2020届江西省九江市十校高三模拟考试数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 17 页 2020 届江西省九江市十校高三模拟考试数学（文）试题 一、单选题 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解出集合 、 ，然后利用交集的定义可得出集合 . 【详解】 或 ， ， 因此， . 故选：C. 【点睛】 本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础 题. 2． （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用复数的除法和加法法则可计算出所求复数. 【详解】 . 故选：A. 【点睛】 本题考查复数的除法与加法计算，考查计算能力，属于基础题. 3．某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单 位：万元）如图 2 所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ） ( )( ){ }1 6 0A x x x= − − > { }2 0B x x= − > A B = { }6x x > { }1 2x x< < { }1x x < { }2 6x x< < A B A B ( )( ){ } {1 6 0 1A x x x x x= − − > = { } { }2 0 2B x x x x= − > = < { }1A B x x∩ = < 1 2 1 2 1 2 i i i + =+ − 3 5- 1 3 5 i− i ( )( ) ( ) ( )( ) 2 1 21 2 1 2 1 2 2 4 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 5 i ii i i i i i i i i i +− − + −+ = + = = −+ − + − − +第 2 页 共 17 页 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、 交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】 水费开支占总开支的百分比为 . 故选：A 【点睛】 本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 4．若 满足约束条件 ，且 ，则（ ） A．z 的最大值为 6 B．z 的最大值为 8 C．z 的最小值为 6 D．z 的最小值为 8 【答案】C 【解析】作出可行域，即可由平移法求出 的最值． 【详解】 作出可行域，如图所示： 由图可知，当直线 经过点 时， 6.25% 7.5% 10.25% 31.25% 250 20% 6.25%250 450 100 × =+ + ,x y 0 4 x y x y − ≤  + ≥ 2z x y= + 2z x y= + 2z x y= + ( )2,2第 3 页 共 17 页 取得最小值为 6，无最大值． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查简单线性规划问题的解法，属于基础题． 5．若双曲线 ( )的离心率为 ，则 （ ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【解析】将双曲线的方程化成标准形式，再利用离心率公式得到关于 的方程，即 可得答案； 【详解】 因为 ( )可化为 ( )， 所以 ，则 ，即 . 故选：D. 【点睛】 本题考查已知双曲线的离心率求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查 逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意双曲线方程先化成标准形式. 6．如图，在等腰直角 中， ， 分别为斜边 的三等分点（ 靠近点 ）， 过 作 的垂线，垂足为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设出等腰直角三角形 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得 z 2 2 1mx ny+ = 0m > 5 m n = 1 4 1 4 − 4− ,m n 2 2 1mx ny+ = 0m > 2 2 11 1 x y m n − = − 0m > 2 21 5be a = + = 2 2 1 41 b n a m − = = 4m n = − ABC∆ D E BC D B E AD F AF = 3 1 5 5AB AC+  2 1 5 5AB AC+  4 8 15 15AB AC+  8 4 15 15AB AC+  ABC第 4 页 共 17 页 ，由此得到 ，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将 表示为以 为基底来表示的形式. 【详解】 设 ，则 ， ， ， 所以 ，所以 . 因为 ， 所以 . 故选：D 【点睛】 本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题. 7．