福州市 2020 届高三理科数学 5 月调研卷
（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．复数 满足 ，则
A. B. C. D.
3．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
A． B． C． D．
4．棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为 ，则此棱锥的高被分
成的上、下两段之比为
A． B． C． D．
5. 若 ，则
A． B． C． D．
6．随着 2022 年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰
雪运动市场需求得到释放.如图是 2012-2018 年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增
长情况统计图.则下面结论中正确的是
①2012-2018 年，中国雪场滑雪人数逐年增加；
2{ | 9 3 1}A x x= − < { | 2}B y y= < ( )A B =R
2[ ,2)3
∅ 2 2( , ] [ ,2)3 3
−∞ − ( )2 2,3 3
−
z (1 2i) 4 3iz− = + z =
5
5 5 2 5 4 5
{ }na n nS 2 1 2a a− = 5 4 9S S− = 50a =
99 101 2500 459 2×
1: 2
1: 2 1: 4 1:( 2 1)− 1:(3 2 2)−
5 2 5
0 1 2 5( )2 1 1( ) ( (1 1) )x a a x a x a x− = + − + − + + − 3a =
40 40− 80 80−②2013-2015 年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；
③中国雪场 2015 年比 2014 年增加的滑雪人数和 2018 年比 2017 年增加的滑雪人数
均为 220 万人，因此这两年的同比增长率均有提高；
④2016-2018 年，中国雪场滑雪人数的增长率约为 23.4%.
A.①②③ B.②③④ C.①② D.③④
7．习总书记在十九大报告中指出：坚定
文化自信，推动社会主义文化繁荣兴
盛．如右 1 图，“大衍数列”：0，2，
4，8，12，…来源于《乾坤谱》中对《易
传》“大衍之数五十”的推论，主要用
于解释中国传统文化中的太极衍生原理，
数列中的每一项都代表太极衍生过程中
曾经经历过的两仪数量总和．右 2 图是
求大衍数列前 项和的程序框图.执行
该程序框图，输入 ，则输出的
A． B． C． D．
8．若 ， ， ，则
A． B． C． D．
9. 将函数 的图象向右平移 个周期后得到函数 的图象，则
图象的一条对称轴可以是
A． B． C． D．
10．设双曲线 的左焦点为 ，直线 过点 且与
在第二象限的交点为 ， 为原点， ，则 的离心率为
A．5 B. C. D.
11. 设数列 的前 项和为 ，且 ， （ ），则 的最
小值为
A． B． C． D．
n
10m = S =
100 140 190 250
1
44a = 5log 12b = 1
3
1log 9c =
b a c< < a b c< < a c b< < c a b< <
2π( ) 2sin(3 )3f x x= + 1
2
( )g x ( )g x
π
18x = π
6x = 7π
18x = 11π
18x =
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > F 4 3 20 0x y− + = F C
P O | | | |OP OF= C
5 5
3
5
4
{ }na n nS 1 1a = 2( 1)n
n
Sa nn
= + − *n∈N 22nnS n−
2− 1− 2
3 312. 若关于 的不等式 解集中恰有两个正整数解， 的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置.
13.已知向量 和 的夹角为 ， ， ，则 _______________.
14.椭圆 的左，右焦点分别为 ，焦距为 ，点 在 上，
，直线 的斜率为 （ 为半焦距），则 的方程为_______________.
15.已知点 满足 过点 的直线与圆 相交于 ， 两点，则
的最小值为_______________.
16.已知三棱锥 的棱长均为 6，其内有 个小球，球 与三棱锥 的四个面
都相切，球 与三棱锥 的三个面和球 都相切，如此类推，…，球 与三棱锥
的三个面和球 都相切（ ，且 ），则球 的体积等于__________，
球 的表面积等于__________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
如图，已知 的内角 ， ， 的对边分别是 , , ,
且 ，点 是 的中点， ，
交 于点 ，且 ， .
（1）求 ；
x ( ) 2e 1 0xa x x+ − < a
2
4 1[ , )3e 2e 3
9 1[ , )4e 2e 3
9 1[ , ]4e 2e 3 2
9 4[ , )4e 3e
a b 60° | | 2a = | | 3b = | 3 2 |a b− =
2 2
2 2: 1 ( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,F F 2 3 E C
1 2EF EF⊥ 1EF b
c c C
( , )P x y
1,
,
4,
x
y x
x y
+
P 2 2 14x y+ = A B
| |AB
A BCD− n 1O A BCD−
2O A BCD− 1O nO
A BCD− 1nO − 2n n ∗∈N 1O
nO
ABC△ A B C a b c
sin ( )sin sina A c a C b B+ − = D AC DE AC⊥
DE AB E 2BC = 6
2DE =
B
E
D
C
A
B（2）求 的面积.
