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2020 届江苏省合作联盟学校高三下学期阶段性调研测试数学
试题
一、填空题
1.满足 的复数 在复平面上对应的点构成的图形的面积为_______.
【答案】
【解析】由复数的几何意义,可得 ,表示外径为 ,内径为 1 的圆
环,结合圆的面积公式,即可求解.
【详解】
由题意,设 ,
因为 ,可得 ,即 ,
所以 表示外径为 ,内径为 1 的圆环,
其中圆环的面积为 .
故答案为: .
【点睛】
本题主要考查了复数的运算,以及复数的几何意义的应用,其中解答中根据复数的结合
意义,求得图形的形状,结合圆的面积公式求解是解答的关键,着重考查了运算与求解
能力.
2.对某种电子元件使用寿命跟踪调查,所得样本频率分布直方图如图,若一批电子元
件中寿命在 100~300 小时的电子元件的数量为 400,则寿命在 500~600 小时的电子元件
的数量为_______.
【答案】300
【解析】根据小矩形的面积等于这一组的频率,先求出电子元件的寿命在某时段的频率,
1 1 3z i≤ − + ≤ z
2π
1 1 3z i≤ − + ≤ 3
( , )z x yi x y R= + ∈
1 1 3z i≤ − + ≤ 1 ( 1) ( 1) 3x y i≤ − + + ≤ 2 21 ( 1) ( 1) 3x y≤ − + + ≤
1 1 3z i≤ − + ≤ 3
2 2( 3) 1 2S π π π= × − × =
2π第 2 页 共 24 页
再乘以样本容量,即可求解.
【详解】
由题意,寿命在 100~300 小时的电子元件的频率为 ,
所以样本容量为 ,
从而寿命在 500~600 小时的电子元件的数量为 件.
故答案为:300.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用,其中解答中熟记小矩形的面积等于这一组的频
率是解答的关键,着重考查了数据处理能力和运用意识.
3.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 为____.
【答案】205
【解析】根据已知中的程序代码,得到本程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S
的值,模拟程序的运行过程,分析各个变量的变化规律,可得答案.
【详解】
模拟程序语言,运行过程,可得 ,
满足条件 ,执行循环体 ;
满足条件 ,执行循环体 ;
满足条件 ,执行循环体 ;
满足条件 ,执行循环体 ,
此时,不满足条件 ,退出循环,输出 S 的值为 ,
故答案为 205.
【点睛】
本题主要考查了程序语言的应用问题,其中解答中应模拟程序语言的运行过程,以便得
出输出的计算规律,从而得到计算的结果,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 , 作为点 的横、纵坐标,则点 在直线
1 3 1( ) 100200 200 5
+ × =
1400 20005
÷ =
32000 ( 100) 3002000
× × =
S
1I =
100I < 3, 9I S= =
100I < 5, 13I S= =
100I < 99, 201I S= =
100I < 101, 2 101 3 205I S= = × + =
100I < 205
m n P P第 3 页 共 24 页
上方的概率为_______.
【答案】
【解析】连续掷两次骰子分别得到共有 36 个基本事件,再根据点 在直线
上方,利用列举法,求得基本事件的个数,结合古典概型的概率计算公
式,即可求解.
【详解】
由题意,连续掷两次骰子分别得到的点数 , ,共有 36 个基本事件,
其中点 在直线 上方,即满足不等式的 ,
有 ,共有 9 个基本事件,
所以概率为 .
故答案为: .
【点睛】
本题主要考查了古典概型及其概率的计算,其中解答中认真审题,利用列举法求得所有
事件包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
5.若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项,则称此圆锥为“黄金圆锥”,已知一黄金
圆锥的侧面积为 ,则这个圆锥的高为_______.
【答案】1
【解析】设出圆锥的底面半径和高、母线,由题设条件列出关系式,即可求得圆锥的高,
得到答案.
【详解】
设圆锥底面半径为 ,高为 ,母线为 ,
由圆锥的高是底面半径和母线的等比中项,可得 ,
且圆锥的侧面积为 ,即 ,解得 .
故答案为:1.
【点睛】
本题主要考查了圆锥的几何结构特征,以及圆锥的侧面积公式的应用,着重考查了推理
与运算能力.
6.在 中, , , 分别是角 , , 的对边,若 , , 成等差数列,
2 1 0x y− − =
1
4
P
2 1 0x y− − =
m n
P 2 1 0x y− − = 2 1 0x y− − <
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,6)
9 1
36 4P = =
1
4
π
r h l
2h l r= ⋅
21 22S r l r l hπ π π= ⋅ = ⋅ = 2hπ π= 1h =
ABC a b c A B C 2a 2b 2c第 4 页 共 24 页
则 的最小值为_______.
【答案】
【解析】利用等差数列的性质,结合基本不等式,即可求得 的最小值,得到答案.
【详解】
由题意,因为 , , 成等差数列,可得 ,
又由余弦定理可得 ,
当且仅当 时等号成立,
所以 时, 的最小值为 .
故答案为: .
【点睛】
本题主要考查了余弦定理、等差数列的性质,以及基本不等式的综合应用,着重考查了
推理与运算能力.
7.已知函数 的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ,其中
, ,则
【答案】-6
【解析】分析:先利用导数求出曲线在点(ak,eak)处的切线,求出切线与横轴交点的横
坐标,得到数列递推式,看出数列是一个等差数列,从而求出所求.
