2020届江苏省合作联盟学校高三下学期阶段性调研测试数学试题（解析版）

第 1 页 共 24 页 2020 届江苏省合作联盟学校高三下学期阶段性调研测试数学 试题 一、填空题 1．满足 的复数 在复平面上对应的点构成的图形的面积为_______. 【答案】 【解析】由复数的几何意义，可得 ，表示外径为 ，内径为 1 的圆 环，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】 由题意，设 ， 因为 ，可得 ，即 ， 所以 表示外径为 ，内径为 1 的圆环， 其中圆环的面积为 . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义的应用，其中解答中根据复数的结合 意义，求得图形的形状，结合圆的面积公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解 能力. 2．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元 件中寿命在 100~300 小时的电子元件的数量为 400，则寿命在 500~600 小时的电子元件 的数量为_______. 【答案】300 【解析】根据小矩形的面积等于这一组的频率，先求出电子元件的寿命在某时段的频率， 1 1 3z i≤ − + ≤ z 2π 1 1 3z i≤ − + ≤ 3 ( , )z x yi x y R= + ∈ 1 1 3z i≤ − + ≤ 1 ( 1) ( 1) 3x y i≤ − + + ≤ 2 21 ( 1) ( 1) 3x y≤ − + + ≤ 1 1 3z i≤ − + ≤ 3 2 2( 3) 1 2S π π π= × − × = 2π第 2 页 共 24 页 再乘以样本容量，即可求解. 【详解】 由题意，寿命在 100~300 小时的电子元件的频率为 ， 所以样本容量为 ， 从而寿命在 500~600 小时的电子元件的数量为 件. 故答案为：300. 【点睛】 本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记小矩形的面积等于这一组的频 率是解答的关键，着重考查了数据处理能力和运用意识. 3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 为____． 【答案】205 【解析】根据已知中的程序代码，得到本程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析各个变量的变化规律，可得答案. 【详解】 模拟程序语言，运行过程，可得 , 满足条件 ，执行循环体 ； 满足条件 ，执行循环体 ； 满足条件 ，执行循环体 ； 满足条件 ，执行循环体 ， 此时，不满足条件 ，退出循环，输出 S 的值为 ， 故答案为 205. 【点睛】 本题主要考查了程序语言的应用问题，其中解答中应模拟程序语言的运行过程，以便得 出输出的计算规律，从而得到计算的结果，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数 ， 作为点 的横、纵坐标，则点 在直线 1 3 1( ) 100200 200 5 + × = 1400 20005 ÷ = 32000 ( 100) 3002000 × × = S 1I = 100I < 3, 9I S= = 100I < 5, 13I S= =  100I < 99, 201I S= = 100I < 101, 2 101 3 205I S= = × + = 100I < 205 m n P P第 3 页 共 24 页 上方的概率为_______. 【答案】 【解析】连续掷两次骰子分别得到共有 36 个基本事件，再根据点 在直线 上方，利用列举法，求得基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公 式，即可求解. 【详解】 由题意，连续掷两次骰子分别得到的点数 ， ，共有 36 个基本事件， 其中点 在直线 上方，即满足不等式的 ， 有 ，共有 9 个基本事件， 所以概率为 . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，利用列举法求得所有 事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 5．若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥”，已知一黄金 圆锥的侧面积为 ，则这个圆锥的高为_______. 【答案】1 【解析】设出圆锥的底面半径和高、母线，由题设条件列出关系式，即可求得圆锥的高， 得到答案. 【详解】 设圆锥底面半径为 ，高为 ，母线为 ， 由圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，可得 ， 且圆锥的侧面积为 ，即 ，解得 . 故答案为：1. 【点睛】 本题主要考查了圆锥的几何结构特征，以及圆锥的侧面积公式的应用，着重考查了推理 与运算能力. 6．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ， ， 成等差数列， 2 1 0x y− − = 1 4 P 2 1 0x y− − = m n P 2 1 0x y− − = 2 1 0x y− − < (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,6) 9 1 36 4P = = 1 4 π r h l 2h l r= ⋅ 21 22S r l r l hπ π π= ⋅ = ⋅ = 2hπ π= 1h = ABC a b c A B C 2a 2b 2c第 4 页 共 24 页 则 的最小值为_______. 【答案】 【解析】利用等差数列的性质，结合基本不等式，即可求得 的最小值，得到答案. 【详解】 由题意，因为 ， ， 成等差数列，可得 ， 又由余弦定理可得 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 时， 的最小值为 . