2020届江西省景德镇市高三第三次质检数学（理）试题（解析版）

第 1 页 共 21 页 2020 届江西省景德镇市高三第三次质检数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合 ，则集合 的子集的个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【解析】通过解不等式 ，得到集合A，进而得出 .因为集合中有 3 个元素，故其子集个数为 个. 【详解】 由 得 ，则 ， 则 的子集个数为 个. 故选：D. 【点睛】 本题考查了补集的运算，集合子集个数的结论，属于基础题. 2．已知 i 为虚数单位，若 ，则实数 a 的值是（ ） A． B．–1 C．1 D．2 【答案】A 【解析】根据复数的除法运算，求出复数.因为该复数是实数，所以令其虚部为零，求 出 的值. 【详解】 ，且 ， ，即 . 故选：A. 【点睛】 本题考查了复数的除法运算，复数的分类知识，属于基础题. 3．用计算机生成随机数表模拟预测未来三天降雨情况，规定 1，2，3 表示降雨，4，5， 6，7，8，9 表示不降雨，根据随机生成的 10 组三位数：654 439 565 918 288 674 1| 02A x x  = > −  ∈ N U A 1 02x >− {0,1,2}U A = 32 1 02x >− 2x > { }| 2A x x= ∈ >N { } { }2 0,1,2U A x x∴ = ∈ ≤ =N U A 32 8= 4 1 2 a i i + − ∈R 2− a 4 ( 4 )(1 2 ) 8 2 4 1 2 (1 2 )(1 2 ) 5 5 a i a i i a a ii i i + + + − += = +− − + 4 1 2 a i i + − ∈R 2 4 0a∴ + = 2a = −第 2 页 共 21 页 374 968 224 337，则预计未来三天仅有一天降雨的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从所给的随机三位数中找出有且仅有一个 之间的数字的三位数，即表示 未来三天仅有一天降雨.据古典概型的计算公式，即可得出结果. 【详解】 题中规定：1，2，3 表示降雨，4，5，6，7，8，9 表示不降雨， 在 10 组三位随机数： 654 439 565 918 288 674 374 968 224 337 中， 439 918 288 374 这 4 组随机数仅含有一个 的数， 即表示未来三天仅有一天降雨， 根据古典概型的概率计算公式可知，其概率 . 故选：D. 【点睛】 本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题. 4．设 是等比数列 的前 n 项和，若 ，则首项 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】将已知两式相减，可得出 ，则该等比数列的公比为 ，再将用 和 来表示 ，即可解得 的值. 【详解】 由 得 ，即 ， 则该等比数列的公比为 ， ，即 ， . 故选：B. 【点睛】 1 2 1 3 4 9 2 5 1 3 1 3 4 2 10 5p = = nS { }na 3 4 2 33 2 , 3 2S a S a= − = − 1a = 4 34a a= 4q = 1a q 2 33 2S a= − 1a 3 4 2 3 3 2 3 2 S a S a = −  = − 3 4 33a a a= − 4 34a a= 4q = 2 33 2S a= − 2 1 1 13( ) 2a a q a q∴ + = − 1 115 16 2a a= − 1 2a∴ =第 3 页 共 21 页 本题考查了利用等比数列的通项公式求基本量，其中两式相减求得公比，是本题的关键. 属于基础题. 5．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用二倍角公式将已知三角函数式化简，结合 可得 ，再利用平方关系，即可求出 . 【详解】 ，即 ， 由二倍角公式可得 ， ， ，则 又 ，且 . 故选：C. 【点睛】 本题考查了利用二倍角公式进行三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，属于基础题. 6．