2020届甘肃省兰州市高三诊断考试数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 22 页 2020 届甘肃省兰州市高三诊断考试数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据交集定义求解． 【详解】 因为集合 ， ， 所以 ， 故选：B． 【点睛】 本题考查集合的交集运算，属于简单题． 2．已知复数 ，则 （ ） A．5 B． C．13 D． 【答案】B 【解析】首先进行除法运算化简 ，再求模即可. 【详解】 因为 ，所以 . 故选：B 【点睛】 本题考查复数的基本运算，复数的模，属于基础题. 3．已知非零向量 ， 给定 ，使得 ， ，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】分析各个命题中向量 ， 的关系，然后根据充分必要条件的定义确定． { }0,1,2,3,4,5A = { }*2 ,B x x n n N= = ∈ A B = { }0,2,4 { }2,4 { }1,3,5 { }1,2,3,4,5 { }0,1,2,3,4,5A = { }*2 ,B x x n n N= = ∈ {2,4}A B∩ = 5i 22 iz = +− z = 5 13 z 5i 5 (2 )2 2 1 2i2 i 5 i iz += + = + = +− 5z = a b :p Rλ∃ ∈ λa b=  :q a b a b+ = +    p q a b第 2 页 共 22 页 【详解】 ，使得 ，则 ， 共线， 等价于 ， 同向， 因此 是 的必要不充分条件． 故选：B． 【点睛】 本题考查充分必要条件的的判断，考查向量的共线定理及向量模的性质．判断充分必要 条件时可以对两个命题分别进行化简，得出其等价的结论、范围，然后再根据充分必要 条件的定义判断即可． 4．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】利用二倍角的正弦和正切公式可求出 的值. 【详解】 ， ，由题意可得 ，因此， . 故选：C. 【点睛】 本题考查利用二倍角公式求值，考查计算能力，属于中等题. 5．已知双曲线 的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率 是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点（2，﹣1）在双曲线的渐近线 y x 上，得到 a＝2b，再根据 e :p Rλ∃ ∈ λa b=  a b :q a b a b+ = +    a b p q 21 tan5 7 22sin cos12 12 tan 2 α π π α − = tanα = 4 3 4− 3− tanα 5 7 5 5 5 5 5 12sin cos 2sin cos 2sin cos sin12 12 12 12 12 12 6 2 π π π π π π ππ = − = − = − = −   22 2 1 tan1 tan 222 tantan 2tan2 2 αα α α α  −−   = = 2 1 tan 2α = − tan 4α = − ( )2 2 2 2 1 0 0x y a ba b − = ＞ ， ＞ 5 2 3 5 2 3 b a = −第 3 页 共 22 页 求解. 【详解】 因为（2，﹣1）在双曲线的渐近线 y x 上， 所以 a＝2b，即 a2＝4b2， 所以 e ， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6．已知集合 ，从 中任选两个角，其正弦值相等的概率 是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得 ， ，列举出 所有的基本事件，并列举出事件“从 中任选两个角，其正弦值相等”所包含的基本事件， 利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】 由题意可得 ， ， 从 中任选两个角，所有的基本事件有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种情况. 其中，事件“从 中任选两个角，其正弦值相等”包含的基本事件有： 、 、 、 ，共 个， 2 2 2 2 2 c a b a a += = b a = − 2 2 2 2 2 5 2 c a b a a += = = 5 7 11 13, , , ,6 6 6 6 6A π π π π π =    A 1 10 2 5 3 5 3 10 5 13 1sin sin sin6 6 6 2 π π π= = = 7 11 1sin sin6 6 2 π π= = − A 5 13 1sin sin sin6 6 6 2 π π π= = = 7 11 1sin sin6 6 2 π π= = − A 5,6 6 π π     7,6 6 π π     11,6 6 π π     13,6 6 π π     5 7,6 6 π π     6 5 6 11, π π     5 13,6 6 π π     7 11,6 6 π π     7 13,6 6 π π     11 13,6 6 π π     10 A 5,6 6 π π     13,6 6 π π     5 13,6 6 π π     7 11,6 6 π π     4第 4 页 共 22 页 因此，从 中任选两个角，其正弦值相等的概率为 . 故选：B. 【点睛】 本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于中等题. 7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散 点图，如图所示： 年份 1 2 3 4 5 羊只数量（万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7 根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五 组数据得到的两变量间的相关系数为 ，去掉第一年数据后得到的相关系数为 ，则 ；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指 数；以上判断中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】根据两组数据的相关性，对题中三个命题分别判断即可． 