江苏省徐州市2019-2020高一数学下学期期中试题（含答案Word版）

数学试卷 第 页（共 6 页）1 2019-2020 学年度第二学期期中学情调研试题 高一数学 一、 单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．푠푖푛450푐표푠150 + 푐표푠450푠푖푛150的值为 （ ▲ ） A．－ 3 2 B． 3 2 C． － 1 2 D． 1 2 2.在正方体퐴퐵퐶퐷 ― 퐴1퐵1퐶1퐷1中，直线퐵퐷1与퐵1퐶是（ ▲ ） A．异面直线 B．平行直线 C．相交直线 D．相交且垂直的直线 3.已知： 均为锐角， ，则 （ ▲ ） A． B． C． D． 4.在 △ 퐴퐵퐶中，已知푎 = 6，푏 = 8，퐶 = 60°，则 △ 퐴퐵퐶的面积为（ ▲ ） A．24 B．12 3 C．6 2 D．12 5、若훼,훽 ∈ (0,휋),푐표푠(훼 ― 훽 2) = ― 12 13,푠푖푛(훼 2 ― 훽) = 4 5，则푠푖푛 훼 + 훽 2 = （ ▲ ） 퐴.33 65 퐵. ― 33 65 퐶.63 65 퐷. ― 63 65 ,α β 1 1tan ,tan2 3 α β= = α β+ = 6 π 4 π 3 π 5 12 π 注　意　事　项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共 4 页，本卷满分为 150 分。考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和 答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3. 回答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 4．作答非选择时题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其 它位置作答一律无效。如需作图，须用 2B 铅笔绘图、写清楚，线条、符号等。 （第 2 题图）数学试卷 第 页（共 6 页）2 6、已知훥퐴퐵퐶的内角 A、B、C 所对的边分别是 a,b,c,若푏푐표푠퐶 +푐푐표푠퐵 = 푏， 则훥퐴퐵퐶一定是（ ▲ ） A.等腰三角形. B.等边三角形. C.等腰直角三角形. D.直角三角形 7.若 ，则 （ ▲ ） A. B. C. D. 8、如图，已知四棱锥푃 ― 퐴퐵퐶퐷的底面是平行四边形,点 F 在棱푃퐴上， PF = 휆퐴퐹，若푃퐶//平面퐵퐷퐹，则휆的值为（ ▲ ） A．1 B． C．3 D．2 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.下列各式中，值为 3 2 的是（ ▲ ） A．2푠푖푛15°푐표푠15° B． 1 + 푡푎푛150 2(1 ― 푡푎푛150) C．1 ― 2푠푖푛2 150 D． 10.根据下列条件解三角形，有两解的有（ ▲ ） A.已知푎 = 2，푏 = 2，퐵 = 45∘. B.已知푎 = 2,푏 = 6,퐴 = 450 C.已知푏 = 3,푐 = 3,퐶 = 600 D.已知푎 = 2 3,푐 = 4,퐴 = 450 11．如图：在空间四边形퐴퐵퐶퐷中,平面四边形 EFGH 的四个顶点分别是边퐴퐵,퐵퐶,퐶퐷,퐷퐴上的点， 当퐵퐷//平面 时,下面结论正确的是（ ▲ ） A． 一定是各边的中点 B．