2020 届高三第二学期第三次统练数学试题
一、选择题（共 10 小题；共 40 分）
1.复数的 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.
【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.
2.设 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
集合 是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可
【详解】 ，
，
则
故选
【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．
3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面
积恒相等，则体积相等.设 、 为两个同高的几何体， 、 的体积不相等， 、
在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知， 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
( )1 2z i i= − − 为虚数单位 在复平面内对应的点位于
{ | 2 1 0}S x x= + > { | 3 5 0}T x x= − < S TÇ =
∅ 1{ | }2x x < − 5{ | }3x x >
1 5{ | }2 3x x− < <
S T，
{ } 12 1 0 | 2S x x x x = + = > −
{ } 5| 3 5 0 | 3T x x x x = − < = x
3
π
( ) cosg x A xω= ( )f x
12
π
4
π
4
π 3
4
π
( )f x ( )2 2π π, 3, sin 33 4T f x A x
π ωω
= = = = +
( ) π π π π πsin 3 sin 3 sin 32 4 4 12 4g x A x A x A x
= + = + + = + +
π
12
R ( ) 2 1x mf x −= − m ( )32a f −=
( )3mb f= ( )2c f= −
a b c< < a c b< < c a b< < c b a< > 3
3y x= ±
2 23 14 4
x y− =由已知 ，即 ，取双曲线顶点 及渐近线 ，则顶点到该渐近线
的距离为 ，由题可知 ，所以 ，则所求双曲线
方程为 .
13.已知数列 对任意的 满足 ，且 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
令 ，则 ，从而可得 为等差数列且公差为 ，再根据 得到 ，
利用等差数列的通项公式可求 .
【详解】令 ，则 ，故 ，故 为等差数列且公差为 ，
故 .
因为 ，故 ，故 .
故答案为：
【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，注意对给定的递推关系合理赋值，本题属于基
础题.
14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格
依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：
一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得
到支付款的 80%．
①当 x=10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值
为__________．
【答案】 (1). 130. (2). 15.
【解析】
2 23 14 4
x y− =
{ }na *,p q N∈ p q p qa a a+ = + 2 6a = − 10a =
30−
1p = 1 1p pa a a+ = + { }na 1a 2 6a = − 1a
10a
1p = 1 1p pa a a+ = + 1 1p pa a a+ − = { }na 1a
( )1 1 11na a n a na= + − × =
2 6a = − 1 3a = − 10 30a = −
30−【分析】
由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得
的最大值.
【详解】(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,
元时,李明得到的金额为 ,符合要求.
元时,有 恒成立,即 ,即
元.
所以 的最大值为 .
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,
以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
15.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，下列判断：
①若 ，则角 有两个解；
②若 ，则 边上的高为 ；
③ 不可能是 9.
其中判断正确的序号是______.
【答案】③
【解析】
【分析】
利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于①，若 ，由余弦定理得 ，
故 ，此方程有唯一解 ，故角 有唯一解，所以①错.
对于②，因为 ，故 ，即 ，
又由余弦定理可得 ，故 ，
x
10x = ( )60 80 10 130+ − =
y
120y < 80%y×
120y ≥ ( ) 80% 70%y x y− × ≥ × ( )8 7 , 8
yy x y x− ≥ ≤
min
158
yx ≤ =
x 15
ABC A B C a b c 60B = ° 4b =
3c = C
12BC BA⋅ = AC 3 3
a c+
3c = 2 116 3 2 3 2a a= + − × × ×
2 3 13 0a a− − = a C
12BC BA⋅ = 1 122 ac = 24ac =
2 2 116 2 2a c a c= + − × × × 2 2 40a c+ =所以 即 ，故 ，
消元后可得 ，因 ，故方程无解，
即满足 的三角形不存在，故②错误.
对于③，由余弦定理可得 ，
整理得到 即 ，故 不可能是 9，故③正确.
故答案为：③.
【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三
角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如
放缩、消元等），本题属于中档题.
三、解答题（共 6 小题；共 85 分）
16.已知数列 的前 项和为 ， ，______.指出 、 、… 中哪一
项最大，并说明理由.
从① ， ，② 是 和 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题
中并作答.
【答案】①②均能得到 最大
【解析】
【分析】
根据 可得 ，从而可判断 为等差数列，若选①，则可
得 ，故可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到 的最大项. 若选②，则可
求出 ，同样可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到 的最大项.
【详解】因为 ，故 ，
故 .
