2020届甘肃省兰州市高三诊断考试数学（理）试题（解析版）

第 1 页 共 23 页 2020 届甘肃省兰州市高三诊断考试数学（理）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据交集定义求解． 【详解】 因为集合 ， ， 所以 ， 故选：B． 【点睛】 本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2．已知复数 ，则 （ ） A．5 B． C．13 D． 【答案】B 【解析】首先进行除法运算化简 ，再求模即可. 【详解】 因为 ，所以 . 故选：B 【点睛】 本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基础题. 3．已知非零向量 ， 给定 ，使得 ， ，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】分析各个命题中向量 ， 的关系，然后根据充分必要条件的定义确定． { }0,1,2,3,4,5A = { }*2 ,B x x n n N= = ∈ A B = { }0,2,4 { }2,4 { }1,3,5 { }1,2,3,4,5 { }0,1,2,3,4,5A = { }*2 ,B x x n n N= = ∈ {2,4}A B∩ = 5i 22 iz = +− z = 5 13 z 5i 5 (2 )2 2 1 2i2 i 5 i iz += + = + = +− 5z = a b :p Rλ∃ ∈ λa b=  :q a b a b+ = +    p q a b第 2 页 共 23 页 【详解】 ，使得 ，则 ， 共线， 等价于 ， 同向， 因此 是 的必要不充分条件． 故选：B． 【点睛】 本题考查充分必要条件的的判断，考查向量的共线定理及向量模的性质．判断充分必要 条件时可以对两个命题分别进行化简，得出其等价的结论、范围，然后再根据充分必要 条件的定义判断即可． 4．若 ，则 （ ） A．4 B．3 C．-4 D．-3 【答案】C 【解析】对等式两边分别化简，然后可求值． 【详解】 ， ， ∴ ， ． 故选：C． 【点睛】 本题考查诱导公式和二倍角公式，掌握二倍角公式是解题关键． 5．已知双曲线 的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率 是（ ） A． B． C． D． 【答案】A :p Rλ∃ ∈ λa b=  a b :q a b a b+ = +    a b p q 21 tan5 7 22sin cos12 12 tan 2 α π π α − = tanα = 5 7 12sin cos 2sin( )cos( ) 2cos sin sin12 12 2 12 2 12 12 12 6 2 π π π π π π π π π= − + = − = − = − 2 2 1 tan 2 22 tantan 2tan2 2 1 tan 2 α α α α α − = = − 2 1 tan 2α = − tan 4α = − ( )2 2 2 2 1 0 0x y a ba b − = ＞ ， ＞ 5 2 3 5 2 3第 3 页 共 23 页 【解析】由点（2，﹣1）在双曲线的渐近线 y x 上，得到 a＝2b，再根据 e 求解. 【详解】 因为（2，﹣1）在双曲线的渐近线 y x 上， 所以 a＝2b，即 a2＝4b2， 所以 e ， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．已知集合 ，从 中任选两个角，其正弦值相等的概率 是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据诱导公式确定正弦值相等的角有几对，然后可计算出概率． 【详解】 ， ， ， ，因此 这一对正弦值相等， 这三个中任取 2 个共有三对，它们正弦值相 等， 共有 4 对正弦值相等，而从 5 个角中任取 2 个有 10 种取法， ∴概率为 ． 故选：B． 【点睛】 本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，可用列举法写出基本事件． 7．已知函数 ，且 ， ， ，则 、 、 的大小关系为（ ） b a = − 2 2 2 2 2 c a b a a += = b a = − 2 2 2 2 2 5 2 c a b a a += = = 4 6 9 11, , , ,5 5 5 5 5A π π π π π =    A 1 10 2 5 3 5 3 10 4 5 5 π ππ= − 6 5 5 π ππ= + 9 25 5 π ππ= − 11 25 5 π ππ= + 6 9,5 5 π π 4 11, ,5 5 5 π π π 4 2 10 5P = = 2( ) ln( 1)f x x= + ( )0.20.2a f= ( )3log 4b f= 1 3 log 3c f  =     a b c第 4 页 共 23 页 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先确定函数的奇偶性与单调性，然后结合中间值0 和 1 比较幂和对数的的大小， 最后可得结论． 【详解】 由题意知 是偶函数，由复合函数单调性知在 上，函数单调递增， ， ， ， ， 又 ，∴ ． 故选：D 【点睛】 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查幂与对数的比较大小，实质考查了指数函数与对 数函数的性质，属于中档题． 