解:∵y=ex,∴y′=ex,
∴y=ex 在点(ak,eak)处的切线方程是:y-eak=eak(x-ak),
整理,得 eakx-y-akeak+eak=0,
∵切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1,
∴ak+1=ak-1,
∴{an}是首项为 a1=0,公差 d=-1 的等差数列,
∴a1+a3+a5=0-2-4=-6.
故答案为-6.
点评:本题主要考查了切线方程以及数列和函数的综合,本题解题的关键是写出数列递
推式,求出两个项之间的关系,得到数列是一个等差数列,属于中档题
8.关于 的不等式 的解集为 ,则关于 的不等式
cos B
1
2
cos B
2a 2b 2c 2 2 22b a c= +
2 2 2 2 2
2 2
1cos 2 2 2
a c b b bB ac ac a c
+ −= = ≥ =+
a c=
a c= cos B 1
2
1
2
xy e= ( , )ka
ka e x 1ka +
*k ∈N 1 0a = 1 3 5a a a+ + =
x 2 0ax bx c+ + > ( )1,2− x第 5 页 共 24 页
的解集为_______.
【答案】
【解析】由不等式的解集,根据根与系数的关系,求得 ,且 ,进
而把不等式 转化为 ,即可求解.
【详解】
由题意,关于 的不等式 的解集为 ,
即 是一元二次方程 的两根,
可得 解得 ,且 ,
则关于 的不等式 可化为 ,即 ,
即 ,解得 ,
所以不等式的解集为 .
故答案为: .
【点睛】
本题主要考查了一元二次不等式的解法,三个二次式的关系,以及分式不等式的求解,
着重考查了推理与运算能力.
9.记 Sk=1k+2k+3k+……+nk,当 k=1,2,3,……时,观察下列等式:S1 n2
n,S2 n3 n2 n,S3 n4 n3 n2,……S5=An6 n5 n4+Bn2,…
可以推测,A﹣B=_____.
【答案】
【解析】观察知各等式右边各项的系数和为 1,最高次项的系数为该项次数的倒数,据
此计算得到答案.
【详解】
根据所给的已知等式得到:各等式右边各项的系数和为 1,
2a b c bxx
+ + >
( ),0−∞
, 2b a c a= − = − 0a <
2a b c bxx
+ + > 2 2 1 0x x
x
− + <
x 2 0ax bx c+ + > ( )1,2−
1,2− 2 0ax bx c+ + =
1 2
1 2
0
b
a
c
a
a
− = − +
= − ×
2a a axx
− > − 1 2 xx
− < −
2 22 1 ( 1) 0x x x
x x
− + −= < 0x <
( ),0−∞
( ),0−∞
1
2
= 1
2
+
1
3
= 1
2
+ 1
6
+ 1
4
= 1
2
+ 1
4
+ 1
2
+ 5
12
+
1
4第 6 页 共 24 页
最高次项的系数为该项次数的倒数,
∴A ,A 1,解得 B ,所以 A﹣B .
故答案为: .
【点睛】
本题考查了归纳推理,意在考查学生的推理能力.
10.设 为 图象 上任意一点, 为 在点 处的切线,则坐标原点 到
距离的最小值为_______.
【答案】2
【解析】设出切点 P 的坐标,由导数求得 C 在点 P 处的切线方程,利用点到直线的距
离公式写出坐标原点 到直线 的距离,再结合基本不等式,即可求解.
【详解】
由题意,设点 ,
由函数 ,可得 ,所以 ,
所以曲线 C 在点 P 处的切线方程为 ,
整理得切线 的方程为 ,
又由坐标原点 到直线 的距离
,当且仅当 时,即 时等号成立,
所以坐标原点 到直线 的最小值为 2.
故答案为:2.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程,以及点到直线的距离公式和基
本不等式的综合应用,着重考查了推理与运算能力.
11.已知函数 ,若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)
成立,则实数 a 的取值范围是 ______ .
【答案】(-∞,1)∪(2,+∞)
【解析】分类讨论 , , 三种情况,结合题意可知函数不单调,继而
求解出结果.
1
6
= 1 5
2 12 B+ + + = 1
12
= − 1 1 1
6 12 4
= + =
1
4
P 21 24y x= − C l C P O
l
O l
2
0 0
1( , 2)4P x x −
21 24y x= − 1
2y x′ =
0 0
1| 2x xy x=′ =
2
0 0 0
1 12 ( )4 2y x x x x− + = −
l 2
0 02 4 8 0x x y x− − − =
O l
2 2 2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
8 8 4 41 1
2 24 16 4 4
x x xd
x x x
− − + + += = ⋅ = ⋅
+ + +
2
0 2
0
1 4( 4 ) 22 4
x
x
= + + ≥
+
2
0 2
0
44
4
x
x
+ +
+ 0 0x =
O l
( ) 2 2 1
1 1
x ax xf x
ax x
− + ≤= +
,
, >
0a = 0a < 0a >第 7 页 共 24 页
【详解】
若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则说明 f(x)在 R 上不单调.
①当 a=0 时, ,其图象如图所示,满足题意
②当 a0,其图象如图所示,要使得 f(x)在 R 上不单调
则只要二次函数的对称轴 x=a × +
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12.直线 与圆心为 的圆 交于 , 两点,直线
, 的倾斜角分别为 , ,则 ______.
【答案】
【解析】由三角形的外角与不相邻的内角的关系,得到 ,
再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系,化简整理得到 ,再利用正切
的倍角公式,即可求解.
