福州市 2020 届高三文科数学 5 月调研卷
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
第 Ⅰ 卷（选择题,共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1． 复数 ，则复数 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集为 ，集合 ， ，则 的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知 ,则
A． B． C． D．
4．某学生 5 次考试的成绩(单位:分)分别为 85，67， ，80，93，其中
,若该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，则得分的平均数
不可能为
A． B． C． D．
5．如图给出的是计算 的值的一个程序框图，
则图中空白框中应填入
A． B．
C． D．
6．用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示，
则该几何体体积的最大值为
A．28 B．21 C．20 D．19
7．函数 的图像大致为
| |
2
iz i
= − z
R { }2, 1,0,1,2A = − − 1 02
xB x x
− =
70 75 80 85
1 1 11 3 5 2019
+ + + +
1
2 3S S i
= + +
1
2 1S S i
= + +
1
1S S i
= + +
1
2 1S S i
= + −
( ) 2
ln xf x x x
= −
第 5 题
正视图 侧视图
第 6 题第 12 题
第 14 题
8．已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， ，若直
线 与 交于另一点 ，则 的值是
A．12 B．10 C．9 D．45
9．设双曲线 的左焦点为 ，直线 过点 且与双曲
线 在第二象限的交点为 为原点， ，则双曲线 的离心率为
A．5 B． C． D．
10．已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 x 都有 ，
，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
11．已知在锐角 中，角 的对边分别为 ，若 ，则
的最小值为
A． B． C． D．
12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线 就是其中之一(如图)，
给出下列三个结论：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ;
③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3；
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
第 II 卷（非选择题,共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为 ，响第二声
时被接的概率为 ，响第三声时被接的概率为 ，响第四声时被接的概率为 ，
那么电话在响前 4 声内被接的概率是 ．
14 ． 如 图 ， 圆 （ 圆 心 为 ） 的 一 条 弦 的 长 为 2 ， 则
=_____________．
15．我们听到的美妙弦乐，不是一个音在响，而是许多个纯音的合成，称为复合音．复
合音的响度是各个纯音响度之和．琴弦在全段振动，产生频率为 的纯音的同时，其二分
2: 2 ( 0)C y px p= > F , ( 0)4
pA a a > C 3AF =
AF C B AB
2 2
2 2C 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >： F 4 3 20 0x y− + = F
C ,P O | | | |OP OF= C
5 5
3
5
4
( )f x′ ( )f x ( ) ( ) ( )2 1xf x e x f x′ = + +
( )0 2f = − ( ) 4 xf x e<
( )2,3− ( )3,2− ( ) ( ), 3 2,−∞ − +∞ ( ) ( ), 2 3,−∞ − +∞
ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 cos cosb C c B=
1 1 1
tan tan tanA B C
+ +
2 7
3 5 7
3 2 5
2 2C : x y 1 x y+ = +
0.1
0.3 0.4 0.1
C C AB AB AC⋅
f之一部分也在振动，振幅为全段的 ，频率为全段的 2 倍；其三分之一部分也在振动，振
幅为全段的 ，频率为全段的 3 倍；其四分之一部分也在振动，振幅为全段的 ，频率为全
段的 4 倍；之后部分均忽略不计．已知全段纯音响度的数学模型是函数 （ 为时间，
为响度），则复合音响度数学模型的最小正周期是 ．
16．已知三棱锥 的棱长均为 6，其内有 个小球，球 与三棱锥 的四个面
都相切，球 与三棱锥 的三个面和球 都相切，如此类推，…，球 与三棱锥
的三个面和球 都相切（ ，且 ），则球 的体积等于__________，
球 的表面积等于__________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求
作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
为数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和．
18．（本小题满分 12 分）
如图所示的几何体中， 为三棱柱，且
平面 ABC， ，四边形 ABCD 为平行四边形，
， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求四棱锥 的体积．
1
2
1
3
1
4
1 siny t= t
1y
A BCD− n 1O A BCD−
2O A BCD− 1O nO
A BCD− 1nO − 2n n ∗∈N 1O
nO
nS { }na n 0na > 2 2 4 3n n na a S+ = +
{ }na
1
1
n
n n
b a a +
= { }nb n
1 1 1ABC A B C−
1AA ⊥ 1AA AC=
2AD CD= 60ADC∠ = °
AB ⊥ 1 1ACC A
2CD = 1 1 1C A B CD−19．（本小题满分 12 分）
某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原
料成本 （元）与生产该产品的数量 （千件）有关，经统计得到如下
数据：
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24
根据以上数据，绘制了散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相
关关系，现考虑用反比例函数模型 和指数函数模型 分别
对两个变量的关系进行拟合，
已求得：用指数函数模型拟合的回归方程为 ， 与
的相关系数 ； , , , , ,
, （其中 ）；
（1）用反比例函数模型求 关于 的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0．01），并用其估计
产量为 10 千件时每件产品的非原料成本．
参考数据： ,
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜
率和截距的最小二乘估计分别为： ， ，相关系数
．
20．（本小题满分 12 分）
椭圆 的离心率是 ，过点 做斜率为 的直线 ，椭圆
与直线 交于 两点，当直线 垂直于 轴时 ，
（1）求椭圆 的方程；
（2）当 变化时，在 轴上是否存在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形，
y x
by a x
= + dxy ce=
0.296.54 xy e−= ln y
x 1 0.94r = −
8
1
=183.4i i
i
u y
=
∑ =0.34u 2 =0.115u
8
2
1
=1.53i
i
u
=
∑ 8
1
360i
i
y
=
=∑
8
2
1
22385.5i
i
y
=
=∑ 1 , 1,2,3, ,8i
i
u ix
= =
y x
0.61 6185.5 61.4× = 2 0.135e− =
( )1 1,u υ ( )2 2,u υ ( ),n nu υ ˆ uυ α β= +
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
u nu
u nu
υ υ
β =
=
−
