- 1 -
2020 届高中毕业班联考（一）
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．复数 在复平面内所对应的点的坐标为 ，则 的实部与虚部的和是（ ）
A． B．0 C． D．
3．若“ ，使得 ”为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知 是定义域为 的偶函数，且在 上单调递增，若 ， ，
，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量 ， 满足： ， ， ，则 在 方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．1
6．我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》
等 10 部专著是了解我国古代数学的重要文献．这 10 部专著中有 5 部产生与魏晋南北朝时期．某中学拟从
这 10 部专著中选择 2 部作为“数学文化”课外阅读教材则所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的
专著的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．二项式 展开式的第二项的系数为 ，则 的值为（ ）
{ | ( 1) 0}A x x x= + < 1| 12xB x = > B A =
( 1,0]− ( 1,0)− ( , 1]−∞ − ( ,0]−∞
z (1,1) | |z
z
2 2
2
2 2
2 2 i−
x R∃ ∈ sin 3cosx x a− = a
[ 2,2]− ( 2,2)−
( , 2] [2, )−∞ − ∪ +∞ ( , 2) (2, )−∞ − ∪ +∞
( )f x R ( ,0)−∞ 1
2
log 3a f
=
( )1.22b f −=
1
2c f = a b c
a c b> > b c a> > b a c> > a b c> >
a b | | 2a = | | 2b = ( )a b a− ⊥ a b
1− 2
2 2
7
9
2
9
4
9
5
9
3( 1) ( 0)mx m− > 3−
0
m xe dx∫- 2 -
A． B． C． D．
8．太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫等标记物，太极图无不跃居其上，
这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳
鱼图案中，阴影部分的区域可用不等式组来表示 ，设点
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．衡东土菜辣美鲜香，享誉三湘．某衡东土菜馆为实现 100 万元年经营利润目标，拟制定员工的奖励方案：
在经营利润超过 6 万元的前提下奖励，且奖金 （单位：万元）随经营利润 （单位：万元）的增加二增
加，但奖金总数不超过 3 万元，同时奖金不能超过利润的 20%．下列函数模型中，符合该点要求的是（ ）
（参考数据： ）
A． B． C． D．
10．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过点 与双曲线的一条渐近线平
行的直线交双曲线的另一条渐近线于点 ，若 ，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知 是函数 的最大值，若存在实数 使得对任意实
数 ，总有 成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，矩形中 ， ， 为边 的中点，将 沿 翻折成 （
1e − 1e + 1 e− 11 e
−
2 2
2 2 2 2
4
( , ) ( 1) 1 ( 1) 1
0
x y
A x y x y x y
x
+ ≤ = + − ≤ + + ≥
≤
或
( , )x y A∈ z x y= +
[1 2,2 2]− [ 2 2,2 2]− [ 2 2,1 2]− + [ 2,1 2]− +
y x
1001.015 4.432,lg11 1.041≈ ≈
0.04y x= 1.015 1xy = − tan 119
xy = − 11log (3 10)y x= −
1F 2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F
M 1 2 0MF MF⋅ >
(1, 2) ( 3, )+∞ (1,2) (2, )+∞
A ( ) sin 2020 cos 20206 3f x x x
π π = + + − 1 2,x x
x ( ) ( )1 2( )f x f x f x≤ ≤ 1 2A x x⋅ +
1010
π
2020
π
3030
π
4040
π
ABCD 2 2BC AB= = N BC ABN△ AN 1B AN△ 1B ∉- 3 -
平面 ）， 为线段 的中点，则在 翻折过程中，下列命题：
①与平面 垂直的直线必与直线 垂直；
②线段 的长为 ；
③异面直线 与 所成角的正切值为 ；
