东城区 2019-2020 学年第二学期线上检测(一)
数学
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分.在每题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项.
1.已知集合 ，集合 ，则 A B=（ ）
A. B. C.
【答案】C
【解析】
【分析】
求解一元二次不等式解得集合 ，由集合的并运算，即可容易求得结果.
【详解】因为 ，
故可得 .
故选：C.
【点睛】本题考查集合并集的求解，属基础题.
2.已知复数 （其中 i 是虚数单位），则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数模长的性质即可求解.
【详解】 复数 ，
，
( ){ }1 0A x x x= − ≤ { }1 1B x x= − < <
{ }1 1x x− ≤ ≤ { } { }1 0 C. 1 1x x x x− < ≤ − < ≤ { }0 1x x< <
A
( ){ }1 0A x x x= − ≤ { | 0 1}x x= ≤ ≤
{ | 1 1}A B x x∪ = − < ≤
1
2
−= iz i
z =
2
2 2
2
2
1 1 1 1
2 2 2 2 2
i i i iz ii i
− − += = = = − −−
2 21 1 2( ) ( )2 2 2z∴ = − + − =故选：A.
【点睛】本题考查求复数的模，涉及到复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道
容易题.
3.抛物线 的准线与 轴的交点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：准线方程为： ，与 轴的交点为 ，故选 B.
考点：抛物线的性质.
4.设函数 ，则 （ ）
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 是增函数 D. 是减函数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 即可根据基本不等式得出 ，从而可得出 ，并且 时取
等号，从而得出 有最大值，由对勾函数的图象知 在 没有单调性，从而得
出正确的选项.
【详解】 ， ，当且仅当 ，
即
时取等号， 有最大值，又由对勾函数的图象可知 在 上不具
单调性.
故选：A.
【点睛】本题考查对勾型函数 性质，其中涉及到基本不等式求最值，是一道容易题.
5.已知曲线 C 的方程为 ，则“ ”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
的
2 4x y= y
1(0, )2
− (0, 1)− (0, 2)− (0, 4)−
y (0, 1)−
( ) ( )1 2 0f x x xx
= + − < ( )f x
0x < 1 2x x
− + ≥−
( ) 4f x ≤ − 1x = −
( )f x ( )f x ( ,0)−∞
0x C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】若 ，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，
若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则满足 ，
即 ， ，满足 ，即必要性成立，
即“ ”是“曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到椭圆的方程，考查学生逻辑推理能力，
是一道容易题.
6.一排 6 个座位坐了 2 个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）
A. 12 B. 36 C. 72 D. 720
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，用捆绑法分析：先将 2 个三口之家的成员进行全排列，再对 2 个三口之家整体进
行全排列，由分步计数乘法原理计算可得答案.
【详解】根据题意，先将 2 个三口之家的成员进行全排列，有 种情况，
再对 2 个三口之家整体进行全排列，有 种情况，
则有 种不同的坐法.
故选：C.
【点睛】本题考查排列的简单应用，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题.
7.已知圆 C 与直线 及 的相切，圆心在直线 上，则圆 C 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
0a b> >
0a b> − >
0a > 0b < a b>
a b>
3 3
3 3 36A A =
2
2 2A =
36 2 72× =
y x= − 4 0x y+ − = y x=
( ) ( )2 21 1 2x y− + − = ( ) ( )2 21 1 2x y− + + =
( ) ( )2 21 1 4x y+ + − = ( ) ( )2 21 1 4x y+ + + =【解析】
【分析】
根据圆心在直线 上，设出圆心坐标为 ，利用圆 C 与直线 及
都相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程.
【详解】圆心在 上，设圆心为 ，
圆 C 与直线 及 都相切，
圆心到两直线 及 的距离相等，
即 ，
圆心坐标为 ， ，
圆 C 的标准方程为 .
故选：A.
【点睛】本题考查求圆的方程，涉及到点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查学
生的运算求解能力，是一道容易题.
8.已知正项等比数列 中， ， 与 的等差中项为 9，则 （ ）
A. 729 B. 332 C. 181 D. 96
【答案】D
【解析】
【分析】
正项等比数列 的公比设为 q， ，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及
性质，解方程可得公比 q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值.