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查了余弦定理、等差数列的性质，以及基本不等式的综合应用，着重考查了 推理与运算能力. 7．已知函数 的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，其中 ， ，则 【答案】-6 【解析】分析：先利用导数求出曲线在点(ak，eak)处的切线，求出切线与横轴交点的横 坐标，得到数列递推式，看出数列是一个等差数列，从而求出所求． 解：∵y=ex，∴y′=ex， ∴y=ex 在点（ak，eak）处的切线方程是：y-eak=eak（x-ak）， 整理，得 eakx-y-akeak+eak=0， ∵切线与 x 轴交点的横坐标为 ak+1， ∴ak+1=ak-1， ∴{an}是首项为 a1=0，公差 d=-1 的等差数列， ∴a1+a3+a5=0-2-4=-6． 故答案为-6． 点评：本题主要考查了切线方程以及数列和函数的综合，本题解题的关键是写出数列递 推式，求出两个项之间的关系，得到数列是一个等差数列，属于中档题 8．关于 的不等式 的解集为 ，则关于 的不等式 cos B 1 2 cos B 2a 2b 2c 2 2 22b a c= + 2 2 2 2 2 2 2 1cos 2 2 2 a c b b bB ac ac a c + −= = ≥ =+ a c= a c= cos B 1 2 1 2 xy e= ( , )ka ka e x 1ka + *k ∈N 1 0a = 1 3 5a a a+ + = x 2 0ax bx c+ + > ( )1,2− x第 5 页 共 24 页 的解集为_______. 【答案】 【解析】由不等式的解集，根据根与系数的关系，求得 ，且 ，进 而把不等式 转化为 ，即可求解. 【详解】 由题意，关于 的不等式 的解集为 ， 即 是一元二次方程 的两根， 可得 解得 ，且 ， 则关于 的不等式 可化为 ，即 ， 即 ，解得 ， 所以不等式的解集为 . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查了一元二次不等式的解法，三个二次式的关系，以及分式不等式的求解， 着重考查了推理与运算能力. 9．记 Sk＝1k+2k+3k+……+nk，当 k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S1 n2 n，S2 n3 n2 n，S3 n4 n3 n2，……S5＝An6 n5 n4+Bn2，… 可以推测，A﹣B＝_____． 【答案】 【解析】观察知各等式右边各项的系数和为 1，最高次项的系数为该项次数的倒数，据 此计算得到答案. 【详解】 根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为 1， 2a b c bxx + + > ( ),0−∞ , 2b a c a= − = − 0a < 2a b c bxx + + > 2 2 1 0x x x − + < x 2 0ax bx c+ + > ( )1,2− 1,2− 2 0ax bx c+ + = 1 2 1 2 0 b a c a a − = − +  = − ×  2a a axx − > − 1 2 xx − < − 2 22 1 ( 1) 0x x x x x − + −= < 0x < ( ),0−∞ ( ),0−∞ 1 2 = 1 2 + 1 3 = 1 2 + 1 6 + 1 4 = 1 2 + 1 4 + 1 2 + 5 12 + 1 4第 6 页 共 24 页 最高次项的系数为该项次数的倒数， ∴A ，A 1，解得 B ，所以 A﹣B ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力. 10．设 为 图象 上任意一点， 为 在点 处的切线，则坐标原点 到 距离的最小值为_______. 【答案】2 【解析】设出切点 P 的坐标，由导数求得 C 在点 P 处的切线方程，利用点到直线的距 离公式写出坐标原点 到直线 的距离，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由题意，设点 ， 由函数 ，可得 ，所以 ， 所以曲线 C 在点 P 处的切线方程为 ， 整理得切线 的方程为 ， 又由坐标原点 到直线 的距离 ，当且仅当 时，即 时等号成立， 所以坐标原点 到直线 的最小值为 2. 故答案为：2. 【点睛】 本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及点到直线的距离公式和基 本不等式的综合应用，着重考查了推理与运算能力. 11．已知函数 ，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得 f（x1）=f（x2） 成立，则实数 a 的取值范围是 ______ ． 【答案】（-∞，1）∪（2，+∞） 【解析】分类讨论 ， ， 三种情况，结合题意可知函数不单调，继而 求解出结果. 1 6 = 1 5 2 12 B+ + + = 1 12 = − 1 1 1 6 12 4 = + = 1 4 P 21 24y x= − C l C P O l O l 2 0 0 1( , 2)4P x x − 21 24y x= − 1 2y x′ = 0 0 1| 2x xy x=′ = 2 0 0 0 1 12 ( )4 2y x x x x− + = − l 2 0 02 4 8 0x x y x− − − = O l 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 8 8 4 41 1 2 24 16 4 4 x x xd x x x − − + + += = ⋅ = ⋅ + + + 2 0 2 0 1 4( 4 ) 22 4 x x = + + ≥ + 2 0 2 0 44 4 x x + + + 0 0x = O l ( ) 2 2 1 1 1 x ax xf x ax x − + ≤=  + ， ， ＞ 0a = 0a < 0a >第 7 页 共 24 页 【详解】 若∃x1,x2∈R,x1≠x2,使得 f(x1)=f(x2)成立,则说明 f(x)在 R 上不单调． ①当 a=0 时, ，其图象如图所示，满足题意 ②当 a0,其图象如图所示,要使得 f(x)在 R 上不单调 则只要二次函数的对称轴 x=a × + 第 8 页 共 24 页 12．