北京市海淀区首师附中 2019-2020 学年度第二学期入学考试
高三数学试卷
一、单选题
1.设 a,b 为实数,若复数 ,则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先化简,然后用复数相等的条件,列方程组求解.
【详解】由 可得 1+2i=(a﹣b)+(a+b)i,所以 ,解得 ,
,
故选 A.
【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算,考查计算能力.是基础题.
2.过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线于 两点.若 中点 到抛物线准线的
距离为 6,则线段 的长为( )
A. B. C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
试题分析: 中点 到抛物线准线的距离为 6,则 A,B 到准线的距离之和为 12,即
考点:直线与抛物线相交问题
3.已知集合 ,集合 ,则 ( )
1+2 1i ia bi
= ++
3 1,2 2a b= = 3, 1a b= =
1 3,2 2a b= = 1, 3a b= =
1 2 1i ia bi
+ = ++
1
2
a b
a b
− =
+ =
3
2a =
1
2b =
2 4y x= F l ,A B AB M
AB
6 9 12
AB M
1 2 1 212 12x x p AB x x p+ + = ∴ = + + =
11,2, 2A =
2{ | , }B y y x x A= = ∈ A B∩ =A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:因 ,故 ,选 C.
考点:交集运算.
4.一名顾客计划到商场购物,他有三张优惠劵,每张优惠券只能购买一件商品.根据购买商品
的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:优惠劵 1:若标价超过 50 元,则付款时减
免标价的 ;优惠劵 2:若标价超过 100 元,则付款时减免 20 元;优惠劵 3:若标价超过 100
元,则超过 100 元的部分减免 .若顾客购买某商品后,使用优惠劵 1 比优惠劵 2、优惠劵
3 减免的都多,则他购买的商品的标价可能为( )
A. 179 元 B. 199 元 C. 219 元 D. 239 元
【答案】C
【解析】
【分析】
设购买的商品的标价为 x 元,根据题意列出不等式即可得到答案.
【详解】设购买的商品的标价为 x 元,由题意, ,且 ,
解得 .
故选:C
【点睛】本题考查利用函数模型的选择问题,考查学生分析解决问题的能力,是一道基础题.
5.已知 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则 的一个充分条件是( )
A. , B. , ,
C. , , D. , ,
【答案】C
【解析】
【分析】
在 A 中,a 与 b 相交、平行或异面;在 C 中,由线面垂直的性质可得 a∥b;在 B、D 中,均可
得 a 与 b 相交、平行或异面;
1
2
{ }2 { }1 φ
10%
18%
0.1 20x × > 0.1 ( 100) 0.18x x× > − ×
200 225x< <
,a b ,α β / /a b
/ /a α / /b α / /a α b β/ / / /α β
a α⊥ b β⊥ / /α β α β⊥ a α⊥ b β/ /【详解】由 a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,
在 A 中, , ,则 a 与 b 相交、平行或异面,故 A 错误;
在 B 中, , , ,则 a 与 b 相交、平行或异面,故 B 错误;
在 C 中,由 a , ,则 ,又 ,由线面垂直的性质可知 ,故 C 正确;
在 D 中, , , ,则 a 与 b 相交、平行或异面,故 D 错误.
故选 C.
【点睛】本题考查线线平行的充分条件的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系
等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
6.若双曲线 的渐近线与圆 相切,则双曲线的离心率
为( )
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用圆心 到渐近线的距离等于半径即可建立 间的关系.
【详解】由已知,双曲线的渐近线方程为 ,故圆心 到渐近线的距离等于 1,
即 ,
所以 , .
故选:C.
【点睛】本题考查双曲线离心率的求法,求双曲线离心率问题,关键是建立 三者间的方
程或不等关系,本题是一道基础题.