【详解】设正项等比数列 的公比为 q，则 ，
由 ，可得 ，即 ，即 ，①
与 的等差中项为 9，可得 ，即 ，②
由①②可得 ，解得 或 （舍），
y x= ( ),a a y x= − 4 0x y+ − =
y x= ( ),a a
y x= − 4 0x y+ − =
∴ y x= − 4 0x y+ − =
2 2 4 1
2 2
a a a
−= ⇒ =
∴ ( )1,1 2 2
2
R = =
( ) ( )2 21 1 2x y− + − =
{ }na 51 9 27a aa = 6a 7a 10a =
{ }na 0q >
{ }na 0q >
51 9 27a aa = 3
5 27a = 5 3a = 4
1 3a q =
6a 7a 6 7 18a a+ = 5 6
1 1 18a q a q+ =
2 6 0q q+ − = 2q = 3q = −则 .
故选：D.
【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，涉及到等差中项的概念，考查学生的运算求解能
力，是一道容易题.
9.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的 2 倍，
若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）
A. 10 天 B. 15 天 C. 19 天 D. 2 天
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明 x 的范围，列出方程求解即可.
【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为 a，则 x 天后荷叶覆盖水面的面积 ，
根据题意，令 ，解得 ，
故选：C.
【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查学生建模能力、数学运算能力，是一道容易题.
10.某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是 14，10，8．若这三天中至少有一天
开车上班的职工人数是 20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
将原问题转化为 Venn 的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可.
【详解】如图所示，（a+b+c+x）表示周一开车上班的人数，（b+d+e+x）表示周二开车上班人
数，（c+e+f+x）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，
5
10 5 3 32 96a a q= = × =
( )2xy a x ∗= ⋅ ∈N
( ) 202 2 2xa a⋅ = ⋅ 19x =则有：
，
即 ，
即 ，当 b=c=e＝0 时，x 的最大值为 6，
即三天都开车上班的职工人数至多是 6.
【点睛】本题主要考查 Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
第二部分
二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 5 分.
11.设向量 ， 不平行，向量 与 平行，则实数 _________．
【答案】
【解析】
因为向量 与 平行，所以 ，则 所以 ．
14
10
8
20
a b c x
b d e x
c e f x
a b c d e f x
+ + + =
+ + + = + + + =
+ + + + + + =
2 2 2 3 32
20
a b c d e f x
a b c d e f x
+ + + + + + =
+ + + + + + =
2 12b c e x+ + + =
a b a bλ + 2a b+ λ =
1
2
a bλ + 2a b+ 2a b k a bλ + = + （ ） {1 2 ,
k
k
λ =
=
， 1
2
λ =考点：向量共线．
12.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，将角 的终边按逆时针方向旋转
后经过点 ，则 ______________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得 的值，可得 的值.
【详解】 角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，
将角 的终边按逆时针方向旋转 后经过点 ，
， ，
所以 ， .
故答案为：1.
【点睛】本题考查已知终边上一点求三角函数值的问题，涉及到三角函数的定义，是一道容
易题.
13.某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．
【答案】
【解析】
【分析】
α α
6
π ( )1, 3− sinα =
α sinα
α
α
6
π ( )1, 3−
3tan 36 1
πα ∴ + = = − −
2 2 ,6 3 k k Z
π πα π+ = + ∈
2 ,2 k k Z
πα π= + ∈ sin sin( 2 ) 12 k
πα π= + =
4
3先还原几何体，再根据四棱锥体积公式求结果.
【详解】由三视图知该几何体如图，V＝ ＝
故答案为
【点睛】本题考查三视图以及四棱锥的体积，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.若顶点在原点的抛物线经过四个点 ， ， ， 中的 2 个点，则该抛物线
的标准方程可以是________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可.
【详解】设抛物线的标准方程为： ，不难验证 适合，故 ；
设抛物线的标准方程为： ，不难验证 适合，故 ；
故答案为： 或
【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.
15.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为 ,观影人数记为 ,其函数
图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图
（3）中的实线分别为调整后 与 的函数图象.
1 2 1 23
× × × 4
3
4
3
(1,1) 1(2, )2
(2,1) (4,2)
2 8x y= 2y x=
2x my= ( )12, 4,22
， 2 8x y=
2 ny x= ( ) ( )1,1 4,2， 2y x=
2 8x y= 2y x=
y x
y x给出下列四种说法:
①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
【答案】②③
【解析】
【分析】
根据图象可知盈利额 与观影人数 成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即
可得出答案.
【详解】解:由图象(1)可设盈利额 与观影人数 的函数为 ,
,即 为票价,
当 时, ,则 为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则 变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与 轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则 不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
y x
y x y kx b= +
0, 0k b> < k
0k = y b= b−
k
b b−
y
k
b b−【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及 和 对一次函数图象的影响,是基础题.