18.（本小题满分 12 分）
如 图 ， 在 五 面 体 中 ， ，
， ， ， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ，求二面角 的余
弦值．
19.（本小题满分 12 分）
已知抛物线 的顶点为 ，焦点 为 .
（1）求 的方程；
（2）过点 作直线交 于 ， 两点，若直线 ， 分别交直线 于 ，
两点，求 的最小值．
20.（本小题满分 12 分）
已知函数 （ ）.
（1）求 的单调区间；
（2）证明： .
21.（本小题满分 12 分）
某医药开发公司实验室有 瓶溶液，现需要把含有细菌 的溶液检验出来，有
如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验 次；
方案二：混合检验，将 瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌
，则 瓶溶液全部不含有细菌 ；若检验结果含有细菌 ，就要对这 瓶溶液再逐瓶检
验，此时检验次数总共为 .
（1）若 ，其中 瓶中含有细菌 ，采用方案一，求恰好检验 次就能确定哪两
瓶溶液含有细菌 的概率；
（2）现对该 瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌 的概率均为 .
若采用方案一，需检验的总次数为 ，若采用方案二，需检验的总次数为 .
(i)若 与 的期望相等.试求 关于 的函数解析式 ；
ABC△
ABCDEF AB CD EF∥ ∥
AB BC⊥ 2 2 8CD CE EF= = = 120BCE∠ = ° 4 2DF =
EF ⊥ BCE
8BC = AB EF= E AD F− −
C (0,0)O F (0,1)
C
F C A B AO BO : 2l y x= − M
N | |MN
( ) 1 2sinf x x x= + − 0x >
( )f x
2( ) e xf x −>
*( )n n∈N R
n
n
R n R R n
1n +
5n = 2 R 3
R
n R (0 1)P P
ξ η
ξ η P n ( )P f n=
F
B C
E
A
D(ii)若 ，且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求 的
最大值.
参考数据： ， ， ， .
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所做
第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22.（本小题满分 10 分）选修 ：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点
为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设 为 上的点， ，垂足为 ，若 的最小值为 ，求 的值.
23.（本小题满分 10 分）选修 ：不等式选讲
已知 为正数，且满足 .证明：
（1） ；
（2） .
1
41 eP
−= − n
ln 2 0.69≈ ln3 1.10≈ ln5 1.61≈ ln7 1.95≈
4 4−
xOy l
2 ,
2 ,
x m t
y t
= + =
t
x C 2
2
4
1 sin
ρ θ= +
l C
P C PQ l⊥ Q | |PQ 2 m
4 5−
, ,a b c 1abc =
2 2 2
1 1 1a b c a b c
+ + + +
1 1 1 12 2 2a b c
+ ++ + + E
D
C
A
B
福州市 2020 届高三理科数学 5 月调研卷参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．C 2．B 3．A 4. C 5. C 6．C
7. C 8. B 9. D 10. A 11. B 12. D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 14. 15． 16. ，
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
17．【解析】（1） ，
由 得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
由余弦定理得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
， .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）连接 ，如右图， 是 的中点， ， ，
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
在 中，由正弦定理得 ，
， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
， ， ，
， ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
6
2 2
16 3
x y+ = 4 6π
1
6
4n−
π
( )sin sin sina A c a C b B+ − =
sin sin sin
a b c
A B C
= = 2 2 2a c ac b+ − =
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
+ −= =
0 180B° < < ° 60B∴ = °
CE D AC DE AC⊥ AE CE∴ =
6
sin 2sin
DECE AE A A
∴ = = =
BCE△ sin sin sin2
CE BC BC
B BEC A
= =∠
6 2
2sin sin60 2sin cosA A A
∴ =°
2cos 2A∴ =
0 180A° < < ° 45A∴ = °
75ACB∴∠ = ° 30BCE ACB ACE∴∠ = ∠ − ∠ = ° 90BEC∠ = °
3CE AE∴ = = 3 1AB AE BE= + = +GA
D
B
Cx
z
y E
F
.∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
18. 【解析】（1）证明：因为 ， ，
所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
取 中点为 ，连接 ，所以 ，
因为 ， ，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，且 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
因为 ， ，
所以 ，所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 平面 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）由（1）知， 平面 ，
因为 ，所以 平面 ．
故以点 为坐标原点，分别以 、 的方向为 轴、
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
所以
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
所以 ，
取 ，则 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
设平面 的法向量为 ，因为 ，
所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
所以 ，
取 ，则 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
