江苏省西亭高级中学2019-2020高一数学下学期期中试题（含答案Word版）

江苏省西亭高级中学 2019-2020 学年（下）期中测试 高一数学 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题的四个选项中，只有一 项是符合题目要求. 1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心）， 绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ） A．一个球 B．一个球中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球中间挖去一个棱柱 2． 某中学有学生 2500 人，其中男生 人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的 时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为 的样本，若样本 中女生恰有 20 人，则 的值为（ ） A．30 B．50 C．70 D．80 3． 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 A∶B∶C＝1∶2∶3， 则 a∶b∶c 等于（ ） A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶4∶5 D．1∶ ∶2 4． △ABC 中，若 c= ，则角 C 的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或 120° D．45° 5． 已知直线 ， ，则它们的图象可能为（ ） A． B． C． D． 6． 已知直线 ，直线 ， 且 ，则 的值为（ ） A．-1 B． C． 或-2 D．-1 或-2 7． 在△ABC 中， ， ，则△ABC 一定是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 8． 已知点 在圆 外，则直线 与圆 的位置关系 1500 n n 3 2 2a b ab+ + 1 :l y kx b= + 2 :l y bx k= + ( )1 :3 2 1 0l mx m y+ + + = ( ) ( )2 : 2 2 2 0l m x m y− + + + = 1 2l l// m 1 2 1 2 60B = ° 2b ac= ( ),M a b 2 2: 1O x y+ = 1ax by+ = O 1l 2l 1l 1l 1l 2l 2l 2l是（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 9． 已知圆 方程 ，圆 与直线 相交于 两点， 且 （ 为坐标原点），则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系 中，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 ： 有公共点，则实数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分，在每小题的四个选项中，至少两项 是符合题目要求. 11．圆 （ ） A．关于点 对称 B．关于直线 对称 C．关于直线 对称 D．关于直线 对称 12．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，下列结论正确的是（ ） A．a2=b2+c2-2bccosA B．asinB=bsinA C．a=bcosC+ccosB D．acosB+bcosC=c 13． ， ， 是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 与 相交， 与 相交，则 与 也相交 C．若 ， 分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若 与 相交， 与 异面，则 与 异面 三、填空题：本题共 4 题，每小题 4 分，其中第 16 题每空两分，共 16 分. 14．已知一组数据 6，7，8，9，m 的平均数是 8，则这组数据的方差是 ． 参考公式： . 15．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之 尺.葛生其下， 缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长 丈 尺，圆周为 尺， 葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少 长 尺．（注： 丈等于 尺） 16．已知直线 ： 与圆心为 ，半径为 的圆相交于 A，B 两点， 另一直线 ： 与圆 M 交于 C，D 两点，则 ______， 5 4− 2 1 5 8 5 1 xOy 2y kx= − C 2 2 8 15 0x y x+ − + = k 0 4 3 3 2 3 2 2 4 1 0x y x+ − − = ( )2,0 0y = 3 2 0x y+ − = 2 0x y− + = a b c / /a b / /b c / /a c a b b c a c a b a c b c a b ])()()()[(1 22 3 2 2 2 1 2 xxxxxxxxns n −++−+−+−=  4 3 5 4 1 10 1l 3 6 0x y+ − = ( )0,1M 5 2l 2 2 3 3 0kx y k+ − − = AB =四边形 面积的最大值为 ． 17．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ． 四、解答题:本大题共 6 小题，共 82 分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题 12 分） 如图，在空间四边形 中， 分别是 的中点， 分别在 上，且 . （1）求证： 四点共面； （2）设 与 交于点 ，求证： 三点共线. 19.（本小题 14 分） 如图，在 中， 为 边上一点，且 ，已知 ， . （1）若 是锐角三角形， ，求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的长. 20.（本小题 14 分） 下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限 x 和所支出的维修费 y（万元） 的几组对照数据: ACBD x y 1)1( 22 =+− yx 243 +− yx ABCD ,E F ,AB AD ,G H ,BC CD : : 1: 2BG GC DH HC= = , , ,E F G H EG FH P , ,P A C ABC△ D AB DA DC= 4B π= 1BC = ABC△ 6 3DC = A BCD 1 6 ABx（年） 2 3 4 5 6 y（万元） 1 2.5 3 4 4.5 （1）若知道 y 对 x 呈线性相关关系，请根据上表提供的数据， 求出 y 关于 x 的线性回归方程 ； （2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用 10 年的维修费用为 9 万元，试根据（1） 求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用 10 年的维修费用能 否比技术改造前降低？ 