淮阴区 2020 届高三第二学期期初模拟训练三
数 学
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卡
相应的位置上）
1．设集合 ， 则 的子集个数为_______________.
2．双曲线 x2-2y2=1 的渐近线方程为______．
3．函数 ，若 ，则实数 的值为____________.
4．若等差数列 和等比数列 满足 ， ，则
________．
5．若命题“ ，使得 成立”是假命题，则实数 k 的取值范围是________．
6．函数 的图像必过定点_____________.
7．设 ， 分别为椭圆 的右顶点和右焦点， ， 为椭圆
短轴的两个端点，若点 恰为 的重心，则椭圆 的离心率的值为__________.
8．已知圆柱的底面半径为 1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ．
9．设 的三边 ， ， 所对的角分别为 ， ， ， ，则角
为___________.
10．已知向量 满足 且 与 的夹角的正切为 ， 与 的夹角的正切
为 ， ，则 的值为___________.
11．定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离．已知曲线
C1：y＝x 2＋a 到直线 l：y＝x 的距离等于 C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2 到直线 l：y＝x 的距离，
则实数 a＝______________．
12．已知实数 ， 满足 ， ，则 的最小值为__________.
( 1,3]A = − {2,3,4}B = A B
2( ) cos2f x x x= + (2 ) (1 )f a f a= − a
{ }na { }nb 1 1 1a b= = 4 4 8a b= = 3 3a b+ =
0x R∃ ∈ 2
0 1k x> +
log ( 1) 2ay x= + +
A F
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = ( )0a b> > 1B 2B C
F 1 2AB B∆ C
ABC∆ a b c A B C sin( )
sin sin
a c A C
b c A C
− +=− + A
, ,a b c 0a b c+ + = a b 1
2
− b c
1
3
− | | 2b = a c⋅
a b 0b > | | 1a b+ = 1 2019
2019 | |
a
a b
+ +13．已知数列 满足 ，且对任意的 ，都有 ，若数列 满足
，则数列 的前 项和 的取值范围是_______.
14．已知定义域为 的函数 若关于 的方程
有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解
，则 ____________.
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答
时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且满足 ，
， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
16.如图，在四棱锥 中，已知 ，四边形 是平行四边形，且平面
平面 ，点 ， 分别是 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： .
{ }na 1 3a = *,m n∈N n m
n
m
a aa
+ = { }nb
2
3log ( ) 1n nb a= +
2
1{ }
n nb b +
n nT
R
2log ( 1), 1
( ) 1, 1
2, 1
x x
f x x
x
+ > −
= = −
< −
x
2 ( ) ( ) 0f x bf x c− − =
1 2 3, , [ 1, )x x x ∈ − +∞ ( )1 2 3f x x x b c+ + + + =
ABC∆ A B C a b c sin 3sinB C=
| | 5AB AC− = 5
2AB AC⋅ =
2 2b c+
sin( )A B−
S ABCD− SA SB= ABCD
SAB ⊥ ABCD M N SC AB
/ /MN SAD
SN AC⊥
17．如图，三个校区分别位于扇形 OAB 的三个顶点上，点 Q 是弧 AB 的中点，现欲在线段 OQ
上找一处开挖工作坑 P（不与点 O，Q 重合），为小区铺设三条地下电缆管线 PO，PA，
PB，已知 OA＝2 千米，∠AOB＝휋
3，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为 y 千米。
（1）将 y 表示成 θ 的函数，并写出 θ 的范围；
（2）请确定工作坑 P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小。
18.如图，椭圆 的离心率是 ，左右焦点分别为 ， ，过点
的动直线 与椭圆相交于 ， 两点，当直线 过 时， 的周长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）当 时，求直线 方程；
（3）已知点 ，直线 ， 的斜率分别为 ， .问是否存在实数 ，使得
恒成立？
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = ( 0)a b> > 3
2 1F 2F
10, 2P
l A B l 1F 2F AB∆ 8
C
2PB AP= l
( )0,2Q QA QB 1k 2k λ
1 2 0k kλ+ =19．设函数 ， （ ）.
（1）当 时，若函数 与 的图象在 处有相同的切线，求 的值；
（2）当 时，若对任意 和任意 ，总存在不相等的正实数 ，
使得 ，求 的最小值；
（3）当 时，设函数 与 的图象交于 两
点．求证： .
20．已知数列 的首项 ，其前 和为 ，且满足 .
（1）用 表示 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）当 时，证明：对任意 ，都有 .
