2020届中原名校高三下学期质量考评数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 21 页 2020 届中原名校高三下学期质量考评数学（文）试题 一、单选题 1．复数 （i 为虚数单位）的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先化简复数 ，再根据虚数概念求解. 【详解】 因为 ，所以虚部为 故选 B 【点睛】 本题考查复数运算以及虚数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．设集合 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解出集合 、 ，利用并集的定义可求出集合 . 【详解】 ， ，因此， . 故选：B. 【点睛】 本题考查并集的计算，同时也考查了对数不等式和一元二次不等式的求解，考查计算能 力，属于基础题. 3．若样本 的平均数是 10，方差为 2，则对于样本 ，下列结论正确的是（ ） A．平均数为 20，方差为 4 B．平均数为 11，方差为 4 C．平均数为 21，方差为 8 D．平均数为 20，方差为 8 【答案】D 【解析】由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案. 21 iz ii = −+ 3 2 3 2 − 3 2 i− 3 2 i z (1 ) 1 32 21 2 2 2 i i iz i i ii −= − = − = −+ 3 2 − { }21 log 3A x x= ≤ ≤ { }2 3 4 0B x x x= − − < A B ( )1,2− ]( 1,8− )2,4 [ ]4,8 A B A B { } [ ]21 log 3 2,8A x x= ≤ ≤ = { } ( )2 3 4 0 1,4B x x x= − − < = − ( ]1,8A B = − 1 2 31 ,1 ,1 , ,1 nx x x x+ + + + 1 2 32 2 ,2 2 ,2 2 , ,2 2 nx x x x+ + + +第 2 页 共 21 页 【详解】 样本 的平均数是 10，方差为 2， 所以样本 的平均数为 ,方差为 . 故选:D. 【点睛】 样本 的平均数是 ，方差为 ，则 的平 均数为 ,方差为 . 4．设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由指数函数的性质得 ，由对数函数的性质得 ，根据正切函数的 性质得 ，即可求解，得到答案． 【详解】 由指数函数的性质，可得 ，由对数函数的性质可得 ， 根据正切函数的性质，可得 ，所以 ，故选 B. 【点睛】 本题主要考查了指数式、对数式以及正切函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数 函数与对数函数的性质，以及正切函数的性质得到 的取值范围是解答的关键，着 重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 5．已知向量 ，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【解析】向量 ， ， ，则 ，即 ， 或者-1，判断出即可． 【详解】 解：向量 ， ， 1 2 31 ,1 ,1 , ,1 nx x x x+ + + + 1 2 32 2 ,2 2 ,2 2 , ,2 2 nx x x x+ + + + 2 10 20× = 22 2 8× = 1 2 3, , , , nx x x x x 2s 1 2 3, , , , nax b ax b ax b ax b+ + + + ax b+ 2 2a s 0.52a = 0.5log 0.6b = 4tan 5c π= a b c< < c b a< < b c a< < c a b< < 1a > ( )0,1b∈ 0c < 0.52 1a = > ( )0.5log 0.6 0,1b = ∈ 4tan 05c π= < c b a< < , ,a b c ( ,1), (3, 2)a m b m= = − 3m = / /a b  1a m= （ ，） 3 2b m= − （ ， ） / /a b  3 2m m= −（ ） 2 2 3 0m m− − = 3m = 1a m= （ ，） 3 2b m= −（ , ）第 3 页 共 21 页 ，则 ，即 ， 或者-1， 所以 是 或者 的充分不必要条件， 故选：A． 【点睛】 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题. 6．函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的 等差数列，要得到函数 的图象，只需将 的图象（ ） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 【答案】A 【解析】依题意有 的周期为 .