2020 北京高考模拟试卷
数学
一.选择题（共 10 小题）
1.若复数 z 满足 ，则复平面内 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．
【详解】解： ，
＝2﹣i 在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能
力，属于基础题．
2.已知集合 , ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出集合 、 的值，由补集和并集的概念可得 的值，可得答案.
【详解】解：依题意， , ，
故 ，故 ，
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合交并补运算，属于基础题型，注意运算准确.
3.下列函数中是偶函数并且在 内单调递增的是（ ）
A. B.
(1 2 )z i i= − ⋅ z
(1 2 ) 2z i i i= − ⋅ = +
z
{ }2 5 4 0A x x x= − + < { }2 4xB x= < ( )RA B =
( ]1,2 [ )2,4 [ )1,+∞ ( )1,+∞
A B R B
{ } { }2 5 4 0 1 4A x x x x x= − + < = < < { } { }2 4 2xB x x x= < = <
{ }R 2B x x= ≥ ( ) ( )1,A B = +∞R
( )0 + ∞，
( )21y x= − − cos 1y x= +C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用初等基本函数判断即可．
【详解】 不是偶函数，故舍去
是偶函数，但在 内不单调，故舍去
偶函数， 单调递增满足题意．
不是偶函数，故舍去．
故选 C
【点睛】本题属于基本题，考查了函数的奇偶性和单调性，学生要熟练基本初等函数的性
质．
4.函数 的值域为（ ）
A. , B. , C. , D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 的范围，结合指数函数单调性，即可求得函数值域.
【详解】 ， ，
则 .
函数 的值域为 , .
故选： .
【点睛】本题考查复合型指数函数值域的求解，属基础题.
5.在圆 ： 中，过点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，
则四边形 的面积为（ ）
A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
为
lg 2y x= + 2xy =
( )21y x= − −
cos 1y x= + ( )0 + ∞，
lg 2y x= + ( )0 + ∞，
2xy =
12 1xy −= +
[0 )+∞ [1 )+∞ [2 )+∞ [ 2, )+∞
1x −
1 0x−
∴ 12 1x−
12 1 2xy −= +
∴ 12 1xy −= + [2 )+∞
C
M 2 2 4 4 1 0x y x y+ − − − = (0,1)E AC BD
ABCD【答案】B
【解析】
【分析】
先将圆 的方程化为标准方程,得到其圆心坐标与半径,再结合直线与圆的位置关系可得
､ 的值,进而求出答案.
【详解】圆 的标准方程为: ,
其圆心为 ,半径 ,
过点 最长的弦长是直径,故 ,
最短的弦是与 垂直的弦,又 ,
所以 ,即 ,
所以四边形的面积 ,
故选:B.
【点睛】本题考查直线与圆相交的性质,解题关键是明确 和 的位置关系,难度不大.
6.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到曲线 ，再将 上所有点的横坐标
伸长到原来的 倍得到曲线 ，则 的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角函数平移和伸缩的性质，以及运用诱导公式化简，便可得出答案.
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度后,
得到曲线 ， 的解析式为 ，
再将 上所有点的横坐标伸长到原来的 倍,
M AC
BD
M 2 2( 2) ( 2) 9x y− + − =
(2,2)M 3r =
E 6AC =
ME 4 1 5ME = + =
2 21 9 5 22 BD r ME= − = − = 4BD =
1 1 6 4 122 2S AC BD= ⋅ ⋅ = × × =
AC BD
sin 2y x=
4
π
1C 1C
2 2C 2C
siny x= cosy x= sin 4y x=
cos4y x=
sin 2y x=
4
π
1C 1C sin 2 cos24y x x
π = + =
1C 2得到曲线 的解析式为 .
故选：B.
【点睛】本题考查三角函数图像的平移伸缩，结合应用诱导公式化简，属于简单题.
7.某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边
长为 2 的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A. B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】
解：如图所示，该几何体是棱长为 2 的正方体中的三棱锥 ，
其中面积最大的面为： .
本题选择 B 选项.
2C cos2 cos2
xy x= ⋅ =
2 2 2 3 2 6
P ABC−
1 2 3 2 2 32PACS
= × × =点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图
和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的
分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
8.已知函数 ，若不等式 对任意的 恒成立，则实数 k 的
取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
先求出函数 在 处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数 和
的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】当 时， ，所以函数 在 处的切
线方程为： ，令 ，它与横轴的交点坐标为 .