( ) lnf x x= ( ) bg x ax cx
= + − , ,a b c∈R
0c = ( )f x ( )g x 1x = ,a b
3b a= − 0 (1, )x ∈ +∞ (0,3)a∈ 1 2,x x
1 2 0( ) ( ) ( )g x g x f x= = c
1a = ( )y f x= ( )y g x= 1 1( , ),A x y 2 2 1 2( , )( )B x y x x<
1 2 2 1 2 1x x x b x x x− < < −
{ }na 1a a= n nS 2
1 3( 1)n nS S n+ + = + ( )*n∈N
a 2a
{ }na
3
2a = *n N∈ 2 2 2 2
2 3 2 1 2
1 1 1 1 1
12n na a a a−
+ + + + (2,1) l (0, 1)P − C ,A B
A y 'A 'A B
C
'A B淮阴区 2020 届高三第二学期期初模拟训练三
数 学
二、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卡相应的位置
上）
1．设集合 ， 则 的子集个数为_______________.
【答案】
2．双曲线 x2-2y2=1 的渐近线方程为______．
【答案】푦 =± 2
2 푥
3．函数 ，若 ，则实数 的值为____________.
【答案】 或
4 ． 若 等 差 数 列 和 等 比 数 列 满 足 ， ， 则
________．
【答案】
5．若命题“ ，使得 成立”是假命题，则实数 k 的取值范围是________．
【答案】
6．函数 的图像必过定点_____________.
【答案】
7．设 ， 分别为椭圆 的右顶点和右焦点， ， 为椭圆
短轴的两个端点，若点 恰为 的重心，则椭圆 的离心率的值为__________.
【答案】
8．已知圆柱的底面半径为 1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为 ．
【答案】6휋.
9．设 的三边 ， ， 所对的角分别为 ， ， ， ，则角
( 1,3]A = − {2,3,4}B = A B
4
2( ) cos2f x x x= + (2 ) (1 )f a f a= − a
1− 1
3
{ }na { }nb 1 1 1a b= = 4 4 8a b= = 3 3a b+ =
29
3
0x R∃ ∈ 2
0 1k x> +
( ,1]−∞
log ( 1) 2ay x= + +
( )0,2
A F
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = ( )0a b> > 1B 2B C
F 1 2AB B∆ C
1
3
ABC∆ a b c A B C sin( )
sin sin
a c A C
b c A C
− +=− + A为___________.
【答案】
10．已知向量 满足 且 与 的夹角的正切为 ， 与 的夹角的正切
为 ， ，则 的值为___________.
【答案】
11．定义：曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离．已知曲线
C1：y＝x 2＋a 到直线 l：y＝x 的距离等于 C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2 到直线 l：y＝x 的距离，则实
数 a＝______________．
【答案】
12．已知实数 ， 满足 ， ，则 的最小值为__________.
【答案】
13．已知数列 满足 ，且对任意的 ，都有 ，若数列 满足
，则数列 的前 项和 的取值范围是_______.
【答案】
14 ． 已 知 定 义 域 为 的 函 数 若 关 于 的 方 程
有 无 数 个 不 同 的 实 数 解 ， 但 只 有 三 个 不 同 的 实 数 解
，则 ____________.
【答案】
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．）
15． 在 中 ， 角 ， ， 的 对 边 分 别 是 ， ， ， 且 满 足 ，
， .
3
π
, ,a b c 0a b c+ + = a b 1
2
− b c
1
3
− | | 2b = a c⋅
4
5
9
4
a b 0b > | | 1a b+ = 1 2019
2019 | |
a
a b
+ +
2021
{ }na 1 3a = *,m n∈N n m
n
m
a aa
+ = { }nb
2
3log ( ) 1n nb a= +
2
1{ }
n nb b +
n nT
1 2[ , )21 15
R
2log ( 1), 1
( ) 1, 1
2, 1
x x
f x x
x
+ > −
= = −
< −
x
2 ( ) ( ) 0f x bf x c− − =
1 2 3, , [ 1, )x x x ∈ − +∞ ( )1 2 3f x x x b c+ + + + =
2log 5
ABC∆ A B C a b c sin 3sinB C=
| | 5AB AC− = 5
2AB AC⋅ =（1）求 的值；
（2）求 的值.
【解析】
（1）因为 ，
所以 ，
又 ，所以 .
（2）因为 ，由正弦定理，得 ，
又 ，所以 ， .
由（1） ， ，
由余弦定理知 .
