ，所以 ， 因为直线 经过点 F，且 ，所以根据对称性，不妨设 . 当直线 与 x 轴垂直时， ， ，所以 . 由 ，得 ，所以 ， . 所以椭圆 E 的方程为 . （2）当直线 与 x 轴垂直时， ， ， ， 这时直线 的方程为 ，即 . 令 ，得 ，点 恰为线段 的中点. 因为 ，当直线 不与 x 轴垂直时，可设其方程为 ， AC FG 2 2 14 3 x y+ = 1 2c a= 2 2 3 2b a c a= − = a b E (4,0)G (1,0)F FG 5( , 0)2 AB x AC FG AB x ( 1)y k x= − 2 2 14 3 x y+ = 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 2(4, )C y AC 2 1 1 1 1 ( )4 y yy x x yx −= − +− AC FG 1 2 ce a = = 1 2c a= 2 2 3 2b a c a= − = AB 1 2 0y y ≠ 1 20y y> > AB 1 2 1 2x x c a= = = 2 1 22 1 3 3 321 2 2 4 a y b a a a ya      = − = ⋅ = = −    1 32 2AB y a= = 33 2AB a= = 2a = 3 32b a= = 1c = 2 2 14 3 x y+ = AB 31, 2A     31, 2B −   34, 2C  −   AC ( ) 3 3 3 2 2 12 4 1y x − − − = −− 5 2y x= − + 0y = 5 2x = 5 ,02      FG ( )1,0F AB ( )1y k x= −第 20 页 共 24 页 代入 ， 整理得 . 所以 ， . 因为 ， ， ， 所以直线 的方程为 . 因为 ， ， 所以 ， 这说明直线 过点 . 综上可知直线 过线段 的中点. 【点睛】 本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结合的数学思 想和学生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何问题的能力. 21．已知 （ ）. 2 2 14 3 x y+ = ( ) ( )2 2 2 23 4 8 4 3 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 8 3 4 kx x k + = + ( )2 1 2 2 4 3 3 4 k x x k − = + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )24,C y AC ( )2 1 1 1 14 y yy x x yx −= − +− ( )1 1 1y k x= − ( )2 2 1y k x= − ( ) ( )2 12 1 1 1 1 1 1 1 5 5 14 2 4 2 k x xy y x y x k xx x −−    − + = − + −   − −    ( ) ( )2 1 1 1 1 5 14 2 x xk x xx −  = − + −  −    ( ) ( )( )2 1 1 1 1 1 5 4 12 4 x x x x x k x  − − + − −  = ⋅ − ( )1 2 1 2 1 5 42 4 x x x x k x + − − = ⋅ − ( )22 2 2 1 4 35 8 42 3 4 3 4 4 kk k kk x − ⋅ − −+ += ⋅ − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 20 4 3 4 3 4 0 4 3 4 k k k k x k − − − + = ⋅ = − + AC 5 ,02      AC FG ( ) ( ) 21ln 1 12a x a xf x = + − + a∈R第 21 页 共 24 页 （1）讨论 的单调性； （2）当 时，对任意的 ， ，且 ，都有 ，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】（1）求出导函数，通过①当 时，②当 时，③当 时，判断导 函数的符号，判断函数的单调性即可． （2）当 时， ，不妨设 ，则 等价于 ，考查函数 ， 求出导函数，令 ，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最 值，说明 在 上单调递减．得到 恒成立，设 ，则 在 上恒为单调递减函数，然后转化求解 的范围即 可． 【详解】 （1） （ ）. ①当 时， ， 在 上单调递增； ②当 时， ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减； ③当 时， ， 在 上单调递减. （2）当 时， ，不妨设 ，则 等价于 ， ( )f x 1a = − 1x ( )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 2 x f x x f x mx xx x − >− 5 11 2em ≤ − 1a 0 1a< < 0a 1a = − 2( ) ln 1f x x x= − − + 1 20 x x< < 1 2 2 1 1 2 1 2 ( ) ( )| |x f x x f x mx xx x − >− 2 1 2 1 2 1 ( ) ( )| | ( )f x f x m x xx x − > − ( )( ) f xg x x = 2 2 ln 2( ) x xh x x − −= ( )g x (0, )+∞ 1 1 2 2( ) ( )g x mx g x mx+ > + ( ) ( )x g x mxϕ = + ( )xϕ (0, )+∞ m ( ) ( ) ( ) 211 a x aa a xxx xf − +=′ + − = 0x > 1a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+ 0 1a< < ( ) ( )1 1 1 a aa x f a xx xa   − + − − −  − −  ′ = 1 ax a > − − ( ) 0f x′ < 0 1 ax a < < − − ( ) 0f x′ > ( )f x 0, 1 a a  −  −  ,1 a a     +∞−  −  0a ≤ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0, ∞+ 1a = − ( ) 2ln 1x xf x = − − + 1 20 x x< < ( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 2 x f x x f x mx xx x − >− ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 f x f x m x xx x − > −第 22 页 共 24 页 考查函数 ，得 ， 令 ， ， 则 时， ， 时， ， 所以 在区间 上是单调递增函数，在区间 上是单调递减函数. 