=
−
∑
∑ uα υ β= −
1
2 22 2
1 1
n
i i
i
n n
i i
i i
u nu
r
u nu n
υ υ
υ υ
=
= =
−
=
− −
∑
∑ ∑
2 2
2 2: 1 ( 0)x yE a ba b
+ = > > 5
3
(0,1)P k l E
l ,A B l y | | 3 3AB =
E
k x ( ,0)M m AMB∆ AB若存在,求出 的取值范围;若不存在,说明理由．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 ，
（1）求 的最小值；
（2）证明： ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数
方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）已知点 的极坐标为 ， 与曲线 交于 两点，求 ．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知 为正数，且满足 ，证明：
（1） ；
（2） ．
m
( ) 1 2sin , 0f x x x x= + − >
( )f x
( ) 2xf x e−>
xOy l
13 ,2
3
2
x t
y t
= − +
=
t C
3cos ,
3 3sin
x
y
α
α
=
= +
α x
C
P ( 3,π) l C ,A B 1 1
| | | |PA PB
+
, ,a b c 1abc =
2 2 2
1 1 1a b c a b c
+ + + +
1 1 1 12 2 2a b c
+ ++ + + 福州市 2020 届高三文科数学 5 月调研卷参考答案
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．D 7．A 8．C 9．A
10．B 11．A 12．C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 14．2 15． 16． ，
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
【 解 析 】 （ 1 ） 由 ， 可 知 ， 可 得
，即
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
由于 ，可得 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
又 ，解得 （舍去），或 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，可得 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）由 可知 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
数列 的前 项和为 ，则
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
18．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）证明: 四边形 ABCD 为平行四边形， ， ，由余弦定理
可得： ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
为三棱柱，且 平面 ABC，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
平面 ABC ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
0.9 2π 6π 1
6
4n−
π
2 2 4 3n n na a S+ = + 2
1 1 12 4 3n n na a S+ + ++ = +
2 2
1 1 12 2 4n n n n na a a a a+ + +− + − =
2 2
1 1 1 12( ) ( )( )n n n n n n n na a a a a a a a+ + + ++ = − = + −
0na > 1 2n na a+ − =
2
1 1 12 4 3a a a+ = + 1 1a = − 1 3a =
{ }na 3 2 2 1na n= +
2 1na n= +
1
1 1 1 1 1( )(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n
n n
b a a n n n n+
= = = −+ + + +
{ }nb n nT
1 2
1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]2 3 5 5 7 2 1 2 3n nT b b b n n
= + + + = − + − + + −+ +
1 1 1( )2 3 2 3n
= − +
3(2 3)
n
n
= +
2AD CD= 60ADC∠ = °
3AC CD= 2 2 2AD AC CD∴ = +
90ACD BAC∠ ∠∴ = = ° AB AC∴ ⊥
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥
AB ⊂ 1AB AA∴ ⊥， 平面 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2）连结 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
平面 ， ， 平面 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
．
所以四棱锥 的体积为 8∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
19．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）令 ，则 可转化为 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
因为 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
则 ，所以 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
所以 关于 的回归方程为 ；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
（2） 与 的相关系数为：
，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
因为 ，所以用反比例函数模型拟合效果更好，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
把 代入回归方程： ， （元），∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
所以当产量为 10 千件时，每件产品的非原料成本估计为 21 元．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
20．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）由已知椭圆过点 ，可得 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
解得 所以椭圆的 方程为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
1 AAC AA =∩ AB∴ ⊥ 1 1ACC A
1AC
AB ⊥ 1 1ACC A //CD AB CD\ ^ 1 1CC A
∴
1 1 1 1 1 1 1 1C A B CD D CC A C A B CV V V− − −= +
1 1 1 1 11
1 1
3 3A C C A B CCD S CC S= × × + × ×△ △
1 1 1 12 2 3 2 3 2 3 2 2 33 2 3 2
= × × × × + × × × × 8=
1 1 1C A B CD−
1u x
= by a x
= + y a bu= +
360 458y = = 8
2 2
1
8
1
8 183.4 8 0.34 45 61 1001.53 8 0.115 0.6
ˆ
18
i
i i
i
i
u y uy
b
u u
=
=
− − × ×= = = =− ×−
∑
∑
45ˆˆ 100 0.34 11a y bu= − = − × = 11 100ˆy u= +
y x 10011ˆy x
= +
y 1
x
2 8 8
2 2 2 2
1 1
8
1
8
8 8
i i
i i
i i
i
u y uy
r
u u y y
= =
=
−