从而 （也可由正弦定理求 ）
所以
16．如图，在四棱锥 中，已知 ，四边形 是平行四边形，且平面
平面 ，点 ， 分别是 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
2 2b c+
sin( )A B−
5AB AC− =
2 2 2 5b c AB AC+ − ⋅ =
5
2AB AC⋅ = 2 2 10b c+ =
sin 3sinB C= 3b c=
2 2 10b c+ = 3b = 1c =
5
52cos 3 6
AB ACA bc
⋅= = =
2 11sin 1 cos 6A A= − =
2 2 2 5cos 52 6
b c aA abc
+ −= = ⇒ =
2 2 2 3cos 2 2 5
a c bB ac
+ − −= =
2 11sin 1 cos
2 5
B B= − = sin B
2 55sin( ) sin cos cos sin 15A B A B A B
−− = − =
S ABCD− SA SB= ABCD
SAB ⊥ ABCD M N SC AB
/ /MN SAD（2）求证： .
【解析】
（1）取 的中点 ，连 ,
是中点， ，且
底面 是矩形， 为 中点
，且 ，
四边形 是平行四边形
平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2） ， 是 中点
平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面
平面
平面
17．如图，三个校区分别位于扇形 OAB 的三个顶点上，点 Q 是弧 AB 的中点，现欲在线段 OQ
上找一处开挖工作坑 P（不与点 O，Q 重合），为小区铺设三条地下电缆管线 PO，PA，PB，
已知 OA＝2 千米，∠AOB＝휋
3，记∠APQ＝θrad，地下电缆管线的总长度为 y 千米。
（1）将 y 表示成 θ 的函数，并写出 θ 的范围；
（2）请确定工作坑 P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小。
SN AC⊥
SD E EM EA
M / /EM CD∴ 1
2EM CD=
ABCD N AB
/ /AN CD∴ 1
2AN CD= / / ,EM AN EM AN∴ =
∴ EMNA
/ /MN AE∴
MN ⊄ SAD AE ⊂ SAD
/ /MN SAD
SA SB= N AB
SN AB∴ ⊥
SAB ⊥ ABCD
SAB ABCD AB= SN ⊂ SAB
SN∴ ⊥ ABCD
AC ⊂ ABCD
SN AC∴ ⊥【解析】
（1）因为 Q 为弧 AB 的中点，由对称性，知 PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝휋
6，
又∠APO＝휋 ― 휃，∠OAP＝휃 ― 휋
6，
由正弦定理，得： 푃퐴
sin휋
6
= 푂퐴
sin(휋 ― 휃) = 푂푃
sin(휃 ― 휋
6)
，又 OA＝2，
所以，PA＝ 1
sin휃，OP＝
2sin(휃 ― 휋
6)
sin휃 ，
所以，y＝PA+PB+OP＝2PA+OP＝
2 + 2sin(휃 ― 휋
6)
sin휃 ＝ 3sin휃 ― cos휃 + 2
sin휃 ，
∠APQ＞∠AOP，所以，휃 > 휋
6，∠OAQ＝∠OQA＝1
2(휋 ― 휋
6) = 5휋
12，
所以，휃 ∈ (휋
6,7휋
12)；
（2）令푓(휃) =
3sin휃 ― cos휃 + 2
sin휃 ，휃 ∈ (휋
6,7휋
12)
푓′(휃) = 1 ― 2cos휃
sin2휃 = 0，得：휃 = 휋
3，
푓(휃)在휃 ∈ (휋
6,휋
3)上递减，在(휋
3,7휋
12)上递增
所以，当휃 = 휋
3，即 OP＝2 3
3 时，푓(휃)有唯一的极小值，
即是最小值：푓(휃)min＝2 3，
答：当工作坑 P 与 O 的距离为2 3
3 时，地下电缆管线的总长度最小。
18．如图，椭圆 的离心率是 ，左右焦点分别为 ， ，过
点 的动直线 与椭圆相交于 ， 两点，当直线 过 时， 的周长为 .
2 2
2 2: 1x yC a b
+ = ( 0)a b> > 3
2 1F 2F
10, 2P
l A B l 1F 2F AB∆ 8（1）求椭圆 的方程；
（2）当 时，求直线 方程；
（3）已知点 ，直线 ， 的斜率分别为 ， .问是否存在实数 ，使得
恒成立？
【解析】
（1）由椭圆定义知 的周长为 ，
所以 ，所以
又离心率 ，所以 ，所以
所以椭圆 的方程为 .
（2）当 轴，
所以可设 ， ，
则 ，消去 得
C
2PB AP= l
( )0,2Q QA QB 1k 2k λ
1 2 0k kλ+ =
2F AB∆ 4a
4 8a = 2a =
3
2
c
a
= 3c = 1b =
C
2
2 14
x y+ =
l x⊥ 2PB AP≠
1: 2l y kx= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2
2
1
2
14
y kx
x y
= +
+ =
y ( )2 21 4 4 3 0k x kx+ + − =所以
因为 ，
所以 ，即 代入 化简得
所以
解得
所以直线 方程为： ，
（3）当 轴可知 ，此时存在 使得 成立，
下面证明当 时 恒成立
因为
所以 恒成立
即存在 ，使得 恒成立.
