数学试题
一.选择题（本大题共 10 道小题，每道小题 4 分，共 40 分）
1.已知集合 ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据并集的定义求解即可.
【详解】
故选：D
【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题.
2.在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析： ，在复平面内对应的点的坐标为 ，位于
第三象限，故选 C.
考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义
3.已知命题 p：∀x∈R+，lnx＞0，那么命题 为（ ）
A. ∃x∈R+，lnx≤0 B. ∀x∈R+，lnx＜0
C. ∃x∈R+，lnx＜0 D. ∀x∈R+，lnx≤0
【答案】A
【解析】
【分析】
利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
故命题“p：∀x∈R+，lnx＞0”的否定 为：∃x∈R+，lnx≤0.
故选：A.
{ } { }2 1 , 0A x x B x x= − < < = > A B =
( 2,1)− (0,1) (0, )+∞ ( 2, )− +∞
{ } { } { }2 1 0 2A B x x x x x x∪ = − < < ∪ > = > −
( )1i i −
( ) 21 1i i i i i− = − = − − ( )1, 1− −
p¬
p¬【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，要注意两个方面的变化：1.量词，2.结论，属
于基础题.
4.设 ，且 ，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
取特殊值排除 A，B，C，根据函数 的单调性即可得出正确答案.
【详解】对 A 项，当 时， ，故 A 错误；
对 B 项，取 ， 时， ，不满足 ，故 B 错误；
对 C 项，取 ， 时， ，不满足 ，故 C 错误；
对 D 项，函数 在 上单调递增， ，则 ，故 D 正确;
故选：D
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.
5.已知函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由点 是函数 上任意一点，则点 在函数 的图像上，列出方程，即可得
到正确答案.
【详解】设点 是函数 上任意一点，则点 在函数 的图像上
即
所以函数 的解析式为：
故选：A
, ,a b c∈R a b<
ac bc< 1 1
a b
> 2 2a b< 3 3a b<
3y x=
0c < a b ac bc< ⇒ >
2a = − 1b = 1 12
− < 1 1
a b
>
2a = − 1b = − ( )222 1− > −( ) 2 2a b<
3y x= R a b< 3 3a b<
( )f x 2xy = x ( )f x =
2x− 2 x−
2log x− 2log x
( , )x y ( )f x ( , )x y− 2xy =
( , )x y ( )f x ( , )x y− 2xy =
2 2x xy y− = ⇒ = −
( )f x ( ) 2xf x = −【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.
6.已知向量 若 与 共线，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】
因为 与 共线，所以 ，解得：
故选：B
【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.
7.已知双曲线 的离心率为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线的性质求出 ， ，根据离心率列出等式求解即可.
【详解】 ，
因为双曲线 的离心率为 ，所以
解得：
故选：B
【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
(1, 3), ( 1,0), ( 3, ).a b c k= = − = 2a b− c k =
0 1 3 3
2 (3, 3)a b− =
2a b− c 3 3 3 0k − × = 1k =
2
2 1x ym
− = 3 m =
1
4
1
2
2
2
2
a m= 1c m= +
a m= 1c m= +
2
2 1x ym
− = 3 1 3m
m
+ =
1
2m =A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.
【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示
所以
故选：C
【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.
1
3
2
3 1 2
1 1 1 2 12ABC A B CV ′ ′ ′− = × × × =9.设 为非零向量，则“ ， ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可.
【详解】证充分性
所以 ，即充分性成立
证必要性
因为
所以 ，即
则向量 反向，即存在 ，使得
由 ，则
所以 ， ，即必要性成立
所以 “ ， ”是“ ”的充分必要条件
故选：C
【点睛】本题主要考查了证明充分必要条件等，属于中档题.
10.为配合“2019 双十二”促销活动，某公司 四个商品派送点如图环形分布，并且公司给
四个派送点准备某种商品各 50 个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给
四个派送点的商品数调整为 40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每
次调动可以调整 1 件商品.为完成调整，则（ ）
的
,m n m nλ= 1λ ≤ − m n m n+ = −
1 ( 1)n nm n n nλ λ λ+ = + = − ++ =
( 1)m n n n n n nλ λ λ− = − = − − = − +
m n m n+ = −
( )2 2 2
2m n m n m m n n+ = + = + ⋅ +
m n m n+ = −
( )22 2 2 2
2 2m m n n m n m m n n+ ⋅ + = − = − ⋅ + cosm n m n m n π⋅ = − ⋅ = ⋅
,m n 0λ < λ= m n
0nm n m n nn nλ λ+ = − = =− −− ≥ 1λ ≤ −
λ= m n 1λ ≤ −
λ= m n 1λ ≤ − m n m n+ = −
, , ,A B C D
, , ,A B C DA. 最少需要 16 次调动，有 2 种可行方案
B. 最少需要 15 次调动，有 1 种可行方案
C. 最少需要 16 次调动，有 1 种可行方案
D. 最少需要 15 次调动，有 2 种可行方案
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项.
