2020届湖南省常德市高三高考模拟考试（一）数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 23 页 2020 届湖南省常德市高三高考模拟考试（一）数学（文）试 题 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据并集的定义求解. 【详解】 因为集合 ， ， 所以 . 故选：D 【点睛】 本题主要考查集合的基本运算，属于基础题. 2．已知 为实数， 为虚数单位，若 ，则 （ ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【解析】根据 ，转化为 ，再利用复数相等求解. 【详解】 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . 故选：B 【点睛】 本题主要考查复数的运算及复数相等，属于基础题. 3．针对时下的“抖音热”某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其 {0,2}A = { 2, 1,0,1,2}B = − − A B = {0,2} {1,2} {0} { 2, 1,0,1,2}− − {0,2}A = { 2, 1,0,1,2}B = − − A B = { 2, 1,0,1,2}− − ,a b i 2 ia bi i ++ = a b+ = 3− 1− 2 ia bi i ++ = 2b ai i− + = + 2 ia bi i ++ = 2b ai i− + = + 2, 1b a= − = 1a b+ = −第 2 页 共 23 页 中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的 ，女生喜欢抖音的 人数占女生人数 ，若有 的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生 可能有（ ）人 附表： 0.050 0.010 3.841 6.635 附： A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】C 【解析】设男女生人数共有n 人，根据男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人 数的 ，女生喜欢抖音的人数占女生人数 ，算出 a，b，c，d 的值，代入公式解得 ，然后根据有 的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则有 求解. 【详解】 设男女生人数共有 n 人，则男生喜欢欢抖音的人数有 ，男生不喜欢欢抖音的人数有 ， 女生喜欢欢抖音的人数有 ，男生不喜欢欢抖音的人数有 ， 所以 ， 因为有 的把握认为是否喜欢抖音和性别有关， 所以 ， 解得 ， 所以 ， 所以调查人数中男生可能有 60 人. 故选：C 4 5 3 5 95% ( )2 0P K k≥ k 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 4 5 3 5 2K 95% 23. 6.63841 5K 2a < 4 0x y+ − = 1 1 4 2 2 2 d − −= = 2 2 8 6a∴ − − < 15a > − ( )15,2a∈ − D 2 22 r d− ABC 3 4B π= 1AB = A 2AD = AC = 3 2 3 3 1+ 3 3+第 7 页 共 23 页 【解析】先在 中，利用正弦定理得到 ，进而得到 ，从而得到 ， 然后在 中，利用正弦定理求解. 【详解】 在 中，由正弦定理得 ，所以 ， 因为 ， 所以 ， ， ， 在 中，由正弦定理得： ， 所以 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查正弦定理在平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 10．设定义在 上的函数 满足任意 都有 ，且 时， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数 f（x）满足 f（t+2）= ，可得 f（x）是周期为 4 的函数．6f（2017） =6f（1），3f（2018） =3f（2），2f（2019）=2f（3）．令 g（x）= ，x∈（0，4]，则 g′（x）= ABD△ ADB∠ BAD∠ BAC∠ ABC ABD△ 1 2 sin sinADB B =∠ ∠ 3sinsin 14sin 22 2 BADB π ∠∠ = = = 3 4B π= 6ADB π∠ = , ,12 6 12BAD BAC ACB π π π∠ = ∠ = ∠ = 6 2sin sin sin cos cos sin12 3 4 3 4 3 4 4 π π π π π π π − = − = − =   ABC sin sin AB AC ACB B =∠ ∠ 3 21 sinsin 4 2 3 1sin 6 2sin12 4 AB BAC ACB π π ⋅⋅ ∠= = = = +∠ − R ( )y f x= t R∈ 1( 2) ( )f t f t + = (0,4]x∈ ( )'( ) f xf x x > 6 (2017)f 3 (2018)f 2 (2019)f 6 (2017) 3 (2018) 2 (2019)f f f< < 3 (2018) 6 (2017) 2 (2019)f f f< < 2 (2019) 3 (2018) 6 (2017)f f f< < 2 (2019) 6 (2017) 3 (2018)f f f< < ( ) 1 f t ( )f x x第 8 页 共 23 页 ＞0，利 用其单调性即可得出． 