2020届北京市海淀区高三一模数学试题（解析版）

第 1 页 共 19 页 2020 届北京市海淀区高三一模数学试题 一、单选题 1．在复平面内,复数 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】试题分析： ，对应的点为 ，在第一象限 【考点】复数运算 2．已知集合 ， ，则集合 可以是（ ） A．{1，2} B．{1，3} C．{0，1，2} D．{1，2，3 } 【答案】B 【解析】集合 ， 是数集， , , 集合中一定没有元 素 ，由选项可得. 【详解】 ，则集合 中一定有元素 ，又 , 集合中一定没有元素 可以是 故选：B. 【点睛】 本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 3．已知双曲线 的离心率为 则 b 的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题知 ， 及 联解可得. 【详解】 由题知 ， ， ， (2 )i i− ( )2 1 2i i i− = + ( )1,2 { }| 0 3A x x= < < { } 1A B = B A B { }| 0 3A x x= < < { } 1A B = B 2 { } 1A B = B 1 { }| 0 3A x x= < < B 2 B∴ {1 }3， 2 2 2 1( 0)yx bb − = > 5, 2 1a = 5ce a = = 2 2 2+c a b= 2 1a = 5ce a = = 2 2 2 2 2 2 + 5c a be a a= = =第 2 页 共 19 页 . 故选：B. 【点睛】 本题考查利用双曲线离心率求双曲线方程. 求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在 轴上或 轴 上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 的方程组，解出 ，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意 合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一 种是设双曲线的一般方程为 求解． 4．已知实数 a，b，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由数轴知 ，不妨取 检验选项得解. 【详解】 由数轴知 ，不妨取 ， 对于 A， ， 不成立. 对于 B， ， 不成立. 对于 C， ， 不成立. 对于 D， ，因此成立. 故选：D． 【点睛】 利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不 等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 5．在 的展开式中，常数项为（ ） A． B．120 C． D．160 【答案】C 2b∴ = x y a b c， ， 2 2a b， 2 2 1( 0)mx ny mn+ = < b a c a- < + 2c ab< c c b a > b c a c< 0c b a< < < = 3, 2, 1c b a- = - = - 0c b a< < < = 3, 2, 1c b a- = - = - 2 1 2 1- + >- - ∴ 2( 3) ( 2)( 1)- > - - ∴ 3 2 3 1 − < − − − ∴ ( 3) 1 ( 3)2- ( ) 0f x′ < ( ) ( )ln 1 0xg x e ax x x= + + − > 1a = − ( ) xf x e x= − 0(0) =1f e∴ = ( ) 1xf x e= −′ 0(0) 1=0f e −′ = ∴ ( )y f x= ( )(0 )0f， 1y = ( ) 1>0xf x e −′ = 0x > ( ) 1 ( ) ( )1 0xg x e a xx ′ = + + >第 16 页 共 19 页 当 时， ， ，则 ， 当 时， ， ，则 ， 在 上单增， 又 ， ， 由零点存在性定理得 有唯一零点，即曲线 与 有且只有一个 交点. 【点睛】 判断函数零点个数及分布区间的方法： （1）解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上； （2）定理法：利用零点存在性定理进行判断； （3）数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与 轴在给定区间上是否有交 点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断. 20．已知椭圆 C： 的离心率为 ， 的面积为 2. (I)求椭圆 C 的方程； (II)设 M 是椭圆 C 上一点，且不与顶点重合，若直线 与直线 交于点 P，直线 与直线 交于点 Q.求证:△BPQ 为等腰三角形. 【答案】(I) ；(II)证明见解析 【解析】(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合 的关系，解方程可得 ，从而得到椭圆方程 (II) 设 ，直线 的直线方程为 直线 的直线方程为 ( )0,1x∈ 11, 1xe x > > ( )2,0a∈ − ( ) 1 0xg x e ax ′ = + + > [ )1,x∈ +∞ 12, 0xe e x > > > ( )2,0a∈ − ( ) 1 0xg x e ax ′ = + + > ( )g x∴ ( )0, ∞+ 1 1 21( ) 2 2 0e ag e ee e = + − < − − > ( )g x ( )y f x= 1 lny x= − x 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2 3 , ( ,0), ( ,0), (0, )2 A a A a B b− 1 2A BA∆ 1A B 2A M 1A M 2A B 2 2 14 x y+ = , ,a b c 2, 1a b= = ( ),M m n 2A M ( )22 ny xm = −− 1A B第 17 页 共 19 页 ，联解求出 点坐标，同理求出 坐标， , ，只需证明 ,利用作差法可证明. 【详解】 (I)由题意得 ，解得 ，故椭圆的方程为 . (II)由题意得 ,设点 ，则有 ， 又直线 的直线方程为 ，直线 的直线方程为 ， ，解得 ， 点的坐标为 . 