퐺,퐻一定是퐶퐷,퐷퐴的中点 C．퐴퐸:퐸퐵 = 퐴퐻:퐻퐷,且퐵퐹:퐹퐶 = 퐷퐺:퐺퐶 D．四边形 是平行四边形或梯形 tan 2α = 22cos sin 2α α+ = 3 4 5 3 7 6 6 5 3 2 2 3tan15 1 tan 15− ° ° EFGH , , ,E F G H EFGH D C A B P F （第 8 题图） G B D C A E F H （第 11 题图）数学试卷 第 页（共 6 页）3 12．在 △ 퐴퐵퐶中，퐶 = 120°，푡푎푛퐴 + 푡푎푛퐵 = 2 3 3 ，下列各式正确的是（ ▲ ） A．퐴 + 퐵 = 2퐶 B．푡푎푛(퐴 + 퐵) = ― 3 C．푡푎푛퐴 = 푡푎푛퐵 D．푐표푠퐵 = 3푠푖푛퐴 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.已知훼为第二象限的角，푠푖푛훼 = 4 5，则푡푎푛2훼＝ ▲ . 14.如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E，F 分别是棱 BC，CC1 的中点， 则异面直线 EF 与 B1D1 所成的角为 ▲ ． 15．已知 , = ▲ . 16. ，则 = ▲ . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分 10 分） 훥퐴퐵퐶三个内角 A,B,C 对应的三条边长分别是푎,푏,푐，且满足 3푐푠푖푛퐴 = 푎푐표푠퐶． （1）求角퐶的大小； （2）若푏 = 3，푐 = 11，求푎． , , , , ,ABC A B C a b c∆ 的内角 的对边分别为 2 2 2 4 a c bABC + −∆若 的面积为 B则角 5- ,12 12 π πα< 3 41 2a += 1 cos2 1 1 1 1( ) sin 2 sin 2 cos22 2 2 2 2 xf x x x x += + − = + 2 sin 22 4x π= +（ ） T π= 1 sin(2 ) 12 4x π≤ + ≤数学试卷 第 页（共 6 页）8 19.解(1)∵M、N 分别是푨ퟏ푩和푨ퟏ푪中点. ∴푴푵//푩푪 …………………2 分 又푩푪 ⊂ 平面푨푩푪,푴푵⊄平面푨푩푪 ∴푴푵//平面푨푩푪 ……………………4 分 （2）如图，取 A1B1 的中点 D，连接 DE，BD. ∵ 为 中点， 为 中点 ∴ 且 ……………………6 分 在三棱柱 中，侧面 是平行四边形 ∴ 且 ∵ 是 的中点 ∴ 且 ……………………8 分 ∴ 且 ∴四边形 是平行四边形 ∴ ……………………10 分 又 BD⊂平面 AA1B1B，EF⊄平面 AA1B1B， ∴EF∥平面 AA1B1B ……………………12 分 20.解（1） ∵ 풄풐풔휷 = ― ퟕ ퟐ ퟏퟎ ,휷 ∈ (ퟎ, 흅)， ∴ ∴풕풂풏휷 = 풔풊풏휷 풄풐풔휷 = …………………………2 分 ∴퐭퐚퐧(휶 + 휷) = 풕풂풏휶 + 풕풂풏휷 ퟏ ― 풕풂풏휶풕풂풏휷 = ퟐ ― ퟏ ퟕ ퟏ + ퟐ ퟕ = ퟏퟑ ퟗ ………………4 分 （2）由（1）知풕풂풏휶 = ퟐ,풕풂풏휷 = ― ퟏ ퟕ ∴ …………………………6 分 ∴ ………8 分 D 1 1A B E 1 1A C 1 1/ /DE B C 1 1 1 2DE B C= 1 1 1ABC A B C− 1 1BCC B 1 1/ /BC B C 1 