2020届全国100所名校高考模拟金典卷（四）数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 20 页 2020 届全国 100 所名校高考模拟金典卷（四）数学（文）试 题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求出集合 B，再利用交集定义和并集定义能求出结果． 【详解】 由 得 x＞0，所以 B＝{x|x＞0}． 所以 A∩B＝{x|00 【答案】C 1z i i= + i z z⋅ = 1 2 i 1 2 1 4 1 4 − 2z z z⋅ = ， 1 i 1 1 1 1 i 2 i i iz i i − += = =+ + − （ ） （ ）（ ） 2 1 1 1 4 2z z z +⋅ = = = 2log 0x = 2x 2x第 2 页 共 20 页 【解析】 ； ； ； ，所以 假命题是 C 4．某工厂生产某种产品的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨标准煤）有如下几组 样本数据：根据相关检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得 其回归直线的斜率为 ，则这组样本数据的回归直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知， ，线性回归方程过样本中心 ，所以只 有 C 选项满足．选 C. 【点睛】 线性回归方程过样本中心 ，所以可以代入四个选项进行逐一检验． 5．已知非零向量 与 的夹角为 ，且 ，则 （ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】根据条件可求出 ，从而对 两边平方即可得出 ，解出 即可． 【详解】 向量 与 的夹角为 ，且 ； ； ； ； 或 0（舍去）； ． 21,log 0x x∃ = = 0,cos 1x x∃ = = 2, 0x R x∀ ∈ ≥ ,2 0xx R∀ ∈ > x y 0.7 0.7 2. 5ˆ 0y x= + 0.7 1ˆy x= + 0.7 35ˆ 0y x= + 0.7 0. 5ˆ 4y x= + 4.5, 3.5x y= = (4.5,3,5) ( , )x y a b 2 3 π 1, 2 2b a b= + =   a 3 2 3 1 | |2a b a= −  | 2 | 2a b+ = 2| | 2 | | 0a a− =  | |a  a b 2 3 π 1, 2 2b a b= + =  ∴ 1 | |2a b a= −  ∴ 2 2 2 2( 2 ) 4 4 | | 2 | | 4 4a b a a b b a a+ = + + = − + =       ∴ 2| | 2 | | 0a a− =  ∴| | 2a = ∴| | 2a =第 3 页 共 20 页 故选： ． 【点睛】 本题主要考查了向量数量积的定义及数量积的运算公式，属于中档题. 6．已知差数列 1， ， ，3 成等差数列，1， , 4 成等比数列，则 的 值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】利用等差数列与等比数列的通项公式以及性质，转化求解即可． 【详解】 因为 1，a1，a2，3 成等差数列，得 a1+a2＝4，又因为 1，b1，b2，b3，4 成等比数列， 可得 b22＝4，且 1，b2，4 同号，所以 b2＝2，∴ ， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查等差与等比数列的性质与思维的严谨性，属于基础题． 7．已知双曲线 ，过点 的直线 与 有唯一公共点，则直线 的 方程为（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【解析】当所求直线与渐近线平行时即符合要求. 【详解】 由双曲线的几何性质可知，当直线与渐近线平行时，直线 与 有唯一公共点， 由于双曲线的渐近线为 ， 故直线 的方程为 或 ， 即 或 ． 故选：C 【点睛】 B 1a 2a 1 2 3, ,b b b 1 2 2 a a b + 2− 2± 5 4 1 2 2 2a a b + = 2 2: 4 1C x y− = (2,0)P l C l 2 1y x= − 1 12y x= − + 1 12y x= − 1 12y x= − + 2 1y x= − 1 12y x= − + l C 1 2y x= ± l 1 ( 2)2y x= − 1 ( 2)2y x= − − 1 12y x= − 1 12y x= − +第 4 页 共 20 页 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，考查数学运算能力与抽象思维能力，属于容易 题． 8．榫卯（sǔnmǎo）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫， 凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年 殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三视图得到组合体的直观图，然后再根据组合体的组合形式及题中数据求出 表面积和体积． 【详解】 由三视图知该榫头是由上下两部分构成：上方为长方体（底面为边长是 1 的正方形，高 为 2），下方为圆柱（底面圆半径为 2，高为 2）． 其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积， 所以 ． 其体积圆柱与长方体体积之和， 所以 ． 故选 A． 【点睛】 解答本题的关键是由三视图得到组合体的形状，容易出现的错误是求表面积时忽视圆柱 和长方体相连的部分的面积，考查空间想象力和计算能力，属于基础题． 9．已知数列 的前 项和 ，若 ，则 等于（ ） 8+16 2+8π π， 9+16 2 8π π+， 8+16 4 8π π+， 9+16 4 8π π+， ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 4 1 2 8 16S π π π= × × + × × + × = + ( )22 2 1 1 2 8 +2V π π= × × + × × = { }na n 2 6nS n n= − 2 15 15k ka S−< + < k第 5 页 共 20 页 A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【解析】由 求出通项公式，得到 ，逐项检验即可求解. 