2020成都市高三零诊考试数学理科试题及详细解析

2020 成都市高三零诊考试 数学试题（理科） 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1、复数 z= （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A B - C i D - i 【解析】 【考点】①复数的定义与代数表示法；②虚数单位的定义与性质；③复数运算的法则与基本 方法；④复数虚部的定义与确定的基本方法。 【解题思路】运用复数运算的法则与基本方法，虚数单位的性质，结合问题条件通过运算得 到复数 z 的代数表示式，利用复数虚部确定的基本方法求出复数 z 的虚部就可得出选项。 【详细解答】 z= = = = = + i， 复数 z 的虚部为 ， A 正确， 选 A。 2、已知集合 A={1，2，3，4}，B={x| -x-68ab， 16 -40 +9 >0 9 -58 +65>0， < 或 >5， 1 ， C 正确， 选 C。 12、若关于 x 的不等式 xlnx-kx+2k+1>0 在（2，+ ）内恒成立，则满足条件的整数 k 的最 大值为（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【解析】 【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用导函数求函数最值的基本方法；③不等式在某 区间恒成立的意义与性质。 【解题思路】运用不等式在某区间恒成立的意义与性质，结合问题条件分离常数 k，根据函 数导函数的求法和运用导函数求函数最值的基本方法求出函数的值域，从而求出 k 的最大整 数就可得出选项。 【详细解答】关于 x 的不等式 xlnx-kx+2k+1>0 在（2，+ ）内恒成立， 不等式 > k 在（2，+ ）内恒成立，设 g(x)= ， (x)= = ，令 h(x)=x-2lnx-3， h(6)=6–2ln6-3= 3-2ln60， 存在 （6， ），使 h( )=0，当 x （6， ）时， (x)= 0， 函数 g(x)在（6， ）上单调递减，在（ ， + ）上单调递增， = g( )0，则不等式 f(x)sin2x0， x （0， ）， ˆb  x 0 1 2 3 4 5 + + + + y 10 15 20 30 35 5 + + + + ˆa y ˆb x ∴ ˆb ˆy a x − 22 9 2 − 13 2 θ θ 2 θ  2 ∴ | 2cos 2sin 4 2 | 1 4 θ θ+ − + | 2 2 sin( ) 4 2 |4 5 πθ + − ⇒ 4 πθ + π 2 π θ π 4 π ∈ 2 2 5 2 10 5 ∴ 2 10 5 2 π 2 π f ′ 8 π 2 ∈ 2 π f ′  f ′ ∴ ∈ 2 π f ′ ⇔ ∈ 2 π ⇒ ∈ 4 π f(x)sin2x0，且- - b>0）的左，右焦点分别为 （- ，0）， （ ，0），且 经过点 A（ ， ）。 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过点 B（4，0）作一条斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 相较于 P，Q 两点，记点 P 关于 X 轴对称的点为 ，若直线 Q 与 X 轴相较于点 D，求 DPQ 面积的最大值。 【解析】 【考点】①椭圆的定义与求法；②求椭圆标准方程的基本方法；③设而不求，整体代入数学 思想运用的基本方法；④椭圆弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面 积公式及运用；⑦求函数最值的基本方法。 【解题思路】（1）运用求椭圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出 ， 的值就可得 到椭圆的标准方程；（2）利用设而不求，整体代入的数学思想，点到直线的距离公式和椭 圆的弦长公式，结合问题条件求出|PQ|，点 D 到直线 PQ 的距离关于参数 k 的式子，根据三 角形的面积公式得到 DPQ 面积关于参数 k 的函数，由求函数最值的基本方法求出函数的 最值就可得到 DPQ 面积的最大值。 【详细解答】（1） c= ，点 A（ ， ）在椭圆 C 上， = +3，且 + =1， =4， =1， 椭圆 C 的标准方程为 + =1；（2）设 P（ ， ），Q（ ， ）， 直线 l 的斜率不为 0，且过点 B（4，0）， 直线 l 的方程为：x=my+4（m 0），由 n ⊥ BM ⇒ n BM 3 ⇒ ∴ n n ⊥ BN n BN 3 3 2 3 2 m 1x 1y 1z m ⊥ BC ⇒ m BC 3 1x 1y ⇒ 1x 1y 2 3 3 1z 3 ∴ m m ⊥ BP m BP 3 1x 1z 2 3 3 3 α  α . | |.| | n m n m     3(2 3 3 3) 3 0 1 1. 3 4 9 + + + + + 15 12 2 5 2 8 ∴ 5 2 8 2 2 x a 2 2 y b 1F 3 2F 3 3 1 2 P′ P′ ∆ 2a 2b ∆ ∆  3 3 1 2 ∴ 2a 2b 2 3 a 2 1 4b ⇒ 2a 2b ∴ 2 4 x 2y 1x 1y 2x 2y  ∴ ≠x=my+4，得（ +4） +8my+12=0， + =- ， . = ， + =1，|PQ|= = = ， 点 P 关于 X 轴对称的点为 ， （ ，- ）， 直线 Q 的方程为，y- = (x- )，令 y=0 得 x= - = = = =4+ =4-3=1， 点 D（1，0）， = = ， P，Q 是不同的两点， =64 -48（4+ ）=16 -16 12>0， >12， = |PQ|. = . = ，设 t= ，t （0，+ ）， = = = ，当且仅当 t=4，即 m= 2 时，等号成立， DPQ 面积的最大值为 。 21、（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= -2a -2ax，其中 a>0。 （1）当 a=1 时，求曲线 y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程； （2）若函数 f(x)有唯一零点，求实数 a 的值。 