7.在长方体 中, ,点 为 的中点,点 为对
角线 上的动点,点 为底面 上的动点(点 , 可以重合),则 的最小
/ /a α / /b α
/ /a α / /b β / /α β
α⊥ / /α β a β⊥ b β⊥ / /a b
α β⊥ a α⊥ / /b β
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > ( )2 22 1x y− + =
3
2
2 3
3 3
(2,0) , ,a b c
0bx ay± = (2,0)
2 2
| 2 | 1b
a b
=
+
2 23a b= 2 11 ( ) 1 3
c be a a
= = + = + = 2 3
3
, ,a b c
1 1 1 1ABCD A B C D−
12, 1AB BC AA= = = M 1AB P
1AC Q ABCD P Q MP PQ+值为( )
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图形,将平面 沿 翻折,使其与平面 在共面,将折线段转化为直线段距离
最小,从而求出 MP+PQ 的最小值.
【详解】
如图 1,显然当 是 在底面 的射影时 才可能最小,将平面 沿 翻
折,
使其与平面 在共面,如图 2 所示,此时易得 , ,显然当
三点共线时, 取得最小值,此时 .
故选:C.
【点睛】本题考查立体几何翻折问题中的最值问题,考查空间想象能力以及学生的计算能力,
难度比较大.
8.已知椭圆 C: 的左、右焦点分别为 , ,椭圆 C 上点 A 满足 若
点 P 是椭圆 C 上的动点,则 的最大值为
2
2
3
2
3
4
1 1AB C 1AC 1ACC
Q P ABCD MP PQ+ 1 1AB C 1AC
1ACC 1 30CAC∠ =
2
3AM =
, ,M P Q
MP PQ+
min 1
3 3sin sin602 4MQ AM CAB= ∠ = =
2 2
14 3
x y+ = 1F 2F 2 1 2.AF F F⊥
1 2F P F A⋅ ( )A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得点 A, , 的坐标,再利用数量积运算法则和点 P 的纵坐标的取值范围即可得
出最大值.
【详解】由椭圆 C: 可得: , , ,
.
, .
设 ,则 又 ,
.
的最大值为 .
故选 B.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算等基础知识与基本技能方法,属
于基础题.
9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为
3
2
3 3
2
9
4
15
4
1F 2F
2 2
14 3
x y+ = 2 4a = 2 3b = ( )2 2
11. 1,0c a b F= − = ∴ −
( )2 1,0F
2 1 2AF F F⊥
31, 2A ∴
( ),P x y
2 2
1.4 3
x y+ = 3 3y− ≤ ≤
( )1 2
3 3 3 31, 0, 2 2 2F P F A x y y ∴ ⋅ = + ⋅ = ≤
1 2F P F A∴ ⋅ 3 3
2A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知中的三视图可得,该几何体是一个俯视图中右下角的三角形为底面的三棱锥,代入棱
锥的的体积公式,即可求解.
【详解】由已知中的三视图可得:该几何体是一个如图所示的三棱锥 ,
其底面 的面积为 ,高为 ,
所以该三棱锥的体积为 ,故选 D.
【点睛】本题考查了几何体的三视图及组合体的表面积的计算,在由三视图还原为空间几何
体的实际形状时,要根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可
见轮廓线在三视图中为虚线.求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三
视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解.
1
3
2
3 1 4
3
1D ABE−
ABE 1 2 2 22S = × × = 2h =
1 1 42 23 3 3V Sh= = × × =10.已知数列 成等差数列, 成等比数列,则 的值是 ( )
A. B. C. 或 D.
【答案】A
【解析】
由题意可知:数列 1,a1,a2,4 成等差数列,设公差 d,
则 4=1+3d,解得 d=1,
∴a1=1+2=2,a2=1+2d=3.
∵数列 1,b1,b2,b3,4 成等比数列,设公比为 q,
则 4=q4,解得 q2=2,
∴b2=q2=2.
则 .
本题选择 A 选项.
二、填空题
11.设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈[0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图所示,则使
函数值 y<0 的 x 的取值集合为________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数的图象以及函数的奇偶性,判断函数值 的 的取值集合即可.
【详解】由原函数是奇函数,所以 y=f(x)在[-5,5]上 图象关于坐标原点对称,由 y=f(x)
在[0,5]上的图象,得它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值 y<0 的 x 的取
值集合为(-2,0)∪(2,5).