三、解答题共 6 题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.如图，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，O 为 DE 的中点，AB=AC=2 ，
BC=4．将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使得平面 A1DE 平面 BCED，如下图．
（Ⅰ）求证：A1O BD；
（Ⅱ）求直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值；
【答案】（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先证 ，再由面面垂直，即可证明线面垂直，再推出线线垂直；
（Ⅱ）以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线 的方向向量与平面 的法
向量，即可由向量法求得线面角的正弦值.
【详解】（Ⅰ）因为 ， 分别为 中点，
故可得 ，故 为等腰三角形，又 为 中点，
故可得 ，又因为平面 A1DE 平面 BCED，且交线为 ，
又 平面 ，故 平面 ，又 平面 ，
故 .即证.
（Ⅱ）过 作 ，由（Ⅰ）可知 平面 ，
又 平面 ，故可得 ，
又因为 // ，故可得 .
k b
5
⊥
⊥
2 2
3
1AO DE⊥
O 1AC 1A BD
AB AC= ,D E ,AB AC
AD AE= 1A DE O DE
1AO DE⊥ ⊥ DE
1AO ⊂ 1A DE 1AO ⊥ BCED BD ⊂ BCDED
1AO BD⊥
O OH BC⊥ 1AO ⊥ BCED
,OH OE ⊂ BCED 1 1,AO OH AO OE⊥ ⊥
,OH BC BC⊥ DE OH OE⊥综上所述： 两两垂直，
故以 为坐标原点， 分别为 轴建立空间直角坐标系，
如下图所示：
故可得 ，
则
设平面 的法向量为 ，
故可得 ，即 ，
取 ，可得 .故 .
又 ，
故可得 .
设直线 A1C 和平面 A1BD 所成角为 ，
故可得 .
则直线 A1C 和平面 A1BD 所成角的正弦值为 .
【点睛】本题考查由线面垂直推证线线垂直，以及用向量法求线面夹角，属综合中档题.
17.在① ,② ,③ 这三个条件中任选
一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.
1, ,OH OE OA
O 1, ,OH OE OA , ,x y z
( ) ( ) ( ) ( )1 0,0,2 , 2,2,0 , 0, 1,0 , 2, 2,0A C D B− −
( ) ( )1 0, 1, 2 , 2,1,0A D BD= − − = −
1A BD ( ), ,n x y z=
1 0
0
n A D
n BD
⋅ = ⋅ =
2 0
2 0
y z
x y
− − =
− + =
1x = 2, 1y z= = − ( )1,2, 1n = −
( )1 2,2, 2AC = −
1
1
1
2 2, 3
n ACcos n AC
n AC
⋅= =
θ
1
2 2, 3sin cos n ACθ = =
2 2
3
2 2 22b ac a c+ = + cos sina B b A= sin cos 2B B+ =已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ______________, , ,求
的面积.
【答案】答案不唯一,具体见解析
【解析】
【分析】
（1）选① ,先用余弦定理求出角 ,根据三角形内角和为 可算出角 ,再
由正弦定理求出 边,最后用三角形的面积公式 求面积即可.
（2）选②,先用正弦定理 推论将 边化角,整理得角 ,根据三角形内角和为
可算出角 ,再由正弦定理求出 边,最后用三角形的面积公式 求面积即
可.
【详解】解：（1）若选择① ,
由余弦定理 ,
因为 ,所以 ;
由正弦定理 ,
得 ,
因为 , ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
的
ABC∆ A B C a b c
3A
π= 2b =
ABC∆
2 2 22b ac a c+ = + B π C
a 1 sin2ABCS ab C∆ =
cos sina B b A= B
π C a 1 sin2ABCS ab C∆ =
2 2 22b ac a c+ = +
2 2 2 2 2cos 2 2 2
a c b acB ac ac
+ −= = =
(0, )B π∈
4B
π=
sin sin
a b
A B
=
2 sinsin 3 3sin 2
2
b Aa B
π⋅
= = =
3A
π=
4B
π=
5
3 4 12C
π π ππ= − − =
5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C
π π π π π π π + = = + = + =
1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C∆
+ += = × × × =（2）若选择② ,
则 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ;
由正弦定理
得 ,
因为 , ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
（3）若选择③ ,
则 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 ;
由正弦定理
得 ,
cos sina B b A=
sin cos sin sinA B B A=
sin 0A ≠ sin cosB B=
(0, )B π∈
4B
π=
sin sin
a b
A B
=
2 sinsin 3 3sin 2
2
b Aa B
π⋅
= = =
3A
π=
4B
π=
5
3 4 12C
π π ππ= − − =
5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C
π π π π π π π + = = + = + =
1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C∆
+ += = × × × =
sin cos 2B B+ =
2 sin 24B
π + = sin 14B
π + =
(0, )B π∈ 5,4 4 4B
π π π + ∈
4 2B
π π+ =
4B
π=
sin sin
a b
A B
=
2 sinsin 3 3sin 2
2
b Aa B
π⋅
= = =因为 , ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
【点睛】本题考查用正弦、余弦定理解三角形,熟记公式是解题的关键.