已知底面是等腰直角三角形的三棱锥 P-ABC 的三视图如图所示，俯视图中的两个小 三角形全等，则（ ） A．PA，PB，PC 两两垂直 B．三棱锥 P-ABC 的体积为 C． D．三棱锥 P-ABC 的侧面积为 【答案】C 【解析】根据三视图，可得三棱锥 P-ABC 的直观图，然后再计算可得. 【详解】 解：根据三视图，可得三棱锥 P-ABC 的直观图如图所示， cos DAE∠ 4 5AF AD=  4 5AF AD=  ,AB AC  6BC = 3 2, 2AB AC BD DE EC= = = = = 2 2 π2 cos 4AD AE BD BA BD BA= = + − ⋅ ⋅ 10= 10 10 4 4cos 2 10 5DAE + −∠ = =× 4 5 AF AF AD AE = = 4 5AF AD=  ( )1 1 3 3AD AB BC AB AC AB= + = + −      2 1 3 3AB AC= +  4 2 1 8 4 5 3 3 15 15AF AB AC AB AC = × + = +        8 3 | | | | | | 6PA PB PC= = = 3 5第 5 页 共 17 页 其中 D 为 AB 的中点， 底面 ABC. 所以三棱锥 P-ABC 的体积为 ， ， ， ， ， 、 不可能垂直， 即 不可能两两垂直， ， . 三棱锥 P-ABC 的侧面积为 . 故正确的为 C. 故选：C. 【点睛】 本题考查三视图还原直观图，以及三棱锥的表面积、体积的计算问题，属于中档题. 8．已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用对数函数的单调性比较 与 的大小关系，再利用指数函数的单调性得出 ，即可得出 、 、 三个数的大小关系. 【详解】 指数函数 为增函数，则 ， 对数函数 是 上的增函数，则 ，因此， . 故选：A. 【点睛】 本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值 PD ⊥ 1 1 42 2 23 2 3 × × × × = 2AC BC PD∴ = = = 2 2 2 2AB AC BC∴ = + = | | | | | | 2DA DB DC∴ = = = ( )22| | | | | | 2 2 6,PA PB PC∴ = = = + = 2 2 2PA PB AB+ ≠ PA∴ PB ,PA ,PB PC 1 2 2 2 2 22PBAS∆ = × × = ( )2 21 6 1 2 52PBC PACS S∆ ∆= = × − × = ∴ 2 5 2 2+ 0.64a = 1.12b = 4log 12c = c b a< < b a c< < a b c< < c a b< < c 2 2a b> > a b c 2xy = 1.2 1.12 2 2a b= > = > 4logy x= ( )0, ∞+ 4 4log 12 log 16 2c = < = c b a< 8x π= ω 1 3 2 3 4 3 8 3 ( )y f x= ( ) 2sin 3f x x πω = +   ( ) 8 3 2 k k Z π π πω π+ = + ∈ ω ω ( ) sin 3 cos 2sin 3f x x x x πω ω ω = + = +   8x π= ( ) 8 3 2 k k Z π π πω π+ = + ∈ ( )4 83 k k Zω = + ∈ 0ω > 0k = ω 4 3 4 3y x x ax= − + 0x > 3, 2  −∞   1, 2  −∞   5, 4  −∞   1, 4  −∞   3 24 3 1y x x a′ = − + < ( )0,x∈ +∞ ( ) 3 24 3f x x x a= − + 0x > ( ) ( )212 6 6 2 1f x x x x x′ = − = −第 7 页 共 17 页 令 ，得 ；令 ，得 ， 在 单调递减，在 单调递增， ，解得： . 故选：C. 【点睛】 本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想， 考查逻辑推理能力、运算求解能力. 11．设 是 的前 项和， ，且 ，则 ( ) A．-66 B．77 C．88 D．99 【答案】C 【解析】由 与 的关系可得 是以 为首项， 为公差的等差数列，再由等差 数列前 项和公式求解即可. 【详解】 解：因为 ， 所以 ， 所以 . 又 ， 所以 是以 为首项， 为公差的等差数列， 所以 . 故选：C. 【点睛】 本题考查了 与 的关系，重点考查了等差数列前 项和公式，属基础题. ( ) 0f x′ < 10 2x< < ( ) 0f x′ > 1 2x > ∴ ( )f x 1(0, )2 1( , )2 +∞ ∴ ( )min 1 1 12 4f x f a = = − ( ) ( )8, 3 3,8− − ∪ ( ) 5f x > [ )0,x∈ +∞ ( ) 5f x > R 0 4x≤ < ( ) 2 3 5xf x = − > 2 8x > 3x > 3 4x< < 4x ≥ ( ) 21 2 5f x x= − > 8x < 4 8x≤ < ( ) 5f x > [ )0,x∈ +∞ 3 8x< < ( )y f x= ( ) 5f x > ( ) ( )8, 3 3,8− − ∪ ( ) ( )8, 3 3,8− − ∪第 10 页 共 17 页 本题考查分段函数不等式的求解，同时也涉及了函数奇偶性的应用，考查运算求解能力， 属于中等题. 