参考公式: ， . 21.（本小题 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 点为圆心的 圆 及其上一点 . （1）设圆 N 与 y 轴相切，与圆 M 外切，且圆心在直线 上，求圆 N 的标准方程； （2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点且 ，求直线 l 的方程. ˆˆ ˆy bx a= + ( )( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ˆˆa y bx= − 2 2: 14 12 60 0M x y x y+ − − + = (4,2)A 6y = BC OA=22.（本小题 14 分） 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 已知满足 . （1）求角 的大小； （2）若 ，求 面积的取值范围． 23.（本小题 14 分） 已知圆 O：x2+y2=2，直线．l：y=kx-2． （1）若直线 l 与圆 O 相切，求 k 的值； （2）若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A，B，当∠AOB 为锐角时，求 k 的取值范围； （3）若 ，P 是直线 l 上的动点，过 P 作圆 O 的两条切线 PC，PD，切点为 C，D， 探究：直线 CD 是否过定点． ABC∆ A B C a b c (2 )cos cosa c B b C− = B 2=b ABC∆ 2 1=k江苏省西亭高级中学 2019-2020 学年（下）期中测试 高一数学参考答案及评分标准 命题人： 审核人： 一、单项选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题的四个选项中，只有一 项是符合题目要求. 1． 如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心）， 绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ） A．一个球 B．一个球中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球中间挖去一个棱柱 【答案】B 2． 某中学有学生 2500 人，其中男生 人，为了解疫情期间学生居家自主锻炼的 时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为 的样本，若样本 中女生恰有 20 人，则 的值为（ ） A．30 B．50 C．70 D．80 【答案】B 3． 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 A∶B∶C＝1∶2∶3， 则 a∶b∶c 等于（ ） A．1∶2∶3 B．2∶3∶4 C．3∶4∶5 D．1∶ ∶2 【答案】D 4． △ABC 中，若 c= ，则角 C 的度数是（ ） A．60° B．120° C．60°或 120° D．45° 【答案】B 5． 已知直线 ， ，则它们的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 6． 已知直线 ，直线 ， 且 ，则 的值为（ ） 1500 n n 3 2 2a b ab+ + 1 :l y kx b= + 2 :l y bx k= + ( )1 :3 2 1 0l mx m y+ + + = ( ) ( )2 : 2 2 2 0l m x m y− + + + = 1 2l l// mA．-1 B． C． 或-2 D．-1 或-2 【答案】D 7． 在△ABC 中， ， ，则△ABC 一定是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 8． 已知点 在圆 外，则直线 与圆 的位置关系 是（ ） A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 【答案】B 9． 已知圆 方程 ，圆 与直线 相交于 两点， 且 （ 为坐标原点），则实数 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 10．在平面直角坐标系 中，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1 为半径的圆与圆 ： 有公共点，则实数 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分，在每小题的四个选项中，至少两项 是符合题目要求. 11．圆 （ ） A．关于点 对称 B．关于直线 对称 C．关于直线 对称 D．关于直线 对称 【答案】ABC 12．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，下列结论正确的是（ ） A．a2=b2+c2-2bccosA B．asinB=bsinA C．a=bcosC+ccosB D．acosB+bcosC=c 【答案】ABC 1 2 1 2 60B = ° 2b ac= ( ),M a b 2 2: 1O x y+ = 1ax by+ = O 5 4− 2 1 5 8 5 1 xOy 2y kx= − C 2 2 8 15 0x y x+ − + = k 0 4 3 3 2 3 2 2 4 1 0x y x+ − − = ( )2,0 0y = 3 2 0x y+ − = 2 0x y− + =13． ， ， 是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 与 相交， 与 相交，则 与 也相交 C．若 ， 分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若 与 相交， 与 异面，则 与 异面 【答案】AC 三、填空题：本题共 4 题，每小题 4 分，其中第 16 题每空两分，共 16 分. 14．已知一组数据 6，7，8，9，m 的平均数是 8，则这组数据的方差是 ． 参考公式： . 【答案】2 15．我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长三丈五尺，围之 尺.