1
江苏省泰州市 2019—2020 学年度第二学期调研测试
高三数学试题
第 I 卷（必做题，共 160 分）
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置
上．）
1．已知集合 A＝{l，2}，B＝{2，4，8}，则 A B＝ ．
2．若实数 x，y 满足 x＋yi＝﹣1＋(x﹣y)i（i 是虚数单位），则 xy＝ ．
3．如图是容量为 100 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为
．
4．根据如图所示的伪代码，可得输出的 S 的值为 ．
5．若双曲线 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率
为 ．
6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）
先 后 抛 掷 2 次 ， 这 两 次 出 现 向 上 的 点 数 分 别 记 为 x ， y ， 则 的 概 率
是 ．
7．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2＝4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是它到 y 轴距离的 3
倍，则点 P 的横坐标为 ．
8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健
步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为
378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半，
一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里．
9．若定义在 R 上的奇函数 满足 ， ，则 ＋ ＋
的值为 ．
10．将半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为 ，则 R
＝ ．
2 2
2 2 1x y
a b
− = 2y x=
1x y− =
( )f x ( 4) ( )f x f x+ = (1) 1f = (6)f (7)f (8)f
9 3π2
11．若函数 只有一个零点，则实数 a 的取值范围为 ．
12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( ， )，B( ， )在圆 O： 上，
且满足 ，则 的最小值是 ．
13 ． 在 锐 角 △ ABC 中 ， 点 D ， E ， F 分 别 在 边 AB ， BC ， CA 上 ， 若 ，
，且 ， ，则实数 的值为 ．
14．在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足 AD＝BD，3tan2B﹣2tanA＋3＝0，则 的取
值范围为 ．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥 P— ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB＝AC，点 D，E，F 分別是 AB，
AC，BC 的中点．
（1）求证：BC∥平面 PDE；
（2）求证：平面 PAF ⊥平面 PDE．
16．（本小题满分 14 分）
已知函数 ，x R ．
（1）求函数 的最大值，并写出相应的 x 的取值集合；
（2）若 ， ( ， )，求 sin2 的值．
2( )
1
x a x af x
x x a
+ ≥= − = − > 0, 3
πθ ∈
12 24sin (24cos 12)2S MB DM θ θ= ⋅ ⋅ = − 0, 3
πθ ∈ 9
……………9 分
设 ， ，因为
，
又 ，所以 ，使得 ，
则当 时， 在 上单调增，
当 时， 在 上单调减，
即 是极大值，也是最大值，所以 ，
此时 ． ……………13 分
答：（1）池内休息区总面积为 ；
（2）池内休息区总面积最大时 的长为 ．………14 分
18.（本题满分 16 分）
解：（1）由题意： ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ． ……………4 分
（2）显然直线 的斜率存在，设为 且 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
联立 得 ，
解得 ， ，所以 ，
( ) ( )sin 2cos 1f θ θ θ= − 0, 3
πθ ∈
( ) ( ) 2 2 1 33cos 2cos 1 2sin 4cos cos 2 0 cos 8f θ θ θ θ θ θ θ ±′ = − − = − − = ⇒ =
1 33 1cos 8 2
θ += > 0 0, 3
πθ ∃ ∈ 0
