高三数学讲评 第 1 页 共 14 页（5.14）
苏州市吴江区 2020 届高三下学期五月统考试题
数学参考答案及讲评 2020.5
参考公式：
样本数据 1x ， 2x ，…， nx 的方差 22
1
1 ()
n
i
i
s x xn
，其中
1
1 n
i
i
xxn
．
柱体的体积公式: V = Sh, 其中 S 是柱体的底面积, h 为高．
锥体的体积公式: V = 1
3 Sh, 其中 S 是锥体的底面积, h 为高．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在
答题卡相应位置上．．．．．．．．．
1. 已知集合 A = {4, 2, 3, 4),集合 B = {4, 5},则 A∩B = ▲ ．
2. 复数 z=i(1+4i), (其中 i 为虚数单位的实部为 ▲ ．
3. 函数 f(x)=lnx+ 1-x 的定义域为 ▲ ．
4. 已知某地连续 5 天的最低气温(单位:摄氏度)依次是 1 8 , 2 1 , 22, 2 4 , 2 5 , 那么这组数据的方差
为 ▲ ．
5. 我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题:“今有北乡若干人,西乡七千四百八十八人,南乡六干九
百一十二人,凡三乡,发役三百人,而北乡需遣一百零八人;河北乡人数儿何?” 其意思为: “今有某地北
面若干人, 西面有 7488 人, 南面有 6912 人, 这三面要征调 300 人, 而北面征调 108 人(用分层抽样的
方法), 则北面共有 ▲ 人” ．
6. 已知椭圆 x 2
10-m＋ y 2
m-2＝ 1 的长轴在 y 轴上, 若焦距为 4, 则 m = ▲ ．
7. 如图是一个算法的程序框图, 当输入的值 x 为 8 时, 则其输出的结果是 ▲ ．
8. 已知知角 α 的顶点与坐标原点重合, 始边与 x 轴的正半轴重合, 终边经过点 P (－1, 2) ,则 sin2α = 高三数学讲评 第 2 页 共 14 页（5.14）
▲ ．
9. 已知函数 f(x)＝ loga （ x 2 + a -x） + b , 若 f (3)－f (－3) =－1, 则实数 a 的值是 ▲ ．
10.如图,正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 1, E 为棱 DD1 上的点, F 为 AB 的中点, 则三棱锥 B1-BFE 的
体积为 ▲ ．
填空题 1～10 参考答案：
1.｛4｝ 2. －4 3.（0，1] 4. 6 5. 8100 6. 8
7. 2 8. －4
5 9.7 10. 1
12
11.已知 x，y 为正数, 且 1
2+x＋ 4
y＝ 1, 则 x + y 的最小值为 ▲ ．
12.如图所示, 平行四边形 ABCD 中, AB = 2AD = 2, ∠BAD =60°, E 是 DC 中点, 那么向量AC→与EB→所
成角的余弦值等于 ▲ ．
高三数学讲评 第 3 页 共 14 页（5.14）
13.设 ABC 的三边 a , b , c , 所对的角分别为 A , B , C . 若 b +3a 2 = c 2 , 则 tanA 的最大值 ▲ ．
14.任意实数 a , b , 定义 a ⊕ b =
ab，ab≥0，
a
b， ab＜0，
，设函数 f (x)=lnx⊕x, 正项数列{a n }是公比大于 0 的
等比数列, 且 a 1010=1, f(a 1 )+f(a 2 )+f(a 3 ) +…+f (a 2019)+f(a 2020)=－ e, 则 a 20 20 = ▲ ．
高三数学讲评 第 4 页 共 14 页（5.14）
高三数学讲评 第 5 页 共 14 页（5.14）
二、解答题:本大题共 6 小题, 共计 90 分, 请在答题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
15. (本小题满分 14 分)
△ ABC 中的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 已知 a = 2 , B=－π
3 , AB→•AC→ = 6.
(1) 求边 c 的值;
(2) 求 sin (A －C)的值.
16. (本小题满分 14 分)
在直三棱柱 ABC-A1 B1 C1 中, AB=AC, BB1=BC, 点 P,Q,R 分别是棱 BC,CC1 ,B1 C1 的中点.