④当三棱锥 的体积最大时，三棱锥 外接球表面积是 ．正确的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题与选考题两部分，第 13-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-23 题为选考题，
考生根据要求作答
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则实数 的值为_________．
14．在 中，边 所对的角分别为 ． 的面积 满足 ，若
，则 _________．
15．已知抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 与抛物线分别交于 ， 两点，若第一象限的点
，满足 （其中 为坐标原点），则 ________．
16．已知 为整数，若对任意 ，不等式 恒成立，则 的最大值为________．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（一）必做题（共 60 分）
17．已知 为等差数列，前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 前 项和为 ，证明： ．
18．如图，在多面体 中， ， ，平面 平面 ， ，
，
ABCD M 1B D ABN△
1B AN CM
CM 3
2
CM 1NB 3
3
1D ANB− 1D ANB− 4π
2 lny x x= + (1,1) 2 0x ay− + = a
ABC△ , ,a b c , ,A B C ABC△ S 2 2 24 3
3 S b c a= + −
3a =
sin sin
a c
A C
− =−
2 4y x= F F l A B
( ,2)M t 1 ( )2OM OA OB= + O | |AB =
m (3, )x ∈ +∞ ln( 3) 1
m
x
x e
− ≤ m
{ }na n nS 3 9a = 9 135S =
{ }na
2
1
na
n nT 1 1
6 3nT≤ <
ABCDE DE AB∥ AC BC⊥ DAC ⊥ ABC 2 4BC AC= =
2AB DE= DA DC=- 4 -
（1）若点 为 的中点，证明： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 60°，求平面 与平面 所成的角（锐角）的余弦值．
19．已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与 交
于 ， 两点， 的周长为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 作与 轴垂直的直线 ，点 ，试问直线 与直线 交点的横坐标是否为定值？请说
明理由．
20 ． 若 方 程 有 实 数 根 ， 则 称 为 函 数 的 一 个 不 动 点 ． 已 知 函 数
（1）若 ，求证： 有唯一不动点；
（2）若 有两个不动点，求实数 的取值范围．
21．“工资条里显红利，个税新政人民心”我国自 1980 年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）
改革迎来了全面实施的阶段．2019 年 1 月 1 日实施的个税新政主要内容包括：（1）个税起征点为 5000 元；
（2）每月应纳税所得额（含税）=收人-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括住房、子女教
育和赡养老人等．
新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如下：
旧个税税率表（个税起征点 3500 元） 新个税税率表（个税起征点 5000 元）
缴 税
基数
每月应纳税所得额（含税）=收
入-个税起征点
税率（%）
每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起
征点-专项附加扣除
税率（%）
1 不超过 1500 元的部分 3 不超过 3000 元的部分 3
2 超过 1500 元至 4500 元的部分 10 超过 3000 元至 12000 元的部分 10
F BC EF ⊥ ABC
BE ABC DCE ABC
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2
2 1F 2F 2F C
M N 1MF N△ 4 2
C
M y l 3 ,02K NK l
( )f x x= 0x 0x ( )f x
ln( ) ( 1) ln ( )x xf x e a x a x a R−= + + − ∈
a e= − ( )f x
( )f x a- 5 -
3 超过 4500 元至 9000 元的部分 20 超过 12000 元至 25000 元的部分 20
4 超过 9000 元至 35000 元的部分 25 超过 25000 元至 35000 元的部分 25
5
超过 35000 元至 55000 元的部
分
30 超过 35000 元至 55000 元的部分 30
… … … … …
随机抽取某市 2020 名同一收入层级的 IT 从业者的相关资料，经统计分析，预估他们 2019 年的人均月收入
24000 元，统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的