8．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散 点图，如图所示： 年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7 根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五 组数据得到的两变量间的相关系数为 ，去掉第一年数据后得到的相关系数为 ，则 ；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指 数；以上判断中正确的个数是（ ） a b c> > c a b< < c b a> > b c a> > ( )f x [0, )+∞ 0.20 0.2 1< < 3log 4 1> 1 3 log 3 1= − 1 3 (log 3) ( 1) (1)c f f f= = − = 0.2 30 0.2 1 log 4< < < a c b< < 1r 2r 1 2r rω ( )f x 1y = ( )0,π ω 1 3,2 4      1 5,2 4      5 3,4 2      5 5,4 2      2sin 2 4 2x πω − =   ( )0,π ω第 7 页 共 23 页 的范围. 【详解】 ， 的图象与直线 在 上有 3 个不同交点， 即方程 在 上有 3 个实根， 由 得 ，所以 ，解得 . 故选：C 【点睛】 本题考查二倍角公式，逆用两角和与差的公式进行化简，正弦函数的图象与性质，属于 中档题. 11．已知点 ，抛物线 ， 为抛物线的焦点， 为抛物线的准线， 为抛物线上一点，过 做 ，点 为垂足，过 作抛物线的切线 ， 交 轴于 点 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】求出焦点坐标 ，设 ，由导数知识得出切线斜率，计算 斜率，结合抛物线定义得 为 的垂直平分线．这样 ，问题可转化为求 抛物线上点到焦点和抛物线外一定点距离和的最小值． 【详解】 由已知 ，设 ， ， ，则过 的切线斜率为 ， 点坐标为 ， ， ，根据抛物线定义有 ， 为 的垂直平分线． ， ( ) ( ) 1 cos2 1 2 1sin sin cos sin 2 sin 22 2 2 4 2 xf x x x x x x ω πω ω ω ω ω−  = + = + = − +   ( )f x 1y = ( )0,π 2sin 2 4 2x πω − =   ( )0,π ( )0,x π∈ 2 ,24 4 4x π π πω ωπ − ∈ − −   9 1124 4 4 π π πωπ< − ≤ 5 3 4 2 ω< ≤ ( )4, 2M − − 2 4x y= F l P P PQ l⊥ Q P 1l 1l x R QR MR+ 1 2 5+ 2 5 17 (0,1)F 2 0 0 , 4 xP x      QF 1l FQ RF RQ= (0,1)F 2 0 0 , 4 xP x      2 4 xy = 2 xy′ = P 0 2 xk = Q ( )0 , 1x − 0 2 FQk x = − 1FQk k× = − PF PQ= 1l FQ RF RQ=第 8 页 共 23 页 ∴ ，当且仅当 共 线时等号成立． 故选：D． 【点睛】 本题考查抛物线的定义，考查抛物线的切线，抛物线上的点到焦点与定点距离和的最小 值问题．解题关键是得出切线 是线段 的垂直平分线，从而进行问题的转化． 12．对于定义域为 的函数 ，如果存在区间 满足 是 上的单调函数，且 在区间 上的值域也为 ，则称函数 为区 间 上的“保值函数”， 为“保值区间”．根据此定义给出下列命题：①函数 是 上的“保值函数”；②若函数 是 上的“保值 函数”，则 ；③对于函数 存在区间 ，且 ，使函 数 为 上的“保值函数”．其中所有真命题的序号为（ ） A．② B．③ C．①③ D．②③ 【答案】D 【解析】①根据函数单调性定义和“保值函数”的概念判断即可，②结合函数 的图 象可得结论，③由导数确定函数在 是单调递增的，而方程 有两个解 （ ），构造新函数 ，由零点存在定理确定 的零点 即可． 【详解】 由“保值函数”定义可知 为区间 上的“保值函数”则 在 上是单调函 数且在区间 时其值域也为 ，那么当函数 为增函数时满足条件 在 上有两个不同的实数解 ， 的函数 就是“保值函数”， 命题①中 ，虽满足在 上单调但值域为 ，不是 ，故① 为假命题； ②中由 的图象可知，函数在 上单调且值域为 ，其为区间 2 2( 4 0) ( 2 1) 5QR MR FR MR FM+ = + ≥ = − − + − − = , ,F R M 1l PQ D ( )y f x= [ ] ( ),a b D a b⊆ < ( )f x [ ],a b ( )f x [ ],a b [ ],a b ( )f x [ ],a b [ ],a b ( ) 2 2f x x x= − [ ]0,1 ( ) 2 1xg x = − [ ],a b 1a b+ = ( ) 2exh x x= [ ]0,m 1 ,12m  ∈   ( )h x [ ]0,m ( )g x [0, )+∞ 2 xx e x= 1 20,x x= 2 2 1 xex = 1( ) xk x ex = − ( )k x 2 1( ,1)2x ∈ ( )f x [ ],a b ( )f x [ ],a b [ ],a b [ ],a b ( )f x ( )x f x= [ ],a b a b ( )f x ( ) 2 2f x x x= − [ ]0,1 [ ]1,0− [ ]0,1 ( ) 2 1xg x = − [ ]0,1 [ ]0,1 [ ]0,1第 9 页 共 23 页 上的“保值函数”故②为真命题； ③中 ，则由 在 成立，所以 为 上 的增函数，再由 解得有两个根 ， ，构造函数 ， 是减函数， ， ，由零点存在性定理知存在 ， 使 成立，故③为真命题．