当 时， 即 ，
( )2 88a c+ = 2 22a c+ = 2 22
24
a c
ac
+ = =
2 2 22 24 0a a− + = 88 96 8 0∆ = − = − <
12BC BA⋅ =
( ) ( ) ( )2 2 22 2 316 3 4a c ac a c ac a c a c= + − = + − ≥ + − +
( )2
16 4
a c+≥ 8a c+ ≤ a c+
{ }na n nS ( )1n nS na n n= + − 1S 2S nS
12 0S > 13 0S < 5a 2a 6a
6S
( )1n nS na n n= + − 1 2 2na a n= + − { }na
111 12a< < nS
1a nS
( )1n nS na n n= + − ( ) ( )1 1n n nS n S S n n−= − + −
( ) ( )11 1n nn S nS n n−− = − −
2n ≥ 1 11
n nS S
n n
−= −−
1 11
n nS S
n n
−− = −−所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，
所以 ，故 ，也即是
故 ，所以 为等差数列.
若选①，
因为 ， ，故 ，
故 ， ，故 最大.
若选②，则 ，故 ，解得 ，
故 ，故 ，故 最大.
【点睛】本题为数列中的补全条件解答题，考查数列 的通项与前 项和 的关系以及等
差数列前 和的最值问题，后者常通过项何时开始变号来确定 何时取最值，本题属于中档
题.
17.在如图所示的三棱锥 中， 是边长为 2 的等边三角形， ，
是 的中位线， 为线段 的中点.
（1）证明： .
（2）若二面角 为直二面角，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（ 1 ） 如 图 ， 由 中 位 线 可 得 ， 取 的 中 点 为 ， 取 的 中 点 ， 连 接
nS
n
1S 1− ( ) ( )1 11 1 1nS S n a nn
= + − × − = + −
( )11nS a n n= + − 1
1
, 1
, 2n
n n
a na S S n−
== − ≥ 1 2 2na a n= + −
1 2n na a −− = − { }na
12 0S > 13 0S < 111 12a< <
6 1 10 0a a= − > 7 1 12 0a a= − < 6S
2
5 2 6a a a= ( ) ( )( )2
1 1 18 2 10a a a− = − − 1 11a =
13 2na n= − 6 70, 0a a> < 6S
{ }na n nS
n nS
A BCD− ABD∆ 2BC DC= =
MN ABD∆ P BC
MN NP⊥
A BD C− − A NP M− −
2 7
7
//MN BD BD O BO E，可证 平面 ，从而可证 .
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面 的法向量和平面 的法向量的
夹角的余弦值后可得二面角 的余弦值.
【详解】（1）如图，取 的中点为 ，取 的中点 ，连接 .
因为 是边长为 2 的等边三角形， ，所以 .
因为 ，故 ，故 .
因为 ，所以 且 ，所以 .
因为 ，故 ，所以 .
因为 ， 平面 , 平面 ，故 平面 ，
因为 平面 ， .
因为 ，故 ，所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以 为二面角 的平面角，
因为二面角 为直二面角，所以 即 .
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 .
故 ， ，
设平面 的法向量为 ，
, , ,AO CO EN PE BD ⊥ NEP MN NP⊥
MNP ANP
A NP M− −
BD O BO E , , ,AO CO EN PE
ABD∆ BO DO= AO BD⊥
,AN BN BE EO= = //EN AO EN BD⊥
2, 2BC CD BD= = = 2 2 2BD BC DC= + CO BD⊥
2BCD
π∠ =
,BP PC BE EO= = //EP CO EP BD⊥
EN EP E∩ = EN ⊂ ENP EP ⊂ ENP BD ⊥ ENP
NP ⊂ ENP BD ⊥ NP
,AN NB AM MD= = //MN BD MN NP⊥
,AO BD CO BD⊥ ⊥
AOC∠ A BD C− −
A BD C− −
2AOC
π∠ = AO OC⊥
( ) ( ) 1 3 1 3 1 10,0,0 , 0,0, 3 , ,0, , ,0, , , ,02 2 2 2 2 2O A N M P
−
1 30, ,2 2NP
= −
1 3,0,2 2AN
= −
( )1,0,0MN =
MNP ( ), ,m x y z=则 即 ，故 ，取 ，则 ，
所以 .
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，取 ，则 ，
故 ，
所以 ，
因为二面角 的平面角为锐角，
故二面角 的余弦值为 .
【点睛】
本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂
直得到，也可以由两条线所成的角为 得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注
意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量
的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.
18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自 5 个不同产地的丑
橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下：
0
0
NP m
MN m
⋅ =
⋅ =
3 0
0
y z
x
− = =
0x = 3y = 1z =
( )0, 3,1m =
ANP ( ), ,n u v w=
0
0
NP n
AN n
⋅ =
⋅ =
3 0
3 0
v w
u w
− =
− =
1w = 3, 3u v= =
( )3, 3,1n =
4 2 7cos , = 74 7
m nm n
m n
⋅= =
×
A NP M− −
A NP M− − 2 7
7
2
π产地
批发价格 150 160 140 155 170
市场份额
市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.