孩子，并且他们中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人
扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比
是 1∶1∶1∶2；此外，他们均不符合其他专项附加扣除，新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房
1000 元/月，子女教育每孩 1000 元/月，赡养老人 2000 元/月等．
假设该市该收入层级的 从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的 从业者的人均
月收入视为其个人月收入，根据样本估计总体的思想，解决如下问题：
（1）求在旧政策下该收入层级的 从业者每月应纳的个税；
（2）设该市该收入层级的 从业者 2019 年月缴个税为 元，求 的分布列和期望；
（3）根据新旧个税方案，估计从 2019 年 1 月开始，经过多少个月，该市该收入层级的 从业者各月少缴
纳的个税之和就超过 2019 年的人均月收入？
（二）选做题（共 10 分）
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22．心形线是由一个圆上的一个定点当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点
的轨迹，因其形状像心形而得名在极坐标系 中，方程 表示的曲线 就是一条心
形线．如图，以极轴 所在直线为 轴，极点 为坐标原点的直角坐标系 中，已知曲线 的参数方
程为 （ 为参数）．
（1）求曲线 的极坐标方程
（2）若曲线 与 相交于 ， ， 三点，求线段 的长．
IT IT
IT
IT X X
IT
Ox (1 sin )( 0)a aρ θ= − > 1C
Ox x O xOy 2C
31 3
3
x t
y t
= +
= +
t
2C
1C 2C A O B AB- 6 -
23．已知函数 的定义域为 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）设 为 的最大值，实数 满足 ．
试证明： ．
衡阳市 2020 届高三第一次联考数学（理科）参考答案
1．【答案】C
【解析】依题意， ， ，所以 ，故选 C．
【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】 ，所以 ，所以 ，所以复数 的实部是
虚部是 ，故选 B．
【命题意图】源于教材的基础题，本题考查复数几何意义、复数的模、共轭复数、复数除法运算以及复数
实部、虚部的概念，属基础题
3．【答案】A
【解析】由题意知， 使得 ，知 ，选 A．
【命题意图】此题重在考查三角函数与简易逻辑的交汇、辅助角公式的应用，属于中档题．
4．【答案】B
【解析】∵ ，则函数 为偶函数，∵函数 在区间 内单调递增，在
该函数在区间 上为减函数，∵ ，由换底公式得 ，由函数的性质
可得 ，对数函数 在 上为增函数，则 ，指数函数
为增函数，则 ，即 ，∴ ，因此， ．
【命题意图】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比
较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属
于中等题．
5．【答案】D
( ) | 6 | | |f x x x m= − + − R
m
t m , ,a b c 2 2 2a b c t+ + =
2 2 2
1 1 1 11 1 1a b c
+ + ≥+ + +
( 1,0)A = − ( ,0)B = −∞ ( , 1]B A = −∞ −
1z i= + 2 2| | | | 1 1 2z z= = + = | | 2 2 2
1 2 2
z iz i
= = −+
| |z
z
2
2
2
2
−
x R∃ ∈ sin 3cos 2sin 3x x x a
π − = − = [ 2,2]a ∈ −
( ) ( )f x f x− = ( )y f x= ( )y f x= ( ,0)−∞
(0, )+∞ 1 1
2 2
log 3 log 1 0< = 1 2
2
log 3 log 3= −
( )2log 3a f= 2logy x= (0, )+∞ 2 2log 3 log 2 1> = 2xy =
1.2 1 00 2 2 2− −< < < 1.2 10 2 12
−< < < 1.2
2
10 2 log 32
−< < < b c a> >- 7 -
【 解 析 】 ∵ ， 因 此 在 方 向 上 的 投 影 为
．
【命题意图】本题结合向量数量积的几何运算考查向量的投影的概念，属于基础题型．
6．【答案】A
【解析】设所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件 ，所以 ，因此
，故选 A．
【命题意图】本题考查了超几何分布以及对立事件的概率，旨在考查学生的分析转化题意，求解运算能
力．
7．【答案】A
【解析】二项式 的展开式的通项公式得 ．∵第二项的系数
为 ，∴ ，∴ ， ，解得 ．当 时，则 ，故选
A．
【命题意图】本题考查了二项式定理与微积分基本定理的应用，属于中档题．旨在考查考生的分析转化能
力，逻辑推理，求解运算能力．
8．【答案】C
