2020届湖南省湘潭市高三第三次模拟考试数学（理）试题（带答案详解）

- 1 - 2020 届湖南省湘潭市高三第三次模拟考 科目：数学（理科） （试题卷） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名和 相关信息． 2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效．考生在答题卡上按如下要求 答题： （1）选择题部分请按题号用 2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹． （2）非选择题部分请按题号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写． （3）请勿折叠答题卡．保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 3．本试题卷共 4 页．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4．考试结束后，将答题卡交回． 姓名_________________ 准考证号______________ 祝你考试顺利！ 2020 届高三模拟考试 数学（理科） 本试题卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共 23 小题，时量 120 分钟，满分 150 分． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．计算 （ ） A． B． C． D． 3．已知直线 平面 ，则“平面 平面 ”是“直线 平面 ”的（ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 { |1 0}A x x= −  { }2| 2 0B x x x= − − < A B∩ = [1,2) ( 1,1]− ( 1,1)− ( 2,1]− 4 3 1 2 i i − =− 2 i+ 2 i− − 1 2i− − 1 2i− + a∥ α α ⊥ β a ⊥ β- 2 - C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知数列 的前 项和 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 5．下表是鞋子的长度与对应码数的关系． 长度 25 25.5 26 26.5 27 27.5 码数 40 41 42 43 44 45 如果人的身高 与脚板长 呈线性相关且回归直线方程为 ．若某人的身高为 ， 据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（ ） A．42 B．43 C．44 D．45 6．已知实数 ， 满足约束条件 则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．更相减损术出自《九章算术》，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半之，不可半者，副置分 母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．如图所示的程序框图的算法思路就源于“更 相减损术”若执行该程序框图，则输出的 的值为（ ） A．14 B．12 C．7 D．6 8．已知向量 ， 是两个夹角为 的单位向量，且 ， ， ，若 { }na n nS 2 3 6n nS a= − 6a = 62 3× 72 3× 66 2× 76 2× ( )cm ( )y cm ( )x cm ˆ 7 7.6y x= − 180cm x y 2 0, 2 5 0, 1, x y x y y − +  + − ≤    3 yz x = + 3 5 4 5 3 4 3 2 a a b 3 π 3 5OA a b= +   4 7OB a b= +   OC a mb= +  - 3 - ， ， 三点共线，则 （ ） A．12 B．14 C．16 D．18 9．函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 10．已知函数 在 上的最大值为 1 且单调递增，则 的最大值为 （ ） A．6 B．7 C．9 D．8 11．在直角坐标系 中， ， 分别是双曲线 的左、右焦点，位于第一象 限上的点 是双曲线 上的一点，满足 ，若点 的纵坐标 的取值范围是 ， 则双曲线 的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．已知对任意实数 都有 ， ，若不等式 （其中 ）的 解集中恰有两个整数，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上． 13．若直线 经过抛物线 的焦点，则 ________． 14． 的展开式中 的系数为________． 15．已知等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，且 ， ， 成等比数列．令 ，则数列 的前 50 项和 _________． 16．