【解析】 【考点】①函数导函数的定义与求法；②函数在某点导数的定义与几何意义；③求曲线在某 点处切线方程的基本方法；④确定函数零点的基本方法。 【解题思路】（1）运用函数在某点导数的求法和求曲线在某点处切线方程的基本方法，结合 问题条件就可求出曲线 y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程；（2）利用确定函数零点的基 本方法，结合问题条件得到关于实数 a 的方程，求解方程就可求出实数 a 的值。 【详细解答】（1）当 a=1 时， f(x)= -2 -2x， (x)=2 -2 -2=2（ - -1）， (0)=2 （1-1-1）=-2， f(0)=1-2-0=-1， 曲线 y= f(x)在点（0，f(0)）处的切线方程 为：y+1=-2(x-0)， 2x+y+1=0；（2） (x)=2 -2a -2a=2（ -a -a），令 t= ，t （0，+ ）， (t)=2（ -at-a）， a>0， 存在唯一的 （0，+ ），使 ( )=0， 2m 2y  1y 2y 2 8 4 m m + 1y 2y 2 12 4m + ∴ 2 4 x 2y 21 m+ 2 2 2 8 48( )4 4 m m m − −+ + 21 m+ 2 2 4 12 4 m m − + 2 2 2 4 (1 )( 12) 4 m m m + − +  P′ ∴ P′ 1x 1y ⇒ P′ 2y 2 1 2 1 y y x x + − 2x 2x 2 2 1 2 1 ( )y x x y y − + 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 y x y x y x y x y y + − + + 1 2 2 1 2 1 ( 4) ( 4)y my y my y y − + − + 2 1 2 1 2 1 2 4( )my y y y y y + + + 24 8 m m− ∴ ⇒ Dd 2 |1 0 4 | 1 m − − + 2 3 1 m+  ∴ ∆ 2m 2m 2m × ⇒ 2m ∴ DPQS∆ 1 2 Dd 1 2 × 2 2 2 4 (1 )( 12) 4 m m m + − + 2 3 1 m+ 2 2 6 12 4 m m − + 2 12m − ∈ ∞ ⇒ DPQS∆ 2 6 16 t t + 6 16t t + ≤ 6 162 .t t 3 4 ± 7 ∴ ∆ 3 4 2xe xe  2xe xe ∴ f ′ 2xe xe 2xe xe ⇒ f ′ ×  ∴ ⇒  f ′ 2xe xe 2xe xe xe ∈ ∞ f ′ 2t  ∴ 0t ∈ ∞ f ′ 0t即存在 R，使 = ，且 ( )=0，当 x （- ， ）时， (x)0， 函数 f(x)在（- ， ）上单调递减，在（ ，+ ）上单调递增， 当 x - 时， -2a 0，-2ax + ， f(x) + ， 当 x + 时， （ -4a ） + ， f(x) + ， 函数 f(x)有唯一零点， =f ( )= -2a -2a =0，且 ( )=2 -2 a -2a=0， +2 -1=0，设 g(x)= +2x-1， (x)= +2>0 在 R 上恒成立， 函数 g(x)在 R 上单调递增， g(0)= 1+0-1=0， 方程 +2 -1=0 有唯一解 =0， 2-2 a-2a=0， a= ， 函数 f(x)有唯一零点时，实数 a= 。 22、（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 XOY 中，过点 P（1，1）的直线 l 的参数方程为 x=1+tcos ，（t 为参数）， y=1+tsin ，以坐标原点 O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 =4cos 。 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 相较于 A，B 两点，求 + 的最小值。 【解析】 【考点】①参数方程的定义与性质；②极坐标方程的定义与性质；③极坐标方程化直角坐标 方程的基本方法；④求三角函数最值的基本方法。 【解题思路】（1）运用极坐标方程化直角坐标方程的基本方法，结合问题条件就可求出曲线 C 的直角坐标方程；（2）由直线 l 的参数方程和曲线 C 的直角坐标方程联立得到关于参数 t 的一元二次方程，根据直线参数 t 的几何意义，结合问题条件得到 + 关于参数 的三角函数，利用求三角函数最值的基本方法就可求出 + 的最小值。 【详细解答】（1） 曲线 C 的极坐标方程为 =4cos ， =4 cos ， + =4x， 曲线 C 的直角坐标方程为： + -4x=0； （2）由 x=1+tcos ，得 +2（sin - cos ）t-2=0， + =-2（sin - cos ）， . =-2， y=1+tsin ， + = = = 0x ∈ 0t 0xe f ′ 0x ∈ ∞ 0x f ′ ∈ 0x ∞ f ′ ∴ ∞ 0x 0x ∞  → ∞ 2xe xe → → ∞ ∴ → ∞  → ∞ xe xe → ∞ ∴ → ∞  ∴ min( )f x 0x 02xe 0xe 0x f ′ 0x 02xe 0xe ⇒ 0xe 0x xe  g′ xe ∴  ∴ 0xe 0x 0x ⇒ ∴ 1 2 ∴ 1 2 α α ρ θ 1 | |PA 1 | |PB 1 | |PA 1 | |PB α 1 | |PA 1 | |PB  ρ θ ∴ 2ρ ρ θ ⇒ 2x 2y ∴ 2x 2y α 2t α α  1t 2t α α 1t 2t α ∴ 1 | |PA 1 | |PB | | | | | |.| | PA PB PA PB + 1 2 1 2 | | | | | | t t t t + 1 2 1 2 | | | | t t t t −+ -4x=0，= = = 当 且仅当 2 = ，即 = 时， + = = 为最小值， + 的最 小值为 。 2x 2y 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 4 | | t t t t t t + − 22 ( ) 2 2 sin cosα α +− 3 2sin α− α 2 π α 4 π 1 | |PA 1 | |PB 3 1− 2 ∴ 1 | |PA 1 | |PB 2