【详解】 函数 f（x）满足 f（t+2）= ，可得 f（t+4）= =f（t），∴f（x）是周期 为 4 的函数． 6f（2017）=6f（1），3f（2018）=3f（2），2f（2019）=2f（3）． 令 g（x）= ，x∈（0，4]，则 g′（x）= ， ∵x∈（0，4]时， ， ∴g′（x）＞0，g（x）在（0，4]递增， ∴f（1）＜ ＜ ， 可得：6f（1）＜3f（2）＜2f（3），即 6f（2017）＜3f（2018）＜2f（2019）． 故答案为：A 【点睛】 本题考查了函数的周期性单调性、利用导数研究函数的单调性、构造法，考查了推 理能 力与计算能力，属于难题．(2)解答本题的关键有两点，其一是求出函数的周期是 4，其 二是构造函数 g（x）= ，x∈（0，4]，并求出函数的单调性. 11．已知双曲线 的右焦点为 ，过 作双曲线渐近线的垂线， 垂足为 ，直线 交双曲线右支于点 ，且 为线段 的中点，则该双曲线的离 心率是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】先求得 点的坐标，根据中点坐标公式求得 点坐标，将 点坐标代入双曲 线方程，化简后求得双曲线的离心率. 【详解】 ( ) ( ) 2 'xf x f x x − ( ) 1 f t ( ) 1 2f t + ( )f x x ( ) ( ) 2 'xf x f x x − ( ) ( ) ' f xf x x ＞ ( )2 2 f ( )3 3 f ( )f x x 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F F A AF B B AF 6 2 2 10 5 2 A B B第 9 页 共 23 页 由于双曲线焦点到渐近线的距离为 ，所以 ，所以 ，由于 是 的中点，故 ，代入双曲线方程并化简得 ，即 ， . 【点睛】 本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线焦点到渐近线的距离，考查中点坐标公 式，考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.双曲线 焦点到渐近线的距离是一个定值 ，这个要作为结论来记忆.要求双曲线的离心率，可 从一个等式中得到，本题通过双曲线上一个点的坐标来得到一个等式，由此解出双曲线 的离心率. 12．已知函数 ，函数 在定义域内恰 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数 在定义域内恰有三个不同的零点，则函数 的 图象与 的图象恰有三个不同的交点,数形结合找到临界位置,平移函数 即可得解 【详解】 函数 在定义域内恰有三个不同的零点，则函数 的图象与 的图象恰有三个不同的交点. 由 得: , 相切时有: 得 ; 由 得 , b ,AF b OA a= = 2 ,a abA c c      B AF 2 ,2 2 a abc c cB  +        2 22c a= 2 2 2c a = 2e = b ( ) ( ) 2 1 ln 1 0 2 1 0 x xf x x x x  − + ≤= − + + > ( ) ( )g x f x x m= − − m 5 13, 1 1,4 4    − − ∪       131, 4      131, 4  −   5 13,4 4  −   ( ) ( )g x f x x m= − − ( )f x y x m= − y x m= − ( ) ( )g x f x x m= − − ( )f x y x m= − 2 2 1x x x m− + + = − 2 1 0x x m− − − = 1 4( 1) 0m∆ = + + = 5 4m = − 2 2 1x x m x− + + = − 2 3 1 0x x m− + − =第 10 页 共 23 页 相切时有: 得 . 在 处切线斜率为 . 如图所示，函数 的图象与函数 的图象相切，函数 的图象过 点 ，函数 的图象过点 ，函数 的图象与函数 的图 象相切，从而结合图象可知实数 的取值范围为 ， 故选:A. 【点睛】 本题主要考查了利用数形结合研究函数的零点,将其转化为两个函数的交点,准确作图是 解题的关键,属于中档题. 二、填空题 13．已知 ，则 _____ 【答案】 【解析】根据 ，再利用两角和的余弦公式 展开，与 建立方程求解. 