直线 与圆心为 的圆 交于 ， 两点，直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，则 ______. 【答案】 【解析】由三角形的外角与不相邻的内角的关系，得到 ， 再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系，化简整理得到 ，再利用正切 的倍角公式，即可求解. 【详解】 设直线 的倾斜角为 ，可得 ， 由三角形的外角与不相邻的内角的关系，可得 ， 由圆的性质可知，直线 过圆心， 是等腰三角形， 所以 ，所以 ，可得 ， 所以 . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查了圆的方程，直线的方程及直线的倾斜角，正切的倍角公式，以及直线与 圆的位置关系的综合应用，着重考查了推理与运算能力. 13．在平面直角坐标系 xOy 中，直角三角形 ABC 的三个顶点都在椭圆 上，其中 A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为 3 2y x= + D ( ) ( )221 3 1x y− + − = A B AD BD α β ( )tan α β+ = 3 4 − ,DAB ABDα γ γ β∠ = − ∠ = − 2α β γ+ = 3 2y x= + γ tan 3γ = ,DAB ABDα γ γ β∠ = − ∠ = − ,AD BD ABD∆ DAB ABD∠ = ∠ α γ γ β− = − 2α β γ+ = 2 2 3 3tan( ) tan 2 1 3 4 α β γ ×+ = = = −− 3 4 − ( )2 2 2 1 1x y aa + = ＞第 9 页 共 24 页 ，则实数 a 的值为_____． 【答案】3 【解析】设直线 AB 的方程为 y＝kx+1，则直线 AC 的方程可设为 y x+1，（k≠0）， 联立方程得到 B（ ， ），故 S ，令 t ， 得 S ，利用均值不等式得到答案. 【详解】 设直线 AB 的方程为 y＝kx+1，则直线 AC 的方程可设为 y x+1，（k≠0） 由 消去 y，得（1+a2k2）x2+2a2kx＝0，所以 x＝0 或 x ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（ ，k• 1），即 B（ ， ）， 因此 AB • ， 同理可得：AC • . ∴Rt△ABC 的面积为 S AB•AC • 令 t ，得 S . 27 8 1 k = − 2 2 2 2 1 a k a k − + 2 2 2 2 1 1 a k a k − + 4 4 2 2 2 12 11 a k k a a k k + =  + + +   1k k = + 4 2 2 2 2 ( 1) a a a tt = − + 1 k = − 2 2 2 1 1 y kx x ya = + + = 2 2 2 2 1 a k a k −= + 2 2 2 2 1 a k a k − + 2 2 2 2 1 a k a k − ++ 2 2 2 2 1 a k a k − + 2 2 2 2 1 1 a k a k − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1(0 ) (1 ) 11 1 a k a k ka k a k − −= − + − = ++ + 2 2 2 2 1 a k a k+ 2 11 k = + 2 2 2 2 1 a k a k + 1 2 = 2 2 12 k k = + + 4 4 4 2 2 4 2 2 2 2 122 1 11 1 a ka k a a k a a kk k + =   + + + + + +       1k k = + ( ) 4 4 2 24 2 2 2 2 2 ( 1)1 2 a t a aa a t a tt = = −+ + − +第 10 页 共 24 页 ∵t 2，∴S△ABC . 当且仅当 ，即 t 时，△ABC 的面积 S 有最大值为 . 解之得 a＝3 或 a . ∵a 时，t 2 不符合题意，∴a＝3. 故答案为：3. 【点睛】 本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14．若 ， ，则 ______. 【答案】 【解析】由 和 的地位上相同，同时 和 的地位上也相同，分 类讨论，即可求解. 【详解】 由题意知， 和 的地位上相同，类似的： 和 的地位上也相同， （1）若 最大，设 ， 要使得 最小，则其余的数尽可能的大，其中 最大取 ，此时 ， 剩下 也要尽可能大，取 ，则 ， 1k k = + ≥ 4 4 22 2 2 2 ( 1)( 1)2 a a a aa a tt ≤ = −− × 2 1a a t t − = 2 1a a −= 4 2 27 ( 1) 8 a a a =− 3 297 16 += 3 297 16 += 2 1a a −= ＜ ( )0 1,2,3,4,5ix i≥ = 5 1 1i i x = =∑ { }{ }1 2 2 3 3 4 4 5min max , , ,x x x x x x x x+ + + + = 1 3 1 2x x+ 4 5x x+ 2 3x x+ 3 4x x+ 1 2x x+ 4 5x x+ 2 3x x+ 3 4x x+ 2 3x x+ 2 3x x a+ = a 1 2x x+ a 1 3x x= 4 5x x+ 4 5x x a+ = 3 1a x a+ + =第 11 页 共 24 页 因为 ，要使得 尽可能大，则 ， 此时 ，解得 ； （2）若 最大，设 ， 与（1）中类似， 时， 最小， 同样 ，要使得 最小，则 最大，此时 ， 可得 ，解得 . 综上可得 . 故答案为： . 【点睛】 本题主要考查了多项式的和的应用，以及不等式和函数的最值问题，着重考查了分类讨 论，转化与回归思想，以及推理与运算能力. 