在三棱锥 中， ，底面 是以 为直角顶点的直角三角形，且 ， ， A B C OA OC⋅ =  (| | 1)ln | |y x x= − ( ) 2sin ( 0)f x xω ω= > [ ,2]( 0)x a a∈ < 2 a− xOy 1F 2F 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ( )0 0,P x y C 1 2 0PF PF⋅ =  P 0y 2 4,3 5c c    C ( 2,2) (2,4) (3,5) ( 3, 5) x ( ) 3 ( )xf x e f x′ = + (0) 1f = − ( ) ( 2)f x a x< − 1a < a 4 1,3 2e    4 ,13e    2 7 4,4 3e e    2 7 1,4 2e    2 4 0x y m+ + = 22y x= m = 51x x  −   x { }na n nS 1S 2S 4S 1 1 n n n b a a + = { }nb 50T = P ABC− 5PC = ABC△ C 5BC = 12AC =- 4 - 点 到 三边的距离相等，且点 在平面 上的射影落在 内，则 与平面 所成角 的正切值为________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．如图，已知四棱锥 ， 平面 ，底面 为矩形， ， ， 为 的中点， ． （1）求线段 的长 （2）若 为线段 上一点，且 ，求二面角 的余弦值． 18． 的内角 所对的边分别为 ，已知 ． （1）求角 ． （2）设 为边 的中点， 的面积为 2，求 的最小值． 19．高三年级某班 50 名学生的期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为 ， ， ， ， ， ， ， 其 中 成 等 差 数 列 且 ．物理成绩统计如下表．（说明：数学满分 150 分，物理满分 100 分） 分组 频数 6 9 20 10 5 P ABC△ P ABC ABC△ CP ABC P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD 3AB = 4AP = E PD AE PC⊥ AD M BC 1BM = M PD A− − ABC△ , ,A B C , ,a b c cos2 cos2 2sin sin 1 cos2A B A B C+ + = + C D AB ABC△ 2CD [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150] , ,a b c 2c a= [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]- 5 - （1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； （2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数； （3）若数学成绩不低于 140 分的为“优”，物理成绩不低于 90 分的为“优”，已知本班中至少有一科为“优” 的同学共有 6 人，从这 6 人中随机抽取 3 人，记 为抽到两科为“优”的学生人数，求 的分布列和数学 期望． 20．椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，椭圆 上两动点 ， 使得四边形 为平行四边形，且平行四边形 的周长和最大面积分别为 8 和 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）设直线 与椭圆 的另一交点为 ，当点 在以线段 为直径的圆上时，求直线 的方程． 21．已知函数 ． （1）讨论函数 的单调区间； （2）若 存在两个极值点 ， ，证明： ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 直 线 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ），曲 线 的 方 程 为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线 和曲线 的极坐标系方程； （2）曲线 分别交直线 和曲线 于 ， ，求 的最大值． 23．[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 ． （1）求不等式 的解集； （2）设函数 的最小值为 ，已知 ，求 的最大值． X X 2 2 2 2: 1( 1)x yE a ba b + = > > 1F 2F E P Q 1 2PFQF 1 2PFQF 2 3 E 2PF E M 1F PM 2PF 2( ) 2ln 2 ( 0)f x x x ax a= + − > ( )f x ( )f x 1x 2x ( ) ( )1 2 1 2 f x f x ax x − > −− xOy l 2 , 1 x t y t = −  = + t 1C 2 2 0x y x+ − = x l 1C 2 : 0,0 2C πθ α ρ α = > < − ( ) ( 3)y f x f x= + − m 2 2 2a b c m+ + = ab bc+- 6 - 2020 届高三模拟考试 数学参考答案（理科） 1．B 由题意 ， ，则 ． 2．A 由复数的运算法则可得 ． 