【详解】 已知 ， ， 9 4( 1) 0m∆ = − − = 13 4m = ( ) ( ) 10, 1 ln 1 , '( ) 1x f x x f x x ≤ = − + = − + (0,1) '(0) 1f = − 13 4y x= − ( )f x | 1|y x= − ( )0,1 1y x= + ( )0,1 5 4y x= + ( )f x m 5 13, 1 1,4 4    − − ∪       sin20 cos20 2cos130m° + ° = ° m = 3− 2cos130 2cos50° = −  ( )2cos 20 30= − +  sin 20 cos20m°+ ° sin 20 cos20 2cos130 2cos50m°+ ° = ° = −  ( )2cos 20 30 sin 20 3 cos20= − + = °− ° 第 11 页 共 23 页 所以 . 故答案为： 【点睛】 本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了转化变形运算求解的能力，属于基础题. 14．如图，圆柱 中，两半径 ， 等于 1，且 ，异面直线 与 所成角的正切值为 ，则该圆柱 的体积为______． 【答案】 【解析】过 作 于点 ，则 ，由 平行等于 ，且 得 ，所以圆柱的高 ，圆柱的体积为 ． 【详解】 过 作 于点 ， 则 即为异面直线 与 所成角， 则 ， 由 平行等于 ，且 ， 可得 ， m = 3− 3− 1OO OA 1O B 1OA O B⊥ AB 1OO 2 4 1OO 4π B BH O⊥  H 2tan 4ABH∠ = OH 1O B OH OA⊥ 2AH = 4tan AHBH ABH = =∠ 4π B BH O⊥  H ABH∠ AB 1OO 2tan 4ABH∠ = OH 1O B 1OA O B⊥ OH OA⊥第 12 页 共 23 页 得 ， 又 , 所以圆柱的高 ， 所以圆柱的体积为 ． 故答案为： . 【点睛】 本题考查圆柱的体积的计算，同时也考查了异面直线所成的角，考查空间推理能力，属 于中等题. 15．已知在正项等比数列 中，存在两项 满足 且 ， 则 的最小值是_______ 【答案】 【解析】设公比为 q，根据 ，解得 ，在根据两项 满足 ，得到 ，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】 在正项等比数列 中，设公比为 q， 因为 ， 所以 ， 或 （舍去）， 因为存在两项 满足 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 当且仅当 ， ，即 时取等号. 所以 的最小值是 . 2 21 1 2AH = + = tan AHABH BH ∠ = 4tan AHBH ABH = =∠ 2 1 4πOA OOπ ⋅ ⋅ = 4π { }na ,m na a 12m na a a= 6 5 42a a a= + 1 4 m n + 9 4 6 5 42a a a= + 2q = ,m na a 12m na a a= 4m n+ = { }na 6 5 42a a a= + 2 2 0q q− − = 2q = 1q = − ,m na a 12m na a a= 2 4m nq + − = 4m n+ = ( )1 4 1 1 4 1 4 1 4 95 5 24 4 4 4 n m n mm nm n m n m n m n     + = + + = + + ≥ + ⋅ =            4m n+ = 4n m m n = 4 8,3 3m n= = 1 4 m n + 9 4第 13 页 共 23 页 故答案为： 【点睛】 本题主要考查等比数列的通项公式和性质以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的 能力，属于中档题. 16．给出下列五个命题： ①已知直线 、 和平面 ，若 ， ，则 ； ②平面上到一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是一条抛物线； ③双曲线 ，则直线 与双曲线有且只有 一个公共点； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直； ⑤过 的直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 中点为 ，设直 线 斜率为 ，直线 的斜率为 ，则 等于 . 其中，正确命题的序号为_______. 【答案】④⑤ 【解析】利用线面平行的判定定理可判断①的正误；结合抛物线的定义及条件可判断② 的正误；利用双曲线渐近线的性质可判断③的正误；利用反证法结合线面垂直的定义 可判断④的正误；利用点差法可判断⑤的正误. 