【详解】
设直线 的倾斜角为 ,可得 ,
由三角形的外角与不相邻的内角的关系,可得 ,
由圆的性质可知,直线 过圆心, 是等腰三角形,
所以 ,所以 ,可得 ,
所以 .
故答案为: .
【点睛】
本题主要考查了圆的方程,直线的方程及直线的倾斜角,正切的倍角公式,以及直线与
圆的位置关系的综合应用,着重考查了推理与运算能力.
13.在平面直角坐标系 xOy 中,直角三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆
上,其中 A(0,1)为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为
3 2y x= + D ( ) ( )221 3 1x y− + − = A B
AD BD α β ( )tan α β+ =
3
4
−
,DAB ABDα γ γ β∠ = − ∠ = −
2α β γ+ =
3 2y x= + γ tan 3γ =
,DAB ABDα γ γ β∠ = − ∠ = −
,AD BD ABD∆
DAB ABD∠ = ∠ α γ γ β− = − 2α β γ+ =
2
2 3 3tan( ) tan 2 1 3 4
α β γ ×+ = = = −−
3
4
−
( )2
2
2 1 1x y aa
+ = >第 9 页 共 24 页
,则实数 a 的值为_____.
【答案】3
【解析】设直线 AB 的方程为 y=kx+1,则直线 AC 的方程可设为 y x+1,(k≠0),
联立方程得到 B( , ),故 S ,令 t ,
得 S ,利用均值不等式得到答案.
【详解】
设直线 AB 的方程为 y=kx+1,则直线 AC 的方程可设为 y x+1,(k≠0)
由 消去 y,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,所以 x=0 或 x
∵A 的坐标(0,1),∴B 的坐标为( ,k• 1),即 B( ,
),
因此 AB • ,
同理可得:AC • .
∴Rt△ABC 的面积为 S AB•AC •
令 t ,得 S .
27
8
1
k
= −
2
2 2
2
1
a k
a k
−
+
2 2
2 2
1
1
a k
a k
−
+
4
4 2 2
2
12
11
a k k
a a k k
+
= + + +
1k k
= +
4
2 2
2
2
( 1)
a
a a tt
= − +
1
k
= −
2
2
2
1
1
y kx
x ya
= + + =
2
2 2
2
1
a k
a k
−= +
2
2 2
2
1
a k
a k
−
+
2
2 2
2
1
a k
a k
− ++
2
2 2
2
1
a k
a k
−
+
2 2
2 2
1
1
a k
a k
−
+
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 1(0 ) (1 ) 11 1
a k a k ka k a k
− −= − + − = ++ +
2
2 2
2
1
a k
a k+
2
11 k
= +
2
2
2
2
1
a
k
a
k
+
1
2
= 2
2
12 k k
= + +
4
4
4 2 2 4 2 2
2 2
122
1 11 1
a ka k
a a k a a kk k
+
= + + + + + +
1k k
= + ( )
4 4
2 24 2 2
2
2 2
( 1)1 2
a t a
aa a t a tt
= = −+ + − +第 10 页 共 24 页
∵t 2,∴S△ABC .
当且仅当 ,即 t 时,△ABC 的面积 S 有最大值为 .
解之得 a=3 或 a .
∵a 时,t 2 不符合题意,∴a=3.
故答案为:3.
【点睛】
本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.
14.若 , ,则
______.
【答案】
【解析】由 和 的地位上相同,同时 和 的地位上也相同,分
类讨论,即可求解.
【详解】
由题意知, 和 的地位上相同,类似的: 和 的地位上也相同,
(1)若 最大,设 ,
要使得 最小,则其余的数尽可能的大,其中 最大取 ,此时 ,
剩下 也要尽可能大,取 ,则 ,
1k k
= + ≥
4 4
22 2
2
2
( 1)( 1)2
a a
a aa a tt
≤ = −− ×
2 1a a t
t
− = 2 1a
a
−=
4
2
27
( 1) 8
a
a a
=−
3 297
16
+=
3 297
16
+=
2 1a
a
−= <
( )0 1,2,3,4,5ix i≥ = 5
1
1i
i
x
=
=∑
{ }{ }1 2 2 3 3 4 4 5min max , , ,x x x x x x x x+ + + + =
1
3
1 2x x+ 4 5x x+ 2 3x x+ 3 4x x+
1 2x x+ 4 5x x+ 2 3x x+ 3 4x x+
2 3x x+ 2 3x x a+ =
a 1 2x x+ a 1 3x x=
4 5x x+ 4 5x x a+ = 3 1a x a+ + =第 11 页 共 24 页
因为 ,要使得 尽可能大,则 ,
此时 ,解得 ;
(2)若 最大,设 ,
与(1)中类似, 时, 最小,
同样 ,要使得 最小,则 最大,此时 ,
可得 ,解得 .
综上可得 .
故答案为: .
【点睛】
本题主要考查了多项式的和的应用,以及不等式和函数的最值问题,着重考查了分类讨
论,转化与回归思想,以及推理与运算能力.
二、解答题
15.如图甲,在平面四边形 中,已知 , , ,
,现将四边形 沿 折起,使平面 平面 (如图乙),设
点 、 分别为棱 、 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)设 ,求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析; (2)
【解析】(1)先推得 ,再利用面面垂直的性质,证得 底面 ,得
到 ,
最后利用线面垂直的判定定理,即可证得 平面 .