3．B 若直线 平面 ，平面 平面 ，此时直线 与平面 可能平行、相交或 ，所以充分性 不成立；若直线 平面 ，直线 平面 ，则平面 平面 ，所以必要性成立，故选 B． 4．A 由已知 ，可得 ．两式相减得 ，即 ． ∵ ∴ ，∴ 是首项为 6，公比为 3 的等比数列，从而 ． 5．C 由 ，解得 ，所以脚板长为 ，查表得，穿的鞋子的码数应为 44． 6．C 根据约束条件 ，画出可行域图中阴影部分为可行域． 目标函数 ，表示可行城中的点 与 连线的斜率，由图可知点 与 连线的 斜率最大，故 的最大值为 ． 7．A ； ； ． ，输出 ． { |1 0} { | 1}A x x x x= − =  { | 1 2}B x x= − < < ( 1,1]A B∩ = − 4 3 (4 3 )(1 2 ) 10 5 21 2 (1 2 )(1 2 ) 5 i i i i ii i i − − + += = = +− − + a∥ α α ⊥ β β β a β⊂ a∥ α a ⊥ β α ⊥ β 2 3 6n nS a= − 1 12 3 6n nS a+ += − 1 12 3 3n n na a a+ += − 1 3n na a+ = 1 12 3 6S a= − 1 6a = { }na 5 6 6 6 3 2 3a = × = × 7 7.6 180x − = 26.8x = 26.8( )cm 2 0, 2 5 0, 1, x y x y y − +  + −  ≥   3 yz x = + ( , )x y ( 3,0)− (1,3)P ( 3,0)− z 3 4 196, 126, 1a b i= = = 98, 63, 2; 98 63 35; 63 35 28a b i a b= = = = − = = − = 35 28 7; 28 7 21; 21 7 14; 14 7 7a b b b= − = = − = = − = = − = 2a a= × 14a =- 7 - 8 ．A 由 三点共线，得 ，故 解得 ，则 ． 9．C 由题易知函数 为偶函数，排除 A 选项； 当 时， ，所以 ，排除 B 选项； 当 时， ， ，所以函数 在 上单调递增， 排除 D 选项． 10．D 由题意可知， ， ， ， ，则 ， ． 11．D 由 ，可得 ，又 ，解得 ，由于 ， 所以 ，即 ， ，解得 ． 12．C 由 ， ，解得 ， 故 ， 在 处取得极小值． 根据图象，欲使解集中恰有两个整数，则比较点 与四个点 ， ， ， 连线的斜率，由 ，可得 ． , ,A B C (1 ) (4 ) (7 2 )OC xOA x OB x a x b= + − = − + −     4 1, 7 2 , x x m − =  − = 1m = 2 2 (3 5 ) ( ) 3 8 5 12OA OC a b a b a a b b⋅ = + ⋅ + = + ⋅ + =          (| | 1)ln | |y x x= − 0 1x< < ln | | 0,| | 1 0x x< − < (| | 1)ln | | 0y x x= − > 1x > ( 1)lny x x= − 1ln 0xy x x −′ = + > (| | 1)ln | |y x x= − (1, )+∞ [ ,2] ,2 2a π π ω ω  ⊆ −   (2) 2sin2 1f ω= = 2 6 πω = 12 πω = min 6a = − max(2 ) 8a− = 1 2 0PF PF⋅ =  2 2 2 0 0 0x c y− + = 2 2 0 0 2 2 1x y a b − = 4 2 0 2 by c = 0 2 4,3 5y c c ∈   2 2 2 4 3 5 b c < < 2 2 1 413 5e < − < 2 1 1 1 5 3e < < 3 5e< < ( ) 3 ( )xf x e f x′ = + (0) 1f = − ( ) (3 1) xf x x e= − ( ) (3 2) xf x x e′ = + ( )f x 2 3x = − (2,0) (1,2 )e (0, 1)− 41, e  − −   2 72, e  − −   2 7 4 12 4 3 2e e e − < < < 2 7 4,4 3a e e  ∈  - 8 - 13． 可化为 ，焦点坐标为 ，故 ． 14． 二项式 的展开通项为 ， 当 时， ，所以 的系数为 ． 15 ． 因 为 ， ， ， 由 题 意 得 ， 解 得 ， 所 以 ， 则 ，则 ． 16． 如图，设点 在平面 上的射影为点 ， 因为点 到 三边的距离相等，则点 到 三边的距离相等， 又点 在平面 上的射影落在 内， 所以点 为 的内心．设 的内切圆与直角边 ， 分别相切于 ， ，易知四边形 是正方形．因为 ，且 ， ，所以 ，则 的内切圆半径 ，所以 ．因为 平面 ，所以 为 与平面 所成的角．因为 ，所以 ，所以 与平面 所成角的正切值为 ． 17．解：（1）分别以 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ． 设 ，则 ． 所以 ， ． 