【
( ) 0, 1
ln , 1
xf x x x
+ ( )2
1
2 1 0qa − +
1q = ± 2 1 0nS − < 1 0a < 3 1 52a a a= +
3 1 52a a a> + 2 1 0nS − <
14∴
7∴
7∴故选：C．
【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求
解能力，是基础题．
二.填空题（共 5 小题）
11.已知双曲线 的左、右焦点和点 为某个等腰三角形的三个
顶点，则双曲线 C 的离心率为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由等腰三角形及双曲线的对称性可知 或 ,进而利用两点间距离公式求
解即可.
【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为 , ,
因为左、右焦点和点 为某个等腰三角形的三个顶点,
当 时, 由 可得 ,等式两边同
除 可得 ,解得 （舍）；
当 时, ,由 可得 ,等式两边
同除 可得 ,解得 ,
故答案为:
【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.
12.已知向量 ，若向量 与向量 共线，则实数 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > ( )2 ,P a b
10 2
2
+
1 2 1F F PF= 1 2 2F F PF=
( )1 ,0F c− ( )2 ,0F c
( )2 ,P a b
1 2 2F F PF= ( )2 22 2c a c b= − + 2 2 2b c a= − 2 22 4 3 0c ac a+ − =
2a 22 4 3 0e e+ − = 10 2 12e
−= <
1 2 1F F PF= ( )2 22 2c a c b= + + 2 2 2b c a= − 2 22 4 3 0c ac a− − =
2a 22 4 3 0e e− − = 10 2
2e
+=
10 2
2
+
( ) ( )1,1 , 3,a b m= = − 2a b− b m =
3−先计算 的坐标，再利用向量共线的坐标运算，即可求得参数.
【详解】因为 ，
故可得 ，
又向量 与向量 共线，
故可得 ，
解得 .
故答案为： .
【点睛】本题考查向量的坐标运算，以及由向量共线求参数范围的问题，属基础题.
13.如果抛物线 上一点 到准线的距离是 6，那么 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
先 求 出 抛 物 线 的 准 线 方 程 ， 然 后 根 据 点 到 准 线 的 距 离 为 6 ， 列 出
，直接求出结果.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，
由题意得 ，解得 .
∵点 在抛物线 上，
∴ ，∴ ，
故答案为： .
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
14.在四边形 中， 且 ，则
___________， ___________
【答案】 (1). (2).
【解析】
2a b−
( ) ( )1,1 , 3,a b m= = −
( )2 5,2a b m− = −
2a b− b
( )5 3 2m m= − × −
3m = −
3−
2 2y px= ( )4,A m m =
4 2±
2 2y px= ( )4,A m
4 62
p+ =
2 2y px=
2
px = −
4 62
p+ = 4p =
( )4,A m 2 2y px=
2 2 4 4m = × × 4 2m = ±
4 2±
ABCD 1 2, 3 4AB BC CD AD= = = =， ， ， 120ABC∠ = ° AC =
cos BCD∠ =
7 21
14
−【分析】
利用余弦定理求出 的值，利用勾股定理逆定理判断 ，由正弦定理和诱导公
式即可求出 的值.
【详解】解：在 中，由余弦定理可知
即 ， .又 ，
所以 .由 ，可知 .
.
故答案为: ; .
【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理，考查了诱导公式.本题的关键是判断
.在解三角形时，已知两边及其夹角或已知三边，一般套用余弦定理求解；已知
两角及一角的对边，常用正弦定理解三角形.
15.已知定义在 上的函数 满足 ，且 在 单调递增，对任
意的 ，恒有 ，则使不等式
成立的 取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
首先判断出 为奇函数，然后根据题意将 化为
，再由函数的单调性转化为解 即可.