【详解】 ①线面平行的前提条件是直线 ，所以条件中没有 ，所以①错误； ②当定点位于定直线上时，此时点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有 当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以②错误； ③因为双曲线的渐近线方程为 ，当直线与渐近线平行时直线与双曲线只有一 个交点，当直线与渐近线重合时，没有交点，所以③错误； ④若 ， ， ，且 与 不垂直， 假设 ，由于 ，则 ，这与已知条件矛盾，假设不成立，则 与 不垂 直，所以④正确； ⑤设 、 ，中点 ，则 ， ， 9 4 a b α //a b //b α //a α ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > by x ma = + ( )m R∈ ( )2,0M l 2 2 12 x y+ = 1P 2P 1 2PP P l 1k ( )0k ≠ OP 2k 1 2k k 1 2 − a α⊄ a α⊄ by xa = ± α β⊥ aα β∩ = l α⊂ l a l β⊥ a β⊂ l a⊥ l β ( )1 1 1,P x y ( )2 2 2,P x y ( )0 0,P x y 1 2 1 1 2 y yk x x −= − 0 1 2 2 0 1 2 y y yk x x x += = +第 14 页 共 23 页 把 ， 分别代入椭圆方程 ， 得 ，两式相减得 ， 整理得 ，即 ，所以⑤正确. 所以正确命题的序号为④⑤. 故答案为：④⑤. 【点睛】 本题考查空间线面平行与垂直的判断以及直线与圆锥曲线位置关系的判断，考查学生的 运算能力与推理能力，属于中等题. 三、解答题 17．已知数列 中，满足 ， . （1）证明：数列 为等比数列； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】(1)直接利用等比数列的定义证明；（2）先求出 ，再利用分组求和求 数列 的前 项和 . 【详解】 （1）∵ ∴ 又因为 ， ∴数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列 （2）由（1）知 ， ∴ ， ∴ . 故 . ( )1 1 1,P x y ( )2 2 2,P x y 2 2 12 x y+ = 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y  + =  + = ( )2 2 2 2 1 2 1 22 0x x y y− + − = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 y y y y x x x x + −⋅ = −+ − 1 2 1 2k k = −第 15 页 共 23 页 【点睛】 本题主要考查等比数列性质的证明，考查等比数列求和和分组求和，意在考查学生对这 些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 18．某学校为了了解学生对《3.12 植树节》活动节日的相关内容，学校进行了一次 10 道题的问卷调查，从该校学生中随机抽取 50 人，统计了每人答对的题数，将统计结果 分成 ， ， ， ， 五组，得到如下频率分布直方图. （1）若答对一题得 10 分，答错和未答不得分，估计这 50 名学生成绩的平均分； （2）若从答对题数在 内的学生中随机抽取 2 人，求恰有 1 人答对题数在 内的概率. 【答案】（1）63.5（2） 【解析】（1）先根据频率分布直方图得到答对题数的平均数，再乘以 10 即可. （2）根据频率分布直方图得到答对题数在 内和在 内的学生人数，利用古典 概型的概率求解. 【详解】 （1）答对题数的平均数为 ， 所以这 50 人的成绩平均分约为 . （2）答对题数在 内的学生有 人，记为 答对题数在 内的学生有 人，记为 从答对题数在 内的学生中随机抽取 2 人的情况有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10] [0 , 4) [2 , 4) 8 15 [0,2) [2,4) (1 0.02 3 0.04 5 0.12 7 0.22 9 0.10) 2 6.35× + × + × + × + × × = 10 6.35 63.5× = [0,2) 0.02 2 50 2× × = ,A B [2,4) 0.04 2 50 4× × = a b c d, ,, [0,4) ( , )A B (A,a) (A,b) ( , )A c ( , )A d ( ,a)B ( ,b)B ( , )B c ( , )B d ( , )a b ( , )a c ( , )a d ( , )b c第 16 页 共 23 页 ， 共 15 种 其中恰有 1 人答对题数在 内的情况有 8 种 所以恰有 1 人答对题数在 内的概率 . 【点睛】 本题主要考查频率分布直方图估计总体和古典概型的概率，还考查了识图理解辨析运算 求解的能力，属于中档题. 19．在三棱锥 中，底面 与侧面 均为正三角形， ， ， 为 的中点． （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ） 为线段 上一点，且 ，求三棱锥 的体积． 【答案】（Ⅰ）见证明（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）要证平面 平面 ，即证 平面 ，转证 （Ⅱ）利用等体积法即可得到三棱锥 的体积． 