【详解】 对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，∴①错误； 对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为 ，∵第一组数据 是离群 值，去掉后得到的相关系数为 ，其相关性更强，∴ ，②正确； 对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为 2 万只时的草场植被指数， A 4 2 10 5 = 1r 2r 1 2r r< 1r (1,4,1,1) 2r 1 2r r > c a b> > c b a> > b c a> > ( )y f x= [ )0,+∞ ( )1c f= 0.20.2 1 3log 4 ( )y f x= [ )0,+∞ a b c ( ) ( )2ln 1f x x= + R ( ) ( ) ( )2 21ln 1 ln 12f x x x= + = + ( ) ( ) ( ) ( )2 21 1ln 1 ln 12 2f x x x f x − = − + = + =  ( )y f x= ( ) ( )1 3 log 3 1 1c f f f  ∴ = = − =    2 1u x= + [ )0,+∞ lny u= ( ) ( )2ln 1f x x= + [ )0,+∞ 0.2 0 3 30 0.2 0.2 1 log 3 log 4< < = = − ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( )y f x= 1x = − ( ) ( )min 11f x f e = − = − ( ) 2 1 2 1 1 x xf x x x  ( )f x ( )y f x= 1x 2x ( ) ( )1 2 9 lnf x f x a+ < − 2 3 1 0x y+ − − = ( )1f ( )1f ′ ( ) 2 2 3x x af x x − + −′ = 2 2 3 0x x a− + − = > 0∆ 0∆ ≤ ( )f x′ ( )y f x= ( ) 0f x′ = 1x 2x 1 2 2 3x x+ = 1 2x x a= ( )0,3a∈ ln ln 2 0a a a a− − + > ( ) ln ln 2x xg x xx = − − + ( )0,3x∈ ( ) 0g x > ( )f x ( )0, ∞+ 2 3a = ( ) 21 12 3 2 3 ln 2 2f x x x x= − − + ( ) 2 32 3f x xx ′ = − − ( )1 1f ′ = − ( )1 2 3f =第 19 页 共 22 页 所以曲线 在 处的切线方程为： ， 即 ； （Ⅱ）因为 ，由 可得： ①当 ， ，时，有 ， ，满 足 ， 和 时 ， 即函数 在 和 上为减函数； 时， ，即函数 在 上为增函 数； ②当 时， ， 恒成立，所以函数 在 为减函数. 综上可知： 当 时，函数 在 和 上为减函数， 在 上为增函数； 当 时，函数 在 上为减函数； （Ⅲ）因为 有两个极值点 、 ， 则 有两个正根 、 ，则有 ，且 ， ，即 ， 所以 若要 ，即要 ， 构造函数 ，则 ，易知 在 上 为增函数， 且 ， ， 所以存在 使 即 ， ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )2 3 1y x− = − − 2 3 1 0x y+ − − = ( ) 2 2 32 3 a x x af x xx x − + −′ = − − = 2 2 3 0x x a− + − = 12 4 0a∆ = − > ( )0,3a∈ 1 3 3x a= + − 2 3 3x a= − − 1 2 0x x> > ( )20,x x∈ ( )1,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( )0, 3 3 a− − ( )3 3 ,a+ − +∞ ( )2 1,x x x∈ ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( )3 3 , 3 3a a− − + − 3a ≥ 0∆ ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )y f x= ( )0, ∞+ 0 < < 3a ( )y f x= ( )0, 3 3 a− − ( )3 3 ,a+ − +∞ ( )3 3 , 3 3a a− − + − 3a ≥ ( )y f x= (0, )+∞ ( )y f x= 1x 2x ( ) 2 2 3 0x x af x x − + −′ = = 1x 2x 12 4 0a∆ = − > 1 2 2 3x x+ = 1 2 0x x a= > ( )0,3a∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 3 ln 1 ln 72f x f x x x a x x x x a a a+ = + − − + + = − + + ( ) ( )1 2 9 lnf x f x a+ < − ln ln 2 0a a a a− − + > ( ) ln ln 2x xg x xx = − − + ( ) 1lng x x x ′ = − ( )y g x′= ( )0,3 ( )1 1 0g′ = − < ( ) 12 ln 2 02g′ = − > ( )0 1,2x ∈ ( )0 0g x′ = 0 0 1ln x x =第 20 页 共 22 页 且当 时 ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增. 