18.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现
从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机
抽取 10 天的数据，制表如图：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件 4.5 元；乙公司规定
每天 35 件以内（含 35 件）的部分每件 4 元，超出 35 件的部分每件 7 元.
（1）根据表中数据写出甲公司员工 A 在这 10 天投递的快递件数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工 B 的每天所得劳务费的情况，从这 10 天中随机抽取 1 天，他所得的
劳务费记为 X（单位：元），求 X 的分布列和数学期望；
（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.
【答案】（1）平均数为 ，众数为 33；（2）详见解析；（3）甲公司被抽取员工该月收入
元，乙公司被抽取员工该月收入 元.
【解析】
【分析】
（1）直接利用茎叶图中数据求甲公司员工 A 投递快递件数的平均数和众数.
（2）由题意能求出 X 的可能取值为 136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由
此能求出 X 的分布列和数学期望.
（3）利用（2）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.
【详解】（1）甲公司员工 A 投递快递件数的平均数为：
3A
π=
4B
π=
5
3 4 12C
π π ππ= − − =
5 6 2sin sin sin sin cos cos sin12 4 6 4 6 4 6 4C
π π π π π π π + = = + = + =
1 1 6 2 3 3sin 3 22 2 4 4ABCS ab C∆
+ += = × × × =
36 4860
4965，
众数为 33.
（2）设 a 为乙公司员工 B 投递件数，则
当 时， 元，
当 时， 元，
X 的可能取值为 136，147，154，189，203，
， ，
， ，
，
X 的分布列为：
X 136 147 154 189 203
P
（元）.
（3）根据图中数据，由（2）可估算：
甲公司被抽取员工该月收入 元，
乙公司被抽取员工该月收入 元.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与期望，涉及到茎叶图、平均数等知识，考
查学生的数学运算能力，是一道容易题.
19.已知函数 .
（1）若曲线 存在斜率为-1 的切线，求实数 a 的取值范围；
（2）求 的单调区间；
（3）设函数 ，求证：当 时， 在 上存在极小值.
( )1 32 33 33 38 35 36 39 33 41 40 3610x = + + + + + + + + + =
34a = 136X =
35a > ( )35 4 35 7X a= × + − ×
∴
( ) 1136 10P X = = ( ) 3147 10P X = =
( ) 2154 10P X = = ( ) 3189 10P X = =
( ) 1203 10P X = =
1
10
3
10
2
10
3
10
1
10
( ) 1 3 2 3 1 1655136 147 154 189 203 165.510 10 10 10 10 10E X = × + × + × + × + × = =
36 4.5 30 4860= × × =
165.5 30 4965= × =
( ) ln 1af x x x
= − −
( )y f x=
( )f x
( )
ln
x ag x x
+= 1 0a− < < ( )g x ( )1,+∞【答案】(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：
（1）求出函数的导数，问题转化为 存在大于 的实数根，根据
在 时递增，求出 的范围即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论 的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；
（3）求出函数 ，根据 ，得到存在 ，满足 ，从而让
得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可.
试题解析：
（1）由 得 .
由已知曲线 存在斜率为-1 的切线，所以 存在大于零的实数根，
即 存在大于零的实数根，因为 在 时单调递增，
所以实数 a 的取值范围 .
（2）由 可得
当 时， ，所以函数 的增区间为 ；
当 时，若 ， ，若 ， ，
所以此时函数 的增区间为 ，减区间为 .