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造 得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中 间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由 4 条小线段构成的折线，称为“一次构 造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由 16 条更小的线段构成的折线， 称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过 程中使得到的折线的长度大于初始线段的 100 倍，则至少需要构造的次数是（ ）（取 ， ） A．16 B．17 C．24 D．25 0, ,cos2 2sin2 12 πα α α ∈ = −   sinα = 1 2 3 3 5 5 2 5 5 (0, )2 πα ∈ cos 2sinα α= sinα cos2 2sin 2 1α α= − cos2 1 2sin 2α α+ = ∴ 22cos 4sin cosα α α= (0, )2 πα ∈ cos 0α∴ > cos 2sinα α= 2 2sin cos 1α α+ = sin 0α > 5sin 5 α∴ = lg3 0.4771≈ lg 2 0.3010≈第 4 页 共 21 页 【答案】B 【解析】由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的 倍，故折线长度构成 一个以 为公比的等比数列，写出其通项公式 ，则要在构造过程中使得到 的折线的长度大于初始线段的 100 倍，只需求解不等式 ，即可得解. 【详解】 设初始长度为 ，各次构造后的折线长度构成一个数列 ， 由题知 ， ，则 为等比数列， ， 假设构造 次后，折线的长度大于初始线段的 100 倍， 即 ， ， 【点睛】 本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结 合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题. 7．已知 ， 为两个不同平面， ， 为两条不同直线，则下列说法不正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，且 ，则 【答案】B 【解析】利用线线，线面以及面面的位置关系的判定定理和性质定理，对每个选项进行 逐一判断，即可得解. 【详解】 对于 A， ， ，根据线面垂直的性质可知，垂直于 同一平面的两直线平行，选项 A 正确； 对于 B， ， ，根据线面垂直的定义以及线面平行 的判定定理可知 或 ，故选项 B 错误； 4 3 4 3 4( )3 n na a= ⋅ 4( ) 1003 nna a = > a { }na 1 4 3a a= 1 4 3n na a+ = { }na 4( )3 n na a∴ = ⋅ n 4( ) 1003 nna a = > 4 3 lg100log 100 lg 4 lg3n∴ > = − lg100 2 16lg 4 lg3 2 0.3010 0.4771 = ≈− × − 17n∴ ≥ α β m n m α⊥ n α⊥ //m n m α⊥ m n⊥ / /n α m α⊥ m β⊥ / /α β m α⊥ n β⊥ α β⊥ m n⊥ m α⊥ n α⊥ m α⊥ m n⊥ n ⊂ α / /n α第 5 页 共 21 页 对于 C， ， ，根据线面垂直的性质定理以及面面平行 的判定定理可得 ，故选项 C 正确； 对于 D，由 和 可知 或 ，又 ，则由线面 平行的性质定理和线面垂直的性质定理可知， ，故选项 D 正确. 故选：B. 【点睛】 本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，属于基 础题. 8．已知 是数列 的前 n 项和，且点 在直线 上，则 （ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】由题得 ，利用 ，求出 且 ， ，从而判断出数列 是等比数列.再利用等比数列的求和公式，即 可求出比值. 【详解】 点 在直线 上， ， 当 时， ， 两式相减，得： 且 ， 又当 时， ，则 ， 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， ， . m α⊥ m β⊥ / /α β m α⊥ α β⊥ / /m β m β⊂ n β⊥ m n⊥ nS { }na ( ),n na S 3 2 1 0x y− − = 4 3 S S = 15 7 40 13 11 2 3 2 1 0n na S− − = 1( 2)n n na S S n−= − ≥ 13 ( 2n na a n−= ≥ )n N ∗∈ 1 1a = { }na  ( ),n na S 3 2 1 0x y− − = 3 2 1 0n na S∴ − − = 2n ≥ 1 13 2 1 0n na S− −− − = 13 ( 2n na a n−= ≥ )n N ∗∈ 1n = 1 13 2 1 0a S− − = 1 1a = { }na∴ 1 (1 3 ) 3 1 1 3 2 n n nS × − −= =− 4 4 3 3 3 1 40 3 1 13 S S −∴ = =−第 6 页 共 21 页 故选：B. 