【解析】如图，作直线 ，当直线上移与圆 相切时， 取最大值，此时，
圆心 到直线 的距离等于 1，即 ，解得 的最大值为： ，当下移与圆
相 切 时 ， 取 最 小 值 ， 同 理 ， 即 的 最 小 值 为 ： ， 所 以
．故选 C．
【命题意图】本题考查线性规划的数据应用，考查数形结合思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的
能力．
9．【答案】D
【解析】对于函数： ，当 时， 不合题意；
对于函数： ，当 时， 不合题意；
2( ) 2 0 2a b a a a b a b a b− ⊥ = − ⋅ = − ⋅ = ⇒ ⋅ = a b
2| | cos , 12| |
a ba a b
b
⋅⋅ 〈 〉 = = =
A
2
5
2
10
2( ) 9
Cp A C
= =
2 7( ) 1 ( ) 1 9 9p A p A= − = − =
3( 1) ( 0)mx m− > 1 2 1 2 2
2 3 ( ) ( 1) 3T C mx m x= − = −
3− 23 3m− = − 2 1m = 0m > 1m = 1m = 1 1
00
1x xe dx e e= = −∫
0x y+ = 2 2( 1) 1x y+ − = z x y= +
(0,1) 0x y z+ − = |1 | 1
2
z− = z 1 2+
2 2 4x y+ = z x y= + | | 2
2
z− = z 2 2−
[ 2 2,1 2]z ∈ − +
0.04y x= 100x = 4 3y = >
1.015 1xy = − 100x = 3.432 3y = >- 8 -
对于函数： ，不满足递增，不合题意；
对于函数： ，满足： ，增函数，
且 ，结合图象：
符合题意，故选 D．
【命题意图】本题结合现实生活情境，考查函数模型的应用解题关键在于弄清题目给定规则，依次用四个
函数逐一检验，属于中档题．
10．【答案】D
【解析】不妨设过点 与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为 ，与另一条渐近线
的交点为 ，由 得 ，即有 ，又
因为 ，故选 D．
【命题意图】本题涉及双曲的渐近线、离心率等基本量的计算，旨在考查学生的数形结合思想，分析转化
能力．另外 等价于点 在以线段 为直径的圆外，于是也可以由 获得结论．
11．【答案】C
2
∴ ，又存在实数 ，对任意实数
总有 成立，∴ ，作出函数 的图象，
由图可知， 的最小值即为函数 最大负零点 的绝对值 ，而 ，于是有
tan 119
xy = −
11log (3 10)y x= − (6,100]x ∈
11 11 11log (3 100 10) log 290 log 1331 3y ≤ × − = < =
1( ,0)F c− ax y cb
= −
by xa
= − ,2 2
c bcM a
− 1 2 0MF MF⋅ > 3, , 02 2 2 2
c bc c bc
a a
− − ⋅ − >
2
2 3b
a
>
2
21 2be a
= + >
1 2 0MF MF⋅ > M 1 2F F | |OM c>
3 1 1 3( ) sin 2020 cos 2020 sin2020 cos2020 cos2020 sin20206 3 2 2 2 2f x x x x x x x
π π = + + − = + + +
3sin2020 cos2020 2sin 2020 6x x x
π = + = + max( ) 2A f x= = 1 2,x x x
( ) ( )1 2( )f x f x f x≤ ≤ ( )2 max( ) 2f x f x= = ( )1 min( ) 2f x f x= = − ( )f x
1 2
2
x x+
( )f x 0x 0x 0
6
2020x
π
ϕ
ω= − = −- 9 -
的最小值为 ，故选 C．
【命题意图】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，重在考查学生数形结合思
想以及直观想象核心素养．
12．【答案】B
【解析】取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，显然 平面 ，故①
正确；
，故②错误；
即为异面直线 与 所成角， ，故③错误；显然 为三棱锥
外接球球心，且 ，故④正确，综上，①④正确，选 B．
【命题意图】本题考查翻折过程中点线面位置关系、相关角度、长度、体积的计算．旨在考查考生的直观
想象、数学运算核心素养．
13．【答案】
【解析】由 ，有 ，从而 ．
【命题意图】题主要考查导数的几何意义、两直线的位置关系，属于容易题．
14．【答案】2
【解析】由余弦定理得： ，由面积公式
在 的面积 满足 ，可得 ， ，即 ，再由正弦定
理： ，有 ．
【命题意图】本题主要考查了正余弦定理的合理运用，熟悉公式及化简是解题的重点，属于较为基础题．
15．【答案】8
1 2A x x⋅ + 62 22020 3030
π
π
⋅ − × =
1AB K AD O KM KN 1OB ON CM∥ 1B AN
2
2 2 2
1 1
1 51 2 2CM NK B N B K = = + = + =
1KNB∠ CM 1NB 1
1
1
1tan 2
B KKNB B N
∠ = = O 1B AND−
1R OA= =
1
3
