唐山市 2019—2020 学年度高三年级第一次模拟考试
文科数学
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要
求的．
1．已知集合 ， ，则 中元素的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设 i 是虚数单位，复数 ，则 在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标．2010 年第六次全国人口普查资料表明，随着
我国社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预
期寿命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高．右图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此
图，下列结论错误的是
A．男性的平均预期寿命逐渐延长
B．女性的平均预期寿命逐渐延长
C．男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性
D．女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性
4．已知向量 a，b 满足|a+b|=|b|，且 la|=2，则 a·b=
A． 2 B．1 C．-1 D． -2
5．设 ，则 =
A． B． C． D．
{ }2,1,0,1−=A { }022 ≤+= xxxB BA
i
iz −
+=
3
2 z
3
1)4sin( =+θπ θ2sin
9
1
9
7
9
1−
9
7−6．《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈
八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多
少斛米”（古制 1 文=10 尺，1 斛=1．62 立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米
A．900 斛 B．2700 斛 C．3600 斛 D．10800 斛
7．已知数列 是等差数列， 是等比数列， ，若 m，n 为正数，且 m≠n，
则
A． B． C． D． 的大小关系不确定
8．抛物线 上一点 A 到其准线和坐标原点的距离都为 3，则 =
A．8 B．6 C．4 D．2
9．函数 在 上的图象大致为
10．设函数 ，则下列结论中错误的是
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 在 上单调递减 D． 在 上的最大值为 1
11．已知四棱锥 的顶点都在球 O 的球面上，PA⊥底面 ABCD，且 AB=AD=1，BC=CD=2，若球 O
的表面积为 36 ，则 PA=
A．2 B． C． C．
12．已知 F 是双曲线 的右焦点，M 是 C 的渐近线上一点，且 MF⊥x 轴，过 F 作
直线 OM 的平行线交 C 的渐近线于点 N（O 为坐标原点），若 MN⊥ON，则双曲线 C 的离心率是
A．2 B． C． D．
{ }na { }nb nbamba ==== 3322 ，
11 ba < 11 ba > 11 ba = 11 ba，
)0(22 >= ppyx p
2tan)( xxxf −= )2,2(
ππ−
)3
2sin()(
π+= xxf
)(xf )0,3(
π
)(xf 6
π=x
)(xf ]3,0[
π
)(xf ]0,3[
π−
ABCDP −
π
6 31 33
)0,0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
xC：
3 2
6
3
32二、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．若 满足约束条件 ，则 的最小值为 ．
14．曲线 在点 处的切线方程为 ．
15．在数列 中，已知 （ 为非零常数），且 成等比数列，则
.
16．已知 ， 有极大值 和极小值 ，则 的取值范围是 ；
= ．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．）
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．（12 分）
某高校艺术学院 2019 级表演专业有 27 人，播音主持专业 9 人，影视编导专业 18 人．某电视台综艺节
目招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取 6 人作为志愿者．
（1）分别写出各专业选出的志愿者人数；
（2）将 6 名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结
果，并求表演专业的志愿者 A 与播音主持专业的志愿者分在一组的概率．
18．（12 分）
的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求角 A;
（2）设 D 是 BC 边上一点，若 ，且 AD=1， a=3，求 b，c．
yx,
≤+−
≤−+
≥+−
013
03
01
yx
yx
yx
yxz −= 2
1sin2)( −+= xexf x ))0(,0( f
{ }na tnaaa nn +== +11 1， tNn ，*∈ 321 aaa ，，
=na
xxxaxf ln)21()( +−= )(xf )( 1xf )( 2xf a
)()( 21 xfxf +
ABC∆ CBA ，， cba ，， AcCac cossin32 −=
3
2π=∠CDB19．（12 分）
如图，三棱柱 的底面为等边三角形，且 底面 ， ， ，
分别为 的中点，点 在棱 上，且 ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求点 D 到平面 的距离．
20．（12 分）
已知 是 x 轴上的动点（异于原点 O），点 Q 在圆 上，且|PQ|=2．设线段 PQ 的中点为
M.
（1）当直线 PQ 与圆 O 相切于点 Q，且点 Q 在第一象限，求直线 OM 的斜率:
（2）当点 P 移动时，求点 M 的轨迹方程．
111 CBAABC − ⊥1AA ABC 22=AB 31 =AA
ED， 11CAAC， F 1CC 1=FC
⊥BEF BDF
BEF
P 422 =+ yxO：21．（12 分）
已知 a>0，函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 在 R 上仅有一个零点，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在极坐标系中，圆 ， 直线 ．以极点 为坐标原点，以极轴为 轴的正半
轴建立直角坐标系．
（1）求圆 的参数方程，直线 的直角坐标方程；
（2）点 在圆 上， 于 ，记△ 的面积为 ，求 的最大值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
己知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）是否存在实数 ，使得 的图象与 轴有唯一的交点？若存在，求 的值；若不存在，说明理
由．
26)1(32)( 223 −++−= axxaaxxf
)(xf
)(xf
θρ sin4: =C 2cos =θρ：l O x
C l
A C lAB ⊥ B OAB S S
112)( −−−+= xaxxf
1=a 0)( >xf
a )(xf x a
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