又直线 的直线方程为 ，直线 的直线方程为 . ，解得 ， 点的坐标为 . ， . ， ， ， △BPQ 为等腰三角形. 【点睛】 1 12y x= + P Q 2 2 2 25(1 ) 4p p pBP x y x= + − = 2 2 2 25(1 ) 4Q Q QBQ x y x= + − = 2 2=P Qx x 2 2 2 3 2 1 2 22 c a ab b c a  =   ⋅ =  + =  2, 1, 3a b c= = = 2 2 14 x y+ = ( ) ( ) ( )1 22,0 , 2,0 , 0,1A A B− ( ),M m n 2 24 4m n+ = 2A M ( )22 ny xm = −− 1A B 1 12y x= + ( )22 1 12 ny xm y x  = − −∴  = + 2 4 4 2 2 4 2 2 m nx n m ny n m + − = − +  = − + P∴ 2 4 4 4,2 2 2 2 m n n n m n m + −   − + − +  1A M ( )22 ny xm = ++ 2A B 1 12y x= − + ( )22 1 12 ny xm y x  = + +∴  = − + 2 4 4 2 2 4 2 2 m nx n m ny n m − + = + +  = + + Q∴ 2 4 4 4,2 2 2 2 m n n n m n m − +   + + + +  2 2 2 25(1 ) 4p p pBP x y x∴ = + − = 2 2 2 25(1 ) 4Q Q QBQ x y x∴ = + − = 2 2 2 22 4 4 2 4 4( ) ( )2 2 2 2P Q m n m nx x n m n m + − − +− = −− + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 m n n m m n n m n m n m + − + + − − + − += − + + + ( ) ( ) 2 2 2 2 64 ( 4 4) 0 2 2 2 2 mn m n n m n m + −= = − + + + 2 2=BP BQ∴ BP BQ∴ = ∴第 18 页 共 19 页 圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位 置关系的证明等. 通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来， 然后进行化简计算等进行证明 21．已知数列 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数 ，使得 任意的 成立，则称数列 具有性质 . （1）分别判断下列数列 是否具有性质 ； (直接写出结论) ① ② （2）若数列 满足 ，求证:“数列 具有性质 ”是“数列 为常数列”的充分必要条件； （3）已知数列 中 且 .若数列 具有性质 ，求数 列 的通项公式. 【答案】（1）① 时，数列 具有性质 ；② 时，数列 不具有 性质 .（2）证明见解析（3） . 【解析】（1）代入验证即可得. （2）充分性: 由 及数列 具有性质 可得 ；必要性： 数列 为常数列，所以 可证 . （3）数列 具有性质 ，求出 ，由 ， 对 取值 进行证明排除，得到 ，猜想 ，用反证法证明猜想 成立. 【详解】 （1）① 时，数列 具有性质 . ② 时，数列 不具有性质 . （2） ， ，等号成立，当且仅当 ， { }na *k ∈N 2 1 2n n na a ka− + = *n∈N { }na ( )kΨ { }na (2)Ψ 1na = 2 ,n na = { }na 1 ( 1,2,3, )n na a n+ ≥ =  { }na (2)Ψ { }na { }na 1 1,a = 1 ( 1,2,3, )n na a n+ > =  { }na (4)Ψ { }na 1na = { }na (2)Ψ 2n na = { }na (2)Ψ 2 1na n= − 2 1 2+ 2n n na a a− ≥ { }na (2)Ψ 2 1 2= =2n n na a a− { }na 1na a= 2 1 2 2n n na a a− + = { }na (4)Ψ 2 =3a 3 4 24 =12a a a+ = 3 4a ≥ 3 4,a a 1 2 3 4=1 3 =5 =7a a a a=， ， , 2 1na n= − 1na = { }na (2)Ψ 2n na = { }na (2)Ψ 1 ( 1,2,3, )n na a n+ ≥ =  2 1 2 2+n n na a a−∴ ≥ 2 1 2= =2n n na a a−第 19 页 共 19 页 因为数列 具有性质 ，即 ， 所以数列 为常数列. 必要性：因为数列 为常数列，所以 ， 成立，即数列 具有性质 . （3） 数列 具有性质 ， ， ， . 若 ， 矛盾； 若 则 矛盾. 所以 ， 所以猜想 . 证明如下：假设命题不成立， 设 （ ）， 考虑数列 ，当 时具有性质 ， 此时 ， 即 或 ，矛盾， . 【点睛】 数列与不等式相结合问题的处理方法 (1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法 等． (2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法 等． 总之，解决这类问题，要把数列和不等式的知识巧妙结合起来，综合处理． { }na (2)Ψ 2 1 2 2n n na a a− + = { }na { }na 1na a= 2 1 2 2n n na a a− + = { }na (2)Ψ 1 1,a = { }na (4)Ψ 1 2 21 =34a a a a∴+ = ， 3 4 24 =12a a a+ = 3 4a ≥ 3 4=4 =8a a, 1n na a+ > 5 6 9+10=19a a∴ + ≥ 5 6 3 =164a a a+ = 3 6a ≥ , 4 6a ≤ 1 2 3 4=1 3 =5 =7a a a a=， ， , 2 1na n= − { }2 1 2min | 4 3 4 1i ir i N a i a i+ −= ∈ ≠ − ≠ −或 3r ≥ { }nb 2 4= 4( 2)n n rb a r+ − − − (4)Ψ 1 2 3 4=1 3 =5 =7b b b b=， ， , 2 1=4 3ra r− − 2 =4 1ra r − 2 1na n∴ = −