而 ，故应左移 . 7．根据最小二乘法由一组样本点 （其中 ），求得的回归方程是 ，则下列说法正确的是( ) A．至少有一个样本点落在回归直线 上 B．若所有样本点都在回归直线 上，则变量同的相关系数为 1 C．对所有的解释变量 （ ）， 的值一定与 有误差 D．若回归直线 的斜率 ，则变量 x 与 y 正相关 【答案】D 【解析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】 回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故 A 错误； 所有样本点都在回归直线 上，则变量间的相关系数为 ，故 B 错误； / /a b  3 2m m= −（ ） 2 2 3 0m m− − = 3m = 3m = 3m = 1m = − ( ) sin( )( 0)4f x A x πω ω= + > x 3 π ( ) cosg x A xω= ( )f x 12 π 4 π 4 π 3 4 π ( )f x ( )2 2π π, 3, sin 33 4T f x A x π ωω  = = = = +   ( ) π π π π πsin 3 sin 3 sin 32 4 4 12 4g x A x A x A x       = + = + + = + +             π 12 ( ),i ix y 1,2, ,300i =  ˆˆ ˆy bx a= + ˆˆ ˆy bx a= + ˆˆ ˆy bx a= + ix 1,2, ,300i =  ˆ ˆibx a+ iy ˆˆ ˆy bx a= + ˆ 0b > ˆˆ ˆy bx a= + 1±第 4 页 共 21 页 若所有的样本点都在回归直线 上，则 的值与 相等，故 C 错误； 相关系数 r 与 符号相同，若回归直线 的斜率 ，则 ，样本点分布 应从左到右是上升的，则变量 x 与 y 正相关，故 D 正确． 故选 D． 【点睛】 本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理 能力. 8．已知点 是抛物线 上的一动点， 为抛物线的焦点， 是圆 ： 上一动点，则 的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当 三点共线时， 的 值最小，根据圆的性质可知最小值为 ；根据抛物线方程和圆的方程可求得 ，从而得到所求的最值. 【详解】 如图所示，利用抛物线的定义知： 当 三点共线时， 的值最小，且最小值为 抛物线的准线方程： ， 本题正确选项： 【点睛】 本题考查线段距离之和的最值的求解，涉及到抛物线定义、圆的性质的应用，关键是能 够找到取得最值时的点的位置，从而利用抛物线和圆的性质来进行求解. ˆˆ ˆy bx a= + ˆ ˆbx a+ yi ˆb ˆˆ ˆy bx a= + ˆ 0b > 0r > M 2 4x y= F A C 2 2( 1) ( 4) 1x y− + − = | | | |MA MF+ , ,M A P MA MF+ CP r− CP MP MF= , ,M A P MA MF+ 1CP r CP− = −  1y = − ( )1,4C 4 1 5CP∴ = + = ( ) min 5 1 4MA MF∴ + = − = B第 5 页 共 21 页 9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 ，则该三棱锥外接球的 表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出三棱锥的实物图 ，然后补成直四棱锥 ，且底面为矩 形，可得知三棱锥 的外接球和直四棱锥 的外接球为同一个球，然 后计算出矩形 的外接圆直径 ，利用公式 可计算出外接 球的直径 ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】 三棱锥 的实物图如下图所示： 将其补成直四棱锥 ， 底面 ， 可知四边形 为矩形，且 ， . 矩形 的外接圆直径 ，且 . 所以，三棱锥 外接球的直径为 ， 因此，该三棱锥的外接球的表面积为 . 故选：C. 【点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三 棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 10．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 ， ， 1 27π 28π 29π 30π P ACD− P ABCD− P ACD− P ABCD− ABCD AC 2 22R PB AC= + 2R P ACD− P ABCD− PB ⊥ ABCD ABCD 3AB = 4BC = ABCD 2 2 5AC = AB + BC = 2PB = P ACD− 2 22 29R PB AC= + = ( )224 2 29R Rπ π π= × = ABC∆ A B C a b c 8a b+ = 2 7c =第 6 页 共 21 页 ，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据余弦定理以及二倍角余弦公式，将 ，变形整理为 ，再根据正弦定理，变形整理为 ，确定 ，然后根据余弦定理，确定 ，根据三角形面积公式 求 解即可. 