【点睛】 本题考查了数列中由 与 的关系求数列的通项问题，等比数列的判定，等比数列的 前 项和公式，属于中档题. 9．双曲线 的两条渐近线与圆 相切，则 双曲线 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的渐近线方程为 ，求出圆的圆心和半径，利用直线于圆 相切的几何性质，圆心到直线的距离等于半径，列出方程，再结合双曲线中 ，求出离心率. 【详解】 由 得 ， 则该圆的圆心为 ，半径 ， 设双曲线的渐近线方程为： ， 渐近线与圆相切， ， 又 ， ，则 ， 离心率 . 故选：D. 【点睛】 本题考查了由直线与圆的相切求参数的问题，求双曲线的离心率，属于中档题. 10．已知正数 a、b 满足 ，则 的最大值是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】将 当作整体，在原式的两边同时乘以 ，使 这一部分配凑基本 nS na n 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 2 22 05x y x+ − + = 5 2 10 5 10 2 0bx ay± = 2 2 2c a b= + 2 2 22 05x y x+ − + = 2 2 3( 1) 5x y− + = (1,0) 15 5r = 0bx ay± =  2 2 15 5 b b a ∴ = + 2 2 2c a b= + 2 2 3 5 b c ∴ = 2 2 2 5 a c = ∴ 10 2 ce a = = 1 4 10a b a b + + + = +a b +a b +a b 1 4 a b +第 7 页 共 21 页 不等式的条件，从而得到一个关于 的二次不等式，求解即可. 【详解】 由 ， 得 ， ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， ，则 . 故选：C. 【点睛】 本题考查了基本不等式的应用，解一元二次不等式.其中构造基本不等式的结构形式， 将 看成一个整体，是本题的关键，属于中档题. 11．已知点 A 是抛物线 上位于第一象限的点，F 是其焦点，AF 的倾斜角为 60°，以 F 为圆心，AF 为半径的圆交该抛物线准线于 B、C 两点，则 的面积为 （ ） A． B． C． D．18 【答案】A 【解析】由抛物线方程 可得其焦点 ，则由AF 的倾斜角为 60°可写出直 线方程，求出点 .点 到准线的距离即为 中 边上的高为 6.圆 F 的 半径 ，圆心到准线的距离为 3，则弦长 ，由三角形的面积公式 即可求解. 【详解】 +a b 1 4 10a b a b + + + = 1 4( )( ) 10( )a b a b a ba b + + + + = + 2 4( )( ) a b a ba b a b + +∴ + + + 2 4( ) 5 b aa b a b = + + + + 10( )a b= + 210( ) ( ) 5a b a b∴ + − + − 4b a a b = + 42 4b a a b ≥ ⋅ = 4b a a b = 2b a= 2( ) 10( ) 9 0a b a b∴ + − + + ≤ 1 9a b≤ + ≤ +a b 2 6y x= ABC 18 3 36 15 72 3 2 6y x= 3( ,0)2F 9( ,3 3)2A A ABC BC 6r AF= = 6 3BC =第 8 页 共 21 页 由 得焦点 ，准线： ， 的倾斜角为 60°， 直线 ， 点 A 是抛物线 上位于第一象限的点 则由 得 ， 点 到准线的距离 ，且 ， 又 焦点 到准线的距离为 3， 则圆 与准线相交的弦长 ， . 故选：A. 【点睛】 本题考查了直线与抛物线的位置关系，直线与圆相交求弦长的问题，属于中档题. 12．已知函数 满足 ，当 时， ，则函数 在 上的零点个数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先由求出 时， .