葛生其下， 缠木三周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：圆木长 丈 尺，圆周为 尺， 葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木三周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少 长 尺．（注： 丈等于 尺） 【答案】37(或 ) 16．已知直线 ： 与圆心为 ，半径为 的圆相交于 A，B 两点， 另一直线 ： 与圆 M 交于 C，D 两点，则 ______， 四边形 面积的最大值为 ． 【答案】 , 17．已知实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ． 【答案】10 四、解答题:本大题共 6 小题，共 82 分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题 12 分） 如图，在空间四边形 中， 分别是 的中点， 分别在 上，且 . （1）求证： 四点共面； （2）设 与 交于点 ，求证： 三点共线. 证明：（1）因为 分别为 的中点， 所以 . a b c / /a b / /b c / /a c a b b c a c a b a c b c a b ])()()()[(1 22 3 2 2 2 1 2 xxxxxxxxns n −++−+−+−=  4 3 5 4 1 10 1369 1l 3 6 0x y+ − = ( )0,1M 5 2l 2 2 3 3 0kx y k+ − − = AB = ACBD 10 5 2 x y 1)1( 22 =+− yx 243 +− yx ABCD ,E F ,AB AD ,G H ,BC CD : : 1: 2BG GC DH HC= = , , ,E F G H EG FH P , ,P A C ,E F ,AB AD EF BD在 中， ， 所以 ，所以 . 所以 四点共面.…………6 分 （2）因为 ，所以 ，又因为 平面 ， 所以 平面 ， 同理 平面 ， 所以 为平面 与平面 的一个公共点. 又平面 平面 . 所以 ，所以 三点共线. …………12 分 19.（本小题 14 分） 如图，在 中， 为 边上一点，且 ，已知 ， . （1）若 是锐角三角形， ，求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的长. 解：（1）在 中， ， ， ，由正弦定理得 ， 解得 ，所以 或 . 因为 是锐角三角形，所以 . 又 ，所以 .…………7 分 （2）由题意可得 ，解得 ， BCD∆ BG DH GC HC = GH BD EF GH , , ,E F G H EG FH P∩ = P EG∈ EG ⊂ ABC P∈ ABC P∈ ADC P ABC ADC ABC ADC AC= P AC∈ , ,P A C ABC△ D AB DA DC= 4B π= 1BC = ABC△ 6 3DC = A BCD 1 6 AB BCD 4B π= 1BC = 6 3DC = sin sin BC CD BDC B =∠ 21 32sin 26 3 BDC × ∠ = = 3BDC π∠ = 2 3 π ABC 2 3BDC π∠ = DA DC= 3A π= 1 1sin2 4 6BCDS BC BD π= ⋅ ⋅ ⋅ = 2 3BD =由余弦定理得 ， 解得 ， 则 . 所以 的长为 .…………14 分 20.（本小题 14 分） 下表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限 x 和所支出的维修费 y（万元） 的几组对照数据: x（年） 2 3 4 5 6 y（万元） 1 2.5 3 4 4.5 （1）若知道 y 对 x 呈线性相关关系，请根据上表提供的数据， 求出 y 关于 x 的线性回归方程 ； （2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用 10 年的维修费用为 9 万元，试根据（1） 求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用 10 年的维修费用能 否比技术改造前降低？ 参考公式: ， . 解：（1）根据所给表格数据计算得 , , , , , , 所以,y 关于 x 的线性回归方程为 .…………10 分 （2）由（1）得,当 时, ,即技术改造后的 10 年的维修费用为 8.1 2 2 2 2 cos 4CD BC BD BC BD π= + − ⋅ ⋅ = 2 2 2 51 2 19 3 2 9 + − × × × = 5 3CD = 5 2 3AB AD BD CD BD += + = + = AB 5 2 3 + ˆˆ ˆy bx a= + ( )( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ˆˆa y bx= − 2 3 4 5 6 45x + + + += = 1 2.5 3 4 4.5 35y + + + += = 5 1 2 7.5 12 20 27 68.5i i i x y = = + + + + =∑ 5 2 1 4 9 16 25 36 90i i x = = + + + + =∑ 5 1 5 2 2 1 5 68.5 60ˆ 0.8590 205 i i i i i x y x y b x x = = − ⋅ −∴ = = =−− ∑ ∑ ˆˆ 0.4a y bx= − = − ˆ 0.85 0.4y x= − 10x = ˆ 0.85 10 0.4 8.1y = × − =万元,相比技术改造前,该型号的设备维修费降低了 0.9 万元. …………14 分 21.（本小题 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 点为圆心的 圆 及其上一点 . （1）设圆 N 与 y 轴相切，与圆 M 外切，且圆心在直线 上，求圆 N 的标准方程； （2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点且 ，求直线 l 的方程. 解：（1）圆 M 的标准方程为 ，所以圆心 M（7，6），半径为 5,. 由圆 N 圆心在直线 y=6 上，可设 因为圆 N 与 y 轴相切，与圆 M 外切 所以 ，圆 N 的半径为 从而 解得 . 所以圆 N 的标准方程为 .…………7 分 （2）因为直线 l 平行于 OA，所以直线 l 的斜率为 . 设直线 l 的方程为 ，即 则圆心 M 到直线 l 的距离 因为 而 所以 ，解得 或 . 故直线 l 的方程为 或 .…………14 分 22.（本小题 14 分） 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 已知满足 . （1）求角 的大小； 2 2: 14 12 60 0M x y x y+ − − + = (4,2)A 6y = BC OA= 2 2( 7) ( 6) 25− + − =x y ( )0 ,6N x 00 7<