【详解】根据题意 A，B 两处共需向 C，D 两处调 15 个商品，这 15 个商品应给 D 处 11 个商
品，C 处 4 个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：
方案一：A 调动 11 个给 D，B 调动 1 个给 A，B 调动 4 个给 C，共调动 16 次；
方案二：A 调动 10 个给 D，B 调动 5 个给 C，C 调动 1 个给 D，共调动 16 次；
故选：A
【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.
二、填空题（本大题共 5 道小题，每道小题 5 分，共 25 分）
11.在 的展开式中， 的系数为________．（用数字作答）
【答案】40
【解析】
【分析】
根据二项式展开定理求解即可.
【详解】 展开的通项为
时，
此时 的系数为
( )52x − 3x
( )52x − ( ) 5
5 2 rr rC x −−
5 3r− = 2r =
3x ( )22
5 2 40C − =故答案为：
【点睛】本题主要考查了由二项式定理求指定项的系数，属于基础题.
12.各项均为正数的等比数列 中, ,则 _______ .
【答案】9
【解析】
【分析】
求出公比，根据等比数列的前 项和公式即可求解.
【详解】设等比数列 的公比为
因为 ，所以 ，解得 (舍)，
，
则
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求等比数列的前 项和公式，属于基础题.
13.抛物线 上一点 到焦点 的距离等于 4，则 =_____；点 的坐标为
______ .
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
根据焦点坐标求出 ，根据抛物线的定义求出点 M 坐标即可.
【详解】因为焦点 ，所以
设点 ，根据抛物线的定义得： ，解得
所以点 的坐标为
40
{ }na 1 2 31, 6a a a= + = 6
3
S
S
=
n
{ }na q
1 2 31, 6a a a= + =
2
1
1 1
1
6
a
a aq q
=
+ =
3q = − 2q =
6
6
1 (1 2 ) 631 2S
× −= =−
3
3
1 (1 2 ) 71 2S
× −= =−
6
3
63 97
S
S
= =
9
n
2 2y px= M (1,0)F p M
(3, 2 3)±
2p =
(1,0)F 2p =
2
( , )4
yM y
2
1 44
y + = 2 3y = ±
M (3, 2 3)±故答案为：2；
【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及考查了抛物线的定义，属于基础题.
14.在 中, ,则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.
【详解】由正弦定理可得
由余弦定理可得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边以及余弦定理，属于基础题.
15.已知函数 .
① 的最大值为________ ；
②设当 时， 取得最大值，则 ______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由辅助角公式以及正弦函数的性质得到 的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即可
求解.
【详解】① ， (其中 ， )
当 ，即 时， 取最大值
②由题意可知
(3, 2 3)±
ABC∆ 2 ,sin 3sina b C B= = cos B =
6
3
3=c b
2 2 2 2 2 22 3 6cos 2 32 2 3
a c b b b bB ac b b
+ − + −= = =
× ×
6
3
( ) sin 2cosf x x x= −
( )f x
x θ= ( )f x cosθ =
5 2 5
5
−
( )f x
( ) sin 2cos 5 sin( )f x x x x ϕ= − = − 2 5sin 5
ϕ = 5cos 5
ϕ =
22x k
πϕ π− = + 22x k
π ϕ π= + + ( )f x 5
22 k
πθ ϕ π= + +故答案为： ；
【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.
三、解答题（本大题共 6 道小题，共 85 分）
16.已知函数 其中 .
（1）若函数 的最小正周期为 ，求 的值；
（2）若函数 在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数 ，根据周期公式求出 的值；
(2)利用 求出 ，结合正弦函数的性质列出不等式即
可求解.
【详解】（1）因为
.
因为 的最小正周期为 ，即
所以 .
（2）因为 ，
所以 .