综上所有真命题的序号为②③， 故选：D． 【点睛】 本题考查函数新定义“保值函数”，围绕 在 上单调，且在区间 上，其值 域也是 是解题关键，考查转化与化归思想，属于难题． 二、填空题 13．已知函数 ，则 _____. 【答案】4 【解析】根据分段函数 的定义域，先求 ，再求 的值. 【详解】 ∵函数 ，且 ， ( ) 2 xh x x e= ( ) ( )2 2 0xh x e x x′ = + ≥ [ ]0,m ( )h x [ ]0,m 2 xx e x= 1 0x = 2 2 1 xex = ( ) 1 xk x ex = − ( )k x 1 02k   >   ( )1 0k < 2 1 ,12x m  = ∈   2 xx e x= ( )f x [ , ]a b [ , ]a b [ , ]a b ( ) 2 1 2 1 1 x xf x x x  3 3第 19 页 共 23 页 转化为 alna﹣lna﹣a+2＞0，a∈（0，3）成立，构造函数 g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，利用 导数法求其最小值即可. 【详解】 （1）因为 a 时， ， 所以 f′（x）＝2 x，f′（1）＝﹣1，f（1）＝2 ， 所以曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2 （x﹣1）， 即 x+y﹣2 1＝0. （2）由题意可知 f（x）的定义域为（0，+∞）， 因为 f′（x）＝2 ，由﹣x2+2 x﹣a＝0 可得：△＝12﹣4a＞ 0，即 a＜3 时，有 x1 ，x2 ，x1＞x2， 当 a∈（0，3）时，满足 x1＞x2＞0， 所以有 x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0， 即 f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数. 又 x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即 f（x）在区间（x2，x1）上为增函数. 当 a＜0 时，有 x1＞0，x2＜0，则 x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈ （x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数； 当 a≥3 时，△≤0，f′（x）≤0 恒成立，所以 f（x）在（0，+∞）为减函数， 综上所述，当 a＜0 时，在（0，3 ），f（x）为增函数；在（3 ，+∞）， f（x）为减函数； 当 0＜a＜3 时，f（x）在区间（0，3 ）和（3 ，+∞）上为减函数，在 （3 ，3 ），f（x）为增函数； 当 a≥3 时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数. （3）因为 y＝f（x）有两个极值点 x1，x2， 则 f′（x） 0 有两个正根 x1，x2，即﹣x2+2 x﹣a＝0 有两个正根 x1， x2，可得：△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2 ，x1•x2＝a＞0， 即 a∈（0，3），所以 f（x1）+f（x2）＝2 （x1+x2）﹣aln（x1x2） （ ）+1 2 3= ( ) 21 12 3 2 3 2 2f x x lnx x= − − + 2 33 x − − 3 3 = − 3 − 2 2 33 a x axx x − + −− − = 3 3 3 a= + − 3 3 a= − − 3 a+ − 3 a+ − 3 a− − 3 a+ − 3 a− − 3 a+ − 2 2 3x a x − + −= = 3 3 3 1 2 − 2 2 1 2x x+第 20 页 共 23 页 ＝﹣alna+a+7， 若要 f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要 alna﹣lna﹣a+2＞0， 构造函数 g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则 g′（x）＝1+lnx 1＝lnx ，且在（0，3） 上为增函数， 又 g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln2 0， 所以存在 x0∈（1，2），使得 g（x0）＝0， 即 lnx0 ，且 x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′ （x）＞0，g（x）单调递增， 所以 g（x）在（1，2）上有最小值 g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0 ）， 又因为 x0∈（1，2），则 x0 ∈（2， ）， 所以 g（x0）＞0 在 x0∈（1，2）上恒成立，即 f（x1）+f（x2）＜9﹣lna 成立. 