二、解答题 15．如图甲，在平面四边形 中，已知 ， ， ， ，现将四边形 沿 折起，使平面 平面 （如图乙），设 点 、 分别为棱 、 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）设 ，求三棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】（1）先推得 ，再利用面面垂直的性质，证得 底面 ，得 到 ， 最后利用线面垂直的判定定理，即可证得 平面 . （2）由（1）知，证得 平面 ，得到 ，再结 2 3x x a+ = 3x 3 2, 0x a x= = 1a a a+ + = 1 3a = 1 2x x+ 1 2x x a+ = 3 1 4 5,x x x x a= + = a 12 1a x+ = a 1x 1 2, 0x a x= = 2 1a a+ = 1 3a = { }{ }1 2 2 3 3 4 4 5 1min max , , , 3x x x x x x x x+ + + + = 1 3 ABCD 45A∠ = ° 90C∠ = ° 105ADC∠ = ° AB BD= ABCD BD ABD ⊥ BDC E F AC AD DC ⊥ ABC CD a= A BFE− 33 12 a AB BD⊥ AB ⊥ BDC AB CD⊥ DC ⊥ ABC EF ⊥ ABC 1 3A BFE F AEB AEBV V S FE− −= = ⋅△第 12 页 共 24 页 合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】 （1）由题意，图甲中，因为 且 ， 所以 ， ，即 ， 在图乙中，因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 所以 底面 ， 又由 底面 ，所以 ， 又 ，所以 ，且 ， 所以 平面 . （2）因为 、 分别为 、 的中点，所以 ， 又由（1）知， 平面 ， 可得 平面 ，所以 ， 在图甲中，因为 ，所以 ， ， 由 ，得 ， ， ， 所以 ，可得 ， 所以 . 【点睛】 本题主要考查了直线与平面垂直的判定及证明，以及三棱锥的体积的计算，其中解答熟 练应用几何体的结构特征，熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，着 重考查了推理与计算能力. 16．已知函数 （其中 ， ， ）的 图象与 轴的相邻两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最高点为 . AB BD= 45A∠ = ° 45ADB∠ = ° 90ABC∠ = ° AB BD⊥ ABD ⊥ BDC ABD ∩ BDC BD= AB ⊥ BDC CD ⊂ BDC AB CD⊥ 90DCB∠ = ° DC BC⊥ AB BC B∩ = DC ⊥ ABC E F AC AD / /EF CD DC ⊥ ABC EF ⊥ ABC 1 3A BFE F AEB AEBV V S FE− −= = ⋅△ 105ADC∠ = ° 60BDC∠ = ° 30DBC∠ = ° CD a= 2BD a= BC 3a= 1 1 2 2EF CD a= = 21 1 2 3 32 2ABCS AB BC a a a= ⋅ = ⋅ ⋅ =△ 23 2AEBS a=△ 2 31 1 3 1 3 3 3 2 2 12A BFE AEBV S h a a a− = ⋅ = ⋅ ⋅ =△ ( ) ( )( )sinf x A x x Rω ϕ= + ∈ 0A > 0>ω 0 2 πϕ< < x 2 π 2 , 23M π −  第 13 页 共 24 页 （1）求 的解析式； （2）当 时，求 的最大值及相应的 的值. 【答案】（1） （2） 的最大值为 2，此时 【解析】（1）由题意，求得 ， ，得到 ，将 代入求得 ，即可得到函数的解析式； （2）由 ，得到 ，结合三角函数的图象与性质，即可求 解. 【详解】 （1）由题意，函数 图象上一个最高点为 ，可得 ， 又由函数 图象与 轴的相邻两个交点之间的距离为 ，即 ，可得 ， 此时函数 ， 将 代入上式，得 ，即 ， 因为 ，可得 ，所以 . （2）因为 ，则 ， 所以当且仅当 ，即 时， ，则 ， 即 时，函数 的最大值为 2. 【点睛】 本题主要考查了三角函数解析式的求解，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中 解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能 力. 17．如图，某校打算在长为 1 千米的主干道 一侧的一片区域内临时搭建一个强基计 ( )f x ,12 2x π π ∈   ( )f x x ( ) 2sin 2 6f x x π = +   ( )f x 6x π= 2A = 2ω = ( ) ( )2sin 2f x x ϕ= + 2 , 23M π −   6 π=ϕ ,12 2x π π ∈   723 6 6x π π π≤ + ≤ ( )f x 2( , 2)3M π − 2A = ( )f x x 2 π 2T π πω= = 2ω = ( ) ( )2sin 2f x x ϕ= + 2 , 23M π −   42 2sin 3 π ϕ − = +   4sin 13 π ϕ + = −   0 2 πϕ< < 6 π=ϕ ( ) 2sin 2 6f x x π = +   ,12 2x π π ∈   723 6 6x π π π≤ + ≤ 2 6 2x π π+ = 6x π= sin 2 16x π + =   2sin 2 26x π + =   6x π= ( )f x AB第 14 页 共 24 页 划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域 （ 为直角）和以 为直 径的半圆形区域组成，点 （异于 ， ）为半圆弧上一点，点 在线段 上，且 满足 .已知 ，设 ，且 .