1 33cos 8
θ +=
( )00,x θ∈ ( ) ( )0f fθ θ′ > ⇒ ( )00,θ
0 , 3x
πθ ∈
( ) ( )0f fθ θ′ < ⇒ ( )00,θ
( )0θf ( ) ( )max 0f fθ θ=
024cos 3 3 33AM θ= = +
2144(2 2)− m
AM (3 3 33)AM = + m
2 2
2 2 2
3
1
2
a b b
ab b
a b c
+ =
=
= +
2, 2a b c= = =
M
2 2
14 2
x y+ =
AB k 0k >
AB ( 2)y k x= + 2 0kx y k− + =
2 2
( 2)
14 2
y k x
x y
= + + =
2 2 2 2(1 2 ) 8 8 4 0k x k x k+ + + − =
2
2
2 4
1 2B
kx k
−= + 2
4
1 2B
ky k
= +
2
2 2
2
4 1( 2) 1 2B B
kAB x y k
+= + + = +10
直线 的方程为 ，即 ，所以 ，
所以矩形 面积 ，
所以当且仅当 时，矩形 面积 的最大值为 ．……………11 分
（3）若矩形 为正方形，则 ，
即 ，则 ，
令 ，
因为 ，又 的图象不间断，
所以 有零点，所以存在矩形 为正方形．
……………16 分
19.（本题满分 16 分）
解：（1）函数 是“YZ 函数”，理由如下：
因为 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 的极大值 ，
故函数 是“YZ 函数”． ……………4 分
（2）定义域为 ， ，
当 时， ，函数单调递增，无极大值，不满足题意；
当 时，当 时， ，函数单调递增，
当 时， ，函数单调递减，
所以 的极大值为 ，
CD y kx= 0kx y− =
2 2
2 2
1 1
k kBC
k k
= =
+ +
ABCD
2
2 22
4 1 2 8 8 8 2 211 2 1 2 2 21 2
k k kS k kk kk
+= ⋅ = = =+ ++ +
≤
2
2k = ABCD S 2 2
ABCD AB BC=
2
2 2
4 1 2
1 2 1
k k
k k
+ =+ +
3 22 2 2 0k k k− + − = ( 0)k >
3 2( ) 2 2 2( 0)f k k k k k= − + − >
(1) 1 0, (2) 8 0f f= − < = > 3 2( ) 2 2 2( 0)f k k k k k= − + − >
3 2( ) 2 2 2( 0)f k k k k k= − + − > ABCD
( ) 1x
xf x = −
e
( ) 1x
xf x = −
e
1( ) x
xf x
−′ =
e
1x < ( ) 0f x′ > 1x > ( ) 0f x′ <
( ) 1x
xf x = −
e
1(1) 1 0f = − <
e
( ) 1x
xf x = −
e
(0, )+∞ 1( )g x mx
′ = −
0m ≤ 1( ) 0g x mx
′ = − >
0m > 10 x m
< < 1( ) 0g x mx
′ = − >
1x m
> 1( ) 0g x mx
′ = − <
( )g x 1 1 1( ) ln ln 1g m mm m m
= − ⋅ = − −11
由题意知 ，解得 ． ……………10 分
（3）证明： ，
因为 ， ，则 ，
所以 有两个不等实根，设为 ，
因为 ，所以 ，不妨设 ，
当 时， ，则 单调递增；
当 时， ，则 单调递减，
所以 的极大值为 ， ……………13 分
由 得 ，
因为 ， ，
所以
．
所以函数 是“YZ 函数”． ……………16 分
（其他证法相应给分）
20.（本题满分 16 分）
解：（1）设等比数列 的公比为 ，则 ，
当 时， ，数列 不是等比数列， ……………2 分
当 时，因为 ，所以 ，所以数列 是等比数
列． ……………5 分
（2）因为 恰好是一个等差数列的前 项和，设这个等差数列为 ，公差为 ，
因为 ，所以 ，
1( ) ln 1 0g mm
= − − < 1m >
e
2( )h x x ax b′ = + +
2a ≤ − 0 1b< < 2 4 0a b∆ = − >
2( ) 0h x x ax b′ = + + = 1 2,x x
1 2
1 2
0
0
x x a
x x b
+ = − >
= > 1 20, 0x x> > 1 20 x x< <
10 x x< < ( ) 0h x′ > ( )h x
1 2x x x< < ( ) 0h x′ < ( )h x
( )h x 3 2
1 1 1 1
1 1 1( ) 3 2 3h x x ax bx b= + + −
2
1 1 1( ) 0h x x ax b′ = + + = 3 2
1 1 1 1 1( )x x ax b ax bx= − − = − −
2a −≤ 0 1b< <