（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于 160 元的概率；
（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取 20 箱丑橘进行检验，①从产地 ， 共抽取 箱，
求 的值；②从这 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量 表示来自产地 的箱数，
求 的分布列和数学期望.
（3）产地 的丑橘明年将进入该地市场，定价 160 元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产
地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为
每箱 元，明年丑橘的平均批发价为每箱 元，比较 ， 的大小.（只需写出结论）
【答案】（1） ；（2）①5， ②分布列见解析， ；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题设中的市场份额表可得所求的概率为 .
（2）对于①，根据 所占份额可得 ，对于②，利用超几何分布可求 的分布列，根
据公式可求其数学期望.
（3）算出 后可得 .
【详解】（1）根据市场份额表可知从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，该箱丑橘价
格低于 160 元的概率为 .
（2）① .
② 箱中产地 的有 2 箱，故 可取 ，
又 ， ， ，
所以 的分布列为：
A B C D E
15% 10% 25% 20% 30%
A B n
n n X B
X
F
1M 2M 1M 2M
0.6 6
5EX = 2 1M M>
0.6
,A B 5n = X
1 2,M M 1 2M M<
0.15 0.25 0.0.20 6+ + =
20 0.25 5n = × =
5 B X 0,1,2
( ) 3 0
3 2
3
5
10 10
C CP X C
= = = ( ) 2 1
3 2
3
5
31 5
C CP X C
= = = ( ) 1 2
3 2
3
5
32 10
C CP X C
= = =
X
.
（3） ，
而 ，
其中 为 五个产地的丑橘所占市场份额之比，
则 ，故 .
【点睛】本题考查统计图表的应用、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，计算分布
列时注意根据常见的分布（如二项分布、超几何分布）简化概率的计算，本题属于中档题.
19.已知函数 ，其中 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 的最小值为-1，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）求出 后可得曲线 在点 处的切线方程.
（2）求出 ，令 ，利用导数和零点存在定理可得 在
上有且只有一个零点 ，该零点也是 的最小值点，利用 的最小值为 及该零点
满足的方程可求 的值.
【详解】（1） ，又 ，
故 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 .
X 0 1 2
P 1
10
3
5
3
10
1 3 3 60 1 210 5 10 5EX = × + × + × =
1 150 0.15 160 0.1 140 0.25 155 0.2 170 0.3 155.5M = × + × + × + × + × =
2 2
150 3 160 2 140 5 155 4 170 6 160 3110 160
20 20 20 20 20 20 20
a a
a a a a a a M aM
× × × × × × += + + + + + =+ + + + + + +
3: 2:5: 4:6: a , , , , ,A B C D E F
2 1
4.5 020M aM a
− = >+ 2 1M M>
( ) lnx xf x x a
= + 0a >
( )y f x= ( )( )1, 1f
( )f x a
1 1
1 1y xa a
= −+ +
2a e−=
( ) ( )1 , 1f f ′ ( )y f x= ( )( )1, 1f
( )f x′ ( ) lnx x a a xϕ = + + ( )xϕ ( )0, ∞+
0x ( )f x ( )f x 1−
a
( )1 0f = ( ) ( )( )
( ) ( )2 2
1 ln ln lnx x a x x x a a xf x
x a x a
+ + − + +′ = =
+ +
( ) 11 1f a
′ = +
( )y f x= ( )( )1, 1f 1 1
1 1y xa a
= −+ +（2）令 ，则 ，所以 为 上的增函数.
取 ，则当 时，则有 ，
又 ，由零点存在定理有 在 上有且只有一个零点.
设该零点为 ，
则当 ， 即 ，所以 在 为减函数；
当 ， 即 ，所以 在 为增函数，
所以 ，
又 ，所以 即 ，故 ，解得 .
【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，当导函数的零点不易求得
时，可以采用虚设零点的方法来处理最值问题，本题属于中档题.
20.已知椭圆 ： ，上下两个顶点分别为 ， ，左右焦点分别为
， ，四边形 是边长为 的正方形，过 作直线 交椭圆于 ，
两点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）求证：四边形 对角线交点的纵坐标与 ， 两点的位置无关.
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出 后可得椭圆的方程.
（2）设直线 ， ，则可用 的坐标表示直线 与
直线 交点 的纵坐标，再联立 的方程和椭圆的方程，消去 后，利用韦达定理化简
，从而可得 为定值.