初步设想把咨询 台安排在线段 ， 上，把宣传海报悬挂在弧 和线段 上. （1）若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省内高校参展，打算让 最大，求该最大值； （2）若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧 和线段 的长度之和最大，求此时的 的值. 【答案】（1） ； （2） 【解析】（1）由题意，结合三角恒等变换的公式，求得 ，再利用三角函数的性质，即可求解； （2）由题意，取线段 的中点 ，连接 ，求得弧长 和线段 的长度之和 表达式 ，设 ， ，得到 ，结合导数求得函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】 （1）由题意，在 中，可得 ， 在 中，可得 ， 在 中，可得 ， 所以 ACB ACB∠ BC P B C H AB CH AB⊥ 60PBA∠ = ° ABC θ∠ = ,18 3 π πθ  ∈   CH CP CP CH CH CP+ CP CH θ 2 3 4 + 18 πθ = 1 3sin 22 3 4CH CP πθ = + +   + BC O OP CP CH cos sin3y πθ θ θ − + =  ( ) sin3f πθ θ θ= − + ( ) cosg θ θ= ( ) ( )y f gθ θ= Rt ACB 1 cos cosBC θ θ= × = Rt CBH△ cos sin sin cosCH θ θ θ θ= × = Rt CBP cos sin 3CP πθ θ = −   sin cos cos sin 3CH CP πθ θ θ θ + = + −   3 1sin cos cos cos sin2 2 θ θ θ θ θ = + −   第 15 页 共 24 页 . 因为 ，则 ， 所以当且仅当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 千米. （2）取线段 的中点 ，连接 ，则 . 由（1）知， ， 故 的长为 ， 则 和线段 的长度之和 ， . 设 ， ， ， ， 则 ， 因为 ， ，所以 ， 故函数 在区间 上单调递减，故 . 易知函数 在区间 上也单调递减，所以 ， 所以 ， 所以当且仅当 时， 和线段 的长度之和最大. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的实际应用问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值的应 用，其中解答中认真审题，根据题意求得函数的解析式，结合三角函数的性质和导数的 运算求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 21 3sin cos cos2 2 θ θ θ= + 1 3 1 cos2sin 24 2 2 θθ += + × 1 3sin 22 3 4 πθ = + +   ,18 3 π πθ  ∈   4 29 3 π πθ π≤ + < 2 3 2 π πθ + = 12 πθ = CH CP+ 2 3 4 + BC O OP 22 2 23 3COP CBP π πθ θ ∠ = ∠ = − = −   1 1 cos2 2CO BC θ= = sin cosCH θ θ= CP 1 2cos 2 cos cos2 3 3 π πθ θ θ θ θ ⋅ − = −   CP CH cos cos sin cos3y π θ θ θ θ θ= − + cos sin3 πθ θ θ − +   = ,18 3 π πθ  ∈   ( ) sin3f πθ θ θ= − + ,18 3 π πθ  ∈   ( ) cosg θ θ= ,18 3 π πθ  ∈   ( ) ( )y f gθ θ= ( )' 1 cosf θ θ= − + ,18 3 π πθ  ∈   ( )' 1 cos 0f θ θ= − + < ( )f θ ,18 3 π π    3 ( )2 18x f f πθ  < ≤    ( )g θ ,18 3 π π    ( )1 2 18g g πθ  < ≤    ( ) ( ) 18 18f g f g π πθ θ    ≤ ⋅       18 πθ = CP CH第 16 页 共 24 页 18．已知椭圆 ： 的离心率 ，椭圆 的上、下顶点分 别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分别为 ， .原点到直线 的距离为 . （1）求椭圆 的方程； （2） 是椭圆上异于 ， 的任一点，直线 ， ，分别交 轴于点 ， ， 若直线 与过点 ， 的圆 相切，切点为 ，证明：线段 的长为定值，并求 出该定值. 【答案】（1） ； （2）证明见解析；长度为定值 2 【解析】（1）根据题意，设 ，可得 ，求得 ，结合圆心到直线的 距离公式，列出方程，求得 ，进而求得椭圆的标准方程； （2）设 ，求得直线 和 的方程，分别令 ，求得 ，得到圆 的圆心坐标，再结合圆的弦长公式和椭圆的方程，即可求解. 【详解】 （1）由题意，椭圆 ： 的离心率 ，即 设 ，可得 ，则 ， 可得 ， 可得直线 方程为 ，即 ， 所以原点到直线 的距离为 ，解得 ， 所以 ， ，椭圆方程为 . C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 3 2e = C 1A 2A 1B 2B 1F 2F 2 2A B 2 5 5 C P 1A 2A 1PA 2PA x N M OT M N G T OT 2 2 14 x y+ = 2a m= 3c m= b m= 1m = ( )0 0,P x y 1PA 2PA 0y = ,N Mx x G C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 3 2e = 3 2 c a = 2a m= 3c m= 2 2b a c m= − = 1 2 1 2(0, ), (0, ), ( ,0), ( ,0)A b A b B a B a− − 2 2A B 0bx ay ab- - = 22 2 0mx my m− − = 2 2A B 2 2 2 2 2 5 54 m m m = + 1m = 2a = 1b = 2 2 14 x y+ =第 17 页 共 24 页 （2）由（1）可知 ， ，设 ， 直线 ： ，令 ，得 ； 直线 ： ，令 ，得 ； 设圆 的圆心为 ， 则 ， ， 所以 ， 而 ，所以 ， 代入可得 ，即 ，即线段 的长度为定值 2. 