3 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1( ) ( )3 2 3 3 2 3h x x ax bx b ax bx ax bx b= + + − = − − + + −
2 2
1 1 1 1
1 2 1 1 2 1
6 3 3 3 3 3ax bx b x bx b= + − ≤ − + −
2
1
1 1( ) ( 1) 03 3x b b b= − − + − <
( )h x
{ }na q 12 2 (2 1)n n n n n nc a a a q a q a+= + = + = +
1
2q = − 0nc = { }nc
1
2q ≠ − 0nc ≠ 1 1(2 1)
(2 1)
n n
n n
c q a qc q a
+ ++= =+ { }nc
na n { }nd d
1 2n na d d d= + + + 1 1 2 1n n na d d d d+ += + + + +12
两式相减得 ，
因为 ，
所以 ，
所以数列 是等差数列． ……………10 分
（3）因为数列 是等差数列，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，则 ，
又因为数列 是等比数列，所以 ，则 ，
即 ，
因为数列 各项均为正数，所以 ， ……………13 分
则 ，
即 ，
又因为数列 是等差数列，所以 ，
即 ，
化简得 ，将 代入得
，
化简得 ，所以数列 是等差数列． ……………16 分
（其他证法相应给分）
数学Ⅱ（附加题）
21. A． [选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
解：因为 ，所以 ，解得 ，……………4 分
设 ，则 ，
1 1n n na a d+ +− =
2n n na a b+ = +
1 3 1 2 3 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n n nb b a a a a a a a a+ + + + + + +− = − − − = − − − 3 1 2n nd d d+ += − =
{ }nb
{ }nc 3 2 1n n n nc c c c+ + +− = −
12n n nc a a+= + 4 3 3 2 2 1 12 (2 ) 2 (2 )n n n n n n n na a a a a a a a+ + + + + + ++ − + = + − +
4 2 3 1 22( ) ( ) ( )n n n n n na a a a a a+ + + + +− = − + − 2 12 n n nb b b+ += +
{ }nb 2
1 2n n nb b b+ += 2 1
1 2
n n
n n
b bb b +
+
+= ⋅
1 1( )(2 ) 0n n n nb b b b+ +− + =
{ }nb 1n nb b+ =
3 1 2n n n na a a a+ + +− = −
3 2 1n n n na a a a+ + += + −
{ }nc 2 12n n nc c c+ ++ =
3 2 1 2 1(2 ) (2 ) 2(2 )n n n n n na a a a a a+ + + + ++ + + = +
3 22 3n n na a a+ ++ = 3 2 1n n n na a a a+ + += + −
2 1 22( ) 3n n n n na a a a a+ + ++ − + =
2 12n n na a a+ ++ = { }na
−=
b
ba 2
521
43 3 20 2
10
a b
a b
+ = −
+ =
6
4
a
b
= −
=
1 m pM n q
− =
3 4 1 0
1 2 0 1
m p
n q
= 13
即 ，解得 ， 所以 ， ……………8 分
所以 . ……………10 分
B.[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
解：由题：直线方程即为 ，
由 ， 得直线的直角坐标方程为 ，……………4 分
设 点的坐标为 ，
点 到直线的距离 ，……………8 分
当 ，即 时， 取得最大值 ，
此时点 的坐标为 . ……………10 分
C.[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
证明：由柯西不等式，得
………………5 分
所以 ． ………………10 分
3 4 1
3 4 0
2 0
2 1
m n
p q
m n
p q
+ =
+ = + =
+ =
1
1
2
2
3
2
m
n
p
q
=
= − = −
=
−
−
=−
2
3
2
1
21
1M
1
1 -2 4 16= 1 3 -6 11
2 2
bM a
−
= −−
(sin cos cos sin ) 4 24 4
π πρ θ θ+ =
cos xρ θ = sin yρ θ = 8 0x y+ − =