故 ，所以 在 上单调递减. 从而 ，即 ，故 ， 所以 ，即 恒成立， 设 ，则 在 上恒为单调递减函数， 从而 恒成立，故 ， 故 . 【点睛】 本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查学生灵活运用导数工具分析 问题、解决问题的能力，综合考查学生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能 力和推理论证能力. 22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐 标系中取相同的长度单位.已知曲线 C 的极坐标方程为 ，直线 l 的参数方 程为 ，（t 为参数）. （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点， ，且 ，求 值. ( ) ( )f xg x x = ( ) 2 2 ln 2x x x xg − −′ = ( ) 2 2 ln 2xh xx x − −= ( ) 3 5 2lnx x xh −′ = 5 20,x e  ∈    ( ) 0h x′ > 5 2e ,x  ∈ +∞    ( ) 0h x′ < ( )h x 5 20,e       5 2 ,e  +∞     ( ) 5 2 5 1e 1 02egg x  ′ = − ( ) ( )2 1 2 1 f x f x x x < ( ) ( ) ( )1 2 2 1 1 2 f x f x m x xx x − > − ( ) ( )1 2 1 2 1 2 f x f xmx mxx x + > + ( ) ( )1 1 2 2g x mx g x mx+ > + ( ) ( )x g x mxϕ = + ( )xϕ ( )0, ∞+ ( ) ( ) 0x g x mϕ′ ′= + ≤ ( ) ( ) 5 1 1 02ex mg x mϕ′ ≤ −′ ++ ≤= 5 11 2em ≤ − 4sin 0ρ θ− = 1 2 31 2 x t y t  =  = + ( )0,1M MA MB> 1 1 MA MB −第 23 页 共 24 页 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】（1）相切参数方程中的 ，即可得到直线 的普通方程和，利用 ， 代入 ，即可化简曲线 的极坐标方程为直角坐标方程； （2）利用直线参数方程的几何意义，结合韦达定理，化简求解 的值． 【详解】 （1）由直线 l 的参数方程消去参数 t，得直线 l 的普通方程为 ， 将 ， 代入 得， 曲线 C 的直角坐标方程为 . （2）设 A，B 对应的参数为 ， ， 将 代入 ，得 ， 所以 ， . 故直线 l 过 ，且 ，所以 ， . 于是 ， . 故 . 【点睛】 本题考查学生对圆的参数方程、直线的参数方程的掌握与应用和对曲线的参数方程与普 通方程之间的转换公式的应用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算求解能力. 23．已知 ， ，且 . （1）若对于任意的正数 a，b，不等式 恒成立，求实数 x 的取值范围； （2）证明： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 3 1y x= + 2 2 4 0x y y+ − = 3 3 − t l cos xρ θ = sin yρ θ = 4sin 0ρ θ− = C 1 1 | | | |MA MB − 3 1y x= + cos xρ θ = sin yρ θ = 4sin 0ρ θ− = 2 2 4 0x y y+ − = 1t 2t 1 2 31 2 x t y t  =  = + 2 2 4 0x y y+ − = 2 3 3 0t t− − = 1 2 3t t = − 1 2 3t t+ = ( )0,1M MA MB> 1 0t > 2 0t < 1 1MA t t= = 2 2B tM t= = − 1 2 1 2 1 2 1 1 3 3 1 1 t t t t t tMA MB +=− + = = − 0a > 0b > 2 2 1a b+ = 2 22 11 1 ax b ≤ +− ( )5 51 1 1a ba b  + + ≥   3 5,2 2  −  第 24 页 共 24 页 【解析】（1）利用基本不等式转化求解 的最小值，然后转化求解不等式，即可 实数 的取值范围； （2）： 展开，通过构造法，结合基本不等式求解不等式的最小值，即 可证明不等式． 【详解】 （1）因为 ，所以 即 ，当且仅当 时取等号，因此 的最小值是 4. 于是 . 故实数 x 的取值范围是 . （2） ， 故 . 或直接运用二维柯西不等式： ， 当且仅当 时取等号. 故 . 【点睛】 本题考查学生对绝对值不等式的理解和转化以及对绝对值函数的运算求解能力，考查绝 对值不等式的性质，考查利用平均不等式证明相关不等式的方法. 2 2 1 1 a b + x 5 51 1( )( )a ba b + + 2 2 1a b+ = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 4b aa ba b a b a b  + = + + = + + ≥   2 2 1 1 4a b + ≥ 2 2a b= = 2 2 1 1 a b + 3 54 22 1 4 1 4 2 2x xx ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤− ≤ 3 5,2 2  −   ( ) ( )5 5 5 525 5 4 4 2 2 2 21 1 2b a b aa b a b a b a ba b a b a b  + + = + + + = + + + −   ( ) ( )5 52 22 2 2 2 2 22 2 1b aa b a b a ba b ≥ + + ⋅ − = + = ( )5 51 1 1a ba b  + + ≥   ( ) ( )2 25 5 5 5 2 21 1 1 1 1a b a b a ba b a b   + + ≥ ⋅ + ⋅ = + =       2 2a b= = ( )5 51 1 1a ba b  + + ≥  