若 在区间 上取到最大值 ，只需 ，
( )2 sin 2 sin2cos 5c s 2o 5k k
π ϕ π πθ ϕ ϕ + + = − + = − = −
=
5 2 5
5
−
2( ) 3sin cos sin ,2 2 2
x x xf x
ω ω ω= + 0>ω
( )f x 2 ω
( )f x π[0, ]2
3
2
ω
π 4
3
ω ≥
( )f x ω
π0 , 02x ω≤ ≤ >
6 6 2 6x
π π ωπ πω− ≤ − ≤ −
2( ) 3sin cos sin2 2 2
x x xf x
ω ω ω= +
3 1 cossin2 2
xx
ωω −= +
3 1 1sin cos2 2 2x xω ω= − +
π 1sin( )6 2xω= − +
( )f x 2 2π 2T ω= =
πω =
π0 , 02x ω≤ ≤ >
6 6 2 6x
π π ωπ πω− ≤ − ≤ −
( )f x π[0, ]2
3
2
π π π
2 6 2
ω − ≥所以 .
【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数范围，属
于中档题.
17.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共 336 名学生同时参与了“我运动，我
健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的
方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取 7 名和 5 名学生进行测试.下表是高二年级的 5
名学生的测试数据（单位：个/分钟）：
（1）求高一、高二两个年级各有多少人？
（2）设某学生跳绳 个/分钟，踢毽 个/分钟.当 ，且 时，称该学生为“运动达
人”.
①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；
②从高二年级抽出的上述 5 名学生中，随机抽取 3 人，求抽取的 3 名学生中为“运动达人”的人
数 的分布列和数学期望.
【答案】（1）196 人，140 人；（2）① ；②分布列见解析，
【解析】
【分析】
(1)按照比例求解即可；
(2) ①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解；
②找出 可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到 的期望.
【详解】（1）设高一年级有 人，高二年级有 人.
采用分层抽样，有 .
所以高一年级有 人，高二年级有 人.
（2）从上表可知，从高二抽取的 5 名学生中，编号为 1，2，5 的学生是“运动达人”.
故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为 .
（3） 的所有可能取值为 .
4
3
ω ≥
m n 175m ≥ 75n ≥
ξ
3
5
( ) 9
5E ζ =
ξ ξ
a b
7 5,336 12 336 12
a b= =
196 140
3
5
ξ 1,2,3, , .
所以 的分布列为
故 的期望 .
【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档
题.
18.已知在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 是正三角形，
CD⊥平面 PAD，E,F,G,O 分别是 PC,PD,BC,AD 的中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面 ；
（Ⅱ）求平面 EFG 与平面 所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角为 ，若存在，求线段
的长度；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ） （Ⅲ）不存在，见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）正三角形 中 ，由 平面 得到 ，所以得到
面 ；（Ⅱ）以 点为原点建立空间直角坐标系，根据平面 的法向量，和平面
1 2
3 2
3
5
3( 1) 10
C CP C
ξ = = =
2 1
3 2
3
5
3( 2) 5
C CP C
ξ = = =
3
3
3
5
( 3) 1
10
CP C
ξ = = =
ξ
ξ 1 2 3
P 3
10
3
5
1
10
ξ 3 3 1 9( ) 1 2 310 5 10 5E ξ = × + × + × =
P ABCD− ABCD 4 PAD△
ABCD
ABCD
PA M GM EFG π
6
PM
π
3
PAD PO ⊥ AD CD ⊥ PAD PO ⊥ CD PO ⊥
ABCD O EFG的法向量，从而得到平面 与平面 所成锐二面角的余弦值，再得到所求的
角；（Ⅲ）线段 上存在满足题意的点 ，直线 与平面 法向量的夹角为 ，设
， ，利用向量的夹角公式，得到关于 的方程，证明方程无解，从而得
到不存在满足要求的点 .
【详解】（Ⅰ）证明:因为△ 是正三角形，
是 的中点，
所以 .
又因 平面 ， 平面 ，
所以 .
， 平面 ，
所以 面 .
（Ⅱ）如图，以 点为原点分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直
角坐标系.
则 ，
， ，
设平面 的法向量为
所以 ，即
令 ，则 ，
又平面 法向量 ，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
为
的
ABCD EFG ABCD
PA M GM EFG 3
π
PM PAλ= [ ]0,1λ ∈ λ
M
PAD
O AD
PO ⊥ AD
CD ⊥ PAD PO ⊂ PAD
PO ⊥ CD
AD CD D= AD CD ⊂， ABCD
PO ⊥ ABCD
O OA OG OP x y z
(0,0,0), (2,0,0), (2,4,0), ( 2,4,0), ( 2,0,0), (0,4,0), (0,0,2 3)O A B C D G P− −
( 1,2, 3), ( 1,0, 3)E F− − (0, 2,0), (1,2, 3)EF EG= − = −
EFG ( , , )m x y z=
0
0
EF m
EG m
⋅ =
⋅ =
2 0,
2 3 0,
y
x y z
− = + − =
1z = ( 3,0 1)m = ，
ABCD (0,0,1)n =
EFG ABCD θ所以 .
