2020届江苏省泰州市高三下学期调研测试数学（文科）试题 带答案

1 江苏省泰州市 2019—2020 学年度第二学期调研测试 高三数学文科试题 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．） 1．已知集合 A＝{l，2}，B＝{2，4，8}，则 A B＝ ． 2．若实数 x，y 满足 x＋yi＝﹣1＋(x﹣y)i（i 是虚数单位），则 xy＝ ． 3．如图是容量为 100 的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间[6，18)内的频数为 ． 4．根据如图所示的伪代码，可得输出的 S 的值为 ． 5．若双曲线 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率 为 ． 6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具） 先 后 抛 掷 2 次 ， 这 两 次 出 现 向 上 的 点 数 分 别 记 为 x ， y ， 则 的 概 率 是 ． 7．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2＝4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是它到 y 轴距离的 3 倍，则点 P 的横坐标为 ． 8．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有这样一首数学诗：“三百七十八里关，初日健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”它的大意是：有人要到某关口，路程为 378 里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都是前一天的一半， 一共走了六天到达目的地．那么这个人第一天走的路程是 里． 9．若定义在 R 上的奇函数 满足 ， ，则 ＋ ＋ 的值为 ． 10．将半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为 ，则 R ＝ ．  2 2 2 2 1x y a b − = 2y x= 1x y− = ( )f x ( 4) ( )f x f x+ = (1) 1f = (6)f (7)f (8)f 9 3π2 11．若函数 只有一个零点，则实数 a 的取值范围为 ． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( ， )，B( ， )在圆 O： 上， 且满足 ，则 的最小值是 ． 13 ． 在 锐 角 △ ABC 中 ， 点 D ， E ， F 分 别 在 边 AB ， BC ， CA 上 ， 若 ， ，且 ， ，则实数 的值为 ． 14．在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，且满足 AD＝BD，3tan2B﹣2tanA＋3＝0，则 的取 值范围为 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 P— ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB＝AC，点 D，E，F 分別是 AB， AC，BC 的中点． （1）求证：BC∥平面 PDE； （2）求证：平面 PAF ⊥平面 PDE． 16．（本小题满分 14 分） 已知函数 ，x R ． （1）求函数 的最大值，并写出相应的 x 的取值集合； （2）若 ， ( ， )，求 sin2 的值． 2( ) 1 x a x af x x x a + ≥=  − = − > 0, 3 πθ  ∈   12 24sin (24cos 12)2S MB DM θ θ= ⋅ ⋅ = − 0, 3 πθ  ∈  7 设 ， ，因为 ， 又 ，所以 ，使得 ， 则当 时， 在 上单调增， 当 时， 在 上单调减， 即 是极大值，也是最大值，所以 ， 此时 ． ……………13 分 答：（1）池内休息区总面积为 ； （2）池内休息区总面积最大时 的长为 ．………14 分 18.（本题满分 16 分） 解：（1）由题意： ，解得 ， 所以椭圆 的标准方程为 ． ……………4 分 （2）显然直线 的斜率存在，设为 且 ， 则直线 的方程为 ，即 ， 联立 得 ， 解得 ， ，所以 ， ( ) ( )sin 2cos 1f θ θ θ= − 0, 3 πθ  ∈   ( ) ( ) 2 2 1 33cos 2cos 1 2sin 4cos cos 2 0 cos 8f θ θ θ θ θ θ θ ±′ = − − = − − = ⇒ = 1 33 1cos 8 2 θ += > 0 0, 3 πθ  ∃ ∈   0 1 33cos 8 θ += ( )00,x θ∈ ( ) ( )0f fθ θ′ > ⇒ ( )00,θ 0 , 3x πθ ∈   ( ) ( )0f fθ θ′ < ⇒ ( )00,θ ( )0θf ( ) ( )max 0f fθ θ= 024cos 3 3 33AM θ= = + 2144(2 2)− m AM (3 3 33)AM = + m 2 2 2 2 2 3 1 2 a b b ab b a b c  + =  =   = + 2, 2a b c= = = M 2 2 14 2 x y+ = AB k 0k > AB ( 2)y k x= + 2 0kx y k− + = 2 2 ( 2) 14 2 y k x x y = + + = 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 4 0k x k x k+ + + − = 2 2 2 4 1 2B kx k −= + 2 4 1 2B ky k = + 2 2 2 2 4 1( 2) 1 2B B kAB x y k += + + = +8 直线 的方程为 ，即 ，所以 ， 所以矩形 面积 ， 所以当且仅当 时，矩形 面积 的最大值为 ．……………11 分 （3）若矩形 为正方形，则 ， 即 ，则 ， 令 ， 因为 ，又 的图象不间断， 所以 有零点，所以存在矩形 为正方形． ……………16 分 19.