【详解】 定义在 上的函数 满足 ，
AC 90ACD∠ =
cos BCD∠
ABC∆ 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ⋅ ∠
2 1 4 2 2 cos120 7AC = + − × × = 7AC∴ = 2 2 27 9 16AC CD AD+ = + = =
90ACD∠ =
sin sin
AB AC
ACB B
=∠ ∠
1 sin120 21sin 147
ACB
×∠ = =
( ) 21cos cos 90 sin 14BCD ACB ACB∴ ∠ = ∠ + = − ∠ = −
7 21
14
−
90ACD∠ =
R ( )f x ( ) ( ) ( )f x g x g x= − − ( )f x R
( )1 2, 0,x x ∈ +∞ ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x f x x= +
( )
21 2 02f m f m
+ + − >
m
[ )0,9
( )f x ( )
21 2 02f m f m
+ + − >
( ) ( )2 1 2f m f m+ > − 2 1 2m m+ > −
R ( )f x ( ) ( ) ( )f x g x g x= − −则 ， 为奇函数，
又对任意的 ，恒有 ，
则 ，
即
在 单调递增，
，即 ，解得
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的新定义，考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于中档
题.
三.解答题（共 6 小题）
16.如图，已知四棱锥 的底面是等腰梯形， ， ， ，
， 为等边三角形，且点 P 在底面 上的射影为 的中点 G，点
E 在线段 上，且 .
（1）求证： 平面 .
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由等腰梯形的性质可证得 ,由射影可得 平面 ,进而求证；
( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x− = − − = − ( )f x∴
( )1 2, 0,x x ∈ +∞ ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x f x x= +
( )
21 2 02f m f m
+ + − >
( ) ( )2 1 2 0f m f m+ + − >
∴ ( ) ( ) ( )2 1 2 2f m f m f m+ > − − = −
( )f x R
∴ 2 1 2m m+ > − 2 3 0
0
m m
m
− − 1k ≠
{ }na
( ){ }nf a
( ){ }nf a
( ){ }nf a
2k =
1
2
2
4 1
+
= −
n
n na b n
{ }nb nT
2 1n
nT n
= +（1）选②，由 和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；
（2）运用等比数列的通项公式可得 ，进而得到 ，由数列的裂项相消求和可得
所求和.
【详解】（1）①③不能使 成等比数列.②可以：由题意 ，
即 ，得 ，且 ， .
常数 且 ， 为非零常数，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）知 ，所以当 时， .
因为 ，
所以 ，所以 ，
.
【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，
属于中档题.
18.某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子
棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加
比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种
参与.
（1）求甲参加围棋比赛的概率；
（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.
【答案】（1） ； （2） .
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到甲同学的选择的情况，从而得到概率；
( )f x
na 2
1
4 1nb n
= −
{ }na ( ) 4 ( 1) 2 2 2nf a n n= + − × = +
log 2 2k na n= + 2 2n
na k += 4
1 0a k= ≠
2( 1) 2
21
2 2
n
n
n
n
a k ka k
+ +
+
+∴ = =
0k > 1k ≠ 2k∴
∴ { }na 4k 2k
( ) 14 2 2 2n k
na k k k
− += ⋅ = 2k = 12n
na +=
1
2
2
4 1
+
= −
n
n na b n
2
1
4 1nb n
= −
1 1 1 1
(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n
= = − − + − +
1 2
1 1 1 1 1 1L 1 L2 3 3 5 2 1 2 1n nT b b b n n
= + + + = − + − + + − − +
1 112 2 1 2 1
n
n n
= − = + +
1
2
1
6（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为 1,2,3,4，列出所有的情况，在得
到符合要求的情况，由古典概型的公式，得到答案.
【详解】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，
所以甲同学选择的情况有“中国象棋”和“围棋”，或“中国象棋”和“五子棋”，
故甲参加围棋比赛的概率为 ；
（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为 1,2,3,4，
则所有的可能为 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
其中满足条件 有 ， 两种，
故所求概率 .
【点睛】本题考查随机事件的概率，求古典概型的概率，属于简单题
19.已知函数 ，实数 .
（1）讨论函数 在区间 上的单调性；
（2）若存在 ，使得关于 x 的不等式 成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）采用分类讨论的方法， 与 ，根据导数判断原函数的单调性，
可得结果.
（2）化简式子，并构造函数 ，计算 ，然后再次构造函数
，利用导数判断 的单调情况，可得结果.
【详解】（1）由题知 的定义域为 ，
.