1 3 3·2 2ABCS AB CE
+∴ = =△
AB EF∥ AB BC⊥
EF BC⊥
CD G FG 1 42CG DG CD= = =
CD EF∥ 4EF = CG EF∥ CG EF=
CEFG CE GF∥ 4CE GF ==
4 2DF = 2 2 2DG GF DF+ =
DG GF⊥ CD CE⊥
CD EF∥ EF CE⊥
BC CE C= EF ⊥ BCE
EF ⊥ BCE
CD EF∥ CD ⊥ BCE
C CB CD x
z C xyz−
(8,0,4), (8,0,0), ( 2,2 3,0), ( 2,2 3,4), (0,0,8),A B E F D− −
( 8,0,4), ( 10,2 3, 4)AD AE= − = − −
ADE 1 1 1( , , )n x y z=
0
0
AD n
AE n
⋅ = ⋅ =
1 1
1 1 1
8 4 0
10 2 3 4 0
x z
x y z
− + =− + − =
1 1x = (1,3 3,2)n =
ADF 2 2 2( , , )m x y z= ( 10,2 3,0)AF = −
0
0
AD n
AF n
⋅ = ⋅ =
2 2
2 2
8 4 0
10 2 3 0
x z
x y
− + =− + =
2 1x = 5 3(1, ,2)3m =所以 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以二面角 的余弦值为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
19.【解析】（1）由已知可设 的方程为 ，则 ,得 ，
所以 的方程是 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
（2）设 ， ，所以 ， ,
所以直线 的方程是： ,由 ， ，
同理由 ， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
所以
，①∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
设 ，由 得 ，
， ，
代入①得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
设 ，则 ，
当 时， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
当 时，
，
当 时， 取得最小值 ，此时 ； ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
2
2
5 31 3 3 4 153cos , 45 31 (3 3) 4 1 43
n m
+ × +
< >= =
+ + × + +
E AD F− − 15
4
C 2 2 ( 0x py p= > ） 12
p = 2p =
C 2 4x y=
2
1
1( , )4
xA x
2
2
2( , )4
xB x 1
4AO
xk = 2
4BO
xk =
AO 1
4
xy x=
1
4
2
xy x
y x
=
= − 1
8
4Mx x
∴ = −
2
4
2
xy x
y x
=
= − 2
8
4Nx x
= −
2 1 2
1 2 1 2 1 2
8 8| | 1 1 | | 2 | | 8 2 | |4 4 16 4( )M N
x xMN x x x x x x x x
−= + − = − =− − − + +
: 1AB y kx= +
2
1
4
y kx
x y
= +
=
2 4 4 0x kx− − =
1 2 1 24 , 4x x k x x∴ + = = − 2 2
1 2 1 2 1 2| | ( ) 4 4 1x x x x x x k∴ − = + − = +
2 24 1 1| | 8 2 | | 8 216 16 4 | 4 3|
k kMN k k
+ += =− − −
4 3 , 0k t t− = ≠ 3
4
tk
+=
0t >
2
2
25 6 25 6| | 8 2 | | 2 2 1 2 24
t tMN t t t
+ += = + + >
0t <
2
2
2
25 6 25 6 5 3 16 4 8 2| | 8 2 | | 2 2 1 2 2 ( ) 2 24 5 25 5 5
t tMN t t t t
+ += = + + = + + × =
25
3t = − | |MN 8 2
5
4
3k = −综上， 的最小值是 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
20.【解析】（1） ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
由 得 ，解得 （ ），
由 得 ，解得 或 （ ）4 分
所以 的单调递增区间为 （ ）；
的单调递减区间为 和 （ ）. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）要证当 时， ，
即证当 时， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
， ∙∙∙∙∙∙∙7 分
令 ，则 ， 在 上单调递增，
故 ，即 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
所以
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
所以 ， 在 上单调递增，故 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
故当 时， . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
21.【解析】（1）记事件为 为“恰好检验 次就能确定哪两瓶溶液含有细菌 ”，
事件 为“第三次含有细菌 且前 2 次中有一次含有细菌 ”，
事件 为“前三次均不含有细菌 ”，则 ，且事件 互斥，
所以 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
| |MN 8 2
5
( ) 1 2cosf x x′ = −
( ) 0f x′ > 1cos 2x < π 5π2 π 2 π3 3k x k+ < < + k ∈N
( ) 0f x′ < 1cos 2x > π0 3x< < 5π 7π2 π 2 π3 3k x k+ < < + k ∈N
( )f x π 5π( 2 π 2 π)3 3k k+ +， k ∈N
( )f x π(0, )3
5π 7π( 2 π, 2 π)3 3k k+ + k ∈N
0x > 2( ) e xf x −>
0x > 2( ) (1 2sin )e 1xg x x x= + − >
2 2 2( ) 2(1 2sin )e (1 2cos )e (3 2 4sin 2cos )ex x xg x x x x x x x′ = + − + − = + − −
( ) sinh x x x= − ( ) 1 cos 0h x x′ = − ( )h x (0, )+∞
( ) (0) 0h x h> = sinx x>
3 2 4sin 2cos 3 2sin 4sin 2cos 3 2(sin cos )x x x x x x x x+ − − > + − − = − +
π3 2 2 sin( ) 04x= − + >
( ) 0g x′ > ( )g x (0, )+∞ ( ) (0) 1g x g> =
0x > 2( ) e xf x −>
A 3 R
B R R
C R A B C= ,B C
1 1 1 3
2 2 3 3
3 3
5 5
1 1 3( ) ( ) ( ) 5 10 10
