江苏省徐州市2019-2020高二数学下学期期中试题（含答案Word版）

数学试卷 第 页（共 6 页）1 2019—2020 学年度第二学期期中学情调研试题 高二数学 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．若函数 ，则 在 处的导数为（ ▲ ） A. B. C. D. 2．设复数 满足 (其中 为虚数单位)，则 （ ▲ ） A. B. C. D. 3．下列求导运算正确的是（ ▲ ） A. B. C. D. 4．已知函数 在 处取得极值，则实数 的值为（ ▲ ） A. B. C. D. 2)( xxf = )(xf 1=x x2 2 3 4 z izi 2)1( =+ i =z 2 1 2 2 2 2 2 '(2 ) 2x x= xx ee =)'( xx 1)(ln −=′ 2 11)1( xxx +=′+ 93)( 23 −++= xaxxxf 3−=x a 2 3 4 5 注　意　事　项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共 6 页，本卷满分为 150 分。考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和 答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3. 回答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 4．作答非选择时题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其 它位置作答一律无效。如需作图，须用 2B 铅笔绘图、写清楚，线条、符号等。 数学试卷 第 页（共 6 页）2 5．已知函数 的图象如图所示，则 其导函数 的图象可能是（ ▲ ） A. B. C. D. 6．已知函数 ，则 （ ▲ ） A. B. C. D. 7．若函数 在区间 上是单调减函数，则实数 的取值范围是（ ▲ ） A. B. C. D. 8.设 是定义在 上的奇函数, ，当 时，有 恒成立， 则 的解集为（ ▲ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，不选或有选错的得 0 分． 9．已知不等式 对任意的 恒成立， 则满足条件的整数 的可能值为（ ▲ ） A. B. C. D. 10．已知函数 ，下列说法中正确的有（ ▲ ） A. 函数 的极大值为 ，极小值为 B. 当 时，函数 的最大值为 ，最小值为 C. 函数 的单调减区间为 D. 曲线 在点 处的切线方程为 )(xfy = )(' xfy = )1('2)( 2 xfxxf += =)0('f 4− 4 2− 2 xxxf ln3)( += )2,( +mm m ]0,(−∞ ),1[ +∞ )1,0( ]1,0[ )(xf R 0)2( =f 0>x 0)()( 2 x xf ),0()0,2( +∞−  )2,0()0,2( − ),2()2,( +∞−−∞  )2,0()2,( −−∞ aex x ≥− )2( Rx∈ a 4− 3− 2− 1− 243 1)( 3 +−= xxxf )(xf 3 22 3 10− [ ]4,3∈x )(xf 3 22 3 10− )(xf [ ]2,2− )(xfy = )2,0( 24 +−= xy y=f(x) （第 5 题图） 数学试卷 第 页（共 6 页）3 11．若函数 在 上单调递减，则称 为 函数． 下列函数中为 函数的是（ ▲ ） A. B. C. D. 12．设函数 ， ，给定下列命题，其中是正确命题的是（ ▲ ） A.不等式 的解集为 B.函数 在 单调递增，在 单调递减 C.当 时， 恒成立，则 D.若函数 有两个极值点，则实数 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，（第 15 题第一空 2 分，第二空 3 分） 共计 20 分． 13．函数 的单调递减区间为 ▲ ． 14．若函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围为 ▲ ． 15．已知函数 ， ( )，若曲线 与曲线 相交， 且在交点处有相同的切线，则 ▲ ，切线的方程为 ▲ （直线的方程写成一般 式）． 16．已知函数 , 若函数 有四个不同的零点，则 的取值范围为 ▲ x xfy ln )(= ),1( +∞ )(xf M M 1)( =xf xxf =)( xxf 1)( = 2)( xxf = xxxf ln)( = x xfxg )()( ′= 0)( >xg ),1( +∞ e )(xg ),0( e ),( +∞e 021 >> xx )()()(2 21 2 2 2 1 xfxfxxm −>− 1≥m 2)()( axxfxF −= )2 1,0(∈a xxy ln2 1 2 −= 4)( 23 +−= axxxf ]2,0[ a xxf =)( xaxg ln)( = Ra∈ )(xfy = )(xgy = =a ( )f x m ( ) 3 21 3 2 2 1( 0)3 2 3 6( 0){ x x x m x x m xf x + + + − ≤ + − >= 数学试卷 第 页（共 6 页）4 四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分） 已知复数 ，其中 为虚数单位．