【详解】 解法一：（Ⅰ）因为 是边长为 的正三角形， 为 的中点，所以 ， 同理， ，又 ， 因为 ， 所以 又 ，所以 平面 ， 又 平面 ， 所以平面 平面 ． ( , )b d ( , )c d [2,4) [2,4) 8 15P= P ABC− ABC PAB 2AB = 6PC = M AB PCM ⊥ PAB N PA 3 4CMNS∆ = P CMN− 3 8P CMNV − = PCM ⊥ PAB CM ⊥ PAB CM PM CM AB⊥ ⊥， ； P CMN− ABC∆ 2 M AB CM AB⊥ 3CM = 3PM = 6PC = 2 2 2CM PM PC+ = CM PM⊥ AB PM M= CM ⊥ PAB CM ⊂ PCM PCM ⊥ PAB第 17 页 共 23 页 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 平面 ， 所以 ， 为直角三角形， 所以 ，且 ， 解得 ． 在 中，由 ， ． 解得 ，即 即 , ， 解法二： （Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 平面 ， 所以 ， 即 ， ， 所以 ， 得 ， 则 ， 所以 ，又 ， 所以 平面 ， CM ⊥ PAB CM MN⊥ CMN∆ 1 3 2 4CMNS CM NM∆ = ⋅ = 3CM = 3 2MN = AMN∆ 2 2 2 cos 2 AN AM MNA AN AM + −= ⋅ 2 2 2 31 2cos60 2 AN AN  + −   ° = 1 2AN = 3 2PN = 3 4 PN PA = 3 3 3 3 334 8 8 8PNM PAM PABS S S∆ ∆ ∆= = = × = 1 3P CMN C PMN PMNV V S CM− − ∆= = 1 3 3 333 8 8 = × × = CM ⊥ PAB CM NM⊥ 3 1 34 2 NM= ⋅ 3 2NM = 1 2 NM AM PM PA = = ANM APM∆ ∆∽ 90ANM AMP∠ = ∠ = ° NM PA⊥ CM PA⊥ NM CM M= PA ⊥ CNM第 18 页 共 23 页 在 中， ， 所以 ． 【点睛】 本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，考查空间想象 能力与计算能力，属于中档题． 20．已知椭圆 ， 为其左焦点， 在椭圆 上. （1）求椭圆 的方程； （2）若 是椭圆 上不同的两点，以 为直径的圆过原点 ，求 的最大值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）设椭圆的右焦点为 ，根据 在椭圆 上，利用椭圆的定义 得到 ，又 得解. （2）分斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线 的斜率不存在时，由椭圆的对称 性，可知 ，求得 A，B 坐标求解 .当直线 的斜率存在时， 设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，根据以 为直径的圆过原点 ， 则 ，再利用直角三角形中线定理有 ，将韦达定理代入，两 式联立求解. 【详解】 （1）设椭圆的右焦点为 ，根据椭圆的定义： ， 又 ， ， 椭圆 的方程为 . （2）当直线 的斜率不存在时，由对称性可知 ， 不妨设 ，则 ， ，此时 . 当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ， Rt PNM∆ 2 2 3 2PN PM NM= − = 1 1 1 3 3 333 3 2 2 2 8P CMN CMNV S PN− ∆= ⋅ = × × × × = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1( 1,0)F − 31, 2P     C C A B、 C AB O | |AB 2 2 14 3 x y+ = 7 2 (1,0)F 31, 2P     C a 1c = AB 45AOx BOx∠ = ∠ = ° | |AB AB AB y kx m= + AB O 0OA OB⋅ =  | | 2 | |AB OP= 2 (1,0)F 1 2 2 4PF PF a+ = = 2a∴ = 1c = 3b∴ = ∴ C 2 2 14 3 x y+ = AB 45AOx BOx∠ = ∠ = ° ( )0 0,A x y 2 2 0 0 14 3 x y+ = 0 2 217x = 4| | 217AB = AB AB y kx m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y第 19 页 共 23 页 联立 ，得 ， 由 ，得 ， 由韦达定理得 ， ， 因为以 为直径的圆过原点 ， 所以 ， 即 ， 即 ，满足 式. 设 的中点是 ，则 ， ， ， ，当且仅当 时等号成立， 即 ， 又因为 ，所以 的最大值为 . 【点睛】 本题主要考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系以及弦长问题，还考查了运算求解的 能力，属于中档题. 21．