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，导数与不等式证明等，还考查了 转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题. 22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ，曲线 C2 的直角坐标方程为 . （1）若直线 l 与曲线 C1 交于 M、N 两点，求线段 MN 的长度； （2）若直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 在曲线 C2 上，求 的取 值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）将直线 l 的参数方程消去参数，得到直角坐标方程，将圆 C1 的极坐标方 程，转化为直角坐标方程，然后利用“r，d”法求弦长. 1 x − − 1 x − 1 2 − ＞ 0 1 x = 0 1 x + 0 1 x + 5 2 21 2 22 2 x t y t  = − −  = + 2 2 4cos πρ α = +   24y x= − AB AP⋅  6 1 2 1AB AP  ⋅ ∈ − +    ，2第 21 页 共 23 页 （2）将曲线 C2 的直角坐标方程转换为参数方程为 （0≤θ≤π），由 A（1， 0），B（0，1），P（2cosθ，2sinθ），得到 ， 的坐标，再利用数量积公式得到 ，然后用正弦函数的性质求解. 【详解】 （1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数， 得直角坐标方程为 x+y﹣1＝0， 因为曲线 C1 的极坐标方程为 ， 所以 所以直角坐标方程为 x2+y2﹣2x+2y＝0， 标准式方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝2， 所以圆心（1，﹣1）到直线 x+y﹣1＝0 的距离 d ， 所以弦长|MN|＝2 . （2）因为曲线 C2 的直角坐标方程为 . 所以 x2+y2＝4 ，转换为参数方程为 （0≤θ≤π）. 因为 A（1，0），B（0，1），点 P 在曲线 C2 上，故 P（2cosθ，2sinθ）， 所以 ， ，（0≤θ≤π）， 所以 ， 因为 所以 ， 2 2 x cos y sin θ θ =  = AB AP AB AP⋅  2 2 14sin πθ = − +   21 2 22 2 x t y t  = − −  = + 2 2 4cos πρ α = +   2 2 2 sincosρ ρ α ρ α= − 1 2 22 = = 2 22( 2) ( ) 62 − = 24y x= − 0y≥ 2 2 x cos y sin θ θ =  = ( )11AB = − ， ( )2 1 2AP cos sinθ θ= − ， AB AP⋅ =  1 2 2cos sinθ θ= − + 2 2 14sin πθ = − +   30 , 4 4 4 π π πθ π θ≤ ≤ − ≤ − ≤ 2 12 4sin πθ − ≤ − ≤  第 22 页 共 23 页 所以 . 【点睛】 本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系以及 三角函数与平面向量，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 23．已知函数 f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a. （1）求不等式 f（x）＞4 的解集； （2）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）≥g（x2）成立，求 a 的取值范围. 【答案】（1） （2）[﹣4，0] 【解析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值 ，再分类 解不等式 f（x）＞4. （2）根据对∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）≥g（x2）成立，则 f（x）min≥g（x）min，由 （1）知， f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a， 解不等式 2≥|2a+2|+a 即可. 【详解】 （1）因为 ， 所以 f（x）＞4 即为 或 或 ， 解得 或 x＞1， 所以不等式的解集为 ； （2）由（1）知，当 x＝﹣1 时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣ （x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a， 由题意，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）≥g（x2）成立， 故 f（x）min≥g（x）min， 即 2≥|2a+2|+a， 所以 解得﹣4≤a≤0， 1 2 1AB AP  ⋅ ∈ − +    ，2 ( )5 13 ∞ ∞ − − ∪ +  ， ， ( ) 3 1 1 3 1 1 3 1 1 x x f x x x x x − − ≤ − = + − <