12y x x
′ = + 1 3a
= 1
3a =
2 2 2
2 2 2cos 2 cos2
b c aA b c a bc Abc
+ −= ⇒ + − = ⋅ 1 sin2S bc A= ⋅
ABC△ S 2 2 24 3
3 S b c a= + − tan 3A =
3A
π= 3sin 2A =
2 2sin
a RA
= = 2 2sin sin
a c RA C
− = =−- 10 -
【解析】抛物线 的焦点 ，设 ， ，直线 方程为 ， ，
由 得 ， 于 是 有 ， 根 据 题 意 有 ，
，所以 ．
【命题意图】本题主要考查抛物线的简单性质，以及抛物线与直线的位置关系．解答直线与抛物线位置关
系的问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方
程，解决相关问题．
16．【答案】
【解析】解法 1：由题意对任意的 ，不等式 恒成立，则 时，不等式
也成立，代入 得 ，则 ，这是满足题意的一个必要条件，又 为整
数，只需验证 时，对任意的 ，不等式 恒成立，即证 ，变形
为 对 任 意 的 恒 成 立 ， 令 ， 是
，故 在 递减， 递增，∴ ，∴
对任意的 恒成立，故 满足题意．（此法参照端点效应，小题可用）
解 法 2 ： 记 ， 则 ， 令 ， 于 是 有
，∴ 在 上单减，又 ， ，∴
，使得 ，故有 ，∴ ，∴ ．
【命题意图】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，运用导数工具解决含
参数不等式恒成立问题关键是探寻到一个使命题成立的必要条件，这是解决此类题的常用手段，属于难
题．
三、解答题
17．【解析】（1）设公差为 ，由题意得： ，解得 ，∴ ．
2 4y x= (1,0)F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 1x my= + m R∈
2
1
4
x my
y x
= +
=
2 4 4 0y my− − = 1 2
1 2
4
4
y y m
y y
+ =
= − 1 2 4 4y y m+ = =
( )1 21 2 2 32 2
m y yx xt
+ ++= = = | | 2(3 1) 8AB = + =
1m =
(3, )x ∈ +∞ ln( 3) 1
m
x
x e
− ≤ 3x e= +
ln( 3) 1
m
x
x e
− ≤ 3x e= + 3me e≤ + 1m ≤ m
1m = (3, )x ∈ +∞ ln( 3) 1
m
x
x e
− ≤ 1
ln( 3) 1x
x e
− ≤
1ln( 3)x xe
− ≤ (3, )x ∈ +∞ 1( ) ln( 3)g x x xe
= − − (3, )x ∈ +∞
3( ) ( 3)
e xg x e x
− +′ = − ( )g x ( 3, )e + +∞ (3, 3)e + 3( ) ( 3) 1 1 0g x g e e
≤ + = − − <
1ln( 3)x xe
− ≤ (3, )x ∈ +∞ 1m =
ln( 3)( ) xf x x
−= 2
ln( 3)3( )
x xxf x x
− −−′ = ( ) ln( 3)3
xx xx
ϕ = − −−
2
3 1( ) 0( 3) 3x x x
ϕ −′ = − 8(8) ln5 05
ϕ = − <
0 (7,8)x∃ ∈ ( )0
max
0 0
ln 3 1 1 1( ) ,3 5 4
xf x x x
− = = ∈ −
1 1
4me
≥ 4me ≤ max 1m =
d 1
1
2 9
9 36 135
a d
a d
+ =
+ =
1 3
3
a
d
=
= 3na n=- 11 -
（2）令 则 ∴ ，
又 ∴
【命题意图】考查等差数列的基本量计算和数列的单调性，以恒成立思想为载体，旨在考查考生的知识的
化归与转化能力，求解运算能力．
18．【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ，∵在 中 ，∴ ．
∴由平面 平面 ，且交线为 得 平面 ．∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ，且 ．又 ， ，∴ ，且 ．
∴四边形 为平行四边形．∴ ，∴ 平面 ．
（2）∵ 平面 ， ，∴以 为原点， 所在直线为 轴，过点 与 平行的直线
为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系则 ， ， ．∵ 平
面 ，∴直线 与平面 所成角 ．
∴ ．∴ ， ，
可取平面 的法向量 ，设平面 的法向量 ，
有 ， ，则 ，取 ，则 ， ，所以有
，于是 ，故所求二面角的余弦值为 ．
【命题意图】本题背景为底面为直角三角形的棱柱切去部分结构剩下几何体，对几何体中线面垂直、线线
平行判定和性质、二面角平面角求法都有具体考查．旨在考查考生的空间想象、转化、求解运算能力．
19 ．【解析】（1 ）三角形 的周长为 ，又 ， ，得 ，
，故所求椭圆方程为 ．
2
1 1 1
3 2n
n
nc a
= = 1
10 6nc c< ≤ = 1
1
6nT T≥ =
1 112 21 1 1 1113 3 2 31 2
n
n
nT
− = = −