已知直线 与函数 . （1）若 恒成立，求 的取值的集合. （2）若 ，求证： . 【答案】（1） （2）见解析 2 2 14 3 x y y kx m  + =  = + ( )2 2 24 3 8 4 12 0k x kmx m+ + + − = ( )( )2 2 2 264 4 4 3 4 12 0k m k m∆ = − + − > 2 24 3 0k m+ − > ( )* 1 2 2 8 4 3 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 12 4 3 mx x k −= + AB O 0OA OB⋅ =  ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 7 12 121 03 4 m kx x y y k x x km x x m k − −+ = + + + + = =+ 2 2 12 12 7 km += ( )* AB ( )0 0,P x y 1 2 0 2 4 2 3 4 x x kmx k + −= = + 0 2 2 4 3 3 4 3 4 km my k mk k −= + =+ + ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 16 9 2 16 9 12 124 3| | 2 | | 2 3 4 3 4 3 4 7 3 4 k m k kkm mAB OP k k k k + + +−   = = + = =   + + + +    ( ) ( )2 2 2 16 9 12 12 2 2 73 47 k k k + + + ≤ =+ 2 216 9 12 12k k+ = + 3 2k = ± 4 21 77 < | |AB 7 : ( 1)l y k x= − ( ) lnf x x= ( ) ( 1)f x k x≤ − k 2 1 0x x> > ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2f x f x x x x x − >− + {1}第 20 页 共 23 页 【解析】将 恒成立，转化为 恒成立，只要 ，先通过当 时也成立，得到 ，再用导数法求解. （2）将 ，令 ，转化为 成立，令 ，只要 ，再用导数法求解. 【详解】 令 则依题意 恒成立 所以当 时也成立，则 又 ， ； 所以 在 上递增，在 上递减， 所以 令 则 ， 所以 在 上递减，在 上递增， 所以 ，故 的解为 所以满足题意的 的取值的集合为 （2）证明：要证 ，即证 令 则 ， 即可转证： ，即证 ( ) ( 1)f x k x≤ − ( ) ln ( 1) 0g x x k x= − − ≤ max( ) 0g x ≤ x e= 0k > 2 1 2 1 2 1 ln ln 2x x x x x x − >− + 2 1 x tx = ln 2 1 1 t t t >− + ( ) ln ln 2 2( 1)F t t t t t t= + − + > min( ) 0F t > ( ) ( ) ( 1)( 0)g x f x k x x= − − > ( ) ln ( 1) 0g x x k x= − − ≤ x e= 1( ) ln ( 1) 0 01g e e k e k e = − − ≤ ⇒ ≥ >− 1 1( ) 0 0g x k xx k ′ = − > ⇒ < < 1( ) 0g x x k ′ < ⇒ > ( )g x 10, k      1 ,k  +∞   max 1 1 1( ) ln ln 1 0g x g k k k kk k k  = = − ⋅ + = − − + ≤   ( ) ln 1 ( 0)h x x x x= − − + > 1 1( ) 1 0 1xh x xx x −′ = − + = > ⇒ > ( ) 0 0 1h x x′ < ⇒ < < ( )h x (0,1) (1, )+∞ ( ) (1) 0h x h≥ = ( ) ln 1 0h k k k= − − + ≤ 1k = K {1} ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2f x f x x x x x − >− + 2 1 2 1 2 1 ln ln 2x x x x x x − >− + 2 1 x tx = 2 1 0x x> > 1t∴ > 2 1 2 2 1 1 ln 2 1 1 x x x x x x > − + ln 2 1 1 t t t >− +第 21 页 共 23 页 因为 所以即证 即证 令 则 由（1）中结论易知 ，即 即得 所以 在 上递增 所以 即 式得证.所以原不等式得证. 【点睛】 本题主要考查导数与不等式恒成立及证明不等式问题，还考查了转化化归的思想和运算 求解的能力，属于难题. 22．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，极轴与 轴的非负半轴重合．曲线 的极坐标方程是 ，直线 的极坐标方程是 ． （1）求曲线 和直线 的直角坐标方程； （2）设点 ，直线 与曲线 相交于点 、 ，求 的值． 