（3）由 及题设得 ，
由 可得 ，由（2）可知函数 在 上递增，
所以 ，取 ，显然 ，
，所以存在 满足 ，即存在 满足
，所以 ， 在区间（1，+∞）上的情况如下：
( ),0−∞
2 0x x a+ + = 0 2y x x a= + +
0x > a
a
( )g x ( ) 0af e e
= − > 0 (1, )x e∈ 0 0( )g x′ =
( ) ln 1af x x x
= − − ( ) 2 2
1' ( 0)a x af x xx x x
+= + = >
( )y f x= ( )' 1f x = −
2 0x x a+ + = 2y x x a= + + 0x >
( ),0−∞
( ) 2' , 0,x af x x a Rx
+= > ∈
0a ≥ ( )' 0f x > ( )f x ( )0, ∞+
0a < ( ),x a∈ − +∞ ( )' 0f x > ( )0,x a∈ − ( )' 0f x <
( )f x ( ),a− +∞ ( )0, a−
( )
ln
x ag x x
+= ( ) ( )
( )
( )2 2
ln 1
'
ln ln
ax f xxg x
x x
− −
= =
1 0a− < < 0 1a< − < ( )f x ( ),a− +∞
( )1 1 0f a= − − < x e= 1e >
( ) ln 1 0a af e e e e
= − − = − > ( )0 1,x e∈ ( )0 0f x = ( )0 1,x e∈
( )0' 0g x = ( )g x ( )'g x
x 0(1, x ） 0x 0( +x ， ）∞ － 0 +
↘ 极小 ↗
所以当-1 0∆
( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y
2
1 2 2
12
3 1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
12 6
3 1
kx x k
−⋅ = +
'P ( )'
1 1,P x y−
∴ 'PQ ( )2 1
1 1
2 1
y yy y x xx x
++ = −−
0y = 2 1 1 1 2 1 1 2
1
1 2 1 2
x y x y x y x yx xy y y y
− += + =+ +
( ) ( )
( )2 1 1 2
1 2
2 2
4
kx x kx x
k x x
− + −= + −
( )
( )1 2 1 2
1 2
2 2
4
x x x x
x x
− += + −
2 2
2 2
2
2
12 6 122 23 1 3 1 3
12 43 1
k k
k k
k
k
−× − ×+ += = − +
∴ 'PQ ( )3,0
∈（Ⅱ）若数列{an}的前三项互不相等，且 n≥3 时，an 为常数，求 m 的值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数 m，存在正整数 M，使得 n≥M 时，an 为常数．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明见详解.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意，即可由题意求得结果；
（Ⅱ）对 取值进行分类讨论，即可容易求得结果；
（Ⅲ）根据已知条件，结合题意，利用 之间的关系，即可进行证明.
【详解】（Ⅰ）当 时， ，
，且 是 的因数，故可得 ；
，且 是 的因数，故可得 ；
，且 是 的因数，故可得 ；
，且 是 的因数，故可得 ；
综上可得： .
（Ⅱ）（1）当 时，
若 ，则 ，
且对 ， 都为整数，故 ；
若 ，则 ，
且对 ， 都为整数，故 ；
（2）当 时，
若 ，则 ，
且对 ， 都为整数，故 ，不符合题意；
的
1 2 3 4 55, 1, 0, 2, 2a a a a a= = = = = 2,3,4
2 3,a a
,n na S
5m = 1 5a =
2 1a ≤ 2 25 a+ 2 1a =
3 2a ≤ 3 36 a+ 3 0a =
4 3a ≤ 4 46 a+ 4 2a =
5 3a ≤ 5 58 a+ 5 2a =
1 2 3 4 55, 1, 0, 2, 2a a a a a= = = = =
2 0a =
3 1a = 3 4 5 1a a a= = = =
3n ≥ ( )0 2 2 1m n m
n n
+ + − −= + 2m =
3 2a = 3 4 2a a= = =
3n ≥ ( )0 2 2 4 2m n m
n n
+ + − −= + 4m =
2 1a =
3 0a = 3 4 5 0a a a = = = =
3n ≥ ( )1 0 2 1m n m
n n
+ + × − += 1m = −若 ，则 ，
且对 ， 都为整数，故 ；
综上所述： 的值为 .
（Ⅲ）证明：对于 ，令
则
又对每一个 都是正整数，
故 其中 至多出现 个.
故存在正整数 ，当 时，必有
当 时，则
故
则
有题设可知
，
3 2a = 3 4 5 2a a a= = = =
3n ≥ ( )1 2 2 3 2m n m
n n
+ + × − −= + 3m =
m 2,3,4
2n ≥
1 2n nS a a a= + +…+
1 1 1
1
n n n n n nS S S a S n S
n n n n n
+ + ++ +< = =+ 1+
nSn n
，
1 1 ,1 1
n nS S S mn n
+∴ … =+ “ ”< 1m −
M m> n M>
1
1
n nS S
n n
+ =+
1
1
n nS S
n n
+ =+
1 1
( 1) n n
n n n n
n S Sa S S Sn n+ +
+= − = − =
2 2 1
2 2
n n n nS a a S
n n
+ + ++ +=+ +
1 1
( 1) n n
n n n n
n S Sa S S Sn n+ +
+= − = − =
2 2 1
2 2
n n n nS a a S
n n
+ + ++ +=+ +
2 1( 1)
2
n na n a
n
+ ++ += +
2 1
1 2
n n
n
a aa n
+ +
+
−= + +
2 1 1 12 2
n na a n
n n
+ +− +
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