【详解】 依题意， ，即 ，故 ，故 ，即 ，因为 ，故 ；由 余弦定理， ，即 ，即 ，则 ，则 的面积 . 故选：C 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题. 11．已知 ， 为任意实数，且 ，则对任意正实数 ， 的最小值为（ ） A． B．18 C． D． 【答案】D 【解析】由题意得所求为曲线 上的点与以 为圆心，以1 为半径的圆上 的点的距离的平方的最小值，设曲线 上的点 利用导数表 示出曲线 在点 处的切线的斜率；再根据几何意义可知当 时所 ( )( )2 2 2 22 1 2sin 22 Babca b a b c−  = −  +  − ABC∆ 6 3 8 3 3 3 4 3 ( )( )2 2 2 22 1 2sin 22 Babca b a b c−  = −  +  − 2 cos cos cosa C b C c B= + 2sin cos sinA C A= 1cos 2C = 12ab = in1 2 sS ab C= ( )( )2 2 22 2 cosa b a b c abc B− + − = ( ) 2 2 2 2 cos2 a b ca b c Bab + −− = ( ) cos2 cos Ba Cb c=− ⋅ 2 cos cos cosa C b C c B= + 2sin cos sin cos sin cos sinA C B C C B A= + = sin 0A ≠ 1cos 2C = ( )22 2 2 2 cos 3c a b ab C a b ab= + − = + − 28 64 3ab= − 3 36ab = 12ab = ABC∆ 1 3sin 6 3 32 2S ab C= = × = a b 2 2( 2) ( 3) 1a b+ + − = x 2 2( ) (ln )x a x b− + − 3 2 3 2 1− 19 6 2− lny x= ( 2,3)C − lny x= ( ,ln ),( 0),M m m m > lny x= M 1CMk k′⋅ = −第 7 页 共 21 页 求两点间距离的平方最小，即可解得 ，进而由点到圆上距离的最值方法即可求解. 【详解】 ，其意义为曲线 上的点与以 为圆心，以 1 为半径 的圆上的点的距离的平方，可以先求曲线 上的点与圆心 的距离， 在曲线 上取一点 ， 则 ， 曲线 在点 处的切线的斜率为 ， 由几何意义可知有 ，即 ，整理得 ， 令 ， 则 ， 所以 在 内单调递增， 而 ， 所以 ，即切点为 满足条件， 则 到圆心 的距离为 ， 故由圆外一点到圆上距离的最小值求法可得 ． 故选：D． 【点睛】 本题考查了两点间距离公式几何意义的理解和应用，利用导函数求曲线上一点到圆上距 离最值，利用导数判断函数单调性，进而确定解的唯一性，属于中档题. 12．若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 m 的取值范 围为 m 2 2( ) (ln )x a x b− + − lny x= ( 2,3)C − lny x= ( 2,3)C − lny x= ( ,ln ),( 0)M m m m > 1k y x = ′ = lny x= M 1k m ′ = 1CMk k′⋅ = − ln 3 1 12 m m m − ⋅ = −+ 2ln 2 3 0m m m+ + − = ( ) 2ln 2 3g m m m m= + + − ( ) 2 2 1 122 2 1 2 2 0 mm mg m m m  + + + +  ′ = = > ( ) 2ln 2 3g m m m m= + + − 0m > ( )1 ln1 1 2 3 0g = + + − = 1m = ( )1,0M M ( 2,3)C − 2 2( 2 1) (3 0) 3 2d = − − + − = 2(3 2 1) 19 6 2− = − ( ) 2 2f x m x lnx= − + 2 1 ,ee      （ ）第 8 页 共 21 页 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 得， ，所以直线 与函数 在 上的图象有两个交点，利用导数判断出函数 的单调性，画 出图象，即可求出． 【详解】 令 得， ，所以直线 与函数 在 上的图象有两个交点． 因为 ， 当 时， ，当 时， ， 而 ， ， ， 作出图象， 由图可知， ． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查函数零点，方程的根，函数图象之间交点个数的关系应用，以及利用导数 研究函数的单调性与极值，意在考查学生的转化能力与数学计算能力． 