的
1
2
( )1,2,1,2 ( )1,2,1,3 ( )1,2,1,4 ( )1,2,2,3 ( )1,2,2,4 ( )1,2,3,4
( )1,3,1,2 ( )1,3,1,3 ( )1,3,1,4 ( )1,3,2,3 ( )1,3,2,4 ( )1,3,3,4
( )1,2,3,4 ( )1,3,2,4
2 1
12 6P = =
22( ) lnf x a x a xx
= + + 0a >
( )f x (0,10)
(0, )x∈ +∞ 2( ) 2f x a x< +
( )0,2 (2, )∪ +∞
10,10a ∈
1 ,10a ∈ +∞
2( ) ln 2g x a xx
= + − min ( )g x
( ) ln 1h x x x= + − ( )h x
( )f x (0, )+∞
2
2 2
2 ( 2)( 1)( ) a ax axf x ax x x
′ + −= − + + =∵ ， ，∴由 可得 .
（i）当 时，
，当 时， 单递减；
（ii）当 时， ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
综上所述， 时， 在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增.
（2）由题意：不等式 在 成立
即 在 时有解.
设 ， ，只需 .
则 ，因为 ，
所以在 上， ，
在 上， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
0a > 2 0ax + > ( ) 0f x′ = 1x a
=
10,10a ∈
1 10a (0,10)x∈ ( ) 0, ( )f x f x′ <
1 ,10a ∈ +∞
1 10a
<
10,x a
∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
1 ,10x a
∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
10,10a ∈ ( )f x (0,10)
1 ,10a ∈ +∞ ( )f x 10, a
1 ,10a
2( ) 2f x a x< + (0, )x∈ +∞
2 ln 2 0a xx
+ − < (0, )x∈ +∞
2( ) ln 2g x a xx
= + − (0, )x∈ +∞ min( ) 0g x <
2
2( ) axg x x
′ −= 0a >
20, a
( ) 0g x′ <
2 ,a
+∞ ( ) 0g x′ >
( )g x 20, a
2 ,a
+∞ 因此 .
不等式 在 成立，
则 恒成立.
又 ，所以 恒成立.
令 ，则 .
在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减.
所以 .
因此解 可得 且 ，
即 且 .
所以实数 a 的取值范围是 .
【点睛】本题考查导数的综合应用，难点在于构造函数研究性质，化繁为简，考验分析能力
以及逻辑思维能力，掌握等价转化思想以及分类讨论的方法，属难题.
20.椭圆 ： （ ）的离心率为 ，它的四个顶点构成的四边形面积为
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是直线 上任意一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，
，求证：直线 恒过一个定点.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程；
（2）设点 ， ， ，由 ， ，结合斜率公式
min
2 2( ) ln 2g x g a aa a
= = + −
2( ) 2f x a x< + (0, )x∈ +∞
2ln 2 0a a a
+ − <
0a > 2 2ln 1 0a a
+ − <
( ) ln 1 ( 0)h x x x x= + − > ' 1 1( ) 1 xh x x x
−= − =
(0,1) ' ( ) 0h x > ( )h x
(1, )+∞ ' ( ) 0h x < ( )h x
( ) (1) 0h x h =
2 2ln 1 0a a
+ − < 2 0a
> 2 1a
≠
0a > 2a ≠
( )0,2 (2, )∪ +∞
C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 2
2
2 2
C
P 2x a= P 2 2 2x y a+ = M
N MN
2
2 12
x y+ =
( )02,P y ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y PM OM⊥ PN ON⊥化简得出 ， ，即 ， 满足
，由 的任意性，得出直线 恒过一个定点 .
【详解】（1）依题意得 ，解得
即椭圆 ： ；
（2）设点 ， ，
其中 ，
由 ， 得 ，
即 ，
注意到 ，
于是 ，
因此 ， 满足
由 的任意性知， ， ，即直线 恒过一个定点 .
【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题.
21.定义：若数列 满足所有的项均由 ，1 构成且其中 有 个，1 有 个 ，
则称 为“ 数列”.