= − −
∑ ∑
∑ 61 61 0.9961.40.61 6185.5
= = ≈
×
1 2r r<
10x = 10011ˆy x
= + 100 11 2110y = + =
3 3 ,12
2 2
2 2 2
27 1 14
5
3
a b
a b c
c
a
+ =
= +
=
2 29, 4a b= = E
2 2
19 4
x y+ =（2）设 ， 的中点 由 消去 得
，所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
当 时，设过点 且与 垂直的直线方程 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
将 代入得： ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
若 ，则 ，
若 ，则
所以 或 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
当 时，
综上所述，存在点 满足条件,m 取值范围是 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
21．（本小题满分 12 分）
【解析】（1） ，令 得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
故在 上， 的极小值为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
当 时，
故 的最小值为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）要证当 时， ，即证当 时， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
令 ，则 ， 在 上单调递增， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
故 ，即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分
所以
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y AB 0 0( , )C x y 2 2
1
19 4
y kx
x y
= + + =
y
2 2(4 9 ) 18 27 0k x kx+ + − = 1 2
0 0 02 2
9 4, 12 4 9 4 9
x x kx y kxk k
+ −= = = + =+ +
0k ≠ C l 2 2
1 9 4( )4 9 4 9
ky xk k k
= − + ++ +
( ,0)M m
5
4 9
m
kk
= −
+
0k > 4 49 2 9 =12k kk k
+ ≥ ×
0k < 4 4 49 [ ( 9 )] 2 ( 9 )= 12k k kk k k
− −+ = − + − ≤ − × − −
5 012 m− ≤ < 50 12m< ≤
0k = 0m =
M 5 5
12 12m− ≤ ≤
( ) 1 2cosf x x′ = − ( ) 0f x′ = 1cos 2x =
0, 3x
π ∈
( ) 0f x′ < ( )f x
,3x
π π ∈
( ) 0f x′ > ( )f x
( )0,π ( )f x 1 33 3f
π π = + −
x π≥ ( ) 1 2 1 3f x f
ππ π > + − = − >
( )f x 1 33 3f
π π = + −
0x > ( ) 2xf x e−> 0x > ( ) ( ) 21 2sin 1xg x x x e= + − >
( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2sin 1 2cos 3 2 4sin 2cosx x xg x x x e x e x x x e′ = + − + − = + − −
( ) sinh x x x= − ( ) 1 cos 0h x x′ = − ≥ ( )h x ( )0,+∞
( ) ( )0 0h x h> = sinx x>∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
所以 ， 在 上单调递增，
故 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
故当 时， ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
（二）选考题：共 10 分．考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．【解析】（1）曲线 的普通方程为 ，即 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
所以 ，即 ，所以曲线 的极坐标方程为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）将直线 的参数方程代入到 中，得 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
设 两点对应的参数分别为 ，则 ， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
因为点 的极坐标为 ，所以点 的直角坐标为 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
所 以
．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
23．【解析】证明：（1）由条件 得
，当且仅当 时等号成立
，当且仅当 时等号成立
，当且仅当 时等号成立 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分
以上三个不等式相加可得： ，当且仅当 时等号成立∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
得证 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
（2）由条件 得
( )3 2 4sin 2cos 3 2sin 4sin 2cos 3 2 sin cos 3 2 2 sin 04x x x x x x x x x
π + − − > + − − = − + = − + >
( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,+∞
( ) ( )0 1g x g> =
0x > ( ) 2xf x e−>
C 2 2( 3) 9x y+ − = 2 2 6x y y+ =
2 6 sinρ ρ θ= 6sinρ θ= C 6sinρ θ=
l 2 2 6x y y+ = 2 4 3 3 0t t− + =
,A B 1 2,t t 1 2 4 3t t+ = 1 2 3t t =
P ( 3,π) P ( 3,0)−
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 21 2 1 2
| | | | ( | | | |) | | | | 2 | |1 1 1 1
| | | || | | | | | | | | |
t t t t t t t t
t t t tPA PB t t t t
+ + + ++ = + = = =
1 2( 0, 0)t t> >
44 3 2 3 6 3 123 3
+= = =
1abc =
2 2
1 1 12 2ca b ab
+ ≥ = a b=
2 2
1 1 12 2ab c bc
+ ≥ = b c=
2 2
1 1 12 2bc a ca
+ ≥ = c a=
2 2 2
1 1 12 2( )a b ca b c
+ + ≥ + + a b c= =
2 2 2
1 1 1a b c a b c
+ + + +
1abc =，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
由三元基本不等式得 （等号成立当且仅当 ），
从而得证 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
1 1 1 4 31 ( )2 2 2 (2 )(2 )(2 ) (2 )(2 )(2 )
ab bc ca abc ab bc ca
a b c a b c a b c
+ + + − + + −− + + = =+ + + + + + + + +
33 3ab bc ca ab bc ca+ + ⋅ ⋅ = 1a b c= = =
1 1 1 12 2 2a b c
+ ++ + +
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