二、填空题 13．甲、乙、丙三人参加招聘老师面试，最终只有一人能够被录用， ( 2, 2e e −  2 4 11 , 2ee  + −   4 11,4 e  +   [ )1, ∞+ ( ) 0f x = 2 2m x lnx= − y m= ( ) 2 2lng x x x= − 2 1 ,ee      ( ) 2 2lng x x x= − ( ) 0f x = 2 2m x lnx= − y m= ( ) 2 2lng x x x= − 2 1 ,ee      ( ) ( )22 122 x g x x x x −′ = − = 2 1 1xe < ≤ ( ) 0g x′ ≤ 1 x e< ≤ ( ) 0g x¢ > 2 4 1 1 4g e e   = +   ( ) 2 2g e e= − ( )1 1g = 4 11 4m e ∴ < ≤ +第 9 页 共 21 页 得到面试结果后，甲说：“丙被录用了”；乙说：“甲被录用了”；丙说：“我没被录用”. 若这三人中仅有一人说法错误，则甲、乙、丙三人被录用的是__________ 【答案】甲 【解析】分别假设甲说的是真话，甲说的是假话来分析，即可得出结论. 【详解】 解：假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立； 假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话， 若乙说的是真话，即甲被录用，成立，故甲被录用； 若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立. 故答案为：甲. 【点睛】 本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础. 14．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？” 其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少 步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是__________ 【答案】 【解析】利用分割面积法求出内切圆半径，进而求出内切圆的面积，再利用几何概型的 概率公式计算即可. 【详解】 解： 直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步， 斜边长为 13 步， 设内切圆的半径为 ，则 ， ， 内切圆的面积为： ， 则豆子落在其内切圆外的概率是： . 故答案为： . 【点睛】 本题考查了几何概型的概率计算，是基础题. 15 2 15 π−  ∴ r ( )1 15 12 13 12 52 2r + + = × × 2r∴ = ∴ 4π 1 12 5 4 15 22 1 1512 52 π π× × − −= × × 15 2 15 π−第 10 页 共 21 页 15．已知不等式 表示的平面区域为 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为___________． 【答案】-5 【解析】利用不等式组，画出可行域，求得目标函数 的最小值，即可由恒成 立问题求得 的最大值. 【详解】 由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示： 可求得 ， ， ． 当直线 经过点 时，直线的纵截距最大，此时 的值最小， 因为不等式 恒成立， 所以 ， ∴即 的最大值为-5. 故答案为：-5. 【点睛】 本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，恒成立问题的解法，属于 基础题. 16．已知点 是抛物线 的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物 线上的点，且 ，若双曲线 C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过 P 点， 当 m 取最小值时，双曲线 C 的离心率为______. 【答案】 【解析】由点 坐标可确定抛物线方程，由此得到 坐标和准线方程；过 作准线的 1 0 1 0 2 2 0 x y x y x y + − ≥  − + ≥  − − ≤ D ( , )x y D∈ 2 0x y t− − ≥ t 2z x y= − t (3,4)A (0,1)B (1,0)C 2z x y= − (3,4)A z 2 0x y t− − ≥ ( )min2 3 2 4 5t x y≤ − = − × = − t ( )0, 1A − 2 2x py= PF m PA= 2 1+ A F P第 11 页 共 21 页 垂线，垂足为 ，根据抛物线定义可得 ，可知当直线 与抛物线相切时， 取得最小值；利用抛物线切线的求解方法可求得 点坐标，根据双曲线定义得到实轴长， 结合焦距可求得所求的离心率. 