P ( )cos , 3sinα α
∴ P 2 2
2sin 8cos 3sin 8 6
21 1
d
παα α
+ − + − = =
+
2 ( )6 2 Zk k
π πα π+ = − ∈ 22 (3 Z)k kα π π= − ∈ d 5 2
P 1 3,2 2
− −
2 2 2
3( ) ( )( )a b ca b c b c a b c a
+ + = + + + +
2 2 2 2 2 2[( ) ( ) ( ) ][( ) ( ) ( ) ]a b cb c a
b c a
= + + + +
2 2( ) ( )a b cb c a a b c
b c a
⋅ + ⋅ + ⋅ = + +≥
3a b c+ + ≤14
22.（本小题满分 10 分）
解：因为平面 平面 ,又 ，
即 ，因为 ，
， 平面 ,
由四边形 为边长为 2 的正方形,
所以 两两互相垂直．
以 为坐标原点， 为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2 分
由 平面 且 ,
（1） , ，
则 ,
所以 和 所成角的余弦值为 . ……………5 分
（2） , ,设平面 的一个法向量为 ，
由 ,取 ,得 ,
平面 的一个法向量为 ,
,
由二面角 的平面角为锐角,所以二面角 的余弦值为 .……10 分
23.（本小题满分 10 分）
解：（1） 的所有排列为 ，
因为 ，所以对应的 分别为 ，所以 ； ……………3 分
ADE ⊥ ABCD 2ADE
π∠ =
DE AD⊥ DE ADE⊂ 平面
ADE ABCD AD=平面 平面 DE∴ ⊥ ABCD
ABCD
, ,DA DC DE
D { , , }DA DC DE
EF ⊥ ADE 1EF =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 2,0,0 , 0,0,2 , 0,2,0 , 2,2,0 , 0,1,2 ,D A E C B F∴
( )2,0,2AE = − ( )0,1,2DF =
4 10cos , 52 2 5
AE DFAE DF
AE DF
⋅< = = =
×⋅
>
AE DF 10
5
( )2,2,0DB = ( )0,1,2DF = BDF ( ), ,n x y z=
2 +2 0
2 0
n DB x y
n DF y z
⋅ = =
⋅ = + =
1z = )1,2,2( −=n
DFC ( )1,0,0m =
2 2cos , 3 1 3
m nm n m n
⋅∴ < >= = =⋅ ×
B DF C− − B DF C− − 2
3
1,2,3 1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1
3 6S = Pk 2,1,2,1,1,1 3 8T =
x
y
z
A
B
C
FE
D15
（2）（i）设 个不同数的某一个排列 为 ，
因为 ，所以 为奇数，
而 为偶数，所以不存在 使得 ； ……………5 分
(ii) 因为 ，即 ，
又由（i）知不存在 使得 ，
所以 ；
所以满足 的最大下标 即满足 ①
且 ②，
考虑排列 的对应倒序排列 ，
①②即 ， ,
由题意知 ，
则 ； ……………8 分
又 ，这 个不同数共有 个不同的排列，可以构成 个对应组合 ，
且每组 中 ，所以 ． ……………10 分
n P 1 2, , , na a a⋅⋅⋅
4 1, Nn l l ∗= + ∈ ( ) ( )( )1 4 1 2 12n
n nS l l
+= = + +
2 kS ( ,1 )Nk k k n∗∈ ≤ ≤ 2 k nS S=
2 k nS S≤ 1 2 1 2k k k na a a a a a+ ++ +⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+≤
( ,1 )Nk k k n∗∈ ≤ ≤ 2 k nS S=
1 2 1 2k k k na a a a a a+ ++ +⋅⋅⋅+ < + +⋅⋅⋅+
2 k nS S≤ k 1 2 1 2k k k na a a a a a+ ++ +⋅⋅⋅+ < + +⋅⋅⋅+
1 2 1 2k k k na a a a a a+ ++ +⋅⋅⋅+ + > +⋅⋅⋅+
P :P′ 1 1, , ,n na a a− ⋅⋅⋅
2 1 2 1n k k ka a a a a a+ ++⋅⋅⋅+ < + +⋅⋅⋅+ + 2 1 2 1n k k ka a a a a a+ ++⋅⋅⋅+ + > +⋅⋅⋅+ +
1Pk n k′ = − −
1P Pk k n′+ = −
1,2,3, ,n⋅⋅⋅ n !n !
2
n ( ),P P′
( ),P P′ 1P Pk k n′+ = − ( )! 12n
nT n= −
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