(2)由(1)知,证得 平面 ,得到 ,再结
2 3x x a+ = 3x 3 2, 0x a x= =
1a a a+ + = 1
3a =
1 2x x+ 1 2x x a+ =
3 1 4 5,x x x x a= + = a
12 1a x+ = a 1x 1 2, 0x a x= =
2 1a a+ = 1
3a =
{ }{ }1 2 2 3 3 4 4 5
1min max , , , 3x x x x x x x x+ + + + =
1
3
ABCD 45A∠ = ° 90C∠ = ° 105ADC∠ = °
AB BD= ABCD BD ABD ⊥ BDC
E F AC AD
DC ⊥ ABC
CD a= A BFE−
33
12 a
AB BD⊥ AB ⊥ BDC
AB CD⊥
DC ⊥ ABC
EF ⊥ ABC 1
3A BFE F AEB AEBV V S FE− −= = ⋅△第 12 页 共 24 页
合锥体的体积公式,即可求解.
【详解】
(1)由题意,图甲中,因为 且 ,
所以 , ,即 ,
在图乙中,因为平面 平面 ,且平面 平面 ,
所以 底面 ,
又由 底面 ,所以 ,
又 ,所以 ,且 ,
所以 平面 .
(2)因为 、 分别为 、 的中点,所以 ,
又由(1)知, 平面 ,
可得 平面 ,所以 ,
在图甲中,因为 ,所以 , ,
由 ,得 , , ,
所以 ,可得 ,
所以 .
【点睛】
本题主要考查了直线与平面垂直的判定及证明,以及三棱锥的体积的计算,其中解答熟
练应用几何体的结构特征,熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键,着
重考查了推理与计算能力.
16.已知函数 (其中 , , )的
图象与 轴的相邻两个交点之间的距离为 ,且图象上一个最高点为 .
AB BD= 45A∠ = °
45ADB∠ = ° 90ABC∠ = ° AB BD⊥
ABD ⊥ BDC ABD ∩ BDC BD=
AB ⊥ BDC
CD ⊂ BDC AB CD⊥
90DCB∠ = ° DC BC⊥ AB BC B∩ =
DC ⊥ ABC
E F AC AD / /EF CD
DC ⊥ ABC
EF ⊥ ABC 1
3A BFE F AEB AEBV V S FE− −= = ⋅△
105ADC∠ = ° 60BDC∠ = ° 30DBC∠ = °
CD a= 2BD a= BC 3a= 1 1
2 2EF CD a= =
21 1 2 3 32 2ABCS AB BC a a a= ⋅ = ⋅ ⋅ =△
23
2AEBS a=△
2 31 1 3 1 3
3 3 2 2 12A BFE AEBV S h a a a− = ⋅ = ⋅ ⋅ =△
( ) ( )( )sinf x A x x Rω ϕ= + ∈ 0A > 0>ω 0 2
πϕ< <
x
2
π 2 , 23M
π − 第 13 页 共 24 页
(1)求 的解析式;
(2)当 时,求 的最大值及相应的 的值.
【答案】(1) (2) 的最大值为 2,此时
【解析】(1)由题意,求得 , ,得到 ,将
代入求得 ,即可得到函数的解析式;
(2)由 ,得到 ,结合三角函数的图象与性质,即可求
解.
【详解】
(1)由题意,函数 图象上一个最高点为 ,可得 ,
又由函数 图象与 轴的相邻两个交点之间的距离为 ,即 ,可得
,
此时函数 ,
将 代入上式,得 ,即 ,
因为 ,可得 ,所以 .
(2)因为 ,则 ,
所以当且仅当 ,即 时, ,则 ,
即 时,函数 的最大值为 2.
【点睛】
本题主要考查了三角函数解析式的求解,以及三角函数的图象与性质的综合应用,其中
解答中熟记三角函数的图象与性质,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能
力.
17.如图,某校打算在长为 1 千米的主干道 一侧的一片区域内临时搭建一个强基计
( )f x
,12 2x
π π ∈
( )f x x
( ) 2sin 2 6f x x
π = +
( )f x
6x
π=
2A = 2ω = ( ) ( )2sin 2f x x ϕ= + 2 , 23M
π −
6
π=ϕ
,12 2x
π π ∈
723 6 6x
π π π≤ + ≤
( )f x 2( , 2)3M
π − 2A =
( )f x x
2
π 2T
π πω= =
2ω =
( ) ( )2sin 2f x x ϕ= +
2 , 23M
π −
42 2sin 3
π ϕ − = +
4sin 13
π ϕ + = −
0 2
πϕ< <
6
π=ϕ ( ) 2sin 2 6f x x
π = +
,12 2x
π π ∈
723 6 6x
π π π≤ + ≤
2 6 2x
π π+ =
6x
π= sin 2 16x
π + = 2sin 2 26x
π + =
6x
π= ( )f x
AB第 14 页 共 24 页
划高校咨询和宣传台,该区域由直角三角形区域 ( 为直角)和以 为直
径的半圆形区域组成,点 (异于 , )为半圆弧上一点,点 在线段 上,且
满足 .已知 ,设 ,且 .初步设想把咨询
台安排在线段 , 上,把宣传海报悬挂在弧 和线段 上.
(1)若为了让学生获得更多的咨询机会,让更多的省内高校参展,打算让
最大,求该最大值;
(2)若为了让学生了解更多的省外高校,贴出更多高校的海报,打算让弧 和线段
的长度之和最大,求此时的 的值.