【详解】 是抛物线 准线上的一点 抛物线方程为 ，准线方程为 过 作准线的垂线，垂足为 ，则 设直线 的倾斜角为 ，则 当 取得最小值时， 最小，此时直线 与抛物线相切 设直线 的方程为 ，代入 得： ，解得： 或 双曲线的实轴长为 ，焦距为 双曲线的离心率 故答案为： 【点睛】 本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线定义 N PN mPA = PA m P ( )0,1A 2 2x py= 2p∴ = ∴ 2 4x y= ( )0,1F∴ 1y = − P N PN PF= PF m PA= PF PN mPA PA ∴ = = PA α sin mα = m sinα PA PA 1y kx= − 2 4x y= 2 4 4 0x kx− + = 216 16 0k∴∆ = − = 1k = ± ( )2,1P∴ ( )2,1− ∴ ( )2 2 1PA PF− = − 2AF = ∴ ( )2 2 1 2 2 1 e = = + − 2 1+第 12 页 共 21 页 的应用；关键是能够确定当 取得最小值时，直线 与抛物线相切，进而根据抛物线 切线方程的求解方法求得 点坐标. 三、解答题 17．已知数列 的前 项和为 ，点 在直线 上， (1)求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 。 【答案】（1） （2） 【解析】⑴由点在直线上代入得到 的关系，然后求出通项公式 ⑵由（1）得 ，运用错位相减法求出前 项和 【详解】 (1) 点 在直线 上， ， . 当 时， 则 ， 当 时， , 两式相减，得 , 所以 . 所以 是以首项为 ，公比为 等比数列，所以 . (2) , , , 两式相减得: , 所以 . 【点睛】 本题主要考查了数列的递推公式的运用，错位相减求和的运用，解题的关键是理解各个 m PA P { }na n nS ( , )n na S 2 2y x= − *n∈N { }na 2( 1)logn n nb n a a= + − { }nb n nT 2n na = 1( 1) 2 2n nT n += − × + n na S、 2n nb n= ⋅ n nT  ( ),n na S 2 2y x= − *n N∈ ∴ 2 2n nS a= − 1n = 1 12 2,a a= − 1 2a = 2n ≥ S 2 2n na= − 1 12 2n nS a− −= − 12 2n n na a a −= − 12n na a −= { }na 2 2 2n na = ( ) ( )2 21 log 1 log 2 2n n n n n nb n a a n a n= + − = + − = ⋅ ( )1 2 3 11 2 2 2 3 2 1 2 2n n nT n n −= × + × + × + + − × + × ( )2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 1 2 2n n nT n n += × + × + × + + − × + × 1 2 3 12 2 2 2 2n n nT n +− = + + + + − × ( ) 11 2 2n nT n += − × +第 13 页 共 21 页 概念以及掌握求和的基本步骤。 18．在三棱柱 中， ， 为 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）若 ，点 在平面 的射影在 上，且侧面 的面积为 ，求三棱锥 的体积. 【答案】（1）见解析;（2） . 【解析】试题分析：（1）连接 交 于点 ，连接 .利用中点可得 ，所以 平面 .（2）取 中点 ，连接 ，过点 作 于 ，连接 ,利用等腰三角形和射影的概念可知 平面 ，所 以 ，所以 平面 ，所以 .利用侧面 的面积可计 算得三棱锥的高，由此可计算得三棱锥的体积. 试题解析： （1）证明：连接 交 于点 ，连接 . 则 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，且 平面 ， 平面 ，则 平面 . （2）解：取 的中点 ，连接 ，过点 作 于点 ，连接 . 因为点 在平面 的射影 在 上，且 ， 所以 平面 ，∴ ， ，∴ 平面 ， 则 . 设 ，在 中， ， ， ∴ ， ， ， 1 1 1ABC A B C− 2, 120AC BC ACB= = ∠ = ° D 1 1A B 1 //AC 1BC D 1 1A A AC= 1A ABC AC 1 1A ABB 2 3 1 1B A C D− 1 4 1B C 1BC E DE 1/ /DE AC 1 //AC 1BC D AC O 1AO O OF AB⊥ F 1A F 1AO ⊥ ABC 1AO AB⊥ AB ⊥ 1AOF 1AB A F⊥ 1 1A ABB 1B C 1BC E DE E 1B C D 1 1A B 1/ /DE AC DE ⊂ 1BC D 1AC ⊄ 1BC D 1 / /AC 1BC D AC O 1AO O OF AB⊥ F 1A F 1A ABC O AC 1 1A A AC= 1AO ⊥ ABC 1AO AB⊥ 1AO OF O∩ = AB ⊥ 1AOF 1A F AB⊥ 1AO h= ABC∆ 2AC BC= = 120ACB∠ = ° 2 3AB = 1 2OF = 2 1 1 4A F h= +第 14 页 共 21 页 由 ，可得 . 