1BC B C= F BC 1 1/ /BF B C 1 1 1 2BF B C= / /DE BF DE BF= DEFB / /EF BD 2 27 2 2sin 1 cos 1 ( )10 10 β β= − = − − = 2 110 77 2 10 = − − 2 2 2tan 2 2 4tan2 1 tan 1 2 3 αα α ×= = = −− − 4 1( )tan2 tan 3 7tan 2 14 11 tan2 tan 1 ( ) ( )3 7 α βα β α β − − −−− = = = −+ ⋅ + − × − （ ）数学试卷 第 页（共 6 页）9 ∵풕풂풏휶 = ퟐ,휶 ∈ (ퟎ,흅)，∴휶 ∈ (ퟎ,흅 ퟐ) ∴ ………………………………………………10 分 ∴ ．…………………………………………………12 分 21.解（1）在四边形푨푩푪푫中，因为푨푫 ⊥ 푨푩， ，∠푨푩푪 = ퟑퟎퟎ 所以∠푨푫푪 = ퟏퟐퟎퟎ， 在휟푨푪푫中,可得∠푪푨푫 = ퟗퟎ° ― ퟔퟎ° = ퟑퟎ°，∠푨푫푪 = ퟏퟐퟎퟎ，………2 分 푨푪 = ퟐ，由正弦定理得: 푪푫 풔풊풏 ∠ 푪푨푫 = 푨푪 풔풊풏 ∠ 푨푫푪, 解得：푪푫 = ퟐ ퟑ ퟑ . …………………………………………………………4 分 （2）因为∠푪푨푩 = ퟔퟎ∘，푨푫 ⊥ 푨푩可得∠푪푨푫 = ퟑퟎ∘, 四边形内角和ퟑퟔퟎ∘得∠푨푫푪 = ퟏퟓퟎ∘ ― 휽， ∴ 在휟푨푫푪中，由正弦定理得 푫푪 풔풊풏 ퟑퟎ∘ = ퟐ 풔풊풏 (ퟏퟓퟎ∘ ― 휽) 解得퐃퐂 = ퟏ 풔풊풏 (ퟏퟓퟎ∘ ― 휽). ………………………………………6 分 在휟푨푩푪中，由正弦定理得 푩푪 풔풊풏 ퟔퟎ∘ = ퟐ 풔풊풏 휽 解得푩푪 = ퟑ 풔풊풏 휽， ……………………………………………8 分 ∴ 푺휟푩푪푫 = ퟏ ퟐ푫푪 ⋅ 푩푪 ⋅ 풔풊풏 ퟏퟐퟎ∘ = ퟑ ퟒ × ퟏ 풔풊풏 (ퟏퟓퟎ∘ ― 휽) 풔풊풏 휽 = ퟑ ퟒ × ퟏ ퟏ ퟐ풔풊풏 휽 풄풐풔휽 + ퟑ ퟐ 풔풊풏ퟐ 휽 = ퟑ ퟒ × ퟏ ퟏ ퟒ풔풊풏 ퟐ 휽 ― ퟑ ퟒ 풄풐풔ퟐ 휽 + ퟑ ퟒ , = ퟑ ퟒ × ퟏ ퟏ ퟐ풔풊풏 (ퟐ 휽 ― ퟔퟎ∘) + ퟑ ퟒ , ………………………………………………………10 分 即휽 = ퟕퟓ∘时，푺取最小值ퟔ ― ퟑ ퟑ.……………………12 分 ( )1tan 0 07 2 πβ β π β π = − < ∈ ∴ ∈   ，且 ， ， 2 2 πα β π − ∈  - ， tan 2 1α β− = − （ ） 2α − β = − π 4 120BCD∠ =  0 150θ° < < ° 60 2 60 240θ∴− ° < − ° < ° 2 60 90θ∴ − ° = °当数学试卷 第 页（共 6 页）10 22.解（1）由 BC=CD=2,∠푪 = ퟔퟎퟎ，所以휟푩푪푫是等边三角形，所以 BD=2, 풄풐풔푨 = 푨푩ퟐ + 푨푫ퟐ ― 푩푫ퟐ ퟐ 푨푩 ⋅ 푨푫 = ퟒ + ퟏퟐ ― ퟒ ퟖ ퟑ = ퟑ ퟐ …………………………………………………………2 分 （2）在 中，由余弦定理得 ， 在 中，由余弦定理得 ， ，…………………4 分 则 ， ；…………………6 分 （3） ， ， 则 ，…………8 分 由（2）知： ，代入上式得： ，……10 分 配方得： ， 时 取到最大值 .……………………………12 分 0 A π<