再将函数 的零点 问题，转化为函数 的图象与直线 的公共点的问题，利用数形结 2 6y x= 3( ,0)2F 3 2x = − AF ∴ 3: 3( )2AF y x= −  2 6y x= 2 6 33( )2 y x y x  = = − 9( ,3 3)2A ∴ A 6d = 2 29 3( ) (0 3 3) 62 2AF = − + − =  F F 2 22 6 3 6 3BC = − = 1 1 6 3 6 18 32 2ABCS BC d∴ = × × = × × =  ( )f x ( ) ( )2f x f x= [1,2)x∈ ( ) lnf x x= ( ) ( )0y f x ax a= − > )4[1x ∈ , ( )g a { }0,1 { }0,1,2 { }0,1,2,3 {0,1,2,3,4} [2,4)x∈ ( ) ln 2 xf x = ( ) ( )0y f x ax a= − > ( )y f x= ( 0)y ax a= >第 9 页 共 21 页 合思想，即可判断出公共点个数，求出函数 ，从而求出 的值域. 【详解】 由 知 ， 设 ，则 ， 则 ， ， 令 =0，即 ， 函数 的零点个数， 即为函数 与直线 的交点个数， 若 与函数 的图象相切， 设切点为 ，则切线斜率 ， ，故不能相切， 若 与函数 的图象相切， 设切点为 ，则切线斜率 ， ，故也不能相切， 又 ， ，则 ， ， ，则 的值域为 . 故选：B. ( )g a ( )g a ( ) ( )2f x f x= ( ) ( )2 xf x f= [2,4)x∈ [1,2)2 x ∈ ( ) ( ) ln2 2 x xf x f= = ln , [1,2) ( ) ln , [2,4)2 x x f x x x ∈∴ =  ∈ ( ) ( )0y f x ax a= − > ( )f x ax= ∴ ( ) ( )0y f x ax a= − > ( )f x ( 0)y ax a= > ( 0)y ax a= > ( ) ln , [1,2)f x x x= ∈ 1 1( ,ln )M x x 1 1 1 1 ln1 xk x x = = 1 [1,2)x e∴ = ∉ ( 0)y ax a= > ( ) ln , [2,4)2 xf x x= ∈ 2 2( ,ln )2 xN x 2 2 2 2 ln2 1 2 2 x k x x = ⋅ = 2 2 [2,4)x e∴ = ∉ (2,ln 2)A (4,ln 2)B ln 2 2OAk = ln 2 4OBk = ln 20, 2 ln 2 ln 2( ) 1, 4 2 ln 22,0 4 a g a a a  ≥ ∴ = ≤ 0∆ 91 13m∴ = ± ( ) ( 0)xf x ae a= ≠ 21( ) 2g x x= 2a = − ( )f x ( )g x ( ) ( )y f x g x= − 1x 2x 2 13x x≥ 2 2y x= − − 3(0, ln3]6 ( ) ( )y f x g x= − 1x 2x 1 2 1 2 x x x xa e e = = 2 13x x≥ 2 1( 3)x kx k= ≥ 1 ln 1 kx k = − ln( ) ( 3)1 xh x xx = ≥− ( )h x ln3(0, ]2 1x 1 1 x xa e = ln3( ) ( (0, ])2x xx xe ϕ = ∈ a 2a = − ( ) 2 xf x e= − ( )f x 1 1( , 2 )xx e− 1 1 12 2 ( )x xy e e x x+ = − − ( )g x 2 2 2 1( , )2x x 2 2 2 2 1 ( )2y x x x x− = − 1 1 2 2 1 2 2 12 ( 1) 2 x x e x e x x − = − = − 1 2 0 2 x x =  = −第 19 页 共 21 页 所以，公切线方程为 ； （2） ， ，设其零点为 ， ， ， ， 令 ，可得 ，则 令 ， ， 又令 ， ，则 单调递减， ， ， 单调递减， ，易知 ， ， 令 ， ， 则 在 上递增， 【点睛】 本题考查了利用导数的几何意义求切线，利用导函数求函数的最值问题.其中多次构造 函数，利用导函数分析单调性，进而求最值是较大的难点，本题难度较大. 22．在直角坐标系 中，圆 C 的参数方程 （ 为参数），以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）直线 l 的极坐标方程是 ，射线 与圆 C 的交点 为 O、P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 的长. 