则 . 所以三棱锥 的体积为 . 19．第 7 届世界军人运动会于 2019 年 10 月 18 日至 27 日在湖北武汉举行，赛期 10 天， 共设置射击、游泳、田径、篮球等 27 个大项，329 个小项，共有来自 100 多个国家的 近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，特招聘了 3 万名志愿者．某部 门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中 100 名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中 位数为 34 岁，年龄在 岁内的人数为 15 人，并根据调查结果画出如所示的频率 分布直方图： （1）求 ， 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代 表）； （2）本次军运会志愿者主要通过直接到武汉军运会执委会志愿者部现场报名和登录第 七届世界军运会官网报名，即现场和网络两种方式报名调查．这 100 位志愿者的报名方 式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？ 男性 女性 总计 1 1 21 2 3 2 34A ABBS h= + × = 1 3 2AO h= = 1 1 1 1A BC D B A C DV V− −= 1 11 1 3 BA C DAO S= × × 1 3 1 1 23 2 2 2 = × × × × 12 sin120 4 × × ° = 1 1A BC D− 1 4 [40,45) m n第 15 页 共 21 页 现场报名 50 网络报名 31 总计 50 参考公式及数据： ，其中 . 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） ， ．34 岁（2）见解析，不能在犯错误的概率不超 过 0.001 的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关系 【解析】（1）根据年龄在 岁的人数即可求得该组的频率，并由所有小矩形面积 为 1 及中位数，可得关于 的方程组，解方程即可确定 的值；进而由频率分布 直方图中平均数公式即可求得平均值； （2）根据题意可完善列联表，由列联表代入公式即可计算得 ，结合临界值，即可作 判断. 【详解】 （1）∵志愿者年龄在 内的人数为 15 人， ∴志愿者年龄在 内的频率为 ； 由频率分布直方图得： ， 化简得： ．① 由中位数为 34 可得： ， 化简得： ，② 由①②解得： ， ． 所以志愿者的平均年龄为： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥ 0k 0.020m = 0.025n = [40,45) ,m n ,m n 2K [40,45) [40,45) 15 0.15100 = (0.020 2 2 2 0.010) 5 0.15 1m n n+ + + + × + = 2 0.07m n+ = 0.020 5 2 5 2 (34 30) 0.5m n× + × + × − = 5 4 0.2m n+ = 0.020m = 0.025n = (22.5 0.020 27.5 0.040 32.5 0.050 37.5 0.050 42.5 0.030 47.5 0.010) 5 34× + × + × + × + × + × × =第 16 页 共 21 页 （岁）． （2）根据题意得 列联表： 男性 女性 总计 现场报名 19 31 50 网络报名 31 19 50 总计 50 50 100 ∴ ， 故不能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关 系． 【点睛】 本题考查了频率分布直方图的简单应用，中位数的应用和平均数的求法，完善列联表并 由卡方进行独立性分析，属于中档题. 20．