若 满足下列条件，求实数 的值： (1) 为实数； (2) 为纯虚数； (3) 在复平面内对应的点在直线 上． 18．（本小题满分 12 分） 已知函数 ． (1)求函数 的单调区间； (2)求函数 在 上的最大值和最小值． immmz )2()2( −+−= i z m z z z xy = xexxf ⋅=)( )(xf )(xf ]1,2[− 数学试卷 第 页（共 6 页）5 19．（本小题满分 12 分） 已知函数 （ ）． (1)若函数 在 处取得极小值 ，求实数 的值； (2)讨论函数 的单调性． 20．（本小题满分 12 分） 如图，已知海岛 与海岸公路 的距离 为 ， ， 间的距离为 ， 从 到 ，需要先乘船至海岸公路 上的登陆点 ，船速为 ，再乘汽车至 ， 车速为 ．设 ． (1)用 表示从海岛 到 所用的时间 ，并写出 的取值范围； (2)登陆点 应选在何处，能使从 到 所用的时间最少？ 3 12)2(2 1 3 1)( 23 +++−= axxaxxf Ra ∈ )(xf 2=x 1 a )(xf A BC AB km50 B C km350 A C BC D hkm/25 C hkm/50 θ=∠BAD θ A C )(θf θ D A C 数学试卷 第 页（共 6 页）6 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 ( )． (1)若 在其定义域内单调递增，求实数 的取值范围； (2)若 ，且 有两个极值点 ，其中 ， 求 的取值范围． 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 , . (1)若 ，求函数 在 上的最小值； (2)若不等式 求实数 的取值范围． xmxxxf ln2)( 2 +−= Rm∈ )(xf m 54 ( )f x [1,2] ( ) |f x｜ ( )g x≥ 在[ 1, 2] 上恒成立 a 数学试卷 第 页（共 6 页）7 2019—2020 学年度第二学期期中学情调研试题 高二数学（参考答案） 一、单项选择题 1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．A 7．D 8．B 二、多项选择题 9．AB 10．ACD 11．AC 12．ACD 三、填空题 13． 或写成 14． 15． ， 16． 四、解答题 17．解：（1） ……………3 分 （2） ……………6 分 （3） 或 …………10 分 18．解：(1)函数 的定义域为 ………………2 分 由 得 ，由 得 ∴函数 的增区间为 ，减区间为 ………………6 分 (2) 令 得 列表如下： － 0 ＋ 减 增 由上表可知 函数 在 上的最大值为 最小值为 ………………12 分 19．解：(1)∵ 在 时的极小值是 ( )1,0 ( ]1,0 ( )3,0 2 e 02 2 =+− eeyx 5 11( , )6 12 2=m 0=m 1=m 2=m )(xf R '( ) ( 1)x x xf x e xe x e= + = + '( ) 0f x > 1x > − '( ) 0f x < 1x < − )(xf ( 1, )− +∞ ( , 1)−∞ − '( ) ( 1)x x xf x e xe x e= + = + 0)( =′ xf 1−=x x 2− ( )1,2 −− 1− ( )1,1− 1 )(' xf )(xf 2 2 e − e 1− e )(xf ]1,2[− ef =)1( ef 1)1( −=− )(xf 2=x 1 数学试卷 第 页（共 6 页）8 ∴ ，即 ， 解得 ………………2 分 当 时， ，则 令 ，解得 列表如下： 2 极大值 极小值 ∴当 在 时的极小值是 时， ………………4 分 (2) 令 ，解得 ①当 时，有 ，函数 在 上单调递增 ………………6 分 ②当 时，列表如下： 2 极大值 极小值 ∴函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减 ……………8 分 ③当 时，列表如下： 2 极大值 极小值 ∴函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减 ………10 分 综上：①当 时，函数 在 上单调递增 ②当 时，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减 ③当 时，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减 ……………12 分 20．