(0,1)x ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x (0,1) (1, )x ∈ +∞ ( ) 0F x′ > ( )F x (1, )+∞
min( ) (1) ln1 0F x F e e e= = − + = ln 0
xe ex e xx
− + = 0 1x =
( )f x
( )f x ( ) ln
x xe eh x ax x
= + (0, )+∞
xet ex
= > ( ) ( ) lnh x g t t a t= = + ( )h x ( )g t ( , )e +∞
1 lnt
a t
= − ( , )e +∞ ln( ) ( )th t t et
= − >
2
ln 1( ) 0th t t
−′ = > ( )h t ( , )e +∞ lim ( ) 0
x
h t→+∞
= 1 1 0e a
− < < a e< −
2 ( 0)xe x x> > ( ) 2xx e xϕ = − ( ) 2xx e xϕ′ = − ( ) 2xx eϕ′′ = − (0,ln2)x ∈
( ) 0xϕ′′ < (ln2, )x ∈ +∞ ( ) 0xϕ′′ > ( ) (ln2) 0xϕ ϕ′ ′≥ > 2( ) xx e xϕ = − (0, )+∞
( ) (0) 0xϕ ϕ> = 2 ( 0)xe x x> > 2ln ( 0)x x x> > ( )f x- 13 -
有两个零点， ，
易知 ．当 时， ，当 时， ，所
以有 ．
下面说明当 时 有两个零点．取 有 ，故
． 取 ， 且 ， 故
．又 ，由零点存在性定理知 在 存在
唯一 ，使 在 内存在 使 ，综上有 ．
解法 3：由 得， ，令 ，则 ，显然
在 上 单 减 ， 在 上 单 增 ， 从 而 ， 令 ， 根 据 题 意 知 ，
在 上有唯一零点．（1）当 时， 恒成立，无零点，不符合题意：
（ 2 ） 当 时 ， 令 ， 有 ， 由 得 ， 此 时
，接下来只需在 上找一点 ，使得 即可．因为 ，从而
，即 ，∴ ，取 ，不妨取 ，有 ，所以
在 上存在唯一零点，即 有两个不同实根，故 ．
【命题意图】本题以不动点理论背景命制试题，涉及利用导数研究函数形态，切线放缩“ ”、
“ ”、同型同构、变量分离求参数等方法的应用．重在考查考生的函数思想，求解运算能力．
21．【解析】（1）旧政策下该收入层级的 从业者每月应纳的个税为
（2）依据新政策，既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为
，月缴个税 ；
只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为
，月缴个税 ；
只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为
ln
( ) ln
x xeg x ax x
−
= +−
ln
2
( ln 1)( 1)( ) ( ln )
x xe x x xg x x x x
− − − −′ = −
ln ln 0, 1 ln 0x x xe e x x x− > = > − − > (0,1)x ∈ ( ) 0g x′ < (1, )x ∈ +∞ ( ) 0g x′ >
min( ) (1)g x g e a= = +
a e< −
ln
( ) ln
x xeg x ax x
−
= +− ( )1 0,1ax e= ∈ 1 1 1ln lnx x x a− > − = −
( ) 1 1ln
1 1 1
1 1
ln 0ln
x xeg x a x x ax x
−
= + > − + >− 2 (1, )ax e−= ∈ +∞ 2 2 2ln lnx x x a− > = −
( ) 2 2ln
2 2 2
2 2
ln 0ln
x xeg x a x x ax x
−
= + > − + >− (1) 0g e a= + < ( )f x (0,1)
3x ( )3 0g x = (1, )+∞ 4x ( )4 0g x = a e< −
( )f x x= ln ( ln ) 0x xe a x x− + − = ( ) lnt x x x= − 1( ) xt x x
−′ = ( ) lnt x x x= −
(0,1) (1, )+∞ min( ) (1) 1t x t= = ( ) ( 1)tg t e at t= + ≥
( ) ( 1)tg t e at t= + ≥ (1, )+∞ 0a ≥ ( ) 0g t >
0a < ( ) 0tg t e a′ = + = ln( )t a= − (ln( )) 0g a− < a e< −
(1) 0g e a= + < (1, )+∞ 0t ( )0 0g t > 2 ( 0)te t t> >
2 0te at t at+ > + > 0t a+ > t a> − 0t a> − 0 2t a= − ( 2 ) 0g a− > ( )g t
( )01,t ( )f x x= a e< −
1xe x− ≥
xe ex≥
IT
1500 0.03 3000 0.1 4500 0.2 11500 0.25 4120× + × + × + × =
24000 5000 1000 18000− − = 3000 0.03 9000 0.1 6000 0.2 2190X = × + × + × =
24000 5000 1000 1000 17000− − − = 3000 0.03 9000 0.1 5000 0.2 1990X = × + × + × =- 14 -