已知椭圆 的长轴长为 4，直线 被椭圆 截得的线 段长为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）过椭圆 的右顶点作互相垂直的两条直线 分别交椭圆 于 两点（点 不同于椭圆 的右顶点），证明：直线 过定点 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】分析：（1）由椭圆的对称性知 两点关于原点对称，不妨设 在第一象限， 由弦长可得 ，代入 ，再结合 可解得 ； （2）只要设出直线方程： ，把 代入椭圆方 程可解得 M 点坐标，同理可解得 N 点坐标，由两点求出直线 MN 的方程（注意分类讨 2 2× 2 2 100 (19 19 31 31) 5.76 10.82850 50 50 50K × × − ×= = > y x= C 4 10 5 C C 1 2,l l C ,M N ,M N C MN 6( ,0)5 2 2 14 x y+ = 6( ,0)5 ,P Q P 2 5 2 5( , )5 5P 2 2 2 2 1x y a b + = 2 4a = ,a b 1 2 1: 2, : 2l x my l x ym = + = − + 2x my= +第 17 页 共 21 页 论 MN 与 垂直和不垂直两种情形），通过直线方程可观察出直线所过定点． 详解：（1）根据题意，设直线 与题意交于 两点.不妨设 点在第一象限，又 长为 ， ∴ ，∴ ，可得 ， 又 ， ∴ ，故题意 的标准方程为 ， （2）显然直线 的斜率存在且不为 0，设 ， 由 得 ，∴ ， 同理可得 当 时， ，所以直线 的方程为 整理得 ，所以直线 当 时，直线 的方程为 ，直线也过点 所以直线 过定点 . 点睛：在圆锥曲线中证明直线过定点，主要采用“设而不求法”，通常求出直线与圆锥曲 线的交点坐标（本题是通过设出直线方程，由直线方程与椭圆方程联立求得交点 M，N 坐标），然后求出直线方程，观察直线方程可证此直线过定点． 21．已知函数 在点 处的切线方程为 . （1）求实数 的值； （2）若存在 ，满足 ，求实数 的取值范围. x y x= ,P Q P PQ 4 10 5 2 5 2 5,5 5P       2 2 4 4 5 5 1a b + = 2 2 2 25 4a b a b+ = 2 4a = 2, 1a b= = C 2 2 14 x y+ = 1 2,l l 1 2 1: 2, : 2l x my l x ym = + = − + 2 2 2 14 x my x y = + + = ( )2 24 4 0m y my+ + = 2 2 2 2 8 4,4 4 m mM m m  − + −  + +  2 2 2 2 8 4,4 1 4 1 m mN m m  − +  + +  1m ≠ ± ( )2 5 4 1MN mk m = − MN ( ) 2 2 22 4 5 2 8 4 44 1 m m my xm mm  − ++ = − + +−   ( ) ( ) ( )2 2 2 5 6 5 6 54 1 4 1 4 1 m m my x x m m m −  = + = − − − −   1m = ± MN 6 5x = 6 ,05      MN 6 ,05      ( ) ln xf x ax bx = − + ( )( ),e f e 2y ax e= − + b 2 0 ,x e e ∈  ( )0 1 4f x e≤ + a第 18 页 共 21 页 【答案】(1) 实数 的值为 . (2) . 【解析】分析：（1）根据导数的几何意义求得曲线 在点 处的切线 方程，与 对照后可得 ．（2）问题可转化为 在 上 有解，令 ， ，结合导数可得 ， 故得实数 的取值范围为 ． 详解：（1）函数 的定义域为 ， ∵ ， ∴ . ∴ ， 又 , ∴所求切线方程为 ， 即 . 又函数 在点 处的切线方程为 ， ∴ . 所以实数 的值为 . （2）由题意得 ， 所以问题转化为 在 上有解. 令 ， ， 则 . 令 ， 则当 时，有 . b e 2 1 1 ,2 4e  − +∞  ( )y f x= ( )( ),e f e 2y ax e= − + b e= 1 1 ln 4a x x ≥ − 2,e e   ( ) 1 1 ln 4h x x x = − 2,x e e ∈  ( ) ( )2 2 1 1 2 4minh x h e e = = − a 2 1 1 ,2 4e  − +∞  ( )f x ( ) ( )0,1 1,∪ +∞ ( ) ln xf x ax bx = − + ( ) 2 ln 1' ln xf x ax −= − ( )'f e a= − ( ) ef e ae b= − + ( ) ( )y e ae b a x e− − + = − − y ax e b= − + + ( )f x ( )( ),e f e 2y ax e= − + b e= b e ( ) 0 0 0 0 1 ln 4 xf x ax e ex = − + ≤ + 1 1 ln 4a x x ≥ − 2,e e   ( ) 1 1 ln 4h x x x = − 2,x e e ∈  ( ) 2 2 2 2 2 1 1 ln 4' 4 ln 4 ln x xh x x x x x x −= − = ( )( ) 2 2 ln 2 ln 2 4 ln x x x x x x + − = ( ) ln 2p x x x= − 2,x e e ∈  ( ) 1 1 1' 0xp x x xx −= − =