为
的
1 21, , ,4a a 1 2 31, , , ,4b b b 2 1
2
a a
b
−
1
2
1
2
− 1
2
1
2
− 1
4
2 1
2
2 1 1
2 2
a a
b
− −= =
( ) ( )2,0 2,5−
0y< x【点睛】本题考查函数的图象的判断函数的奇偶性的应用,是基础题.
12.函数 的值域是______________.
【答案】
【解析】
试 题 分 析 : 当 时 , , 所 以 ; 当 时 ,
.所以函数的值域是 .
考点:1.函数的值域及其求法;2.对数函数的值域;3.分段函数的图像与性质
13.若函数 是自然对数的底数 在 的定义域上单调递增,则
称函数 具有 M 性质,下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为
① ② ③ ④
【答案】①④
【解析】
① 在 上单调递增,故 具有 性质;
② 在 上单调递减,故 不具有 性质;
③ ,令 ,则 , 当
时, ,当 时, , 在 上单调递
减,在 上单调递增,故 不具有 性质;
④ ,令 ,则
, 在 上单调递
2log ( 1), 0 1,( ) { 2 , 1 0
x xf x x x
+ ≤ ≤= − ≤ <
[ ]2,1−
0 1x≤ ≤ 1 1 2x≤ + ≤ ( )20 log 1 1x≤ + ≤ 1 0x− ≤ <
2 2 0x− ≤ < [ ]2,1−
( )xy e f x= 2.71828...e =( ) ( )f x
( )f x
=2 xf x −( ) =3 xf x −( ) 3=f x x( ) 2= 2f x x +( )
( ) 2 2
x
x x x ee f x e − = ⋅ = R ( ) 2 xf x −= Μ
( ) 3 3
x
x x x ee f x e − = ⋅ = R ( ) xf x −= 3 Μ
( ) 3x xe f x e x= ⋅ ( ) 3xg x e x= ⋅ ( ) ( )3 2 23 2x x xg x e x e x x e x′ = ⋅ + ⋅ = + ∴
2x > − ( ) 0g x′ > 2x < − ( ) 0g x′ < ∴ ( ) 3x xe f x e x= ⋅ ( ), 2−∞ −
( )2,− +∞ ( ) 3f x x= Μ
( ) ( )2 2x xe f x e x= + ( ) ( )2 2xg x e x= +
( ) ( ) ( )22 2 2 1 1 0x x xg x e x e x e x ′ = + + ⋅ = + + > ∴ ( ) ( )2 2x xe f x e x= + R增,故 具有 性质.
【名师点睛】1.本题考查新定义问题,属于创新题,符合新高考的走向.它考查学生的阅读
理解能力,接受新思维的能力,考查学生分析问题与解决问题的能力,新定义的概念实质上
只是一个载体,解决新问题时,只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可.
2.求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数 f(x)的定义域(定义域优先);
(2)求导函数 f′(x);
(3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 的解集.
(4)由 f′(x)>0(f′(x)<0)的解集确定函数 f(x)的单调增(减)区间.若遇不等式中带有参
数时,可分类讨论求得单调区间.
3.由函数 f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒
成立问题,要注意“=”是否可以取到.
14.已知幂函数 的图像经过点 ,则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
先设幂函数 ,根据其图像经过点 ,求得函数,再求 .
【详解】设幂函数 ,
因为其图像经过点 ,
所以 ,
解得 ,
所以 .
( ) 2 2f x x= + Μ
( )y f x= 14, 2
( )2f =
2
2
( ) af x x= 14, 2
( )2f
( ) ay f x x= =
14, 2
14 2
a =
1
2a = −
( ) 1
2 22 2 2
−= =f故答案为:
【点睛】本题主要考查幂函数的定义及求函数值,属于基础题.
15.已知平面向量 , 满足 , , ,则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据平面向量 , 满足 , , ,利用向量求模公式求解.
【详解】因为平面向量 , 满足 , , ,
所以 ,
故答案为:
【点睛】本题主要考查平面向量的模的求法,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
三、解答题
16.已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若 ,求 的值.
【答案】(1)2 , ;(2) .