解：(1)在 中， ， ∴ ， ∴ 1)2( =f 13 142)2(2 123 1)2( 23 =+++−= aaf 1=a 1=a 3 122 3 3 1)( 23 ++−= xxxxf )2)(1(23)( 2 −−=+−=′ xxxxxf 0)( =′ xf 2,1 == xx x )1,(−∞ 1 )2,1( ),2( +∞ )(xf ′ + 0 − 0 + )(xf )(xf 2=x 1 1=a )2)((2)2()( 2 −−=++−=′ xaxaxaxxf )( Rx∈ 0)( =′ xf 2, == xax 2=a 0)( ≥′ xf )(xf ),( +∞−∞ 2a x )2,(−∞ ),2( a a ),( +∞a )(xf ′ + 0 − 0 + )(xf )(xf )2,(−∞ ),( +∞a ),2( a 2=a )(xf ),( +∞−∞ 2a )(xf )2,(−∞ ),( +∞a ),2( a Rt ABD∆ 50AB = BAD θ∠ = 50 cosAD θ= 50tanBD θ= 50 3 50tanCD θ= − 数学试卷 第 页（共 6 页）9 ∴ ………………4 分 又 ∴ ∴ 的取值范围是 ………………6 分 (2) 由 得 又 ∴ ………………8 分 ∴当 时， ；当 时， ∴当 时， 有极小值，即最小值 ………………10 分 此时 答：登陆点 与 的距离为 时，从 到 所用的时间最少．……12 分 21．解：(1) 的定义域为 ∵ 在 上单调递增 ∴ 在 上恒成立 即 在 上恒成立 ………………2 分 又 （当且仅当 时等号成立） ∴ ………………4 分 (2) ∵ 有两个极值点 ∴ 为方程 的两个不相等的实数根 由韦达定理得 ∵ ∴ 又 2 2 sin( ) 3 tan 325 50 cos cos AD CDf θθ θθ θ −= + = + − = + tan 3BAC∠ = 3BAC π∠ = θ 0, 3 π     2 2 cos cos (2 sin )( sin ) 2sin 1'( ) cos cosf θ θ θ θ θθ θ θ − − − − −= = '( ) 0f θ = 1sin 2 θ = [0, ]3 πθ ∈ 6 πθ = 0 6 πθ< < '( ) 0f θ < 6 3 π πθ< < '( ) 0f θ > 6 πθ = ( )f θ 5050tan 36 3BD π= = D B 50 33 km A C ( )f x (0, )+∞ ( )f x (0, )+∞ 2'( ) 2 0f x x m x = − + ≥ (0, )+∞ 22m x x ≤ + (0, )+∞ 2 22 2 2 4x xx x + ≥ ⋅ = 1x = 4m ≤ 22 2 2'( ) 2 x mxf x x m x x − += − + = ( )f x 1 2,x x 1 2,x x 22 2 0x mx− + = 1 2 2 mx x+ = 1 2 1x x⋅ = 1 20 x x< < 1 20 1x x< < < 1 2 1 1 12( ) 2( ) (4,5)m x x x x = + = + ∈ 数学试卷 第 页（共 6 页）10 解得 ………………6 分 ∴ ………………8 分 设 ( )，则 ∴ 在 上为减函数 ………………10 分 又 ， ∴ 即 的取值范围为 ………………12 分 22.解：（1） ， 令 ，解得 （舍负）， ………2 分 ①当 时，即 时， 恒成立， 在 上单调递增，所以 ， ………3 分 ②当 时，即 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增，所以 ， ………4 分 ③当 时，即 时， 恒成立， 在 上单调递减，所以 ， ………5 分 综上所述： ………………6 分 （ 2） 1 1 12 x< < 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( 2ln ) ( 2ln )f x f x x mx x x mx x− = − + − − + 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 ( ) 2(ln ln ) 2( )( ) ( ) 2(ln ln ) x x x x x x x x x x x x = − + − − + − = − + − 2 1 12 1 1 4lnx xx = − + 2 2 1( ) 4lng x x xx = − + 1 12 x< < 0)1(2)12(2422)( 3 22 3 24 3 +−=−=′ aaxaxaxxf ]2,1[∈x 0)( =′ xf ax = 1≤a 10 ≤< a 0)( >′ xf )(xf [1,2] aff 31)1(min −== 21