【答案】(1) ; (2)
【解析】(1)由题意,结合三角恒等变换的公式,求得
,再利用三角函数的性质,即可求解;
(2)由题意,取线段 的中点 ,连接 ,求得弧长 和线段 的长度之和
表达式 ,设 , ,得到
,结合导数求得函数的单调性和最值,即可求解.
【详解】
(1)由题意,在 中,可得 ,
在 中,可得 ,
在 中,可得 ,
所以
ACB ACB∠ BC
P B C H AB
CH AB⊥ 60PBA∠ = ° ABC θ∠ = ,18 3
π πθ ∈
CH CP CP CH
CH CP+
CP
CH θ
2 3
4
+
18
πθ =
1 3sin 22 3 4CH CP
πθ = + +
+
BC O OP CP CH
cos sin3y
πθ θ θ − +
=
( ) sin3f
πθ θ θ= − + ( ) cosg θ θ=
( ) ( )y f gθ θ=
Rt ACB 1 cos cosBC θ θ= × =
Rt CBH△ cos sin sin cosCH θ θ θ θ= × =
Rt CBP cos sin 3CP
πθ θ = −
sin cos cos sin 3CH CP
πθ θ θ θ + = + −
3 1sin cos cos cos sin2 2
θ θ θ θ θ = + − 第 15 页 共 24 页
.
因为 ,则 ,
所以当且仅当 ,即 时, 取得最大值,且最大值为
千米.
(2)取线段 的中点 ,连接 ,则 .
由(1)知, ,
故 的长为 ,
则 和线段 的长度之和
, .
设 , , , ,
则 ,
因为 , ,所以 ,
故函数 在区间 上单调递减,故 .
易知函数 在区间 上也单调递减,所以 ,
所以 ,
所以当且仅当 时, 和线段 的长度之和最大.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的实际应用问题,以及利用导数求解函数的单调性与最值的应
用,其中解答中认真审题,根据题意求得函数的解析式,结合三角函数的性质和导数的
运算求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.
21 3sin cos cos2 2
θ θ θ= + 1 3 1 cos2sin 24 2 2
θθ += + × 1 3sin 22 3 4
πθ = + +
,18 3
π πθ ∈
4 29 3
π πθ π≤ + <
2 3 2
π πθ + =
12
πθ = CH CP+ 2 3
4
+
BC O OP 22 2 23 3COP CBP
π πθ θ ∠ = ∠ = − = −
1 1 cos2 2CO BC θ= = sin cosCH θ θ=
CP
1 2cos 2 cos cos2 3 3
π πθ θ θ θ θ ⋅ − = −
CP CH
cos cos sin cos3y
π θ θ θ θ θ= − + cos sin3
πθ θ θ − +
= ,18 3
π πθ ∈
( ) sin3f
πθ θ θ= − + ,18 3
π πθ ∈
( ) cosg θ θ= ,18 3
π πθ ∈
( ) ( )y f gθ θ=
( )' 1 cosf θ θ= − + ,18 3
π πθ ∈
( )' 1 cos 0f θ θ= − + <
( )f θ ,18 3
π π
3 ( )2 18x f f
πθ < ≤
( )g θ ,18 3
π π
( )1
2 18g g
πθ < ≤
( ) ( )
18 18f g f g
π πθ θ ≤ ⋅
18
πθ = CP CH第 16 页 共 24 页
18.已知椭圆 : 的离心率 ,椭圆 的上、下顶点分
别为 , ,左、右顶点分别为 , ,左、右焦点分别为 , .原点到直线
的距离为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2) 是椭圆上异于 , 的任一点,直线 , ,分别交 轴于点 , ,
若直线 与过点 , 的圆 相切,切点为 ,证明:线段 的长为定值,并求
出该定值.
【答案】(1) ; (2)证明见解析;长度为定值 2
【解析】(1)根据题意,设 ,可得 ,求得 ,结合圆心到直线的
距离公式,列出方程,求得 ,进而求得椭圆的标准方程;
(2)设 ,求得直线 和 的方程,分别令 ,求得 ,得到圆
的圆心坐标,再结合圆的弦长公式和椭圆的方程,即可求解.
【详解】
(1)由题意,椭圆 : 的离心率 ,即
设 ,可得 ,则 ,
可得 ,
可得直线 方程为 ,即 ,
所以原点到直线 的距离为 ,解得 ,
所以 , ,椭圆方程为 .
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 3
2e = C
1A 2A 1B 2B 1F 2F 2 2A B
2 5
5
C
P 1A 2A 1PA 2PA x N M
OT M N G T OT
2
2 14
x y+ =
2a m= 3c m= b m=
1m =
( )0 0,P x y 1PA 2PA 0y = ,N Mx x
G
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 3
2e = 3
2
c
a
=
2a m= 3c m= 2 2b a c m= − =
1 2 1 2(0, ), (0, ), ( ,0), ( ,0)A b A b B a B a− −
2 2A B 0bx ay ab- - = 22 2 0mx my m− − =
2 2A B
2
2 2
2 2 5
54
m
m m
=
+ 1m =
2a = 1b =
2
2 14
x y+ =第 17 页 共 24 页
(2)由(1)可知 , ,设 ,
直线 : ,令 ,得 ;
直线 : ,令 ,得 ;
设圆 的圆心为 ,
则 ,
,
所以 ,
而 ,所以 ,
代入可得 ,即 ,即线段 的长度为定值 2.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质的应用,以及直线与圆的位置关系的应用,
其中解答中熟记椭圆的标准方程,以及合理应用直线与圆的位置关系是解答的关键,着
重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
19.已知函数 ,函数 ,函数
(1)当函数 在 时为减函数,求 a 的范围;
(2)若 a=e(e 为自然对数的底数);
①求函数 g(x)的单调区间;
②证明:
【答案】(1) .(2)①单调増区间为 单调减区间为 ;②证明见
解析.
