(第6题)
E
P
D
CB
A
淮阴区 2020 届高三第二学期期初模拟训练五
数 学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位
置上.
1.已知集合 ,则 .
2.若复数 (i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 .
3.双曲线 的离心率为 .
4.在一次满分为 160 分的数学考试中,某班 40 名学生的考试成绩分布如下:
成绩(分) 80 分以下 [80,100) [100,120) [120,140) [140,160]
人数 8 8 12 10 2
在该班随机抽取一名学生,则该生在这次考试中成绩在 120 分以 上的概率
为 .
5.函数 的定义域为 .
6.如图,四棱锥 P-ABCD 中, ⊥底面 ,
底面 是矩形, , , ,
点 E 为棱 CD 上一点,则三棱锥 E-PAB 的体积为 .
7.右图是一个算法流程图,则输出的 的值为 .
8.已知等比数列 的各项均为正数,若 ,
{ } { }1 1 , 0A x x B x x= − < < = > A B =
5
1 2i m+− m =
2
2 12
yx − =
2ln( 2)y x= −
PA ABCD
ABCD 2AB = 3AD = 4PA =
x
{ }na 2
4 2a a=
结束
开始
n←1 ,x←1
x←
푥
푥 + 1
y ← 2y + 1
输出 x
N
(第 7 题)
n > 5
Y
n ← n + 1
,则 .
9.若曲线 与曲线 在
处的两条切线互相垂直,则实数 的值为 .
10.设函数
的最小正周期为 ,且满足 ,则函数
的单调增区间为 .
11.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,
AE 与 BD 交于点 M, , ,且
,则 .
12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:
,点 A 是 轴上的一个动点,AP,
AQ 分别切圆 C 于 P,Q 两点,则线段 PQ 长的取值范围为 .
13.已知直线 与曲线 恰有四个不同的交点,则实数 k 的取值
范围为 .
14.已知实数 满足 ,且 ,则 的最小值为 .
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
15.已知向量 , , .
(1)若 ⊥ ,求 的值;
(2)若 ∥ ,求 的值.
2 4
5
16a a+ = 5a =
3 2
1 : 6 12C y ax x x= − + 2 : exC y = 1x =
a
π( ) sin( ) 3cos( )( 0, )2f x ωx φ ωx φ ω φ= + + + > < π ( ) ( )f x f x− = ( )f x 2AB = 1AD = 1 6MA MB⋅ = − AB AD⋅ = 2 2( 3) 2x y+ − = x 1y kx= + 1 1( )f x x xx x = + − − ,x y 0x y> > 2x y+
2 1
3x y x y
++ −
πsin( ),36α = + a (1,4cos )a=b (0,π)α ∈
a b tanα
a b α
16.如图,四边形 为矩形,四边形 为菱形,且平面 ⊥平面 ,
D,E 分别为边 , 的中点.
(1)求证: ⊥平面 ;
(2)求证:DE∥平面 .
1 1AAC C 1 1CC B B 1 1CC B B 1 1AAC C
1 1A B 1C C
1BC 1AB C
1AB C
C1
B1
A1
(第16题)
E C
B
A
D
17.如图,有一段河流,河的一侧是以 O 为圆心,半径为 米的扇形区域 OCD,河的另
一侧是一段笔直的河岸 l,岸边有一烟囱 AB(不计 B 离河岸的距离),且 OB 的连线恰好与
河岸 l 垂直,设 OB 与圆弧 的交点为 E.经测量,扇形区域和河岸处于同一水平面,在点
C,点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为 , 和 .
(1)求烟囱 AB 的高度;
(2)如果要在 CE 间修一条直路,求 CE 的长.
18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 的离心率为 ,且过
点 ,过椭圆的左顶点 A 作直线 轴,点 M 为直线 上的动点,点 B 为椭圆右
10 3
CD
45° 30° 60°
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( 0)a b> > 2
2
6(1, )2 l x⊥ l
(第 17 题)
l
顶点,直线 BM 交椭圆 C 于 P.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)求证: ;
(3)试问 是否为定值?若是定值,
请求出该定值;若不是定值,请说明理由.