16．已知正四棱柱 的每个顶点都在球 的球面上，若球 的表面积 为 ，则该四棱柱的侧面积的最大值为________. 【答案】 【解析】设球 的半径为 ，可得 ，设正四棱柱的底面边长 ，高为 ， ，利用基本不等式可得该正四棱柱侧面积的最大值. 【详解】 设球 的半径为 ，则 ，解得 ，设正四棱柱的底面边长 ，高为 ， 则正四棱柱的体对角线为球 的直径，则有 ，即 ， 由基本不等式可得 ，所以 ，当且仅当 ， 即 时，等号成立. 故该正四棱柱的侧面积为 ，其最大值为 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查球体表面积的计算,同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最 值的计算,涉及了利用基本不等式求最值,解题的关键就是要根据题意得出定值条件,考 查计算能力，属于中等题 三、解答题 17． 、 、 分别为 内角 、 、 的对边，已知 . （1）求 ； （2）若 ， ，求 的面积. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出 的值； （2）利用余弦定理求出 的值，并利用同角三角函数的平方关系求出 的值，最后 1 1 1 1ABCD A B C D− O O 12π 12 2 O R 3R = a h 2 2 2 2 2 3a a h R+ + = = O R 24 12Rπ π= 3R = a h O 2 2 2 2 2 3a a h R+ + = = 2 22 12a h+ = 2 2 2 22 12 2 2a h a h+ = ≥ 3 2ah ≤ 2 22a h= 2 6h a= = 4ah 3 2 4 12 2× = 12 2 a b c ABC∆ A B C tan 3 sina B b A= cos B 3a = 17b = ABC∆ 1cos 3B = 4 2 cos B c sin B第 11 页 共 17 页 利用三角形的面积公式即可求出 的面积. 【详解】 （1）因为 ，所以 ， 又 ，所以 ，因为 ，所以 ； （2）由余弦定理，得 ，则 ， 整理得 ， ，解得 . 因为 ，所以 ， 所以 的面积 . 【点睛】 本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面 积的计算，考查计算能力，属于中等题. 18．为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校 进行了一次问卷调查（共 12 道题），从该校学生中随机抽取 40 人，统计了每人答对的 题数，将统计结果分成 ， ， ， ， ， 六组，得到 如下频率分布直方图. （1）若答对一题得 10 分，未答对不得分，估计这 40 人的成绩的平均分（同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若从答对题数在 内的学生中随机抽取 2 人，求恰有 1 人答对题数在 内 的概率. 【答案】（1）79；（2） 【解析】（1）首先根据频率分布直方图计算出答对题数的平均数，由此求得成绩的平均 分的估计值. （2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】 ABC∆ tan 3 sina B b A= sin tan 3sin sinA B B A= sin 0A > sin 3sincos B BB = sin 0B > 1cos 3B = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 117 9 2 3 3c c= + − × × × 2 2 8 0c c− − = 0c > 4c = 1cos 3B = 2 2 2sin 1 cos 3B B= − = ABC∆ 1 sin 4 22S ac B= = [ )0,2 [ )2,4 [ )4,6 [ )6,8 [ )8,10 [ ]10,12 [ )2,6 [ )2,4 3 5第 12 页 共 17 页 （1）因为答对题数的平均数约为 . 所以这 40 人的成绩的平均分约为 . （2）答对题数在 内的学生有 人，记为 ， ； 答对题数在 内的学生有 人，记为 ， ， . 从答对题数在 内的学生中随机抽取 2 人的情况有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 10 种， 恰有 1 人答对题数在 内的情况有 ， ， ， ， ， ，共 6 种， 故所求概率 . 【点睛】 本小题主要考查利用频率分布直方图估计平均数，考查计算古典概型概率问题，属于基 础题. 19．已知椭圆 的焦距为 ，短轴长为 . （1）求 的方程； （2）若直线 与 相交于 、 两点，求以线段 为直径的圆的标准方程. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）根据题意求出 和 的值，即可求出椭圆 的方程； （2）设点 、 ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，列出韦达 定理，求出线段 的中点和 ，即可得出所求圆的标准方程. 