2020届湖北省荆门市高三下学期4月模拟考试数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 21 页 2020 届湖北省荆门市高三下学期 4 月模拟考试数学（文）试 题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据集合的基本运算求 即可. 【详解】 , .则 ,故 故选：B. 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算,所以基础题. 2．若复数 ，其中 i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A．z 的虚部为﹣i B．|z|=2 C．z 表示的点在第四象限 D．z 的共轭复数为﹣1﹣i 【答案】C 【解析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后逐一核对四个选项得 答案. 【详解】 ∵ , ∴z 的虚部为 ；|z| ；z 表示的点的坐标为 ,在第四象限； z 的共轭复数为 . 故选：C. 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念与复数模的求法,考查复数的代 数表示法及其几何意义,是基础题. { }| 1 0A x x= + > { }1,0,1B = − ( )R A B = { }1 { }1− { }0,1 { }1,0− ( )R A B∩ { }| 1 0A x x= + > { }1,0,1B = − { }| 1R A x x= ≤ − ( ) { }1R A B −= 2 1 iz = + ( ) ( )( ) 2 12 11 1 1 iz ii i i −= = = −+ + − 1− 2= ( )1, 1− 1 i+第 2 页 共 21 页 3．对于实数 m，“ ”是“方程 1 表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】根据椭圆的标准方程满足条件入手得出 m 的取值范围,进而得出正确选项. 【详解】 由“方程 1 表示椭圆“可得 ,解得 且 , 所以“ ”是 “方程 1 表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查椭圆的标准方程及充分必要条件的判定. 4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫 赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间 四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄 金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A．多 斤 B．少 斤 C．多 斤 D．少 斤 【答案】A 【解析】由题意可知各等人所得金数组成等差数列,根据等差数列的性质即可计算出问 题答案. 【详解】 设十等人得金从高到低依次 a1,a2,……,a10,则{an}为等差数列, 设公差为 d,则由题意可知 ； ∴a2 ,a9=1, ∴d ； ∴a1﹣a9=﹣8d . 1 2m< < 2 2 1 2 x y m m − =− − 2 2 1 2 x y m m − =− − 1 0 2 0 1 2 m m m m − >  − 0, ，进而得到结果. 【详解】 已知 , = , >0, 进而得到 . 故答案为 A. 【点睛】 本题考查了指对函数的运算公式和对数函数的性质；比较大小常用的方法有：两式做差 和 0 比较，分式注意同分，进行因式分解为两式相乘的形式；或者利用不等式求得最值， 判断最值和 0 的关系. 8．函数 的部分图象大致为（ ） A． B． 1 2 1 2 1ln ,2x x e −= = 3x 3 3lnxe x− = 1 2 3x x x< < 1 3 2x x x< < 2 1 3x x x< < 3 1 2x x x< < 1 1ln 2 02x ln= = − < 1 2 2x e −= ( )1 0,1 e ∈ 3 3lnxe x− = 3 1x∴ > 1 1ln 2 02x ln= = − < 1 2 2x e −= ( )1 0,1 e ∈ 3 3lnxe x− = 3 1x∴ > 1 2 3x x x< < 2 1siny x x x = − −第 5 页 共 21 页 C． D． 【答案】B 【解析】由函数为偶函数,可排除 C，D,由 ,可排除 A,由此得出正确选项. 【详解】 函数的定义域为{x|x≠0}, ,则 f(x)为 偶函数,其图象关于 y 轴对称,可排除 C，D； 又 ,可排除 A. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用函数性质确定函数图象,属于基础题. 9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九 章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框 图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 x 的值为 2，则输出 的 值为（ ） A．80 B．192 C．448 D．36 【答案】B 【解析】由题意,该框图利用秦九韶算法计算变量 v 的值,根据算法功能反复执行循环体 计算即可. ( )1 0f < ( ) ( ) ( )2 2 1 1 ( )f x xsin x xsinx f xx x − = − − = − − =− ( )1 sin1 1 0f = − − < v第 6 页 共 21 页 【详解】 初始：v=1， k=1； 第一步：v=1×2+21=4，k=2； 第二步：v=4×2+22=12，k=3； 第三步：v=12×2+23=32，k=4； 第四步：v=32×2+24=80，k=5； 第五步：v=80×2+25=192，k=6； 因为此时 ,故停止循环,输出 v 的值为 192. 故选：B. 【点睛】 本题主要是考查了程序框图的循环结构,注意本题中的 k 与 v 值计算式子中的 k 值相差 1,容易出错.同时本题考查了学生的逻辑推理能力以及计算能力,属于基础题. 10．已知直线 与抛物线 相切，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线 与抛物线 联立，利用判别式等于零求得 的值，再由 离心率公式可得结果. 【详解】 由 ，得 ， 直线与抛物线相切， ， 双曲线方程为 ， 可得 ， 所以离心率 ，故选 B. 【点睛】 本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及双曲线的方程及离心率，属于中档题.