，月缴个税 ；
既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为
，月缴个 ；
所以 的可能值为 2190，1990，1790，1590，依题意，上述四类人群的人数之比是 2∶1∶1∶1，
所以 ， ， ， ，
所以 的分布列为
2190 1990 1790 1590
所以 ．
（3）因为在新政策下该收入层级的 从业者 2019 年月缴个税为 1830，所以该收入层级的 从业者每月
少缴交的个税为 ，设经过 个月，该收入层级的 从业者少缴交的个税的总和就超过
24000，则 ，因为 ，所以 ．所以经过 11 个月，该收入层级的 从业者少缴交
的个税的总和就超过 2019 年的月收入．
【命题意图】本道题结合“个税新政”这个话题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望、样本估计总
体的统计思想，综合性程度较高，着重对学生数据分析、数学运算能力的考查．
22．【解析】（1）由 （ 为参数），消参数 化简得普通方程： ，
令 ，即 化简得 ，即
即得曲线 的极坐标方程为 ．
（ 2 ） 由 已 知 ， 不 妨 设 ， ， 于 是 ，
，故 ．
【命题意图】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，利用极坐标解决长度问题，旨
在考查学生应用知识能力、等价转化能力．
23．【解析】（1）由题意知， 恒成立，又 ，所以实数 的取
值范围是 ．
（ 2 ） 解 法 1 ： 由 （ 1 ） 可 知 ， ， 所 以 从 而
24000 5000 1000 2000 16000− − − = 3000 0.03 9000 0.1 4000 0.2 1790X = × + × + × =
24000 5000 1000 1000 2000 15000− − − − = 3000 0.03 9000 0.1 3000 0.2 1590X = × + × + × =
X
2( 2190) 5P X = = 1( 1990) 5P X = = 1( 1790) 5P X = = 1( 1590) 5P X = =
X
X
P 1
5
1
5
1
5
2
5
1 1 1 2( ) 2190 1990 1790 1590 18305 5 5 5E X = × + × + × + × =
IT IT
4120 1830 2290− = x IT
2290 24000x > x N∈ 11x ≥ IT
31 3
3
x t
y t
= +
= +
t t 3 0x y− =
cos , sinx yρ θ ρ θ= = 3 cos sin 0ρ θ ρ θ− = tan 3θ =
3
πθ =
2C ( )3 R
πθ ρ= ∈
, 3AA
πρ
4, 3BB
πρ
31 sin 13 2A a a
πρ = − = −
4 31 sin 13 2B a a
πρ = − = +
| | 2AB a=
| 6 | | |x x m− + ≥ | 6 | | | |( 6) | 6x x x x− + ≥ − − = m
6m ≤
2 2 2 6a b c+ + = 2 2 21 1 1 9a b c+ + + + + =- 15 -
，
当且仅当 ，即 时等号成立，证毕．
解法 2：由权方和不等式，
解法 3：由柯西不等式，
从而有，
．
【命题意图】本题考查了三角不等式、三元均值不等式的应用，重在考查考生数学建模、运算求解能力．
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 9 1 1 1 a b ca b c a b c
+ + = + + + + + + + + + + + + +
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 13 (3 6) 19 1 1 1 1 1 1 9
b a c a c b
a b a c b c
+ + + + + += + + + + + + ≥ + = + + + + + +
2 2 21 1 1 3a b c+ = + = + = 2 2 2 2a b c= = =
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 (1 1 1) 11 1 1 1 1 1 1 1 1a b c a b c a b c
+ ++ + = + + ≥ =+ + + + + + + + + + +
2
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1(1 1 1) 1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
+ + = + + + + + + + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1
a b c
a b c
≤ + + + + + + + + + +
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 (1 1 1) 11 1 1 1 1 1a b c a b c
+ ++ + ≥ =+ + + + + + + +
微信/支付宝扫码支付