1 2 − 22y x= 2 1 2x y= 10,8     1 2m = − 5− 51x x  −   5 3 5 2 1 5 5 1( ) ( 1) k k k k k k kT C x C xx − − +  = − = −   1k = 1 1 2 5 ( 1) 5T C x x= − = − x 5− 50 101 1 1S a= 2 1 1 2 12 2 2 22S a a ×= + × = + 4 1 1 4 34 2 4 122S a a ×= + × = + ( ) ( )2 1 1 12 2 4 12a a a+ = + 1 1a = 2 1na n= − 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n  = = − − + − +  50 1 1 1 1 1 1 1 1 5012 3 3 5 5 7 99 101 101T  = − + − + − +…+ − =   34 4 P ABC O P ABC△ O ABC△ P ABC ABC△ O ABC△ ABC△ BC AC E D OECD AC BC⊥ 5BC = 12AC = 13AB = ABC△ 5 12 13 22OE OD + −= = = 2 2OC = PO ⊥ ABC PCO∠ CP ABC 5PC = 2 25 (2 2) 17PO = − = CP ABC 17 34 42 2 PO OC = = , ,AB AP AD , ,x y z A xyz− AD t= (0,0,0), 0,2, , (3,0, ), (0,4,0)2 tA E C t P    0,2, 2 tAE  =     (3, 4, )PC t= −- 9 - 因为 ，所以 ， 即 ，解得 ， 所以 的长为 4． （2）因为 ，所以 ，又 ， ， 故 ， ． 设 为平面 的法向量，则 ，即 取 ，解得 ， ， 所以 为平面 的一个法向量． 显然， 为平面 的一个法向量， 则 ， 据图可知，二面角 的余弦值为 ． 18．解：（1）由已知可得 ， 得 ， 所以 ，所以 ． （2）由 ，即 ，所以 ． AE PC⊥ 0AE PC⋅ =  216 0t− = 4t = AD 1BM = (3,0,1)M (0,4,0)P (0,0,4)D (0,4, 4)DP = − (3,0, 3)DM = − ( , , )n x y z= DMP , , n DP n DM  ⊥ ⊥     4 4 0, 3 3 0, y z x z − =  − = 1z = 1y = 1x = (1,1,1)n = DMP (3,0,0)AB = PDA 3 3cos , 3| || | 3 1 1 1 n ABn AB n AB ⋅〈 〉 = = = + +      M PD A− − 3 3 2 2 21 2sin 1 2sin 2sin sin 1 1 2sinA B A B C− + − + = + − 2 2 2ab a b c= + − 2 2 2 1cos 2 2 a b cC ab + −= = 3C π= 1 sin2ABCS ab C=△ 1 32 2 2ab= ⋅ 8 3 3ab =- 10 - 由 ，所以 ， 则 ，当且仅当 时取等号， 所以 的最小值为 ． 19．解：（1）根据频率分布直方图得 ， 又 ， 解得 ， ， ， 故数学成绩的平均分 （分）． （2）总人数为 50，由物理成绩统计表知，中位数在区间 内， 所以物理成绩的中位数约为 75 分． （3）数学成绩为“优”的同学有 4 人，物理成绩为“优”的有 5 人， 因为至少有一科为“优”的同学共有 6 名， 所以两科均为“优”的人数为 3， 故 的可能取值为 0，1，2，3． ， ， ． 所以 的分布列为 0 1 2 3 ． 1 ( )2CD CA CB= +   ( )2 2 21 24CD CA CB CA CB= + + ⋅     ( ) ( )2 2 2 2 21 1 12 cos (2 ) 2 34 4 4CD b a ab C b a ab ab ab= + + = + + + =  a b= 2CD 2 3 ( 2 0.024 0.020 0.004) 10 1a b c+ + + + + × = 2 , 2a c b c a+ = = 0.008a = 0.012b = 0.016c = 85 0.04 95 0.12 105 0.16 115 0.2 125 0.24 135 0.16 145 0.08 117.8x = × + × + × + × + × + × + × = [70,80) X 3 3 3 6 C 1( 0) C 20P X = = = 1 2 3 3 3 6 C C 9( 1) C 20P X = = = 2 1 3 3 3 6 C C 9( 2) C 20P X = = = 3 3 3 6 C 1( 3) C 20P X = = = X X P 1 20 9 20 9 20 1 20 1 9 9 1 30 1 2 320 20 20 20 2EX = × + × + × + × =- 11 - 20．解：（1）由平行四边形 的周长为 8，可知 ，即 ． 由平行四边形的最大面积为 ，可知 ， 又 ，解得 ， ． 所以椭圆方程为 ． （2）注意到直线 的斜率不为 0，且过定点 ． 设 ， ， ， 由 消 得 ， 所以 因为 ， ， 所以 ． 因为点 在以线段 为直径的圆上，所以 ，即 ， 所以直线 的方程 或 ． 21．（1）解：函数 的定义域为 ， ， 令 ，则 ． 