离心 率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：① 直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆 5k > 1y kx= − 2 8x y= 2 2 2 1x k y− = 5 3 2 3 2 1y kx= − 2 8x y= k 2 1 8 y kx x y = −  = 2 8 8 0x kx− + =  2 2 164 32 0, 2k k∴∆ = − = = ∴ 2 2 12 yx − = 1, 3a c= = 3= =ce a ,a c e ,a c e第 7 页 共 21 页 锥曲线的定义来求解． 11．已知函数 的图象关于直线 对称，则函数 的单调 递增区间为（ ） A．(0，2) B．[0，1) C．(﹣∞，1] D．(0，1] 【答案】D 【解析】函数 f(x)=lnx+ln(a﹣x)的图象关于直线 x=1 对称⇒f(2﹣x)=f(x),可求得 a=2,利用 复合函数的单调性解求得答案. 【详解】 ∵函数 f(x)=lnx+ln(a﹣x)的图象关于直线 x=1 对称, ∴f(2﹣x)=f(x),即 ln(2﹣x)+ln[a﹣(2﹣x)]=lnx+ln(a﹣x), 即 ln(x+a﹣2)+ln(2﹣x)=lnx+ln(a﹣x), ∴a=2. ∴f(x)=lnx+ln(2﹣x)=lnx(2﹣x), . 由于 y=x(2﹣x)=﹣(x﹣1)2+1 为开口向下的抛物线,其对称轴为 x=1,定义域为(0,2), ∴它的递增区间为(0,1], 由复合函数的单调性知, f(x)=lnx+ln(2﹣x)的单调递增区间为(0,1], 故选：D. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性,突出考查复合函数的单调性的应用,考查推理与运 算能力,属于中档题. 12．已知点 M，N，P，Q 在同一个球面上，且 ，则该球的 表面积是 ，则四面体 MNPQ 体积的最大值为（ ） A．10 B． C．12 D．5 【答案】A 【解析】由已知可得△PNM 为直角三角形,画出图形,可知要使四面体 MNPQ 体积取最 大值,则球心 O 在过 PM 中点 O′与面 MNP 垂直的直线上,由球的表面积求得半径,利用 勾股定理求出三棱锥的高,可得四面体 MNPQ 体积的最大值. 【详解】 如图, ( )( ) ln lnf x x a x= + − 1x = ( )f x 0 2x< < 3 4 5MN NP MP= = =， ， 625 16 π 5 2第 8 页 共 21 页 由 MN=3,NP=4,MP=5, 可知 ，所以∠PNM=90° 设四面体 MNPQ 的外接球的半径为 R,由球的表面积是 , 得 ,即 R . 要使四面体 MNPQ 体积取最大值, 则球心 O 在过 PM 中点 O′与面 MNP 垂直的直线上, 设 QO′=h. 在 Rt△OO′P 中,OP2=OO′2+O′P2, ∴R2=(h﹣R)2 ,即 ,得 h=5, ∴四面体 MNPQ 体积的最大值为 . 故选：A. 【点睛】 本题考查多面体的外接球,考查数形结合的解题思想方法,考查计算能力,是中档题. 二、填空题 13．已知平面向量 与 的夹角为 45°， ，| |=1，则 =_____. 【答案】 【解析】根据题意,由向量的坐标计算可得 ,又由数量积的计算公式可得 ,进而计算可得答案. 【详解】 根据题意, ,则 , 2 2= +MP MN NP 625 16 π 2 6254 16R ππ = 25 8 = 25 4 + 2625 25 25( )64 8 4h= − + 1 1 3 4 5 103 2 × × × × = a b ( )1,1a = − b a b+  5 a 2 2 2 2a b a a b b+ = + ⋅ +      ( )1,1a = − 2a =第 9 页 共 21 页 又由 与 的夹角为 45°, ,则 , 则 ； 故答案为： . 【点睛】 本题考查向量数量积的计算,涉及向量模的计算,属于基础题. 14．已知数列 的前 n 项和 ， ，则数列 的前 项和 _____. 【答案】 【解析】2Sn=3an﹣1(n∈N),n≥2 时,可得：2an=2Sn﹣2Sn﹣1,化为：an=3an﹣1,又 n=1 时,2a1=3a1﹣1,解得 a1.利用等比数列的通项公式可得 an.可得 bn.利用裂项求和即可得出. 【详解】 2Sn=3an﹣1(n∈N), n≥2 时,2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3an﹣1﹣(3an﹣1﹣1),化为：an=3an﹣1, 又 n=1 时,2a1=3a1﹣1,解得 a1=1. ∴数列{αn}是等比数列,公比为 3,首项为 1. ∴an=3n﹣1. bn=1+log3an=1+n﹣1=n. ∴ . 则数列 的前 n 项和 Tn=1 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式､裂项求和方法,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 15．设锐角△ABC 三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 ，则 的取值范围为_____. a b 1b = 2 2 2 2 2 2 1 5a b a a b b+ = + ⋅ + = + + =      5a b+ =  5 { }na ( )*2 3 1n nS a n N= − ∈ 31 logn nb a= + 1 1 n nb b +       n nT = 1 n n + ( )1 1 1 1 1 1 1n nb b n n n n+ = = −+ + 1 1 n nb b +       1 1 1 1 1 112 2 3 1 1 1 n n n n n − + − + + − = − =+ + + 1 n n + 2( cos cos ) 2 sin , 3a B b A c C b+ = = c第 10 页 共 21 页 【答案】 【解析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求 C,然后结合锐角三角形可求 B 的范围,再结合正弦函数的性质可求. 【详解】 ∵ (acosB+bcosA)=2csinC, 由正弦定理可得, (sinAcosB+sinBcosA)=2sinCsinC, 即 sin(A+B)=2sinCsinC sinC, 所以 sinC , ∵C 为锐角,则 C , 由题意可得, , 故 , 由正弦定理可得, , 所以 c sinB . 故答案为：( ) 【点睛】 本题考查三角形的正弦定理和内角和定理及和差角公式的运用,考查运算能力,属于中档 题. 16．直角坐标系 xOy 中，已知 MN 是圆 C：(x﹣2)2+(y﹣3)2=2 的一条弦，且 CM⊥CN， P 是 MN 的中点.当弦 MN 在圆 C 上运动时，直线 l：x﹣y﹣5=0 上总存在两点 A，B， 使得 恒成立，则线段 AB 长度的最小值是_____. 【答案】 3 3 2,2 2       2 2 2 2= 2 2 = 3,4 4A B π π= + = 10 2 3 10 4 2 B B π π π  <