福州市 2020 届高三文科数学 5 月调研卷
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
第 Ⅰ 卷（选择题,共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1． 复数 ||
2
iz i
，则复数 z 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集为 R ，集合 2, 1,0,1,2A ， 1 02
xBxx
，则 UA C BI 的元素个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知 0.2 0.3
2log 0.2, 2 , 0.2a b c ,则
A． abc B． a c b C．c a b D．b c a
4．某学生 5 次考试的成绩(单位:分)分别为 85，67， m ，80，93，其中
0m ,若该学生在这 5 次考试中成绩的中位数为 80，则得分的平均数
不可能为
A．70 B．75 C．80 D．85
5．如图给出的是计算 1 1 11 3 5 2019 L 的值的一个程序框图，
则图中空白框中应填入
A． 1
23SS i B． 1
21SS i
C． 1
1SSi D． 1
21SS i
6．用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示，
则该几何体体积的最大值为
A．28 B．21 C．20 D．19
7．函数 2
ln xf x x x 的图像大致为
第 5 题
正视图 侧视图
第 6 题 第 12 题
第 14 题
8．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p的焦点为 F ，点 , ( 0)4
pA a a
在 C 上， 3AF ，若直
线 AF 与C 交于另一点 B ，则 AB 的值是
A．12 B．10 C．9 D．45
9．设双曲线
22
22C 1( 0, 0)xy abab ： 的左焦点为 F ，直线 4 3 20 0xy 过点 F 且与双曲
线 C 在第二象限的交点为 ,PO为原点，| | | |OP OF ，则双曲线C 的离心率为
A．5 B． 5 C． 5
3 D． 5
4
10．已知 fx 是函数 fx的导函数，且对任意的实数 x 都有 21xf x e x f x ，
02f ，则不等式 4 xf x e 的解集为
A． 2,3 B． 3,2 C． , 3 2, U D． , 2 3, U
11．已知在锐角 ABC 中，角 ,,A B C 的对边分别为 ,,abc，若 2 cos cosb C c B ，则
1 1 1
tan tan tanA B C的最小值为
A． 27
3
B． 5 C． 7
3
D． 25
12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线 22C : x y 1 x y 就是其中之一(如图)，
给出下列三个结论：
①曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ;
③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3；
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
第 II 卷（非选择题,共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为 0.3，响第三声时被接的概率为 0.4 ，响第四声时被接的概率为 0.1，那么
电话在响前 4 声内被接的概率是 ．
14．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦 AB 的长为 2，则 AB AC
uuur uuur =_____________．
15．我们听到的美妙弦乐，不是一个音在响，而是许多个纯音的合成，称为复合音．复合音
的响度是各个纯音响度之和．琴弦在全段振动，产生频率为 f 的纯音的同时，其二分之一
部分也在振动，振幅为全段的 1
2
，频率为全段的 2 倍；其三分之一部分也在振动，振幅为
全段的 1
3
，频率为全段的 3 倍；其四分之一部分也在振动，振幅为全段的 1
4
，频率为全段的
4 倍；之后部分均忽略不计．已知全段纯音响度的数学模型是函数 1 sinyt （t 为时间， 1y 为
响度），则复合音响度数学模型的最小正周期是 ．
16．已知三棱锥 A BCD 的棱长均为 6，其内有 n 个小球，球 1O 与三棱锥 A BCD 的四个面
都相切，球 2O 与三棱锥 A BCD 的三个面和球 1O 都相切，如此类推，…，球 nO 与三棱锥
A BCD 的三个面和球 1nO 都相切（ 2n … ，且 n N ），则球 1O 的体积等于__________，
球 nO 的表面积等于__________．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求
作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
nS 为数列{}na 的前 n 项和，已知 0na ， 2 2 4 3n n na a S .