所以平面 与平面 所成锐二面角为 .
（Ⅲ）假设线段 上存在点 ，
使得直线 与平面 所成角为 ，
即直线 与平面 法向量 所成的角为 ，
设 ， ，
，
所以
所以 ，
整理得 ，
，方程无解，
所以，不存在这样的点 .
【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在
性问题.
19.已知椭圆 ： 的两个焦点是 ，点 在椭圆 上，且
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 关于 轴的对称点为 ， 是椭圆 上一点，直线 和 与 轴分别交于
点 为原点，证明： 为定值.
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】
( )2 2
1 1cos 23 1 1
m n
m n
θ
⋅
= = =
+ ×
EFG ABCD π
3
PA M
GM EFG 6
π
GM EFG m
3
π
PM PAλ= [ ]0,1λ ∈
,GM GP PM GP PAλ= + = +
( )( )2 , 4,2 3 1GM λ λ= − −
2
3cos cos ,3 2 4 6 7
GM m
π
κ λ
= =
− +
22 3 2 0λ λ− + =
∆ < 0
M
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1 2,F F ( 2,1)P C
1 2| | | 4| PF PF+ =
C
P x Q M C MP MQ x
, ,E F O OE OF⋅
2 2
14 2
x y+ =【详解】试题分析：（1）由椭圆的定义得 ，将点 的坐标代入椭圆方程，解得
即可求得椭圆 的方程；（2）由题意可知设 ，则有 ，写出直线
的方程，求出其与 轴的交点，从而表示出 ，同理即可求得 ，利用整体代换则可得
.
试题解析：（1）由椭圆的定义，得 ， ，将点 的坐标代
入 ，得 ，解得： ，所以，椭圆 的方程是 .
（2）证明：依题意，得 ，设 ，则有 ， ，
，直线 的方程为 ，令 ，得 ，所以
.直线 的方程为 ，令 ，得
，所以 .
所以 ，所以
为定值.
20.已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间；
（3）若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2） 的单调递增区间是 ； 的单调递减区间是
（3） .
【解析】
2a = ( )2,1P
b C ( )0 0,M x y 2 2
0 02 4x y+ = MP
x OE OF
OE OF⋅
1 2 2 4PF PF a+ = = 2a = ( )2,1P
2 2
2 14
x y
b
+ = 2
2 1 14 b
+ = 2b = C
2 2
14 2
x y+ =
( )2, 1Q − ( )0 0,M x y 2 2
0 02 4x y+ = 0 2x ≠
0 1y ≠ ± MP ( )0
0
11 2
2
yy x
x
−− = −
− 0y = 0 0
0
2
1
y xx y
−= −
0 0
0
2
1
y xOE y
−= − MQ ( )0
0
11 2
2
yy x
x
++ = −
− 0y =
0 0
0
2
1
y xx y
+= +
0 0
0
2
1
y xOF y
+= +
( )2 22 2
0 00 0 0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
2 4 22 2 2 41 1 1 1
− −− −⋅ += = = =− + − −
y yy x y x y x
y y y yOE OF
OE OF⋅
( ) lnf x x x=
( )y f x= ( )( )1, 1f
( )f x
1 ,x ee
∈
( ) 1f x ax≤ − a
1y x= − ( )f x 1,e
+∞
( )f x
10, e
1a e≥ −【分析】
（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得
切线方程；
（2）求得导函数，并令 求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；
（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数 ，求得 并令 求
得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定 的取值范围.
【详解】（1）因为函数 ，
所以 ， .
又因为 ，则切点坐标为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）函数 定义域为 ，
由（1）可知， .
令 解得 .
与 在区间 上的情况如下：
－ 0 ＋
↘ 极小值 ↗
所以， 的单调递增区间是 ；
的单调递减区间是 .
( ) 0f x′ =
( ) 1lng x x x
= + ( )g x′ ( ) 0g x′ =
a
( ) lnf x x x=
( ) 1ln ln 1f x x x xx
′ = + ⋅ = + ( )1 ln1 1 1f ′ = + =
( )1 0f = ( )1,0
( )y f x= ( )1,0 1y x= −
( ) lnf x x x= ( )0, ∞+
( ) ln 1f x x′ = +
( ) 0f x′ = 1x e
=
( )f x ( )f x′ ( )0, ∞+
x 10, e
1
e
1,e
+∞
( )f x′
( )f x
( )f x 1,e
+∞
( )f x 10, e
（3）当 时，“ ”等价于“ ”.