19.已知函数 .
(1)当 时,求 的单调减区间;
(2)若方程 恰好有一个正根和一个负根,求实数 的最大值.
AP OM⊥
OP OM⋅
2( ) e ( 0)xf x x a a= −
1a = ( )f x
( )f x m= m
20 . 已 知 数 列 的 前 n 项 和 为 , 设 数 列 满 足
.
(1)若数列 为等差数列,且 ,求数列 的通项公式;
(2)若 , ,且数列 , 都是以 2 为公比的等比数列,求满足不等
式 的所有正整数 n 的集合.
{ }na nS { }nb
1 12( ) ( )( )n n n n n nb S S S n S S n ∗
+ += − − + ∈N
{ }na 0nb = { }na
1 1a = 2 3a = { }2 1na − { }2na
2 2 1n nb b − 2
2
2 22a c= 2 22a b= 6(1, )2 2 2
1 3 12a b
+ =
2 4a = 2 2b =
2 2
14 2
x y+ =
( 2)y k x= − 1 1( , )P x y
( 2)y k x= −
2 2
14 2
x y+ =
2 2 2 2(2 1) 4 8 4 0k x k x k+ − + − =
2
1 2
4 2
2 1
kx k
−= + 2 2x =
∴ ,从而 .
令 ,得 ,∴ , .
又 = ,
∴ ,
∴ .
(3) = .
∴ 为定值 4.
19.解:(1)当 时,
当 时, ,
由 ,解得 ,
所以 的单调减区间为 ,
当 时, ,
由 ,解得 或 ,
所以 的单调减区间为 ,
综上: 的单调减区间为 , .
(2) 当 时, ,则 ,
令 ,得 或 ,
1 1 2
4( 2) 2 1
ky k x k
−= − = +
2
2 2
4 2 4( , )2 1 2 1
k kP k k
− −
+ +
2x = − 4y k= − ( 2, 4 )M k− − ( 2, 4 )OM k= − −
2
2 2
4 2 4( 2, )2 1 2 1
k kAP k k
− −= ++ +
2
2 2
8 4( , )2 1 2 1
k k
k k
−
+ +
2 2
2 2
16 16 02 1 2 1
k kAP OM k k
−⋅ = + =+ +
AP OM⊥
2
2 2
4 2 4( , ) ( 2, 4 )2 1 2 1
k kOP OM kk k
− −⋅ = ⋅ − −+ +
2 2 2
2 2
8 4 16 8 4 42 1 2 1
k k k
k k
− + + += =+ +
OP OM⋅
1a =
2
2
1,e ( 1),( ) 1,e (1 ),
x
x
xxf x xx
>−= −
1x > 2( ) e ( 2 1)xf x x x′ = + −
( ) 0f x′ 1 2 1+ 2x− − −
( )f x [ 1 2, 1]− − −
1x
2( ) e ( 2 1)xf x x x′ = − + −
( ) 0f x′ 1 2x − − 1+ 2x −
( )f x [ 1+ 2,1]−
( )f x [ 1+ 2,1]− [ 1 2, 1]− − −
0a = 2( ) exf x x= ⋅ 2( ) e 2 e e ( 2)x x xf x x x x x′ = ⋅ + ⋅ = +
( ) 0f x′ = 0x = 2x = −
x 0
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 有极大值 ,极小值 ,
当 时,
同(1)的讨论可得, 在 上增,在 上减,
在 上增,在 上减,在 上增,
且函数 有两个极大值点,
,
,
且当 时, ,
所以若方程 恰好有正根,
则 (否则至少有二个正根).
又方程 恰好有一个负根,则 .
令 ,则 ,
所以 在 时单调减,即 ,
等号当且仅当 时取到.