( ) lnx x a a xϕ = + + ( ) 1 0ax x
ϕ′ = + > ( )xϕ ( )0, ∞+
{ }2min ,M a e−= 0 x M< < ( ) 2 ln 2 2 0x a a x a aϕ < + < − <
( )1 1 0aϕ = + > ( )xϕ ( )0, ∞+
0x
( )00,x x∈ ( ) 0xϕ < ( ) 0f x′ < ( )f x ( )00, x
( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0xϕ > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0 ,x +∞
( ) ( ) 0 0
0min
0
ln 1x xf x f x x a
= = = −+
0 0ln 0x a a x+ + = 0 0
0
ln 1ln
x x
a x
= −− 0x a= 2 ln 0a+ = 2a e−=
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1B 2B
1F 2F 1 1 2 2B F B F 2 2 ( )( )0, 2P n n > l D
E
C
1 2DB B E D E
2 2
18 4
x y+ =
, ,a b c
( ):DE x t y n= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,D x y E x y ,D E 2DB
1EB M DE x
My My【详解】（1）因为四边形 是边长为 的正方形，故 ，所以 ，
所以椭圆方程为： .
（2）设直线 ， ，
则直线 ， ，
由 可得直线 与直线 交点 的纵坐标为
，
由 可得 ，
所以 ，且 ，
又 ，
故四边形 对角线交点的纵坐标与 ， 两点的位置无关.
1 1 2 2B F B F 2 2 2b c= = 2 2a =
2 2
18 4
x y+ =
( ):DE x t y n= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,D x y E x y
1
2
1
2: 2yDB y xx
+= − 2
1
2
2: 2yEB y xx
−= +
1
1
2
2
2 2
2 2
yy xx
yy xx
+ = − − = +
2DB 1EB M
( ) ( )
( )2 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 1
2 4
2M
x y x y x xy x y x y x x
+ + −= − + +
( ) ( )
( ) ( )1 2 2 1 2 1
2 1 2 1
4 2 4
2 2
y y n y y y y
n y y y y n
− + + −= − + + −
( )
2 2
18 4
x y
x t y n
+ =
= −
( )2 2 2 2 22 2 8 0t y t ny t n+ − + − =
2 2 2
1 2 1 22 2
2 8,2 2
t n t ny y y yt t
−+ = =+ +
2 2 232 64 8 0t t n∆ = + − >
( )
( )
2 2 2
2 12 2
2
2 1 2
8 24 2 42 2
22 22
M
t n t nn y yt ty
t nn y y nt
−× − × + −+ += = − + − +
( )
( )
2 12
2 1 2
32 4 42
8
2
y yt
n nn y y t
− + −+ =
− − +
1 2DB B E D E【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法以及椭圆中的定点问题，前者只需求出 即可，
后者应把求解目标化为与交点坐标有关的代数式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定
理化简代数式，从而可证定点定值问题，本题属于较难题.
21.设 为给定的大于 2 的正整数，集合 ，已知数列 ： ， ，…， 满
足条件：
①当 时， ；
②当 时， .
如果对于 ，有 ，则称 为数列 的一个逆序对.记数列 的所有逆
序对的个数为 .
（1）若 ，写出所有可能的数列 ；
（2）若 ，求数列 的个数；
（3）对于满足条件的一切数列 ，求所有 的算术平均值.
【答案】（1）不同的 分别为： ；（2） ；（3）
.
【解析】
【分析】
, ,a b c
n { }1,2, ,S n= ⋅⋅⋅ nA 1x 2x nx
1 i n≤ ≤ ix S∈
1 i j n≤ < ≤ i jx x≠
1 i j n≤ < ≤ i jx x> ( ),i jx x nA nA
( )nT A
( )4 1T A = 4A
( ) 2nT A = nA
nA ( )nT A
4A 1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4 ( ) ( )21 2
12
n n n− −
( )1
4
n n −（1）根据 可列出满足条件的 .
（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的 的个数.
（3）引进一个定义： ，有 ，则称 为数列 的一个顺序对，可证明
所有的 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为 ，
故可求其平均值.
【详解】（1）因为 ， 故 只有一个逆序对，
则不同的 分别为： .
（2）因为 ，故数列 ： ， ，…， 有两种情况：
①2 对逆序数由 3 个元素提供，即
，
这样的 共有 个.
②2 对逆序数由 4 个元素提供，即
.
这样的 共有 .
综上，满足 的数列 的个数为 .
（3）对任意的 ： ， ，…， ，其逆序对的个数为 ，
我们引进一个定义： ，有 ，则称 为数列 的一个顺序对，
则 中的顺序对个数为 .
考虑 ： ， ，…， 与 ： ， ，…， ，
中的逆序对的个数为 中顺序对的个数， 中顺序对的个数为 中逆序对个数，
( )4 1T A = 4A
4A
1 i j n≤ < ≤ i jx x< ( ),i jx x nA
nA ( )1 !4
n n n
− ×
( )4 1T A = 1 2 3 4, , ,x x x x
4A 1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4
( )4 2T A = nA 1x 2x nx
1 2 1 2 1 2, , ,i i i i i i i nx x x x x x x x x x+ + + +< < < > > < < < < < > < <
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