19．设函数 ， （ ）.
（1）当 时，若函数 与 的图象在 处有相同的切线，求 的值；
（2）当 时，若对任意 和任意 ，总存在不相等的正实数 ，
使得 ，求 的最小值；
（3）当 时，设函数 与 的图象交于 两
1 2 2
1 2 2
4
1 4
3
1 4
kx x k
x x k
− + = + − = +
(*)
2PB AP=
2 10 2x x− = − 2 12x x= − (*)
1 2
2
1 2
4
1 4
32 1 4
kx k
x k
−− = + −− = +
2
2 2
3 1 4
2 4 1 1 4
k
k k
⋅ = + +
15
10k = ±
l 15 1
10 2y x= ± +
/ /AB x 1 2 0k k+ = 1λ = 1 2 0k kλ+ =
1λ = 1 2 0k kλ+ =
( )1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 32 2 22 2 2 2 2
0 0
kx kx kx x x xy yk k x x x x x x
+ − + − − +− −+ = + = + =− −
( )1 2 1 2 2 2
3 3 3 4 32 2 6 4 02 1 4 2 1 4 2
kkx x x x k k kk k
− − − + = − = − − − = + +
1 2 0k k+ =
1λ = 1 2 0k kλ+ =
( ) lnf x x= ( ) bg x ax cx
= + − , ,a b c∈R
0c = ( )f x ( )g x 1x = ,a b
3b a= − 0 (1, )x ∈ +∞ (0,3)a∈ 1 2,x x
1 2 0( ) ( ) ( )g x g x f x= = c
1a = ( )y f x= ( )y g x= 1 1( , ),A x y 2 2 1 2( , )( )B x y x x ( )0 0f x > 3b a= − ( )0t f x=
3 ( 0)aax c t tx
−+ − = > ( )0,+∞ 1 2,x x
x ( ) ( )2 3 0( 0)ax c t x a t− + + − = > ( )0,+∞ 1 2,x x
( ) ( )2
1 2
1 2
0 3
4 3 0
0
3 0
a
c t a a
c tx x a
ax x a
<
+ + = >
−= >
( ) ( )2
0 3
4 3
0
a
c t a a
c t
< −
+ >
( )2 3c a a t> − − ( ) ( )0, , 0,3t a∈ +∞ ∈
0 3a< < 3
2a =
0t− < ( ),3−∞ 3c
c 3
1a = ( )f x ( )g x ,A B
1 1
1
2 2
2
blnx x cx
blnx x cx
= + −
= + −
2 1
1 2
2 1
ln ln1 x xb x x x x
−= − −
1 2 2 1 2 1x x x b x x x− < < − 2 1
1 2 2 1 2 1 2 1
2 1
ln ln1 x xx x x x x x x xx x
−− < − < − − 即证 ，即证 .
令 ，则 ，此时即证 ．
令 ，所以 ，所以当 时，函数 单调递
增．
又 ，所以 ，即 成立；
再令 ，所以 ，所以当 时，函数 单调递
减，
又 ，所以 ，即 也成立．
综上所述， 实数 满足 .
20．已知数列 的首项 ，其前 和为 ，且满足 .
（1）用 表示 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）当 时，证明：对任意 ，都有 .
【解析】
（1）由条件 得 ， .
（2）由条件 得，
两式相减得 ，
故 ，
两式再相减得 ，
构成以 为首项，公差为 的等差数列；
构成以 为首项，公差为 的等差数列；
2 1
2 2 1 1
ln ln1 1x x
x x x x
−< 11 ln 1t tt
− < < −
( ) 1ln 1t t t
ϕ = + − ( ) 2 2
1 1 1 0tt t t t
ϕ′ −= − = > 1t > ( )tϕ
( )1 0ϕ = ( ) 1ln 1 0t t t
ϕ = + − > 11 lntt
− <
( ) ln 1m t t t= − + ( ) 1 11 0tm t t t
−= − = ( )m t
( )1 0m = ( ) ln 1 0m t t t= − + < ln 1t t< −
1 2,x x 1 2 2 1 2 1x x x b x x x− < < −
{ }na 1a a= n nS 2
1 3( 1)n nS S n+ + = + ( )*n∈N
a 2a
{ }na
3
2a = *n N∈ 2 2 2 2
2 3 2 1 2
1 1 1 1 1
12n na a a a−
+ + + +
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