【点睛】 本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质的应用，以及直线与圆的位置关系的应用， 其中解答中熟记椭圆的标准方程，以及合理应用直线与圆的位置关系是解答的关键，着 重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 19．已知函数 ，函数 ，函数 （1）当函数 在 时为减函数，求 a 的范围； （2）若 a=e(e 为自然对数的底数）； ①求函数 g(x)的单调区间； ②证明： 【答案】（1） .（2）①单调増区间为 单调减区间为 ；②证明见 解析. 【解析】试题分析：（1）题意转化为 在 上恒成立；（2） ( )1 0,1A ( )2 0, 1A − ( )0 0,P x y 1PA 0 0 11 yy xx −− = 0y = 0 0 1N xx y = − − 2PA 0 0 11 yy xx ++ = 0y = 0 0 1M xx y = + G 0 0 0 0 1 ( ),2 1 1 x x hy y      + −  − 2 2 20 0 0 0 0 0 1 2 1 1 1 x x xr hy y y   = − − +  + − +   2 20 0 0 0 1 4 1 1 x x hy y  = + + + −  2 2 20 0 0 0 1 4 1 1 x xOG hy y  = − + + −  2 2 2OT OG r= − 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 1 1 4 1 1 4 1 1 x x x xh hy y y y    = − + − + −   + − + −    2 0 2 01 x y = − 2 20 0 14 x y+ = ( )2 2 0 04 1x y= − 2 4OT = 2OT = OT 2 31 2( ) 2 3f x x ax= − ( ) ( ) 2 ( 1)xg x f x e x= + − ( ) ( )g x g x′的导函数为 ( )y f x= (1, )+∞区间 1 2a ≥ (0, );+∞ ( ,0).−∞ 2'( ) 2 0f x x ax= − ≤ (1, )+∞第 18 页 共 24 页 ，① ，则 ，现在要讨论 （或 ）的解，关 键是函数 ，同样我们用导数来研究 ， ，当 时 ， 为减函数，当 时 ， 为增函数，所以对任意 ， ，从而知当 时 ，当 ， ；② 这一题比较特殊，要证不等式 ，即证 ，即证 ，考虑到在①中已证明 的最小值为 1，那么下面我 们如果能求出 的最大值不大于 1（最多等于 1），命题即证.这同样利用导 数知识可证明. 试题解析：（1）因为函数 在 时为减函数，所以 . . 因为 ,所以 , 即 . ①当 a=e 时， 所以 = 记 ，则 ，当 当 所以 >0. 所以在 ,在 ； 即 g(x)的单调増区间为 单调减区间为 ②证明：由①得 欲证 ， 只需证 即证 . 记 ，则 当 ， ， a e= 2 31 2( ) 2 ( 1)2 3 xg x x ex e x= − + − 2'( ) 2 2 (1 2 2 )x xg x x ex xe x ex e= − + = − + '( ) 0g x > 0< ( ) 1 2 2 xh x ex e= − + ( )h x '( ) 2 2 xh x e e= − + 1x < '( ) 0h x < ( )h x 1x > '( ) 0h x > ( )h x x R∈ ( ) (1) 1 0h x h≥ = > 0x < '( ) 0g x < 0x > '( ) 0g x > (1 2 2 )xx ex e− + 1 ln x≥ + 1 ln1 2 2 x xex e x +− + ≥ 1 2 2 xex e− + ( )y f x= (1, )+∞区间 ( ) 0f x′ ≤ 2( ) 2 (1 2 ) 0f x x ax x ax= − = − ≤′ 1x ≥ 1 2 0ax− ≤ 1 2a x ≥ 1 2a ≥ 2( ) 2 2 xg x x ex xe′ = − + (1 2 2 )xx ex e− + ( ) 2 2 1xh x e ex= − + ( ) 2( )xh x e e′ = − (1, ) ( ) 0, ( )x h x h x∈ +∞ >′时， 为增函数； (- ,1) ( ) 0, ( )x h x h x∈ ′∞ ′+∞ 上， ( ,0) ( ) 0g x− ′∞ ( )p x 为增函数第 19 页 共 24 页 当 ， ．即 由①得 .所以 . 【考点】函数的单调性，函数的最值，不等式恒成立问题. 20．设数列 对任意 都有 （其中 、 、 是常数） . （Ⅰ）当 ， ， 时，求 ； （Ⅱ）当 ， ， 时，若 ， ，求数列 的通项公式； （Ⅲ）若数列 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭 数列”.当 ， ， 时，设 是数列 的前 项和， ，试问： 是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意 ，都有 ，且 .若存在，求数列 的首项 的所有取值；若不存在， 说明理由. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅱ）存在， 【解析】（Ⅰ）当 ， ， 时，由已知条件推导出 ， ，由此得到数列 是以首项为 1，公比为 3 的等比数列，从而能求出 ； （Ⅱ）当 ， ， ，由已知条件推导出 ，从而得 到数列 是等差数列，由此求出 ； （Ⅲ）由（Ⅱ）知数列 是等差数列， ，由此进行验证，求出数列 的首项 的所有取值. 