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秘密★启用前【考试时间：5 月 14 日 15:00 —17:00】
2020 年高 2021 级高二下期期中考试
数学测试试题卷
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，
再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1. 已知复数 ，则 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2.已知随机变量 的分布列为 ，则实数 （ ）
A. B. C. D.
3.已知随机变量 （ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.68
4.若 的值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
5.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 表示“不小于 5 的点数
出现”，则一次试验中，事件 或事件 至少有一个发生的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.为了调查某校高二学生的身高是否与性别有关，随机调查该校 64 名高二学生，得到 列联表如下：
男生 女生 总计
身高低于
170cm
8 24 32
身高不低于
170cm
26 6 32
总计 34 30 64
由此得出的正确结论是（ ）
A.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为“身高与性别无关”
2
1
iz i
= − z
1− 1 i i−
ξ ( ) ( )1,2,3,4,5P k mk kξ = = = m =
1
5
1
10
1
15
1
20
( ) ( ) ( )22, , 0 0.84, 4X N P X P Xσ ≥ = > = 则
2 2
13 ,n nA C n−= 则
A B
A B
2
3
1
3
1
2
5
6
2 2×2
B.在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，认为“身高与性别有关”
C.有 99.9%的把握认为“身高与性别无关”
D.有 99.9%的把握认为“身高与性别有关”
7.二项式 的展开式中的常数项是（ ）
A. B. C. D.
8.已知 ，则 （ ）
A．31 B．32
C．63 D．64
9.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）
A． B．1
C． D．
10.从 中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是（ ）
A.72 B.70 C.66 D.64
11.已知离散型随机变量 服从二项分布 ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C．3 D．4
12. ， 表示不大于 的最大整数，如 ， ，且 ， ，
， ，定义： .若 ，则
的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
912x
x
−
2016− 672 144− 144
0 1 2 2 3 32 2 2 2 729n n
n n n n nC C C C C+ + + +⋅⋅⋅+ = 1 2 3 n
n n n nC C C C+ + +⋅⋅⋅+ =
2
3
4
3
8
3
{ }1,2,3, ,10
X ( ),X B n p ( ) ( )2,E X D X q= = 2 1
p q
+
27
4
9
2
t R∀ ∈ [ ]t t [ ]0.99 0= [ ]0.1 1− = − x R∀ ∈ ( ) ( 2)f x f x= +
[ 1,1]x∀ ∈ − 1( ) 2f x x= − ( ) [ ]( ) [ ]2 2 1, , 1,34D x y x t y t
= − + ≤ ∈ −
( , )a b D∈
( )f a b≤
1
2
1 1
2 3π+ 1 1
2 5π− 1 1
2 5π+3
13.已知变量 、 满足线性约束条件 ，则 的最小值是 .
14.设随机变量 .
15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为
0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 2∶1 获胜的概率是____________．
16.从 个男生和 个女生 中任选 2 个人当班长，假设事件 表示选出的 2 个人性别相
同，事件 表示选出的 2 个人性别不同，如果 的概率和 的概率相同，则 可能为__________.
三、解答题（共 70 分）
17.（10 分）当 ，则称点 为平面上的格点：设
（1）求从区域 中任取一点 ，而该点落在区域 上的概率；
（2）求从区域 中的所有格点中任取一点 ，而该点是区域 上的格点的概率.
18.（12 分）假设关于某设备的使用年限 x（年）和所支出的维修费用 y 万元有如下的统计资料：
2 3 4 5 6
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）画出散点图并判断是否线性相关；
（2）如果线性相关，求线性回归方程；
（3）估计使用年限为 10 年时，维修费用是多少？
附注：①参考公式：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计分别为
x y
1
0
6 0
x
x y
x y
≥
− ≤
+ − ≤
2z x y= +
( )15, , 32X B P X = = 则
m n ( )10 6m n≥ > ≥ A
B A B ( ),m n
,x y Z∈ ( , )P x y
( ) ( ) ( ){ }
13 3 ,0 2 2, , , 3 , ( )0 3 11, 2
x xxx y A x y f x y f xy x x
− > 3
2 l
,A B ,A B AB M
l
( ) 1 lnxf x e a x−= + e { }min 2,5aλ = +
{ }min , ,a b a b表示
0a = ( ) ( )g x f x x= − ( ) 1 3,2 2g x
在
1x ≥ ( ) ( )2 1 2f x x xλ+ ≥ − +5
2020 年高 2021 级高二下期期中考试
数学测试试题参考答案
一、选择题
1--6：BCACAD 7--12:BCCDBD
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 3 14. 15. 0.3 16.
三、解答题（共 70 分）
17.解：作出集合 所对应的区域（如图）：
矩形
则：（1）记事件 “从区域 中任取一点 ，而该点落在区域 上”
则事件 符合几何概型，即 .
（2）事件 “从区域 中的所有格点中任取一点 ，而该点是区域 上的格点”
则事件 符合古典概型，区域 中的格点个数:当横坐标分别为 0,1,2 时,纵坐标可以为 0,1,2,3 中的任一
个,此时有 个；而区域 上的格点有（0，3），（1，2），（1，3），（2，3）共 4 个，
∴
18.解：（1）因为点分布接近在一条直线上，所以线性相关；
（2）
（3） 时， ，维修费用是 万元
19.解：（1）能排除 2 个选项的试题记为 类试题，设选对一道 类试题为事件 ，则 ；
能排除 1 个选项的试题记为 类试题，设选对一道 类试题为事件 ，则 .