（1）求数列{}na 的通项公式；
（2）设
1
1
n
nn
b aa
，求数列{}nb 的前 n 项和．
18．（本小题满分 12 分）
如图所示的几何体中， 1 1 1ABC A B C 为三棱柱，且 1AA
平面 ABC， 1AA AC ，四边形 ABCD 为平行四边形，
2AD CD ， 60ADC ．
（1）求证： AB 平面 11ACC A ；
（2）若 2CD ，求四棱锥 1 1 1C A B CD 的体积．
19．（本小题满分 12 分）
某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原
料成本 y （元）与生产该产品的数量 x （千件）有关，经统计得到如下
数据：
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24
根据以上数据，绘制了散点图．观察散点图，两个变量不具有线性
相关关系，现考虑用反比例函数模型 byax和指数函数模型 dxy ce 分
别对两个变量的关系进行拟合，
已求得：用指数函数模型拟合的回归方程为 $ 0.296.54 xye ，ln y 与
的相关系数 1 0.94r ；
8
1
=183.4ii
i
uy
, =0.34u , 2 =0.115u ,
8
2
1
=1.53i
i
u
,
8
1
360i
i
y
,
8
2
1
22385.5i
i
y
, （其中 1 , 1,2,3, ,8i
i
uix L ）；
（1）用反比例函数模型求 关于 的回归方程；
（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0．01），并用其估计
产量为 10 千件时每件产品的非原料成本．
参考数据： 0.61 6185.5 61.4, 2 0.135e
参考公式：对于一组数据 11,u ， 22,u ，…， ,nnu ，其回归直线 ˆ u
)) 的斜
率和截距的最小二乘估计分别为： µ 1
22
1
n
ii
i
n
i
i
u nu
u nu
， µ µu ，相关系数
1
2222
11
n
ii
i
nn
ii
ii
u nu
r
u nu n
．
20．（本小题满分 12 分） 椭圆
22
22: 1 ( 0)xyE a bab 的离心率是 5
3
，过点 (0,1)P 做斜率为 k 的直线 l ，椭圆 E
与直线 l 交于 ,AB两点，当直线 l 垂直于 y 轴时| | 3 3AB ，
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）当 k 变化时，在 x 轴上是否存在点 ( ,0)Mm ，使得 AMB 是以 AB 为底的等腰三角形，
若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 1 2sin , 0f x x x x ，
（1）求 fx的最小值；
（2）证明： 2xf x e ．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为
13,2
3
2
xt
yt
（ t 为参数），曲线 C 的参数
方程为 3cos ,
3 3sin
x
y
（ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）已知点 P 的极坐标为 ( 3,π) ，l 与曲线C 交于 ,AB两点，求 11
| | | |PA PB
．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知 ,,abc为正数，且满足 1abc ，证明：
（1） 2 2 2
1 1 1abc abc „ ；
（2） 1 1 1 12 2 2abc „ ．
福州市 2020 届高三文科数学 5 月调研卷参考答案
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．
1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．D 7．A 8．C 9．A
10．B 11．A 12．C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．0.9 14．2 15． 2 16． 6 ， 1
6
4n
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：共 60 分．
17．（本小题满分 12 分）
【 解 析 】（ 1 ）由 2 2 4 3n n na a S ， 可 知 2
1 1 12 4 3n n na a S ， 可 得
22
1 1 12 2 4n n n n na a a a a ，即
22
1 1 1 12( ) ( )( )n n n n n n n na a a a a a a a ， ·························································································· 3 分
由于 0na ，可得 1 2nnaa ． ··············································································································· 4 分
又 2
1 1 12 4 3a a a ，解得 1 1a （舍去），或 1 3a ， ·········································································· 5 分
所以数列{}na 是首项为3，公差为 2 的等差数列，可得 21nan． ····················································· 6 分
（2）由 可知
1
1 1 1 1 1()(2 1)(2 3) 2 2 1 2 3n
nn
b a a n n n n
， ····································· 8 分
数列{}nb 的前 n 项和为 nT ，则
12
1 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]2 3 5 5 7 2 1 2 3nnT b b b nn LL ····························································· 10 分
1 1 1()2 3 2 3n ····································································································································· 11 分
3(2 3)
n
n
． ········································································································································ 12 分
18．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）证明:Q 四边形 ABCD 为平行四边形， 2AD CD ， 60ADC ，由余弦定理可得： 3AC CD ， 2 2 2AD AC CD ································································································ 2 分
90ACD BAC ， AB AC ， ································································································· 3 分
Q 1 1 1ABC A B C 为三棱柱，且 1AA 平面 ABC， ···················································································· 4 分
AB Q 平面 ABC 1AB AA ·················································································································· 5 分
1 AAC AA Q ， AB平面 11ACC A ． ································································································ 6 分
（2）连结 1AC， ································································································································ 7 分
AB Q 平面 11ACC A ， //CD AB， CD\^平面 11CC A ， ······································································· 9 分
1 1 1 1 1 1 1 1C A B CD D CC A C A B CV V V
1 1 1 1 11
11
33A C C A B CCD S CC S △ △ ························································· 10 分
1 1 1 12 2 3 2 3 2 3 2 2 33 2 3 2 8 ．
所以四棱锥 1 1 1C A B CD 的体积为 8 ········································································································ 12 分
19．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）令 1u x ，则 byax可转化为 y a bu ，································································ 1 分
因为 360 458y ，所以 8
22
1
8
1
8 183.4 8 0.34 45 61 1001.53 8 0.115 0.6
ˆ
18
i
ii
i
i
u y uy
b
uu
， ························· 4 分