【详解】 （Ⅰ）当 ， ， 时， ①，用 去换 得 ②，②-①得， ，即 (1, ), ( ) 0x p x+ ′∈ ∞ < ( )p x 为减函数 ( ) (1) 1p x p≤ = ( ) (1) 1h x h≥ = { }na *Nn∈ ( )( ) ( )1 1 22n nkn b a a p a a a+ + + = + + + k b p 0k = 3b = 4p = − 1 2 na a a+ +⋅⋅⋅+ 1k = 0b = 0p = 3 3a = 9 15a = { }na { }na 1k = 0b = 0p = nS { }na n 2 1 2a a− = *Nn∈ 0nS ≠ 1 2 3 1 1 1 1 1 112 nS S S S < + + +⋅⋅⋅+ < { }na 1a 3 1 2 n − 2 3na n= − 1 {2,4,6,8,10}a ∈ 0k = 3b = 4p = − 1 13( ) 2n n na a a+ +− = 1 3n na a+ = { }na 1 2 na a a+ +⋅⋅⋅+ 1k = 0b = 0p = 2 12 0n n nna na na+ +− + = { }na 2 3na n= − { }na 1 2( 1)na a n= + − { }na 1a 0k = 3b = 4p = − 13( ) 4na a+ − = ( )1 22 na a a+ + + 1n + n 1 13( ) 4na a ++ − = ( )1 2 12 na a a ++ + + 1 13( ) 2n n na a a+ +− =第 20 页 共 24 页 ， 在①中令 得 ，故 是以 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以 ， 从而 . （Ⅱ）当 ， ， 时， ③，用 去换 得 ④，④-③得， ⑤， 用 去换 得 ⑥，⑥-⑤得， ，即 ，故 是等差数列，因为 ， ，所以公差 ， 故 . （Ⅲ）由（Ⅱ）知 是等差数列，因 ，所以 ，假设存在 这样的“封闭数列”， 则对任意 ，必存在 ，使得 ， 所以 ，故 为偶数， ，又由已知， ， 所以 ，此时 ；当 时， ， ，所以 ， 故 【点睛】 本题考查数列的前 n 项和的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列的首项的求法， 1 3n na a+ = 1n = 1 1a = { }na 1 1 1 3n n na a q − −= = 1 1 2 1 (1 3 ) 3 11 3 3 1 3 2 n n n na a a −+ +⋅⋅⋅+ × − −= + + + = =− 1k = 0b = 0p = 1( )nn a a+ = ( )1 22 na a a+ + + 1n + n 1 1( 1)( )nn a a ++ + = ( )1 2 12 na a a ++ + + 1 1( 1) 0n nn a na a+− − + = 1n + n 2 1 1( 1) 0n nna n a a+ +− + + = 2 12 0n n nna na na+ +− + = 2 12n n na a a+ ++ = { }na 3 3a = 9 15a = 9 3 29 3 a ad −= =− 3 ( 3) 2 3na a n d n= + − = − { }na 2 1 2a a− = 1 2( 1)na a n= + − *,m n∈N *t N∈ 1 2( 1)a m+ − + 1 2( 1)a n+ − = 1 2( 1)a t+ − 1 2( 1)a t m n= − − + 1a 1 {2,4,6,8,10}a ∈ 1 1 1 112 S < < 11 12a< < 1( 1)nS n n a= + − 11 12a< < 0nS ≠ 1 1 1 1 1 1( )1 1nS a n n a = −− + − 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 na S S S S S = ≤ + + +⋅⋅⋅+ 1 1 1 1 1 1(1 ) 11 1 1a n a a = − < ≤− + − − 1 {2,4,6,8,10}a ∈第 21 页 共 24 页 解题时要认真审题，是一道中档题． 21．已知矩阵 . （1）求矩阵 的特征值和特征向量； （2）设 ，求 . 【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2） 【解析】（1）令 ，求得 或 ，分类讨论，即可求 解； （2）由（1）知 ，根据矩阵的运算性质，即可求解. 【详解】 （1）由题意，令 ，解得 或 ， 当 时，由 ，取 ，即 ， 当 时，由 ，取 ，即 . （2）因为 ，所以 . 【点睛】 本题主要考查了矩阵的特征值和特征向量的计算，即矩阵的运算性质及应用，着重考查 了推理与运算能力. 22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），点 ， ．以直角坐标系 的原点 为极点， 轴正方向为极轴，且长度单位 相同，建立极坐标系． (1)求直线 的极坐标方程； (2)求直线 与曲线 的交点的极坐标． 1 0 0 1M  =  −  M 2 3 β  =     99M β 99 2 3M β  =  −   ( ) 1 0 00 1f λ λλ −= =+ 1 1λ = 2 1λ = − 1 22 3β α α= +   ( ) 1 0 ( 1)( 1) 00 1f λ λ λλ λ −= = − + =+ 1 1λ = 2 1λ = − 1 1λ = 0 0 0 0 2 0 x y x y ⋅ + ⋅ =  ⋅ + = 1 0 x y =  = 1 1 0 α  =     2 1λ = − 2 0 0 0 0 0 x y x y − ⋅ + ⋅ =  ⋅ + ⋅ = 0 1 x y =  = 2 0 1 α     =   1 22 3β α α= +   99 99 99 1 2 1 21 2 22 3 2 3 3M λ α λ α αβ α  = + = − =  −      xOy C x t y t = = t (1 0)A ， (3 3)B −， xOy O x AB AB C第 22 页 共 24 页 【答案】(1) ；(2) . 