（1） ， ， 为“ 数列” 中的任意三项，则使得 的取法
1 1 02 2 0x y y− − = 2 2 02 2 0x y y− − = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
02 2 0x yy− − = 0y MN (1,0)
2 2 2
1 2 2 2 22
2
2
a b c
a b
c
a
= +
⋅ ⋅ =
=
2
2 2
2
1
a
b c
=
= =
C
2
2 12
x y+ =
( )02,P y ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2 2
1 1 2x y+ = 2 2
2 2 2x y+ =
PM OM⊥ PN ON⊥ 1 0 1
1 1
12
y y y
x x
− ⋅ = −−
2 0 2
2 2
12
y y y
x x
− ⋅ = −−
2 2
1 1 1 1 02 0x y x y y+ − − = 2 2
2 2 2 2 02 0x y x y y+ − − =
2 2
1 1 2x y+ = 2 2
2 2 2x y+ =
1 1 02 2 0x y y− − = 2 2 02 2 0x y y− − =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 02 2 0x yy− − =
0y 1x = 0y = MN (1,0)
{ }na 1− 1− m p ( 3)m p+
{ }na ( , )m p −
ia ja ( )ka i j k< < (3, 4) − { }na 1i j ka a a =有多少种？
（2） ， ， 为“ 数列” 中的任意三项，则存在多少正整数对
使得 ，且 的概率为 .
【答案】（1）16 种；（2）共有 115 个数对 符合题意.
【解析】
【分析】
（1）将问题分为“ ， ，1”，“1，1，1”两种情况，结合分类计数原理，即可容易求得
结果；
（2）根据古典概型的概率计算，以及组合数的计算，根据 之间的关系，分类讨论解决问
题.
【详解】（1）三个数乘积为 1 有两种情况：“ ， ，1”，“1，1，1”，
其中“ ， ，1”共有： 种，“1，1，1”共有： 种，
利用分类计数原理得：
， ， 为“ 数列” 中的任意三项，
则使得 的取法有： 种.
（2）与（1）基本同理，“ ， ，1”共有 种，“1，1，1”共有 种，
而在“ 数列”中任取三项共有 种，
根据古典概型有： ，
再根据组合数的计算公式能得到：
，
① 时，应满足 ，
, , ， ,3,4, , ，共 99 个，
② 时，
ia ja ( )ka i j k< < ( , )m p − { }na
( , )m p 1 10m p≤ ≤ ≤ 1i j ka a a = 1
2
( , )m p
1− 1−
,m p
1− 1−
1− 1− 2 1
3 4 12C C = 3
4 4C =
ia ja ( )ka i j k< < (3, 4) − { }na
1i j ka a a = 12 4 16+ =
1− 1− 2 1
m pC C 3
pC
( , )m p − 3
m pC +
2 1 3
3
1
2
m p p
m p
C C C
C +
+ =
2 2( )( 3 2 3 2) 0p m p p mp m m− − − + − − =
p m=
1 100
3
m p
m p
p m
+
=
(m∴ ) (p k= )k {2k ∈ … 100}
2 23 2 3 2 0p p mp m m− − + − − =应满足 ，
视 为常数，可解得 ，
， ，
根据 可知， ，（否则 ，
下设 ，则由于 为正整数知 必为正整数，
， ，
化简上式关系式可以知道： ，
， 均为偶数， 设 ， ，则 ，
，由于 ， 中必存在偶数，
只需 ， 中存在数为 3 的倍数即可，
，3，5，6，8，9，11， ，23，24，
，11，13， ，47，49.
检验： ，符合题意，
共有 16 个，
综上所述：共有 115 个数对 符合题意.
【点睛】本题考查古典概型、分步计数原理，组合问题的求解，涉及方程和不等式，属综合
困难题.
2 2
1 100
3
3 2 3 2 0
m p
m p
p p mp m m
+
− − + − − =
m (2 3) 24 1
2
m mp
+ ± +=
1m ∴ 24 1 5m +
p m
(2 3) 24 1
2
m mp
+ + += 1)p m −
24 1k m= + p k
1 100m 5 49k∴
2 1 ( 1)( 1)
24 24
k k km
− − += =
1k∴ − 1k + ∴ 2 1k t= + *( )t N∈ 2 24t
2 1 ( 1)
24 6
k t tm
− +∴ = = t 1t +
∴ t 1t +
2t∴ = …
5k∴ = …
(2 3) 24 1 ( 1)( 1) 48 50 1002 24 24
m m k kp
+ + + − + += = =
∴
( , )m p
微信/支付宝扫码支付