该考生选择题得 55 分这个事件为： 类试题对 2 道， 类试题对 0 道，或者 类试题对 1 道， 类试题
对 1 道，故
（2）该考生所得分数为
5
16
( )10,6
Ω A及
OABC ΔBCD与
M= Ω P A
M
1 32 12 2
2 3 4P
⋅ ⋅
= =×
N= Ω P A
N Ω
3 4 12× = A
4 1P 12 3
= =
2 3 4 5 6 2.2 3.8 5.5 6.5 7.04, 55 5x y
+ + + + + + + += = = =
5
2
1
5
2
1
112.1 5 4 5ˆ ˆ=1.23, 5 4 1.23=0.0890 5 4=112.3 =90i i i
i i
x y x b a
= =
− × ×= = − ×− ×∑ ∑， ，
1.23 0.08y x= +
10x = 12.38y = 12.38
A A A ( ) 1
2P A =
B B B ( ) 1
3P B =
A B A B
( ) 2 2
2 1
2 2
1 2 1 1 155 2 3 2 3 3P X C C = = × + × =
45,50,55,60X =6
所以 的分布列为：
45 50 55 60
20.解：（Ⅰ）证： 平面 ， ，
又 正方形 中， ， ， 平面 ，
又 平面 ， ，
，当 为 的中点时， 平行平面 ，所以 是 的中点，
， ， 平面 ；
（Ⅱ）解：以点 为坐标原点，分别以直线 ， ，
为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系，
则 ， ， ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
，
，令 ，得到 ， ，
；
又 ， ， ，且 平面 ，
平面 的一个法向量为 ；
设二面角 的平面角为 ，由图可知角 为锐角，
( ) ( )2 2 2
0 1 0
2 2 2
1 2 1 1 2 1 1 545 ; 50 ;2 3 6 2 3 2 3 12P X C P X C C = = × = = = × + × =
( ) 2
0
2
1 1 160 2 3 12P X C = = × =
X
X
P 1
6
5
12
1
3
1
12
( ) 1 5 1 1 15545 50 55 606 12 3 12 3E X = × + × + × + × =
PD ⊥ ABCD PD BC∴ ⊥
∴ ABCD CD BC⊥ PD CD D∩ = BC∴ ⊥ PCD
DE ⊂ PCD BC DE∴ ⊥
PD CD= F DC EF PAD E PC
DE PC⊥ PC BC C∩ = DE∴ ⊥ PCB
D DA DC
DP x y z
(0,0,0)D (0,0,2)P (2,2,0)B (0,1,1)E
(2,2,0)DB = (0,1,1)DE =
BDE ( , , )n x y z= 0n DB⋅ =
0n DE⋅ =
2 2 0
0
x y
y z
+ =∴ + = 1z = 1y = − 1x =
(1, 1,1)n∴ = −
(0,2,0)C (2,0,0)A ( 2,2,0)= −AC AC ⊥ PDB
∴ PDB (1, 1,0)m = −
E BD P− − α α7
则 ，
二面角 的余弦值为 ．
21.解：（1）由题
所以椭圆的标准方程为
（2）由题设直线 ：
联立直线方程与椭圆方程得：
因为以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，
所以
即
经验证 ，所以直线过定点
22. 解：（1）当 时，
则
当
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增
从而 在 上的最小值为
因为
1 1 0 6cos | cos , | 32 3
m nα + += < > = =
⋅
∴ E BD P− − 6
3
32, 42
cb aa
= = ⇒ =
2 2
116 4
x y+ =
l ( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , 4,0x ty m A x y B x y M= +
( )2 2 24 2 16 0t y tmy m+ + + − =
( ) 2
2 2
1 2 1 22 2
2 1616 4 16 0, ,4 4
tm mt m y y y yt t
− −∆ = − + > + = =+ +
AB M
( )( ) ( ) ( )( ) ( )22
1 2 1 2 1 2 1 24 4 1 4 4 0MA MB x x y y t y y t m y y m⋅ = − − + = + + − + + − =
2 125 32 48 0 45m m m− + = ⇒ = 或
12
5m = 12 ,05
0a = ( ) 1 1 3, ,2 2
xg x e x x− = − ∈
( ) ( )1 1, 0, 1xg x e g x x−′ ′= − = =令 得
( ) ( )1 , 0 1 , 0x g x x g x′ ′< < > >时 ；当 时
( )g x 1 ,12
31, 2
( )g x 1 3,2 2
( )1 0g =
1 1
2 21 1 3 3,2 2 2 2g e g e
− = − = −
1 1
2 21 3 1 2.89 1 2.71 02 2
e e e eg g e e
e e e
− − + + − + + − + − = − + = < = > =即 时
( ) ( )2 1 21 2 ln 5 3 0xf x x x e a x x xλ −+ ≥ − + ⇔ + + − + ≥
1 , 1, 3xe x x a− ≥ ≥ >及
1 2 2ln 5 3 3ln 4 3xe a x x x x x x− + + − + > + − +
( ) 23ln 4 3, 1,h x x x x x= + − + ≥
( ) 22 4 3 0x xh x x
− +′ = ≥ ( )h x [ )1,+∞
( )1 0h = ( ) 0h x ≥
1x ≥ ( ) ( )2 1 2f x x xλ+ ≥ − +
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