【解析】（1）由直角坐标与极坐标互换公式 ，可求得极坐标方程．（2） 由普通直线方程与抛物线方程组方程组，求得交点坐标，再转成极坐标． 【详解】 (1)直线 的直角坐标方程为： 所以直线 的极坐标方程为： (2)曲线的普通方程为： 由 ，得 ，即交点的直角坐标为 从而交点的极坐标为： 【点睛】 本题考查了直角坐标方程与极坐标方程之间的互化，需要熟练掌握由直角坐标与极坐标 互换公式，并计算正确，本题较为基础. 23．过直线 上的动点 作抛物线 的两切线 ， ， ， 为 切点. （1）若切线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值； （2）求证：直线 过定点. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】（1）设切线的直线方程为 ，联立方程组，根据 ，结果根 与系数的关系，即可求解； （2）设切点坐标 ， ，取得中点中点坐标为 ，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】 3 cos 2 sin 3ρ θ ρ θ+ = 2 ,3 3 π     2 2 2 cos sin x y x y ρ θ ρ θ ρ =  =  + = AB 3 2 3 0x y+ − = AB 3 cos 2 sin 3ρ θ ρ θ+ = ( )2 0y x y= ≥ ( )2 3 2 3 0 x y y x y  + = = ≥ 1 3 3 3 x y  =  = 1 3,3 3       2 ,3 3 π     1y = − ( ), 1A a − 2y x= AP AQ P Q AP AQ 1k 2k 1 2k k⋅ PQ ( )1y k x a+ = − 0∆ = 2 1 1,2 4 k kP      2 2 2,2 4 k kQ      2 2 1 2 1 2( )( , )4 8 k k k kM + +第 23 页 共 24 页 （1）设过 与抛物线 相切的直线方程为 ， 联立方程组 ，整理得 ， 因直线与抛物线相切，所以 ，即 ， 可得 为定值. （2）设切点坐标为 ，即 ， ， 可得 的中点坐标为 ，且斜率为 ， 所以 的方程为 ，即 ， 由（1）知 ，所以直线 的方程为 ， 可得直线 过定点 . 【点睛】 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，以及直线过定点问题的求解，其中解答中联 立方程组，合理应用一元二次方程性质，以及直线方程的形式求解是解答的关键，着重 考查了推理与运算能力. 24．对有 个元素的总体 进行抽样，先将总体分成两个子总体 和 （ 是给定的正整数，且 ），再从每 个子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本.用 表示元素 和 同时出现在样本中的概 率. （1）求 的表达式（用 ， 表示）； （2）求所有 的和. 【答案】（1） ；（2）6 【解析】（1）根据组合数的公式，以及古典概型的概率计算公式和相互独立事件的概率 计算公式，即可求解； （2）当 都在 中时求得 的和为 1，当 同时在 中 ( ), 1A a − 2y x= ( )1y k x a+ = − ( ) 2 1y k x a y x  + = −  = 2 1 0x kx ak− + + = 2 4( 1) 0k ak∆ = − + = 2 4 4 0k ak− − = 1 2 4k k = − 2 ,2 4 k k     2 1 1,2 4 k kP      2 2 2,2 4 k kQ      PQ 2 2 1 2 1 2( )( , )4 8 k k k kM + + 1 2 2 k kk += PQ 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )8 2 4 k k k k k ky x + + +− = − 1 2 1 2 2 4 k k k ky x += − 1 2 4k k = − PQ 1 2 12 k ky x += + PQ ( )0,1 ( )4n n ≥ { }1,2,3, ,n⋅⋅⋅ { }1,2,3, ,m⋅⋅⋅ { }1, 2, ,m m n+ + ⋅⋅⋅ m 2 2m n≤ ≤ − ijP i j 1nP m n ( )1ijP i j n≤ < ≤ ( )1 4 nP m n m = − ,i j { }1,2, ,m⋅⋅⋅ ijP ,i j { }1, 2, ,m m n+ + ⋅⋅⋅第 24 页 共 24 页 时，求得 的和为 1，当 在 中， 在 中时得到 的和 为 4，即可求解. 【详解】 （1）由题意，从 和 个式子中随机抽取 2 个，分别有 和 个基本事件， 所以 的表达式为 . （2）当 都在 中时，可得 ， 而从 中选两个数的不同方法数为 ，则 的和为 1； 当 同时在 中时，同理可得 的和为 1； 当 在 中， 在 中时， ， 而从 中选取一个数，从 中选一个数的不同方法数为 ， 则 的和为 4，所以所有 的和为 . 【点睛】 本题主要考查了组合数公式的应用，以及概率的综合应用，其中解答中认真审题，根据 题意，结合组合数公式和古典概型的概率计算公式，以及独立事件的概率计算公式求解 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. ijP i { }1,2, ,m⋅⋅⋅ j { }1, 2, ,m m n+ + ⋅⋅⋅ ijP m m m− 2 mC 2 n mC − 1nP ( )1 2 2 1 1 4 n m n m m n mP C C m n m− − − −= ⋅ = − ,i j { }1,2, ,m⋅⋅⋅ 2 1 ij m P C = { }1,2, ,m⋅⋅⋅ 2 mC ijP ,i j { }1, 2, ,m m n+ + ⋅⋅⋅ ijP i { }1,2, ,m⋅⋅⋅ j { }1, 2, ,m m n+ + ⋅⋅⋅ ( ) 4 ijP m n m = − { }1,2, ,m⋅⋅⋅ { }1, 2, ,m m n+ + ⋅⋅⋅ ( )m n m− ijP ijP 1 1 4 6+ + =