则 45ˆˆ 100 0.34 11a y bu ，所以 11 100ˆyu ， ································································ 5 分
所以 y 关于 x 的回归方程为 10011ˆy x ； ···························································································· 6 分
（2） 与 1
x
的相关系数为：
2 88
2 2 2 2
11
8
1
8
88
ii
ii
ii
i
u y uy
r
uu y y
61 61 0.9961.40.61 6185.5
，············································· 9 分
因为 12rr ，所以用反比例函数模型拟合效果更好， ········································································ 10 分
把 10x 代入回归方程： ， 100 11 2110y ) （元）， ················································· 11 分
所以当产量为 10 千件时，每件产品的非原料成本估计为 21 元． ······················································· 12 分
20．（本小题满分 12 分） 【解析】（1）由已知椭圆过点 33,12
，可得
22
2 2 2
27 1 14
5
3
ab
a b c
c
a
， ······························································ 3 分
解得 229, 4ab所以椭圆的 E 方程为
22
194
xy． ·············································································· 5 分
（2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， AB 的中点 00( , )C x y 由 22
1
194
y kx
xy
消去 y 得
22(4 9 ) 18 27 0k x kx ，所以 12
0 0 022
94, 12 4 9 4 9
xx kx y kxkk
． ··································· 7 分
当 0k 时，设过点C 且与 l 垂直的直线方程 22
1 9 4()4 9 4 9
kyxk k k ··········································· 8 分
将 ( ,0)Mm 代入得：
5
4 9
m
kk
············································································································· 9 分
若 0k ，则 449 2 9 =12kkkk ，
若 0k ，则 4 4 49 [ ( 9 )] 2 ( 9 )= 12k k kk k k
所以 5 012 m 或 50 12m ················································································································· 11 分
当 0k 时， 0m
综上所述，存在点 M 满足条件,m 取值范围是 55
12 12m ································································ 12 分
21．（本小题满分 12 分）
【解析】（1） 1 2cosf x x ，令 0fx 得 1cos 2x ······································································ 1 分
当 0, 3x
时， 0fx ， fx单调递减，
当 ,3x
时， 0fx ， fx单调递增， ······················································································ 3 分
故在 0, 上， fx的极小值为 1333f
··············································································· 4 分
当 x 时， 1 2 1 3f x f
故 的最小值为 ···································································································· 5 分 （2）要证当 0x 时， 2xf x e ，即证当 0x 时， 21 2sin 1xg x x x e ······························· 6 分
2 2 22 1 2sin 1 2cos 3 2 4sin 2cosx x xg x x x e x e x x x e ················································ 7 分
令 sinh x x x ，则 1 cos 0h x x ， hx在 0, 上单调递增， ············································· 8 分
故 00h x h，即 sinxx ················································································································· 9 分
所以
3 2 4sin 2cos 3 2sin 4sin 2cos 3 2 sin cos 3 2 2 sin 04x x x x x x x x x
·································································································································································· 10 分
所以 0gx ， gx在 上单调递增，
故 01g x g， ································································································································· 11 分
故当 时， ． ··················································································································· 12 分
（二）选考题：共 10 分．考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．【解析】（1）曲线C 的普通方程为 22( 3) 9xy ，即 226x y y， ··········································· 3 分
所以 2 6 sin ，即 6sin ，所以曲线C 的极坐标方程为 ． ········································ 5 分
（2）将直线l 的参数方程代入到 中，得 2 4 3 3 0tt ． ················································· 6 分
设 ,AB两点对应的参数分别为 12,tt，则 1243tt ， 12 3tt ， ···························································· 7 分
因为点 P 的极坐标为 ( 3,π) ，所以点 的直角坐标为( 3,0) ， ························································· 8 分
所以
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 21 2 1 2
| | | | ( | | | |) | | | | 2 | |1 1 1 1
| | | || | | | | | | | | |
t t t t t t t t
t t t tPA PB t t t t
12( 0, 0)tt
44 3 2 3 6 3 1233
． ···································································· 10 分
23．【解析】证明：（1）由条件 1abc 得
22
1 1 122ca b ab ，当且仅当 ab 时等号成立
22
1 1 122ab c bc ，当且仅当bc 时等号成立 22
1 1 122bc a ca ，当且仅当ca 时等号成立 ············································································· 3 分
以上三个不等式相加可得： 2 2 2
1 1 12 2( )abcabc
，当且仅当 abc时等号成立 ················ 4 分
得证 2 2 2
1 1 1abc abc „ ． ·················································································································· 5 分
（2）由条件 1abc 得
1 1 1 4 31 ( )2 2 2 (2 )(2 )(2 ) (2 )(2 )(2 )
ab bc ca abc ab bc ca
a b c a b c a b c
， ········································· 8 分
由三元基本不等式得 333ab bc ca ab bc ca … （等号成立当且仅当 1abc ），
从而得证 1 1 1 12 2 2abc „ ． ································································································· 10 分
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