A A A AP A P B P C A A
= + = + = + =（2）（i） ， 的取值为 ，
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
所以 ，
由 得 ，所以 ；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
(ii) ,所以 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
所以 ，设 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
又 ，
，
所以 的最大值为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
22.【解析】（1）因为 的极坐标方程为 ，即 ，则
，化简得 ，所以 的直角坐标方程为 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
参数方程消去参数 ，得 的普通方程为 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）设 ，由点到直线的距离公式得
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
由题意知 ，
当 时， ，得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
当 时， ，得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
( )E nξ = η 1, 1n +
( 1) (1 ) , ( 1) 1 (1 )n nP P P n Pη η= = − = + = − −
( ) (1 ) ( 1) 1 (1 ) 1 (1 )n n nE P n P n n Pη = − + + − − = + − −
( ) ( )E Eξ η= 1 (1 )nn n n P= + − −
1
*(1 )1( )nP nn
= − ∈N
1
41 eP
−= − 4( ) 1 e
n
E n nη −= + − ⋅ 4( 1) e
n
n n n
−+ − ⋅ <
ln 04
nn − > ( ) ln ( 0)4
xf x x x= − > 1 1 4( ) 4 4
xf x x x
−′ = − =
(0,4)x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x (0,4)
(4, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x (4, )+∞
(8) ln8 2 3ln 2 2 3 0.69 2 0f = − = − ≈ × − >
9 9 9(9) ln9 2ln3 2 1.10 04 4 4f = − = − ≈ × − <
n 8
C 2
2
4
1 sin
ρ θ= +
2 2 2sin 4ρ ρ θ+ =
2 22 4x y+ =
2 2
14 2
x y+ = C
2 2
14 2
x y+ =
l t l 2 0x y m− − =
(2cos , 2 sin )P θ θ
π| 2 2 cos( ) || 2cos 2sin | 4| |
3 3
mmPQ
θθ θ + −− −= =
0m ≠
0m > min
| 2 2 || | 2
3
mPQ
−= = 2 3 2 2m = +
0m < min
| 2 2 || | 2
3
mPQ
− −= = 2 3 2 2m = − −所以 或 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
23.证明：证法一、（1）由条件 得
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
由 二 元 基 本 不 等 式 可 得 ， ，
，（等号成立当且仅当 ），将上述三个不等式相加，从
而
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
得证 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）由条件 得
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
由三元基本不等式得 （等号成立当且仅当 ），
从而得证 .∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
证法二、（1）因为 为正数，且满足 ，
欲证 ，只需证 ，
即证 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
因为 ，（当且仅当 时取等号） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
，（当且仅当 时取等号）
，（当且仅当 时取等号） ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
将上述三个不等式相加，得 ，（当且仅当
时取等号）∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
2 3 2 2m = + 2 3 2 2m = − −
1abc =
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )a b ca b c a b c bc ca ab
+ + − + + = + + − + +
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 2a b b c c a a bc b ca c a
a b c
b+ − − −+=
2 2 2 2 22a b c a ca b+
22 2 2 2 2a b b c b ac+
2 2 2 2 22b c c a bc a+ 1a b c= = =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 0a b b c c a a bc
a
b ca c ab
b c
+ − − −+
2 2 2
1 1 1a b c a b c
+ + + +
1abc =
1 1 1 4 31 ( )2 2 2 (2 )(2 )(2 ) (2 )(2 )(2 )
ab bc ca abc ab bc ca
a b c a b c a b c
+ + + − + + −− + + = =+ + + + + + + + +
33 3ab bc ca ab bc ca+ + ⋅ ⋅ = 1a b c= = =
1 1 1 12 2 2a b c
+ ++ + +
, ,a b c 1abc =
2 2 2
1 1 1a b c a b c
+ + + + 2 2 2
abc abc abca b c a b c
+ + + +
bc ca ab a b ca b c
+ + + +
2 2bc ca bc ca ca b a b
+ ⋅ =2 a b=
2 2ca ab ca ab ab c b c
+ ⋅ =2 b c=
2 2bc ab bc ab ba c a c
+ ⋅ =2 c a=
2 2 2bc ca ca ab bc ab c a ba b b c a c
+ + + + + + +
1a b c= = =即 成立，
所以原不等式成立. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）略，同证法一.
bc ca ab a b ca b c
+ + + +
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