所以函数 在 上有最小值为 ， 又因为 则 ，所以 在 上恒成立， 即 成立. 【点睛】 本题考查利用导数求函数的切线方程、利用导数求解含参函数的单调区间以及利用导数 证明不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 22．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐 标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ，曲线 C2 的直角坐标方程为 . （1）若直线 l 与曲线 C1 交于 M、N 两点，求线段 MN 的长度； （2）若直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，点 P 在曲线 C2 上，求 的取 值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）将直线 l 的参数方程消去参数，得到直角坐标方程，将圆 C1 的极坐标方 程，转化为直角坐标方程，然后利用“r，d”法求弦长. （2）将曲线 C2 的直角坐标方程转换为参数方程为 （0≤θ≤π），由 A（1， 0），B（0，1），P（2cosθ，2sinθ），得到 ， 的坐标，再利用数量积公式得到 ，然后用正弦函数的性质求解. ( )01,x x∈ ( ) 0g x′ < ( )y g x= ( )0 ,2x x∈ ( ) 0g x′ > ( )y g x= ( )y g x= ( )1,2 ( )0 0 0 0 0 0 0 1ln ln 2 3g x x x x x x x  = − + + = − +   ( )0 1,2x ∈ 0 0 1 52, 2x x  + ∈   ( )0 0g x > ( )0 1,2x ∈ ( ) ( )1 2 9 lnf x f x a+ < − 21 2 22 2 x t y t  = − −  = + 2 2 4cos πρ α = +   24y x= − AB AP⋅  6 1 2 1AB AP  ⋅ ∈ − +    ，2 2 2 x cos y sin θ θ =  = AB AP AB AP⋅  2 2 14sin πθ = − +  第 21 页 共 22 页 【详解】 （1）直线 l 的参数方程为 （t 为参数），消去参数， 得直角坐标方程为 x+y﹣1＝0， 因为曲线 C1 的极坐标方程为 ， 所以 所以直角坐标方程为 x2+y2﹣2x+2y＝0， 标准式方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝2， 所以圆心（1，﹣1）到直线 x+y﹣1＝0 的距离 d ， 所以弦长|MN|＝2 . （2）因为曲线 C2 的直角坐标方程为 . 所以 x2+y2＝4 ，转换为参数方程为 （0≤θ≤π）. 因为 A（1，0），B（0，1），点 P 在曲线 C2 上，故 P（2cosθ，2sinθ）， 所以 ， ，（0≤θ≤π）， 所以 ， 因为 所以 ， 所以 . 【点睛】 本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系以及 三角函数与平面向量，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 23．已知函数 f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|﹣|x﹣2a|+a. （1）求不等式 f（x）＞4 的解集； 21 2 22 2 x t y t  = − −  = + 2 2 4cos πρ α = +   2 2 2 sincosρ ρ α ρ α= − 1 2 22 = = 2 22( 2) ( ) 62 − = 24y x= − 0y≥ 2 2 x cos y sin θ θ =  = ( )11AB = − ， ( )2 1 2AP cos sinθ θ= − ， AB AP⋅ =  1 2 2cos sinθ θ= − + 2 2 14sin πθ = − +   30 , 4 4 4 π π πθ π θ≤ ≤ − ≤ − ≤ 2 12 4sin πθ − ≤ − ≤   1 2 1AB AP  ⋅ ∈ − +    ，2第 22 页 共 22 页 （2）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）≥g（x2）成立，求 a 的取值范围. 【答案】（1） （2）[﹣4，0] 【解析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值 ，再分类 解不等式 f（x）＞4. （2）根据对∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）≥g（x2）成立，则 f（x）min≥g（x）min，由 （1）知， f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a， 解不等式 2≥|2a+2|+a 即可. 【详解】 （1）因为 ， 所以 f（x）＞4 即为 或 或 ， 解得 或 x＞1， 所以不等式的解集为 ； （2）由（1）知，当 x＝﹣1 时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣ （x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a， 由题意，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得 f（x1）≥g（x2）成立， 故 f（x）min≥g（x）min， 即 2≥|2a+2|+a， 所以 解得﹣4≤a≤0， 所以实数 a 的取值范围为[﹣4，0]. 【点睛】 本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思 想和运算求解的能力，属于中档题. ( )5 13 ∞ ∞ − − ∪ +  ， ， ( ) 3 1 1 3 1 1 3 1 1 x x f x x x x x − − ≤ − = + − <