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】（1）利用 ，将极坐标方程化为直角坐标方程； （2）写出直线 过点 的参数方程，代入曲线 ，利用参数的几何意义以及韦达 定理，可求出结果． 【详解】 （1）曲线 化为： ， 1t > ( 1)ln 2( 1)t t t+ > − ln ln 2 2 0( 1)t t t t t+ − + > > ( ) ln ln 2 2( 1)F t t t t t t= + − + > ( )* 1 1 1 1 1( ) ln 2 ln 1 ln 1F t t t tt t t t t ′ = + ⋅ + − = + − = − + − 1 0h t   >   1 1ln 1 0t t − + − > ( ) 0F t′ > ( ) ln ln 2 2F t t t t t= + − + (1, )+∞ ( ) ln ln 2 2 1 ln1 ln1 2 1 2 0F t t t t t= + − + > × + − × + = ( )* x C 2 2 61 2sin θ ρ+ = l cos 2 04 πρ θ − − =   C l ( )2,0P l C M N 1 1 PM PN + 2 2 16 2 x y+ = 2 0x y+ − = 6 2 2 2 siny x y ρ θ ρ =  + = l ( )2,0P C C 2 2 22 sin 6ρ ρ θ+ =第 22 页 共 23 页 将 代入上式，即 ， 整理，得曲线 的直角坐标方程 . 由 ，得 ， 将 代入上式，化简得 ， 所以直线 的直角坐标方程 . （2）由（1）知，点 在直线 上，可设直线的参数方程为 （ 为参数）， 即 （ 为参数）， 代入曲线 的直角坐标方程，得 ， 整理，得 ， 所以 ， ， 由题意知， . 【点睛】 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化以及直线参数方程的应用，关键是要写出直 线的标准参数方程，才能利用参数的几何意义来解题，是基础题． 23．设函数 . （1）解不等式 ； （2）若 对一切实数 均成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) 解集为{ 或 };(2) 的取值范围为 . 【解析】分析：（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可； 2 2 2 siny x y ρ θ ρ =  + = 2 23 6x y+ = C 2 2 16 2 x y+ = cos 2 04 πρ θ − − =   2 2cos sin 2 02 2 ρ θ ρ θ+ − = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 0x y+ − = l 2 0x y+ − = ( )2,0P l 32 cos 4 3sin 4 x t y t π π  = +  = t 22 2 2 2 x t y t  = −  = t C 2 21 12 2 4 3 62 2t t t− + + × = 2 2 1 0t t− − = ( )2 2 4 1 6 0∆ = + × = > 1 2 1 0t t = − < 1 2 1 2 1 2 1 11 1 t P N tP t t tM t−+ = + = 6 61 1 ∆= = =− ( ) 2 1 4f x x x= + − − ( ) 0f x > ( ) 3 4 2f x x m+ − > − x m 1x x 5x < − m ( )7,11−第 23 页 共 23 页 （2）要使 成立，只需函数的最小值大于 即可，利用绝 对值三角不等式可得 的最小值. 详解：（1）当 时， ，原不等式即为 ， 解得 ，∴ ； 当 时， ，原不等式即为 ， 解得 ，∴ ； 当 时， ，原不等式即为 ， 解得 ，∴ ； 综上，原不等式的解集为{ 或 }. （2） . 当 时，等号成立. ∴ 的最小值为 ，要使 成立， ∴ ，解得 ，∴ 的取值范围为 . 点睛：（1）含绝对值不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. （2）不等式恒成立问题通常转化为求函数最值来处理. ( ) 3 4 2f x x m+ − > − 2m − 2 1 2 4x x+ + − 4x ≥ ( ) 2 1 4 5f x x x x= + − + = + 5 0x + > 5x x> − 4x ≥ 1 42 x− ≤ < ( ) 2 1 4 3 3f x x x x= + + − = − 3 3 0x − > 1x > 1 4x< < 1 2x < − ( ) 2 1 4 5f x x x x= − − + − = − − 5 0x− − > 5x < − 5x < − 1x x 5x < − ( ) ( )3 4 2 1 2 4 2 1 2 8 9f x x x x x x+ − = + + − ≥ + − − = 1 42 x− ≤ ≤ ( ) 3 4f x x+ − 9 ( ) 3 4 2f x x m+ − > − 2 9m − < 7 11m− < < m ( )7,11−