【解析】
【详解】(1)由已知,f(x)=
所以 f(x)的最小正周期为 2 ,值域为 ;
2
2
a b 0a b⋅ = 2a = 3b = a b+ =
13
a b 0a b⋅ = 2a = 3b =
a b 0a b⋅ = 2a = 3b =
( )2 2 2 2 22 2 3 13+ = + = + ⋅ + = + = a b a b a a b b
13
2 1( ) cos sin cos2 2 2 2
x x xf x = − −
( )f x
3 2( ) 10f α = sin 2α
7
25(2)由(1)知,f( )=
所以 ,
所以
.
[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,
考查运算能力,考查化归与转化等数学思想.
17.已知函数 是定义在 上的偶函数,当 时, 现已画出函数 在
轴左侧的图象,如图所示.
(1)画出函数 在 轴右侧的图象,并写出函数 在 上的单调区间;
(2)求函数 在 上的解析式.
【答案】(1)如图所示:
的单调递减区间为: ,
单调递增区间为: ,
3cos 4 5
πα + =
( )f x R 0x ≤ 2( ) 2f x x x= + ( )f x
y
( )f x y ( )f x R
( )f x R
( )f x ( , 1)−∞ − (0,1)
( 1,0)− (1 + )∞,(2)
【解析】
【分析】
(1)根据偶函数关于 轴对称,即可画出函数 在 轴右侧的图象,再由函数图像即可
写出其单调区间.
(2)已知 时的解析式,只需计算出 的解析式,根据 则 与
即可使用 时的解析式解出 的解析式.
【详解】(1)如图所示:
单调递减区间为: ,
单调递增区间为: ,
(2)令 则
所以
又函数 为偶函数,即
所以当 时
所以
【点睛】本题考查偶函数的图像性质,根据图像写函数的单调区间,已知偶函数的一半的函
数解析式,求整个函数的解析式,属于基础题.
18.已知函数 ,设 在 上的最大值为 ,
Ⅰ 求 的表达式;
Ⅱ 是否存在实数 ,使得 的定义域为 ,值域为 ?如果存在,求出
的
2
2
0+2( ) , 02
xx xf x xx x
≤= >−
,
y ( )f x y
0x ≤ 0x > 0,x > 0,x− <
( ) ( )f x f x= − 0x ≤ 0x >
( )f x ( , 1)−∞ − (0,1)
( 1,0)− (1 + )∞,
0,x > 0,x− <
2 2( ) ( ) 2( ) 2f x x x x x− = − + − = −
( )f x ( ) ( )f x f x= −
0x > 2( ) 2f x x x= −
2
2
0+2( ) , 02
xx xf x xx x
≤= >−
,
( ) ( )2 2 1f x x ax a a R= + + + ∈ ( )f x [ ]1,1− ( )g a
( ) ( )g a
( ) ,m n ( )g a [ ],m n [ ]5 ,5m n的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】 Ⅰ ; Ⅱ .
【解析】
【分析】
Ⅰ 函数 图象的对称轴为 ,然后通过讨论对称轴的位置,结合函数的单调性
求解函数的最大值,得到函数的最大值的表达式; Ⅱ 假设存在符合题意的实数 ,则
可 得 若 , 有 , 即 由 此 得
,且为单调递增函数,从而列出方程组,即可求出结果.
【详解】 Ⅰ 因为函数 图象的对称轴为 ,
所以当 ,即 时, ;
当 ,即 时,
所以 .
Ⅱ 假设存在符合题意的实数 m,n,则
由 Ⅰ 可知,当 时,
所以若 ,有 ,则
所以 ,且为单调递增函数
所以 ,
所以 .
【点睛】本题主要考查二次函数的单调性及其应用,属于中档题.二次函数的单调性问题则
主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解,二次函数在闭区间上的最值主要有三种
类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与
区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.
,m n
( ( )
2 2, 0
2) 2, 0
a a a
g a a a a
− + 0a < ( ) ( ) 2( ) 1 2.maxg a f x f a a= = − = − +
( )
2 2, 0
2 2, 0
a a a
g a a a a
− +