江苏省徐州市2020届高三数学春季联考试题（含答案Word版）

高三数学 第 1 页 共 6 页 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1、本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题～第 14 题、解答题（第 15 题～第 20 题）两部分。 本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2、答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置。 3、 作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置 作答一律无效。如需作图，须用 2B 铅笔绘图、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 徐州市 2020 届高三春季联考 数学Ⅰ 2020.5 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需写出解题过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上． 1. 设全集 U = R ，集合A = {−1, 0,1, 2, 3} ，B = {x | x ≥ 2}，则 A ∩ CU B＝ ▲ ． 2. 复数 i 1－i的虚部是 ▲ ． 3.某校为了解高三同学暑假期间学习情況,抽查了 100 名同学, 统计他们每天平均学习时间,绘 成频率分布直方图(如图) , 则这 100 名同学中学习时间在 6~8 小时内的人数为 ▲ ． 4. 如图是一个算法的流程图，若输入的x 的值为 1，则输出的S 的值为 ▲ ． 5. 某校有A, B 两个学生食堂，若a, b, c 三名学生各自随机选择其 中的一个食堂用餐，则三人 不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ． 6. 已知正四棱锥的底面边长是4 2，侧棱长为 5，则该正四棱锥的体积为 ▲ ．高三数学 第 2 页 共 6 页 7. 若将函数 f(x)＝ sin（ 2x＋ π 3） 的图象沿 x 轴向右平移 ϕ (ϕ＞0) 个单位后所得的图象关于 y 轴对称，则ϕ 的最小值为 ▲ ． 8. 已知{an } 为等差数列，其公差为 2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，Sn 为{an} 前n 项和，则S10 的 值为 ▲ ． 9. 双曲线x2 a2－ y2 b2＝ 1 的一条渐近线与圆 C :（x－1）2＋y2＝ 1 相交于 A, B 两点且∠ACB＝ 90°，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 10. 函数 y = − x2 − 3x + 4ln(x +1) 的定义域为 ▲ ． 11. 已知x, y ∈ R ，且x > 1 ，若 (x −1)( y − 2) = 1 ，则xy + 6x + y + 6 的最小值为 ▲ ． 12. 在∆ABC 中，若∠BAC = 120°, BA＝ 2, BC＝ 3 ， BM→ ＝ 1 3BC→ ＋ 1 2BA→ ， 则MA→ ·MC→ ＝ ▲ ． 13. 已知圆 O：x2 + y2 = 4 ，直线 l 与圆 O 交于 P、Q 两点，A(2，2)，若 AP2＋AQ2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为 ▲ ． 14. 函数 f (x) 满足 f (x) = f (x − 4) ，当 x∈[﹣2，2)时，f(x)＝ Error!，若函数 f (x) 在 [0，2020) 上有 1515 个零点，则实数 a 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题：本大题共 6 小题，15-17 题每题 14 分，18-20 题每题 16 分，共计 90 分．请在答 题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分 14 分） 已知向量 m→ = (cos x , sin x) , n→ = ( 3sin x , sin x) ，函数 f (x) = m→ ⋅ n→ . （1）求函数 f (x) 的最小正周期. （2）若α∈（0，π 2），f ( α 2)＝ 13 10，求sinα的值.高三数学 第 3 页 共 6 页 16. （本小题满分 14 分） 如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中, AC⊥BC, M 是棱 CG 上的一点. （1）求证: BC⊥AM; （2）若 M, N 分别是 CC1, AB 的中点, 求证: CN∥平面 AMB. 17. （本小题满分14分） 如图，某生态农庄内有一直角梯形区域 ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB = 6 百米， CD = 4 百米．该区域内原有道路 AC，现新修一条直道 DP（宽度忽略不计），点 P 在道路 AC 上（异于 A，C 两点）， ， ． 　　（1）用 表示直道 DP 的长度； 　　（2）计划在 区域内修建健身广场，在 区域内种植花草．已知修建健身广 场的成本为每平方百米 4 万元，种植花草的成本为每平方百米 2 万元，新建道路 DP 的成 本为每百米 4 万元，求以上三项费用总和的最小值（单位：万元）． 