【详解】 （1）设椭圆 的焦距为 ，则 ， ， 所以 ， ， ，所以 的方程为 ； ( )1 0.025 3 0.025 5 0.0375 7 0.125 9 0.1875 11 0.1× + × + × + × + × + × 2 7.9× = 7.9 10 79× = [ )2,4 0.025 2 40 2× × = A B [ )4,6 0.0375 2 40 3× × = c d e [ )2,6 ( ),A B ( ),A c ( ),A d ( ),A e ( ),B c ( ),B d ( ),B e ( ),c d ( ),c e ( ),d e [ )2,4 ( ),A c ( ),A d ( ),A e ( ),B c ( ),B d ( ),B e 6 3 10 5P = = ( )2 2 2 2: 1 0x y a ba b Ω + = > > 2 6 2 2 Ω 2y x= + Ω A B AB 2 2 18 2 x y+ = 2 28 2 48 5 5 25x y   + + − =       a b Ω ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB Ω AB AB Ω ( )2 0c c > 2 2 6c = 2 2 2b = 6c = 2b = 2 2 2 8a b c= + = Ω 2 2 18 2 x y+ =第 13 页 共 17 页 （2）设点 、 ，联立 ，消去 ，得 . 由韦达定理得 ， ， 所以 ，线段 的中点坐标为 . ， 所以，所求圆的标准方程为 . 【点睛】 本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标准方程的 求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考查运算求 解能力，属于中等题. 20．如图，点 C 在直径为 的半圆 O 上， 垂直于半圆 O 所在的平面，平面 平面 ，且 . （1）证明： . （2）若 ， ，异面直线 与 所成的角是 ，求四棱锥 的内切球的半径. 【答案】（1）证明见解析.（2） 【解析】（1）根据面面垂直的性质定理，证明四边形 为平行四边形，即可得答 案； （2）根据等积法可求得四棱锥的内切球半径的值. 【详解】 （1）证明：∵C 在半圆 O 上， 为直径， . ∵ 平面 ， 平面 ， . ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 2 18 2 y x x y = + + = y 25 16 8 0x x+ + = 1 2 16 5x x+ = − 1 2 8 5x x = 1 2 8 2 5 x x+ = − AB 8 2,5 5  −   ( ) 2 22 2 1 2 1 2 1 2 16 8 8 31 1 1 1 4 2 45 5 5AB x x x x x x  = + ⋅ − = + ⋅ + − = ⋅ − − × =   2 28 2 48 5 5 25x y   + + − =       AB CD ADE ⊥ ACD / /CD BE CD BE= 1AC = 5AB = AD BE 45° A BCDE− 4 7 2 2 5+ + BCDE AB BC AC∴ ⊥ CD ⊥ ABC BC ⊂ ABC CD BC∴ ⊥第 14 页 共 17 页 又 ， 平面 . ∵平面 平面 ，且 平面 ， 平面 . 又 平面 ，平面 平面 ， . ，∴四边形 是平行四边形， . （2）解： ， 为 与 所成的角，即 ， ， . 由（1）同理可证 平面 ， ∴四棱锥 的体积 . 又四棱锥 的表面积 ， 故四棱锥 的内切球的半径 . 【点睛】 本题考查面面垂直、线面平行的综合运用、锥体体积求解，考查函数与方程思想、转化 与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意分割思想的应用. 21．已知函数 ，函数 (a， ， ). （1）讨论 的单调性； （2）证明：当 时， （3）证明： . 【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】（1）对函数求导得 ，再对 分四种情况讨论； （2）由（1）中的结论可得 ，从而证明不等式； （3）利用（2）中结论及不等式的放缩法，可证得结论. 【详解】 AC CD C= BC∴ ⊥ ACD ADE ⊥ ACD BC ⊄ ADE / /BC∴ ADE BC ⊂ BCDE BCDE ∩ =ADE DE / /BC DE∴ / /CD BE BCDE CD BE∴ = / /CD BE ADC∴∠ AD BE 45ADC∠ = ° 1CD AC∴ = = 2 2 2BC AB AC= − = AC ⊥ BCDE A BCDE− 1 21 1 23 3V = × × × = A BCDE− ( )1 7 2 2 51 2 1 1 1 2 1 5 2 22 2S + += × + × + × + × + × = A BCDE− 3 4 7 2 2 5 Vr S = = + + ( ) 2ln sin 1f x x x= + + ( ) 1 lng x ax b x= − − b R∈ 0ab ≠ ( )g x 1a b= = ( ) 0g x ≥ ( ) ( )2 sin1 xf x x e< + ( ) ag x x b x ′ = − ,a b ( ) ( )min 1 0g x g= =第 15 页 共 17 页 （1）解： 的定义域为 ， ， 当 ， 时， ，则 在 上单调递增； 当 ， 时，令 ，得 ，令 ， 得 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 ， 时， ，则 在 上单调递减； 当 ， 时，令 ，得 ，令 ， 得 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减. （2）证明：当 时， . 