【解析】试题分析:(1)题意转化为 在 上恒成立;(2)
( )1 0,1A ( )2 0, 1A − ( )0 0,P x y
1PA 0
0
11 yy xx
−− = 0y = 0
0 1N
xx y
= − −
2PA 0
0
11 yy xx
++ = 0y = 0
0 1M
xx y
= +
G 0 0
0 0
1 ( ),2 1 1
x x hy y
+ −
−
2
2 20 0 0
0 0 0
1
2 1 1 1
x x xr hy y y
= − − + + − +
2
20 0
0 0
1
4 1 1
x x hy y
= + + + −
2
2 20 0
0 0
1
4 1 1
x xOG hy y
= − + + −
2 2 2OT OG r= −
2 2
2 20 0 0 0
0 0 0 0
1 1
4 1 1 4 1 1
x x x xh hy y y y
= − + − + − + − + −
2
0
2
01
x
y
= −
2
20
0 14
x y+ = ( )2 2
0 04 1x y= −
2 4OT = 2OT = OT
2 31 2( ) 2 3f x x ax= − ( ) ( ) 2 ( 1)xg x f x e x= + −
( ) ( )g x g x′的导函数为
( )y f x= (1, )+∞区间
1
2a ≥ (0, );+∞ ( ,0).−∞
2'( ) 2 0f x x ax= − ≤ (1, )+∞第 18 页 共 24 页
,① ,则
,现在要讨论 (或 )的解,关
键是函数 ,同样我们用导数来研究 , ,当
时 , 为减函数,当 时 , 为增函数,所以对任意
, ,从而知当 时 ,当 , ;②
这一题比较特殊,要证不等式 ,即证 ,即证
,考虑到在①中已证明 的最小值为 1,那么下面我
们如果能求出 的最大值不大于 1(最多等于 1),命题即证.这同样利用导
数知识可证明.
试题解析:(1)因为函数 在 时为减函数,所以 .
.
因为 ,所以 , 即 .
①当 a=e 时,
所以 =
记 ,则 ,当
当 所以 >0.
所以在 ,在 ;
即 g(x)的单调増区间为 单调减区间为
②证明:由①得 欲证 ,
只需证
即证 .
记 ,则
当 , ,
a e= 2 31 2( ) 2 ( 1)2 3
xg x x ex e x= − + −
2'( ) 2 2 (1 2 2 )x xg x x ex xe x ex e= − + = − + '( ) 0g x > 0<
( ) 1 2 2 xh x ex e= − + ( )h x '( ) 2 2 xh x e e= − +
1x < '( ) 0h x < ( )h x 1x > '( ) 0h x > ( )h x
x R∈ ( ) (1) 1 0h x h≥ = > 0x < '( ) 0g x < 0x > '( ) 0g x >
(1 2 2 )xx ex e− + 1 ln x≥ +
1 ln1 2 2 x xex e x
+− + ≥ 1 2 2 xex e− +
( )y f x= (1, )+∞区间 ( ) 0f x′ ≤
2( ) 2 (1 2 ) 0f x x ax x ax= − = − ≤′
1x ≥ 1 2 0ax− ≤ 1
2a x
≥ 1
2a ≥
2( ) 2 2 xg x x ex xe′ = − + (1 2 2 )xx ex e− +
( ) 2 2 1xh x e ex= − + ( ) 2( )xh x e e′ = −
(1, ) ( ) 0, ( )x h x h x∈ +∞ >′时, 为增函数;
(- ,1) ( ) 0, ( )x h x h x∈ ′∞ ′+∞ 上, ( ,0) ( ) 0g x− ′∞ ( )p x 为增函数第 19 页 共 24 页
当 , .即
由①得 .所以 .
【考点】函数的单调性,函数的最值,不等式恒成立问题.
20.设数列 对任意 都有 (其中
、 、 是常数) .
(Ⅰ)当 , , 时,求 ;
(Ⅱ)当 , , 时,若 , ,求数列 的通项公式;
(Ⅲ)若数列 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭
数列”.当 , , 时,设 是数列 的前 项和, ,试问:
是否存在这样的“封闭数列”,使得对任意 ,都有 ,且
.若存在,求数列 的首项 的所有取值;若不存在,
说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) ;(Ⅱ)存在,
【解析】(Ⅰ)当 , , 时,由已知条件推导出 ,
,由此得到数列 是以首项为 1,公比为 3 的等比数列,从而能求出
;
(Ⅱ)当 , , ,由已知条件推导出 ,从而得
到数列 是等差数列,由此求出 ;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知数列 是等差数列, ,由此进行验证,求出数列
的首项 的所有取值.