(1) 求证: A1R//平面 APQ ;
(2) 求证: 直线 B1C⊥平面 APQ . 高三数学讲评 第 6 页 共 14 页（5.14）
17. (本小题满分 14 分)
如图, 为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”, 现准备在河岸一侧建造一个观景台 P, 已知射
线 AB, AC 为两边夹角为120°的公路(长度均超过 3干米), 在两条公路 AB,AC 上分別设立游客上下
点 M, N, 从观景台 P 到 M, N 建造两条观光线路 PM, PN, 测得 AM = 3干米, AN = 3干米.
(1) 求线段 MN 的长度;
(2) 若∠MPN = 60°, 求两条观光线路 PM 与 PN 之和的最大值.
高三数学讲评 第 7 页 共 14 页（5.14）
18. (本小题满分 16 分)
已知椭圆: x 2
a 2＋ y 2
b 2=1 (a>b>0)的离心率为 2
2 , 点 N(2,0)为椭圆的右顶点.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 过点 H(0, 2)的直线 l 与椭圆交于 A, B 两点, 直线 NA 与直线 NB 的斜率和为一 1
3 ,求直线 l 的方程.
高三数学讲评 第 8 页 共 14 页（5.14）
19. (本小题满分 16 分)
已知函数 f(x)=e x +x2 -x,g(x)=x 2 +ax+b, a,b∈ R.
(1) 当 a=1 时,求函数 F(x)=f(x)－ g(x)的单调区间;
(2) 若曲线 y=f(x)－ g(x)在点 (1, 0) 处的切线为: x+y-1=0, 求 a , b 的值;
(3) 若 f(x)≥g(x)恒成立, 求 a+b 的最大值.
高三数学讲评 第 9 页 共 14 页（5.14）
20. (本小题满分 16 分)
记无穷数列{an}的前 n 项 a 1 , a 2 ,… ,a n 的最大项为 An , 第 n 项之后的各项 a n + 1 , a n + 2 …
的最小项为 Bn , bn = An－Bn .
(1) 若数列{an}的通项公式为 an = 2 n2－7n+6, 写出 b1 , b2 , b3 ;
(2) 若数列{bn}的通项公式为 bn=－2n, 判断{an+1－an}是否为等差数列, 若是,求出公差; 若不是,请说
明理由;
(3) 若数列{bn}为公差大于零的等差数列, 求证: {an+1－an}是等差数列.
高三数学讲评 第 10 页 共 14 页（5.14）
高三数学讲评 第 11 页 共 14 页（5.14）
数学附加题参考答案 2020.5
【选做题】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
[选修 4－2:矩阵与变换]
21.在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x＋ y－ 2=0 在矩阵 A＝
1 a
b 2 对应的变换作用下得到的直线仍
为 x＋y－2=0,求矩阵 A.
[选修 4－4:极坐标与参数方程]
22.在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ = π
3 (ρ∈R).以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直
角坐标系, 曲线 C 的参数方程为
x＝sinα，
y＝1－2cosα，
（α 为参数). 求直线 l 与曲线 C 交点 P 的直角坐标
高三数学讲评 第 12 页 共 14 页（5.14）
[选修 4－5:不等式选讲]
23.已知 x,y,z 均为正数，且 1
x＋1 ＋ 1
y＋1 ＋ 1
z＋1 ≤ 3
2 ，求证: x＋ 4y＋ 9z≥ 0.
【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24. 如图,在三棱锥 D－ABC 中, DA⊥平面 ABC, ∠CAB=90°, 且 AC=AD=1, AB=2, E 为 BD 的中点.
(1) 求异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值；
(2) 求二面角 A－CE－B 的余弦值.
高三数学讲评 第 13 页 共 14 页（5.14）
25. 在自然数列 1,2,3,…,n 中, 任取 k 个元素位置保持不动, 将其余 n－k 个元素变动位置, 得到
不同的新数列. 由此产生的不同新数列的个数记为 Pn(k).
(1) 求 P3(1)；
(2) 求
k＝0
4
P4 (k)；
(3) 证明
k＝0
n
k Pn(k) = k
k＝0
n-1
Pn－1(k), 并求出 k Pn(k)的值.
高三数学讲评 第 14 页 共 14 页（5.14）
微信/支付宝扫码支付