【答案】（1） ；（2）2 【解析】（1）首先利用 对圆 C 的参数方程 （φ 为参数） 进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆 C 的极坐 2 2y x= − − 21( ) ( ) 2 xy f x g x ae x= − = − xy ae x′ = − 1x 2x 1 2 1 2 x xae x ae x− = − 1 2 1 2 x x x xa e e ∴ = = 2 1( 3)x kx k= ≥ 1 1 1 1 x kx x kx e e = 1 ln 1 kx k = − ln( ) ( 3)1 xh x xx = ≥− 2 11 ln ( ) ( 1) xxh x x − − ′ = − 1( ) 1 ln ( 3)t x x xx = − − ≥ 2 1( ) 0xt x x −′ = < ( )t x 2( ) (3) ln3 03t x t≤ = − < ( ) 0h x′∴ < ( )h x ln3( ) 2h x ≤ ( ) 0h x > 1 ln3(0, ]2x∴ ∈ ( ) x xx e ϕ = 1( ) x xx e ϕ −′ = ( )xϕ ( ,1]−∞ 1 1 3(0, ln3]6x xa e ∴ = ∈ xOy 1 cos sin x y ϕ ϕ = +  = ϕ 2 sin 3 33 πρ θ + =   : 3OM πθ = PQ 2cosρ θ= 2 2 1cos sinϕ ϕ+ = 1{x cos y sin ϕ ϕ = + =第 20 页 共 21 页 标方程．（2）设 ，联立直线与圆的极坐标方程，解得 ；设 ，联立直线与直线的极坐标方程，解得 ，可得 ． 【详解】 （1）圆 C 的普通方程为 ，又 ， 所以圆 C 的极坐标方程为 . （2）设 ，则由 解得 ， ，得 ； 设 ，则由 解得 ， ，得 ； 所以 【点睛】 本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求 解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题. 23．如图，AB 是半圆的直径，O 为 AB 的中点， 、C 在 AB 上，且 ， . （1）用 x、y 表示线段 OD，CD 的长度： （2）若 ， ， ，求 的最小值. 【答案】（1） ， ；（2）2 【解析】（1） 为直径， ， 为半径，则 . 中，利 用勾股定理，可求出 ； 1 1P ρ θ（ ， ） 1 1 ρ θ， 2 2Q ρ θ（ ， ） 2 2 ρ θ， PQ ( )2 21 1x y− + = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2cosρ θ= ( )1 1,ρ θΡ 2 { 3 cosρ θ πθ = = 1 1ρ = 1 3 πθ = 1, 3P π     ( )2 2Q ,ρ θ 2 sin 3 33{ 3 πρ θ πθ  + =   = 2 3ρ = 2 3 πθ = 3, 3Q π     Q 2Ρ = ⊥DO AB AC x= BC y= 0a > 0b > 2a b+ = 4 4a b+ 2 x yOD += 2 2 2 x yCD += AB AB x y= + OD 2 x yOD += Rt OCD△ 2 2 2 x yCD +=第 21 页 共 21 页 （2） 中 ，则 ，即可得 .再 令 ，同理可得 ，由此解得 . 【详解】 解：（1）直径 ，则半径 ， 在 中， ， 即 ； （2）由（1）知， ， 即 ，当且仅当 时，等号成立， ， 令 则 （当且仅当 时，等号成立）， 的最小值为 2. 【点睛】 本题考查了勾股定理，基本不等式的变形应用，考查了转化的思想，属于中档题. Rt OCD△ CD OD≥ 2 2 2 2 ++ ≥x y x y 2 2 2( ) 12 2 a b a b+ +≥ = 2 2,x a y b= = 4 4 2 2 12 2 a b a b+ +≥ ≥ 4 4 2a b+ ≥ AB x y= + 2 x yOD += Rt OCD△ 2 2 2 2 2 2( ) ( )2 2 2 x y x y x yCD OD OC + − += + = + = 2 2 2 x yCD += CD OD≥ 2 2 2 2 ++ ≥x y x y x y= 2 2 2( ) 12 2 a b a b+ +∴ ≥ = 2 2,x a y b= = 4 4 2 2 12 2 a b a b+ +≥ ≥ 4 4 2a b∴ + ≥ 1a b= = 4 4a b∴ +