【详解】
(Ⅰ)当 , , 时, ①,用
去换
得 ②,②-①得, ,即
(1, ), ( ) 0x p x+ ′∈ ∞ < ( )p x 为减函数 ( ) (1) 1p x p≤ =
( ) (1) 1h x h≥ =
{ }na *Nn∈ ( )( ) ( )1 1 22n nkn b a a p a a a+ + + = + + +
k b p
0k = 3b = 4p = − 1 2 na a a+ +⋅⋅⋅+
1k = 0b = 0p = 3 3a = 9 15a = { }na
{ }na
1k = 0b = 0p = nS { }na n 2 1 2a a− =
*Nn∈ 0nS ≠
1 2 3
1 1 1 1 1 112 nS S S S
< + + +⋅⋅⋅+ < { }na 1a
3 1
2
n − 2 3na n= − 1 {2,4,6,8,10}a ∈
0k = 3b = 4p = − 1 13( ) 2n n na a a+ +− =
1 3n na a+ = { }na
1 2 na a a+ +⋅⋅⋅+
1k = 0b = 0p = 2 12 0n n nna na na+ +− + =
{ }na 2 3na n= −
{ }na 1 2( 1)na a n= + −
{ }na 1a
0k = 3b = 4p = − 13( ) 4na a+ − = ( )1 22 na a a+ + + 1n +
n 1 13( ) 4na a ++ − = ( )1 2 12 na a a ++ + + 1 13( ) 2n n na a a+ +− =第 20 页 共 24 页
,
在①中令 得 ,故 是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,所以
,
从而 .
(Ⅱ)当 , , 时, ③,用 去换
得
④,④-③得, ⑤,
用
去换 得 ⑥,⑥-⑤得, ,即
,故 是等差数列,因为 , ,所以公差
,
故 .
(Ⅲ)由(Ⅱ)知 是等差数列,因 ,所以 ,假设存在
这样的“封闭数列”,
则对任意 ,必存在 ,使得 ,
所以 ,故 为偶数, ,又由已知,
,
所以 ,此时 ;当 时, ,
,所以
,
故
【点睛】
本题考查数列的前 n 项和的求法,考查数列的通项公式的求法,考查数列的首项的求法,
1 3n na a+ =
1n = 1 1a = { }na
1 1
1 3n n
na a q − −= =
1
1 2
1 (1 3 ) 3 11 3 3 1 3 2
n n
n
na a a −+ +⋅⋅⋅+ × − −= + + + = =−
1k = 0b = 0p = 1( )nn a a+ = ( )1 22 na a a+ + + 1n +
n
1 1( 1)( )nn a a ++ + = ( )1 2 12 na a a ++ + + 1 1( 1) 0n nn a na a+− − + =
1n + n 2 1 1( 1) 0n nna n a a+ +− + + = 2 12 0n n nna na na+ +− + =
2 12n n na a a+ ++ = { }na 3 3a = 9 15a =
9 3 29 3
a ad
−= =−
3 ( 3) 2 3na a n d n= + − = −
{ }na 2 1 2a a− = 1 2( 1)na a n= + −
*,m n∈N *t N∈ 1 2( 1)a m+ − + 1 2( 1)a n+ − = 1 2( 1)a t+ −
1 2( 1)a t m n= − − + 1a 1 {2,4,6,8,10}a ∈
1
1 1 112 S
< <
11 12a< < 1( 1)nS n n a= + − 11 12a< < 0nS ≠
1 1
1 1 1 1( )1 1nS a n n a
= −− + − 1 1 1 2 3
1 1 1 1 1 1
na S S S S S
= ≤ + + +⋅⋅⋅+
1 1 1
1 1 1(1 ) 11 1 1a n a a
= − < ≤− + − −
1 {2,4,6,8,10}a ∈第 21 页 共 24 页
解题时要认真审题,是一道中档题.
21.已知矩阵 .
(1)求矩阵 的特征值和特征向量;
(2)设 ,求 .
【答案】(1)答案不唯一,见解析 (2)
【解析】(1)令 ,求得 或 ,分类讨论,即可求
解;
(2)由(1)知 ,根据矩阵的运算性质,即可求解.
【详解】
(1)由题意,令 ,解得 或 ,
当 时,由 ,取 ,即 ,
当 时,由 ,取 ,即 .
(2)因为 ,所以 .
【点睛】
本题主要考查了矩阵的特征值和特征向量的计算,即矩阵的运算性质及应用,着重考查
了推理与运算能力.
22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),点 ,
.以直角坐标系 的原点 为极点, 轴正方向为极轴,且长度单位
相同,建立极坐标系.
(1)求直线 的极坐标方程;
(2)求直线 与曲线 的交点的极坐标.
1 0
0 1M
= −
M
2
3
β =
99M β
99 2
3M β = −
( ) 1 0 00 1f
λ
λλ −= =+ 1 1λ = 2 1λ = −
1 22 3β α α= +
( ) 1 0 ( 1)( 1) 00 1f
λ λ λλ λ
−= = − + =+ 1 1λ = 2 1λ = −
1 1λ = 0 0 0
0 2 0
x y
x y
⋅ + ⋅ =
⋅ + =
1
0
x
y
=
= 1
1
0
α =
2 1λ = − 2 0 0
0 0 0
x y
x y
− ⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ =
0
1
x
y
=
= 2
0
1
α
=
1 22 3β α α= + 99 99 99
1 2 1 21 2
22 3 2 3 3M λ α λ α αβ α = + = − = −
xOy C
x t
y t
= =
t (1 0)A ,
(3 3)B −, xOy O x
AB
AB C第 22 页 共 24 页
【答案】(1) ;(2) .
【解析】(1)由直角坐标与极坐标互换公式 ,可求得极坐标方程.(2)
由普通直线方程与抛物线方程组方程组,求得交点坐标,再转成极坐标.