18. （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: x2 a2＋ y2 b2=1 (a>b>0)过点（0，1），椭圆 C 的离心率 e＝ 2. （1）求椭圆 C 的标准方程; （2）如图,设直线 l 与圆 x2+y 2=r 2(11 恒成立, 求实数 a 的最大值. 20. （本小题满分 16 分） 已知等差数列{an}和等比数列{bn}的各项均为整数, 它们的前 n 项和分别为 S n, Tn, 且 b 1 =2a 1 =2, b 2 S 3 =54, a 2 +T 2 =11 （1）求数列{an},{bn}的通项公式; （2）求 Mn= a1b1+ a 2b2+ a 3b3+…+ a nbn; （3）是否存在正整数 m,使得Sm + Tm + 1 Sm + Tm 恰好是数列{an}或{bn}中的项?若存在,求出所有满足 条件的 m 的值;若不存在,说明理由高三数学 第 5 页 共 6 页 徐州市 2020 届高三春季联考试卷 数学Ⅱ(附加题) 21【选做題】本题包括 A、B、C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答，若 多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修 4－2:矩阵与变换] (本小题满分 10 分) 已知二阶矩阵 M＝[a 1 3　b ] 的特征值λ=－1 所对应的一个特征向量e1→ ＝[1 －3 ]. (1) 求矩阵 M. (2) 设曲线 C 在变换矩阵 M 作用下得到的曲线 C′的方程为 xy＝1,求曲线 C 的方程. B.[选修 4－4:坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与 x 轴的正半轴重合. 若直线 l 的极坐 标方程为 ρ sin(θ－π 4)＝3 2. (1) 把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程 (2) 已知 P 为椭圆 C: x2 3 ＋ y2＝ 1 上一点, 求 P 到直线 l 的距离的最小值. C.[选修 4－5:不等式选讲] (本小题满分 10 分) 已知实数 x , y , z 满足 x + y + z = 2 , 求 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 的最小值. 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题).本卷满分为 40 分,考试时间为 30 分钟, 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的 规定位置 3.请认真核对监考员在答题卡上所枯贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其他位置作答一 律无效 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.高三数学 第 6 页 共 6 页 【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分 10 分) 已知 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 是抛物线 C : x 2 = 2 P y ( P > 0 ) 上不同两点. (1)若抛物线 C 的焦点为 F , D ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点,且 A F + B F = 4 + 2 y 0 , 求抛物线 C 的方 程; (2)若直线 AB 与 x 轴交于点 P, 与 y 轴的正半轴交于点 Q, 且 y 1 y 2 = P2 4 , 是否存在直线 AB, 使 得 1 PA＋ 1 PB＝ 3 PQ? 若存在, 求出直线 AB 的方程; 若不存在,请说明理由 23. (本小题满分 10 分) 已知数集 A = {a 1 , a 2 ,⋅ ⋅ ⋅, a n }, 其中 0≤ a 1 < a 2 1 ，若 (x −1)( y − 2) = 1 ，则xy + 6x + y + 6 的最小值为 ▲ ． 【答案】25 解 : ( x - 1 ) ( y - 2 ) = 1 , 设 Error!则 Error!,ab＝1 ∴x y + 6 x + y + 6 = x ( y + 6 ) + ( y + 6 ) = ( x + I ) ( y + 6 ) = ( a + 2 ) ( b + 8 ) = a b + 8 a + 2 b + 1 6 ≥ a b + 1 6 + 2 1 6 a b = 1 + 1 6 + 2 16= 1 7 + 8 = 2 5 . 12. 在∆ABC 中，若∠BAC =120°, BA＝2, BC＝3，BM→ ＝ 1 3BC→ ＋ 1 2BA→ ， 则MA→ ·MC→ ＝ ▲ ． 13. 已知圆 O：x2 + y2 = 4 ，直线 l 与圆 O 交于 P、Q 两点，A(2，2)，若 AP2＋AQ2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为 ▲ ．高三数学 第 18 页 共 6 页 14. 函数 f (x) 满足 f (x) = f (x − 4) ，当 x∈[﹣2，2)时，f(x)＝ Error!，若函数 f (x) 在 [0，2020) 上有 1515 个零点，则实数 a 的取值范围为 ▲ ．