（本题满分 16 分） 解：（1）函数 是“YZ 函数”，理由如下： 因为 ，则 ， 当 时， ；当 时， ， 所以 的极大值 ， 故函数 是“YZ 函数”． ……………4 分 （2）定义域为 ， ， 当 时， ，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当 时，当 时， ，函数单调递增， 当 时， ，函数单调递减， 所以 的极大值为 ， CD y kx= 0kx y− = 2 2 2 2 1 1 k kBC k k = = + + ABCD 2 2 22 4 1 2 8 8 8 2 211 2 1 2 2 21 2 k k kS k kk kk += ⋅ = = =+ ++ + ≤ 2 2k = ABCD S 2 2 ABCD AB BC= 2 2 2 4 1 2 1 2 1 k k k k + =+ + 3 22 2 2 0k k k− + − = ( 0)k > 3 2( ) 2 2 2( 0)f k k k k k= − + − > (1) 1 0, (2) 8 0f f= − < = > 3 2( ) 2 2 2( 0)f k k k k k= − + − > 3 2( ) 2 2 2( 0)f k k k k k= − + − > ABCD ( ) 1x xf x = − e ( ) 1x xf x = − e 1( ) x xf x −′ = e 1x < ( ) 0f x′ > 1x > ( ) 0f x′ < ( ) 1x xf x = − e 1(1) 1 0f = − < e ( ) 1x xf x = − e (0, )+∞ 1( )g x mx ′ = − 0m ≤ 1( ) 0g x mx ′ = − > 0m > 10 x m < < 1( ) 0g x mx ′ = − > 1x m > 1( ) 0g x mx ′ = − < ( )g x 1 1 1( ) ln ln 1g m mm m m = − ⋅ = − −9 由题意知 ，解得 ． ……………10 分 （3）证明： ， 因为 ， ，则 ， 所以 有两个不等实根，设为 ， 因为 ，所以 ，不妨设 ， 当 时， ，则 单调递增； 当 时， ，则 单调递减， 所以 的极大值为 ， ……………13 分 由 得 ， 因为 ， ， 所以 ． 所以函数 是“YZ 函数”． ……………16 分 （其他证法相应给分） 20.（本题满分 16 分） 解：（1）设等比数列 的公比为 ，则 ， 当 时， ，数列 不是等比数列， ……………2 分 当 时，因为 ，所以 ，所以数列 是等比数 列． ……………5 分 （2）因为 恰好是一个等差数列的前 项和，设这个等差数列为 ，公差为 ， 因为 ，所以 ， 1( ) ln 1 0g mm = − − < 1m > e 2( )h x x ax b′ = + + 2a ≤ − 0 1b< < 2 4 0a b∆ = − > 2( ) 0h x x ax b′ = + + = 1 2,x x 1 2 1 2 0 0 x x a x x b + = − >  = > 1 20, 0x x> > 1 20 x x< < 10 x x< < ( ) 0h x′ > ( )h x 1 2x x x< < ( ) 0h x′ < ( )h x ( )h x 3 2 1 1 1 1 1 1 1( ) 3 2 3h x x ax bx b= + + − 2 1 1 1( ) 0h x x ax b′ = + + = 3 2 1 1 1 1 1( )x x ax b ax bx= − − = − − 2a −≤ 0 1b< < 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )3 2 3 3 2 3h x x ax bx b ax bx ax bx b= + + − = − − + + − 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 6 3 3 3 3 3ax bx b x bx b= + − ≤ − + − 2 1 1 1( ) ( 1) 03 3x b b b= − − + − < ( )h x { }na q 12 2 (2 1)n n n n n nc a a a q a q a+= + = + = + 1 2q = − 0nc = { }nc 1 2q ≠ − 0nc ≠ 1 1(2 1) (2 1) n n n n c q a qc q a + ++= =+ { }nc na n { }nd d 1 2n na d d d= + + + 1 1 2 1n n na d d d d+ += + + + +10 两式相减得 ， 因为 ， 所以 ， 所以数列 是等差数列． ……………10 分 （3）因为数列 是等差数列，所以 ， 又因为 ，所以 ， 即 ，则 ， 又因为数列 是等比数列，所以 ，则 ， 即 ， 因为数列 各项均为正数，所以 ， ……………13 分 则 ， 即 ， 又因为数列 是等差数列，所以 ， 即 ， 化简得 ，将 代入得 ， 化简得 ，所以数列 是等差数列． ……………16 分 （其他证法相应给分） 1 1n n na a d+ +− = 2n n na a b+ = + 1 3 1 2 3 2 1( ) ( ) ( ) ( )n n n n n n n n n nb b a a a a a a a a+ + + + + + +− = − − − = − − − 3 1 2n nd d d+ += − = { }nb { }nc 3 2 1n n n nc c c c+ + +− = − 12n n nc a a+= + 4 3 3 2 2 1 12 (2 ) 2 (2 )n n n n n n n na a a a a a a a+ + + + + + ++ − + = + − + 4 2 3 1 22( ) ( ) ( )n n n n n na a a a a a+ + + + +− = − + − 2 12 n n nb b b+ += + { }nb 2 1 2n n nb b b+ += 2 1 1 2 n n n n b bb b + + += ⋅ 1 1( )(2 ) 0n n n nb b b b+ +− + = { }nb 1n nb b+ = 3 1 2n n n na a a a+ + +− = − 3 2 1n n n na a a a+ + += + − { }nc 2 12n n nc c c+ ++ = 3 2 1 2 1(2 ) (2 ) 2(2 )n n n n n na a a a a a+ + + + ++ + + = + 3 22 3n n na a a+ ++ = 3 2 1n n n na a a a+ + += + − 2 1 22( ) 3n n n n na a a a a+ + ++ − + = 2 12n n na a a+ ++ = { }na