【详解】
(1)直线 的直角坐标方程为:
所以直线 的极坐标方程为:
(2)曲线的普通方程为:
由 ,得 ,即交点的直角坐标为
从而交点的极坐标为:
【点睛】
本题考查了直角坐标方程与极坐标方程之间的互化,需要熟练掌握由直角坐标与极坐标
互换公式,并计算正确,本题较为基础.
23.过直线 上的动点 作抛物线 的两切线 , , , 为
切点.
(1)若切线 , 的斜率分别为 , ,求证: 为定值;
(2)求证:直线 过定点.
【答案】(1)证明见解析; (2)证明见解析
【解析】(1)设切线的直线方程为 ,联立方程组,根据 ,结果根
与系数的关系,即可求解;
(2)设切点坐标 , ,取得中点中点坐标为
,结合直线的点斜式方程,即可求解.
【详解】
3 cos 2 sin 3ρ θ ρ θ+ = 2 ,3 3
π
2 2 2
cos
sin
x
y
x y
ρ θ
ρ θ
ρ
=
=
+ =
AB 3 2 3 0x y+ − =
AB 3 cos 2 sin 3ρ θ ρ θ+ =
( )2 0y x y= ≥
( )2
3 2 3
0
x y
y x y
+ = = ≥
1
3
3
3
x
y
=
=
1 3,3 3
2 ,3 3
π
1y = − ( ), 1A a − 2y x= AP AQ P Q
AP AQ 1k 2k 1 2k k⋅
PQ
( )1y k x a+ = − 0∆ =
2
1 1,2 4
k kP
2
2 2,2 4
k kQ
2 2
1 2 1 2( )( , )4 8
k k k kM
+ +第 23 页 共 24 页
(1)设过 与抛物线 相切的直线方程为 ,
联立方程组 ,整理得 ,
因直线与抛物线相切,所以 ,即 ,
可得 为定值.
(2)设切点坐标为 ,即 , ,
可得 的中点坐标为 ,且斜率为 ,
所以 的方程为 ,即 ,
由(1)知 ,所以直线 的方程为 ,
可得直线 过定点 .
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,以及直线过定点问题的求解,其中解答中联
立方程组,合理应用一元二次方程性质,以及直线方程的形式求解是解答的关键,着重
考查了推理与运算能力.
24.对有 个元素的总体 进行抽样,先将总体分成两个子总体
和 ( 是给定的正整数,且 ),再从每
个子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本.用 表示元素 和 同时出现在样本中的概
率.
(1)求 的表达式(用 , 表示);
(2)求所有 的和.
【答案】(1) ;(2)6
【解析】(1)根据组合数的公式,以及古典概型的概率计算公式和相互独立事件的概率
计算公式,即可求解;
(2)当 都在 中时求得 的和为 1,当 同时在 中
( ), 1A a − 2y x= ( )1y k x a+ = −
( )
2
1y k x a
y x
+ = −
=
2 1 0x kx ak− + + =
2 4( 1) 0k ak∆ = − + = 2 4 4 0k ak− − =
1 2 4k k = −
2
,2 4
k k
2
1 1,2 4
k kP
2
2 2,2 4
k kQ
PQ
2 2
1 2 1 2( )( , )4 8
k k k kM
+ + 1 2
2
k kk
+=
PQ
2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( )8 2 4
k k k k k ky x
+ + +− = − 1 2 1 2
2 4
k k k ky x
+= −
1 2 4k k = − PQ 1 2 12
k ky x
+= +
PQ ( )0,1
( )4n n ≥ { }1,2,3, ,n⋅⋅⋅
{ }1,2,3, ,m⋅⋅⋅ { }1, 2, ,m m n+ + ⋅⋅⋅ m 2 2m n≤ ≤ −
ijP i j
1nP m n
( )1ijP i j n≤ < ≤
( )1
4
nP m n m
= −
,i j { }1,2, ,m⋅⋅⋅ ijP ,i j { }1, 2, ,m m n+ + ⋅⋅⋅第 24 页 共 24 页
时,求得 的和为 1,当 在 中, 在 中时得到 的和
为 4,即可求解.
【详解】
(1)由题意,从 和 个式子中随机抽取 2 个,分别有 和 个基本事件,
所以 的表达式为 .
(2)当 都在 中时,可得 ,
而从 中选两个数的不同方法数为 ,则 的和为 1;
当 同时在 中时,同理可得 的和为 1;
当 在 中, 在 中时, ,
而从 中选取一个数,从 中选一个数的不同方法数为
,
则 的和为 4,所以所有 的和为 .
【点睛】
本题主要考查了组合数公式的应用,以及概率的综合应用,其中解答中认真审题,根据
题意,结合组合数公式和古典概型的概率计算公式,以及独立事件的概率计算公式求解
是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.
ijP i { }1,2, ,m⋅⋅⋅ j { }1, 2, ,m m n+ + ⋅⋅⋅ ijP
m m m− 2
mC 2
n mC −
1nP ( )1 2 2
1 1 4
n
m n m
m n mP C C m n m−
− − −= ⋅ = −
,i j { }1,2, ,m⋅⋅⋅ 2
1
ij
m
P C
=
{ }1,2, ,m⋅⋅⋅ 2
mC ijP
,i j { }1, 2, ,m m n+ + ⋅⋅⋅ ijP
i { }1,2, ,m⋅⋅⋅ j { }1, 2, ,m m n+ + ⋅⋅⋅ ( )
4
ijP m n m
= −
{ }1,2, ,m⋅⋅⋅ { }1, 2, ,m m n+ + ⋅⋅⋅
( )m n m−
ijP ijP 1 1 4 6+ + =