令 ， ， ， .
令 解得 ，
当 时， ，所以 在区间 单调递减.
当 时， ，所以 在区间 单调递增.
而 ， .
所以 在区间 上的最大值为 .
所以当 时，对于任意 ，都有 .
【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离
参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.
21.已知由 n（n∈N*）个正整数构成的集合 A＝{a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥3），记
SA＝a1+a2+…+an，对于任意不大于 SA 的正整数 m，均存在集合 A 的一个子集，使得该子集的
所有元素之和等于 m.
（1）求 a1，a2 的值；
（2）求证：“a1，a2，…，an 成等差数列”的充要条件是“ ”；
（3）若 SA＝2020，求 n 的最小值，并指出 n 取最小值时 an 的最大值.
【答案】（1）a1＝1，a2＝2；（2）证明见解析；（3）n 最小值为 11，an 的最大值 1010
【解析】
【分析】
（1）考虑元素 1，2，结合新定义 SA，可得所求值；
（2）从两个方面证明，结合等差数列的性质和求和公式，即可得证；
（3）由于含有 n 个元素的非空子集个数有 2n﹣1，讨论当 n＝10 时，n＝11 时，结合条件和新
1 x ee
≤ ≤ ( ) 1f x ax≤ − 1lna x x
≥ +
( ) 1lng x x x
= + 1 ,x ee
∈
( ) 2 2
1 1 1xg x x x x
−′ = − = 1 ,x ee
∈
( ) 0g x′ = 1x =
1 ,1x e
∈
( ) 0g x′ < ( )g x 1 ,1e
( )1,x e∈ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )1,e
1 ln 1 1.5g e e ee
= + = − >
( ) 1 1ln 1 1.5g e e e e
= + = + <
( )g x 1 ,ee
1 1g ee
= −
1a e≥ − 1 ,x ee
∈
( ) 1f x ax≤ −
( )1
2A
n nS
+=定义，推理可得所求.
【详解】（1）由条件知 1≤SA，必有 1∈A，又 a1＜a2＜…＜an 均为整数，a1＝1，
2≤SA，由 SA 的定义及 a1＜a2＜…＜an 均为整数，必有 2∈A，a2＝2；
（2）证明：必要性：由“a1，a2，…，an 成等差数列”及 a1＝1，a2＝2，
得 ai＝i（i＝1，2，…，n）此时 A＝{1，2，3，…，n}满足题目要求，
从而 ；
充分性：由条件知 a1＜a2＜…＜an，且均为正整数，可得 ai≥i（i＝1，2，3，…，n），
故 ，当且仅当 ai＝i（i＝1，2，3，…，n）时，上式等号成
立.
于是当 时，ai＝i（i＝1，2，3，…，n），从而 a1，a2，…，an 成等差数列.
所以“a1，a2，…，an 成等差数列”的充要条件是“ ”；
（Ⅲ）由于含有 n 个元素的非空子集个数有 2n-1，故当 n＝10 时，210﹣1＝1023，
此时 A 的非空子集的元素之和最多表示 1023 个不同的整数 m，不符合要求.
而用 11 个元素的集合 A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024}的非空子集的元
素之和
可以表示 1，2，3，…，2046，2047 共 2047 个正整数.
因此当 SA＝2020 时，n 最小值为 11.
记 S10＝a1+a2+…+a10，则 S10+a11＝2020 并且 S10+1≥a11
事实上若 S10+1＜a11，2020＝S10+a11＜2a11，则 a11＞1010，S10＜a11＜1010，
所以 m＝1010 时无法用集合 A 的非空子集的元素之和表示，与题意不符.
于是 2020＝S10+a11≥2a11﹣1，得 ， ，所以 a11≤1010.
当 a11＝1010 时，A＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，499，1010}满足题意，
所以当 SA＝2020 时，n 的最小值为 11，此时 an 的最大值 1010.
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的性质和求和公式的运用，考查化简
运算能力和推理能力，属于难题.
的
( )11 2 3 12AS n n n= + + + + = +
( )11 2 3 12AS n n n≥ + + + + = +
( )1 12AS n n= +
( )1 12AS n n= +
11
2021
2a ≤ *
11a N∈
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