【详解】 当 时， ； 当 时， ， ， 根据选项检验只有 满足． 故选：D 【点睛】 本题考查了根据数列求和公式求通项公式，属于中档题. 10．运行程序框图，如果输入某个正数 后，输出的 ，那么 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】依次运行框图中给出的程序，根据输出结果所在的范围来判断图中 的值． 【详解】 依次运行框图中的程序，可得： 第一次： ； 第二次： ； 2 6nS n n= − 2 1k ka S− + 1n = 1 1 5a S= = − 2n 1 2 7,n n na S S n−= − = − 2 7na n∴ = − 2 2 2 1 4 9 6 2 9k ka S k k k k k−∴ + = − + − = − − 5k =第 6 页 共 20 页 第三次： ； 第四次： ； 第五次： ； …… 因为输出的 ， 所以程序运行完第四次即可满足题意，所以判断框中 的值为 4． 故选 B． 【点睛】 程序框图的补全及逆向求解问题思路：①先假设参数的判断条件满足或不满足；②运 行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；③根据此时各个变量 的值，补全程序框图．此类试题要求学生要有比较扎实的算法初步的基本知识，以及综 合分析问题和解决问题的能力，要求较高，属中档题． 11．已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据对数的运算性质，求得 ，得到 ，进而结合选项求解 的范围，得到答案. 【详解】 由对数的运算性质，可得 , 所以 ，所以 ， 所以 ，又由 ，所以 ， 结合选项，可得 ， 故选 B 【点睛】 本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用指数函 0.3 1 log 0.22 b a  = =   1 2 2a b< − < 2 2 4a b< − < 4 2 5a b< − < 5 2 6a b< − < 1 31,2 2 b a    = ∈       3 2 1 2 31, , log ,02a b   ∈ ∈      2a b− 2 3 0.3 0.3 0.3 0.3 31 log 0.3 log 0.2 log 0.2 log 0.3 2 = < = < = 1 31,2 2 b a    = ∈       1 2 3 31, , log ,02 2a b   ∈ ∈      1 2 32 2,3 log 2a b  − ∈ −    1 2 2 3 3log log 12 2 − = < 1 2 33 log 42 − < 2 2 4a b< − ( )0 ,2P x F 02PF x= C P ( ) ( )2 2 2: 3 0 2M x y r r− + = < ≤ PA PB、 PA PB、 C A B、 AB t t 2 4y x= 1 2,k k ( )2 2 24 8 4 0r k k r− − + − = D ( ) ( )2 0 1 2 1 22 2 3x k k k k= + − + − 0 2 pPF x= + 0 0 0 2 2 2 4 0 px x px p  = +  =  >  0 2 1 p x =  = 2 4y x= P ( )2 2 23 (0 2)x y r r− + = < ≤ PA ( )1 1 2y k x= − + M PA 1 2 1 2 2 1 kd r k += = + ( )2 2 2 1 14 8 4 0r k k r− − + − = PB ( )2 1 2y k x= − + ( )2 2 2 2 24 8 4 0r k k r− − + − = 1 2,k k ( )2 2 24 8 4 0r k k r− − + − = 1 2 1 22 8 , 14k k k kr + = =−第 16 页 共 20 页 设 ， 由 得， ， 由韦达定理知， ，所以 ，同理可得 . 设点 的横坐标为 ，则 . 设 ，则 ， 所以， ，对称轴 ，所以 【点睛】 本题主要考查抛物线方程的求解，直线与抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力. 21．已知函数 ． （1）当 时，求曲线上点 处的切线方程； （2）设 ，方程 （其中 为常数）的两根分别为 ， 证明： ． 注： 分别为 的导函数． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 根据题意求出函数的定义，然后得到 ，再将 代入求值即可； 由条件可得 ，故方程 其中 c 为常数 的两个根分别为 ， ，然后由导数证明． 【详解】 （1）函数 的定义域为 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )1 2 1 2 4 y k x y x  = − +  = 2 1 14 4 8 0k y y k− − + = 1 1 1 8 42 ky k −= 1 1 2 1 1 4 2 4 2 4 2ky kk k −= = − = − 2 14 2y k= − D 0x ( ) ( )2 22 2 2 11 2 1 2 0 4 2 4 2 2 8 8 k kx x y yx − + −+ += = = ( ) ( ) ( ) ( )22 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 1 2 2 3k k k k k k k k= + − + + = + − + − 1 2t k k= + [ )2 8 4, 24t r = ∈ − −− 2 0 2 2 3x t t= − − 1 22t = > − 09 37x< ≤ 21( ) 2 2 ln2f x x x a x= − + − 1 2a = (2, (2))f ( ) ( )g x f x′= ( )g x c= c , ( )α β α β< 02 + ′