( , 2)−∞ − 2− ( 2,0)− (0, )+∞
( )f x′
( )f x
( )f x 2
4( 2) ef − = (0) 0f =
0a >
2
2
,e ( ),( )
e ( ), ,
x
x
x ax af x
a x x a
>−= −
( )f x ( , 1 1)a−∞ − + − ( 1 1, )a a− + − −
( , 1 1)a a− + − ( 1 1, )a a+ − ( , )a +∞
( )y f x=
1
1 1 2e ( 1 1)( 1 1) 2e ( 1 1) e
a
a af a a
− +
− + − + +− + − = + + =
1
1 1 2e ( 1 1)( 1 1) 2e ( 1 1) e
a
a af a a
+
+ − + −+ − = + − =
1x a= +
1
1 2 1 2e ( 1 1)( 1) e ( 1) e ( 1 1) e
a
a a af a a a a
+
+ + + −+ = + + > + − >
( )f x m=
( 1 1)m f a> + −
( )f x m= ( 1 1)m f a= − + −
( ) e ( 1), 1xg x x x−= + ( ) e 0xg x x −′ = − < ( ) e ( 1)xg x x−= + 1x 2( ) (1) eg x g = 1x =
所以 ,等号当且仅当 时取到.
且此时 ,
即 ,
所以要使方程 恰好有一个正根和一个负根, 的最大值为 .
20.解:(1)设等差数列 的公差为 ,
所以 , ,
由 ,得 ,及由 ,
又由 ,得
对一切 都成立,
即 对一切 都成立.
令 , ,解之得 或 经检验,符合题意,
所以 的通项公式为 或 .
(2)由题意得 , , ,
.
.
22( 1 1) ( )ef a− + − 0a =
1 1( 1 1) 2e ( 1 1) 0af a a+ −+ − = + − =
( 1 1)f a− + − > ( 1 1)f a + −
( )f x m= m 2
4
e
{ }na d
1 1na a nd+ = + 1
( 1)
2n
n nS na d
−= +
1 12( ) ( )( )n n n n n nb S S S n S S n ∗
+ += − − + ∈N 1 12 (2 )n n n n nb a S n S a+ += − + 0nb =
0nb = [ ]1 1 1 1
( 1)2( ) 2 ( 1) 02
n na nd na d n na n n d a nd
− + + − + − + + =
n ∗∈N
( )2 2 2 2
1 1 1 1 1(3 2 ) 2 0d d n a d d a n a a d a− + − − + − − = n ∗∈N
1n = 2n =
1
0,
0,
d
a
=
= 1
1,
1,
d
a
=
=
{ }na 0na = na n=
1
2 1 2n
na −
− = 1
2 3 2n
na −= × 2 2 1 3(2 1) 4 2 4n n n
nS = − + − = × −
1 1
2 1 2 2 4 2 4 3 2 5 2 4n n n
n n nS S a − −
− = − = × − − × = × −
2 2 1 2 2 2 12 2 (2 )n n n n nb a S n S a+ += − + 2 2 (4 2 4) 2 (8 2 8 2 )n n n nn= × × × − − × − +
1 22 (2 9 4) 16n n n n+ += − − +
2 1 2 2 1 2 1 22 (2 1)(2 )n n n n nb a S n S a− − −= − − +
.
.
记 ,即 ,
记 ,
则
,
当 ,2,3 时, ,
当 时, , ,
因为 时, ,所以 ;且 ; .