由（1）知， ， 所以 . （3）证明：因为 中 ，所以 . 由（2）得 ， 即 . 又 ， 所以 ， 即 . 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式、放缩法的应用，考查函数与方程思 想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意 讨论的完整性. 22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐 标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.已知点 的直角坐标为 ，过 的直线 与曲线 相交于 ， 两点. ( )g x ( )0,+∞ ( ) ag x x b x ′ = − 0a > 0b < ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,+∞ 0a > 0b > ( ) 0g x′ > bx a > ( ) 0g x′ < 0 bx a < < ( )g x 0, b a      ,b a  +∞   0a < 0b > ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0,+∞ 0a < 0b < ( ) 0g x′ > 0 bx a < < ( ) 0g x′ < bx a > ( )g x 0, b a      ,b a  +∞   1a b= = ( ) 1 lng x x x= − − ( ) ( )min 1 0g x g= = ( ) 0g x ≥ ln x 0x > 2 sin 0xx e > ( )2 sin 2 sin1 ln 0x xx e x e− − ≥ 2 sin 1 2ln sinxx e x x≥ + + ( )2 sin 2 sin1 x xx e x e+ > ( )2 sin1 2ln sin 1xx e x x+ > + + ( ) ( )2 sin1 xf x x e< + xOy C 1 2cos 2sin x y ϕ ϕ = − +  = ϕ x P ( )2,0− P l C M N第 16 页 共 17 页 （1）若 的斜率为 2，求 的极坐标方程和曲线 的普通方程； （2）求 的值. 【答案】（1） ： ， ： ；（2） 【解析】（1）根据点斜式写出直线 的直角坐标方程，并转化为极坐标方程，利用 ，将曲线 的参数方程转化为普通方程. （2）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程，结合直线参数的几何意义以及根与 系数关系，求得 的值. 【详解】 （1） 的直角坐标方程为 ，即 ， 则 的极坐标方程为 . 曲线 的普通方程为 . （2）直线 的参数方程为 （ 为参数， 为 的倾斜角）， 代入曲线 的普通方程，得 . 设 ， 对应的参数分别为 ， ，所以 ， 在 的两侧.则 . 【点睛】 本小题主要考查直角坐标化为极坐标，考查参数方程化为普通方程，考查直线参数方程， 考查直线参数的几何意义，属于中档题. 23．已知函数 ，记不等式 的解集为 . （1）求 ； （2）设 ，证明： . 【答案】（1） ；（2）证明见解析 【解析】（1）利用零点分段法将 表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等 式的解集 . （2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立. 【详解】 l l C PM PN⋅uuuuv uuuv l 2 cos sin 4 0ρ θ ρ θ− + = C ( )2 21 4x y+ + = 3− l 2 2sin cos 1ϕ ϕ+ = C l C PM PN⋅  l ( )2 2y x= + 2 4 0x y− + = l 2 cos sin 4 0ρ θ ρ θ− + = C ( )2 21 4x y+ + = l 2 cos sin x t y t α α = − +  = t α l C 2 2 cos 3 0t t α− − = M N 1t 2t 1 2 3t t⋅ = − ,M N ( )2,0P − 1 2cos π 3PM PN PM PN t t⋅ = ⋅ ⋅ = − = −    ( ) 2 1 2 1f x x x= − + + ( ) 4f x < M M ,a b M∈ 1 0ab a b− − + > { }| 1 1x x− < < ( )f x M第 17 页 共 17 页 （1）解： ， 由 ，解得 ， 故 . （2）证明：因为 ，所以 ， ， 所以 ， 所以 . 【点睛】 本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题. ( ) 14 , 2 1 12, 2 2 14 , 2 x x f x x x x − ≤ − = − < 1 0ab a b− − + >