1 2PFQF 4 8a = 2a = 2 3 3bc = 1a b> > 3b = 1c = 2 2 14 3 x y+ = 2PF 2 (1,0)F 2 : 1PFl x my= + ( )1 1,P x y ( )2 2,M x y 2 2 1, 3 4 12, x my x y = +  + = x ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = 1 2 2 1 2 2 6 ,3 4 9 .3 4 my y m y y m  + = − +  = − + ( )1 1 12,F P my y= + ( )1 2 22,F M my y= + ( )( ) ( ) ( )2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 22 2 1 2 4F P F M my my y y m y y m y y⋅ = + + + = + + + +  ( )2 2 2 2 2 2 9 1 12 7 943 4 3 4 3 4 m m m m m m + −= − − + =+ + + 1F PM 1 1 0F P F M⋅ =  7 3m = ± 2PF 3 7 3 0x y+ − = 3 7 3 0x y− − = ( )f x (0, )+∞ ( )22 1 ( ) x ax f x x − +′ = 2 1 0x ax− + = 2 4a∆ = −- 12 - ①当 时， ， 恒成立，函数的 单调递增区间为 ． ②当 时， ，方程 有两根， ， ， 当 时， ；当 时， ；当 ， ． 的单调递增区间为 、 ， 单调递减区间为 ． （2）证明：由（1）知，当 时， 存在两个极值点 ， ， 函数 在 上单调递减，则 ， ， 不妨设 ，则 ． 由于 ， 且 ，所以 ， 则 ． 22．解：（1）由题可知直线 的普通方程为 ， 直线 的极坐标方程为 ． 曲线 的普通方程为 ， 因为 ， 所以 的极坐标方程为 ． （2）直线 的极坐标方程为 ，令 ， 0 2a<  0∆ ( ) 0f x′  ( )f x (0, )+∞ 2a > 0∆ > 2 1 0x ax− + = 2 1 4 2 a ax − −= 2 2 4 2 a ax + −= ( )10,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )1 2,x x x∈ ( ) 0f x′ < ( )2,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 2 40, 2 a a − −    2 4 ,2 a a + − +∞    2 24 4,2 2 a a a a − − + −    2a > ( )f x 1x 2x ( )f x ( )1 2,x x 1 2x x a+ = 1 2 1x x = 1 2x x< 2 1x > ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ln ln 2f x f x x x x x a x x x x x x − − + − − −=− − ( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 ln ln 2x x x x x x a x x − + − + −= − ( )1 2 2 1 2 1 2 2 ln ln 4lnx x xa ax x x x − −= − = −− − 1 2 2, 1x x x< > ( ) ( )1 2 2 1 2 1 2 4ln 0f x f x xax x x x − −+ = >− − ( ) ( )1 2 1 2 f x f x ax x − > −− l 3 0x y+ − = l cos sin 3 0ρ θ ρ θ+ − = 1C 2 2x y x+ = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 1C cosρ θ= l cos sin 3 0ρ θ ρ θ+ − = θ α=- 13 - 则 ，所以 ． 又 ， 所以 ， 因为 ，则 的最大值为 ． 23．解：（1）由已知不等式 ，得 ， 当 时，不等式为 ，解得 ，所以 ； 当 时，不等式为 ，解得 ，所以 ； 当 时，不等式为 ，解得 ，此时无解． 综上，原不等式的解集为 ． （2）因为 ， 所以 ， 又 ， 则 ，所以 的最大值为 ． 3 | |cos sin OMρ α α= =+ 3 cos sin| |OM α α= + | | cosON α= 3 | | sin 2cos 5sin( )(tan 2)| | ONOM α α α ϕ ϕ+ = + = + = 0 2 πα< < 3 | || | ONOM + 5 ( ) | 2 |f x x x+ > − | 2 | | 1|x x x− < + + 2x ≥ 2 1x x x− < + + 3x > − 2x ≥ 1 2x− < < 2 1x x x− < + + 1 3x > 1 23 x< < 1x − 2 1x x x− < − − 3x > 1,3  +∞   ( ) ( 3) | 1| | 2 | | 1 2 | 3f x f x x x x x+ − = + + − + − + = 2 2 2 3a b c+ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 b ba b c a c ab bc+ + = + + + + 3 2 2ab bc+  ab bc+ 3 2 2