所以 在 时也是单调递增,
时, ;
时, ;
时, ;
时, ;
时, ;
1 1 1 16 2 (5 2 4) (2 1)(10 2 8 3 2 )n n n nn− − − −= × × × − − − × − + ×
1 12 (30 2 26 11) 16 8n n n n− −= × − − + −
1 2 1 1
2 2 1 2 (2 9 4) 16 [2 (30 2 26 11) 16 8]n n n n
n nb b n n n n+ + − −
−− = − − + − × − − + −
1 2 15 52 (2 5 ) 8 2 8 2 (5 )2 2
n n n nn n− −= − − + = + − +
2 1 52 8 2) ( )2( 5n n nf n −= + − + 1 5( ) 2 [ 2 (5 )]2 2 8n nf n n= × − + +
1 5( ) 2 (5 )2 2
ng n n= × − +
11 15 1 5( 1) ( ) 2 (5 ) 2 52 2 2 2
n ng n g n n n++ − = × − + − × + +
1 2 52
n= × −
1n = ( 1) ( ) 0g n g n+ − < *n∈N 4n ≥ ( 1) ( )g n g n+ − 1 2 5 02 n= × − >
1n = 13(1) 02g = − < (4) 0g < 1(6) 02g = − < 53(7) 02g = >
1 5( ) 2 [ 2 (5 )]2 2 8n nf n n= × − + + 7( *)n n∈≥ N
1n = (1) 5 0f = − < 2n = (2) 34 0f = − < 3n = (3) 100 0f = − < 4n = (4) 224 0f = − < 5n = (5) 360 0f = −
0 0( , )x y 1x y+ =
1 0
10 3
M
=
( , )x y′ ′
0
0
1 0
10 3
x x
y y
′ = ′
0
0
,
1 ,3
x x
y y
′ = ′ =
0
0
,
3 ,
x x
y y
′=
′=
1x y+ =
1 0
10 3
M
=
3 1x y+ =
1 2 222 3 3
× × =
2 2 2 2 0x y x y+ − − =
(1,1) 2
3 3 0x y− − =
3 1 3 1
2 2d
− −
= =
12 2 74
= − =
OC OD
z
( 1,0,0)A − (1,0,0)C (0, 3,0)B − (0, 3,0)D ( 1,0, 6)P −
所 以 , , ,
.
所以异面直线 PB 与 MD 所成的角为 .
(2)设平面 PCD 的法向量为 ,平面 PAD 的法向量为 ,
因为 , , ,
由 令 ,得 ,
由 令 ,得 ,
所以 ,所以 .
23.解:(1)当 时,取数 , ,因为 ,
当 时,取数 , , ,则 ,
, ,即 , , 可构成三个好数.
(2)证:①由(1)知当 时均存在,
②假设命题当 时,存在 个不同的正整数 ,其中 ,
使得对任意 ,都有 成立,
则当 时,构造 个数 , ,(*)
其中 ,
6(0,0, )2M 6(0, 3, )2MD = − (1, 3, 6)PB = − −
3 3cos , 0
33 1 3 62
MD PAMD PA
MD PA
⋅ − +< >= = =
+ ⋅ + +
90°
1 1 1 1( , , )x y z=n 2 2 2 2( , , )x y z=n
( 1, 3,0)CD = − (1, 3, 6)PD = − (0,0, 6)PA = −
1 1 1
1 1 1 1
3 0,
3 6 0,
CD x y
PD x y z
⋅ = − + =
⋅ = + − =
n
n
1 1y = 1 ( 3,1, 2)=n
2 2
2 2 2 2
6 0,
3 0,
PA z
PD x y z
⋅ = − =
⋅ = + − =
n
n
2 1y = − 2 ( 3, 1,0)= −n
1 2
1 2
1 2
3 1 6cos , 66 2
⋅ −< >= = =
×
n nn n n n 1 2
30sin , 6
< >=n n
2n = 1 1a = 2 2a = 2 1 31 2
+ = − ∈− Z
3n = 1 2a = 2 3a = 3 4a = 1 2
1 2
5a a
a a
+ = − ∈− Z
2 3
2 3
7a a
a a
+ = − ∈− Z 1 3
1 3
3a a
a a
+ = − ∈− Z 1 2a = 2 3a = 3 4a =
2,3n =
( 2, )n k k k Z= ≥ ∈ k 1 2, , , ka a a 1 2 ka a a< <