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湖南省衡阳市 2020 届高三第一次联考（一模）
（文科）数学试题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数 所对应的点 的坐标为 ，则 的实部与虚部的和是（ ）
A．2 B．0 C． D．
3．已知 ，则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．研究机构对 20 岁至 50 岁人体脂肪百分比 和年龄 （岁）的关系进行了研究通过样本数据，求得
回归方程 现有下列说法：
①某人年龄为 70 岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约 40.15%；
②年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加 0.45%；
③20 岁至 50 岁人体脂肪百分比 和年龄 （岁）成正相关．
上述三种说法中正确的有（ ）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
5．若 ， ，且 ，则 （ ）
A． B．2 C．0 D．
6．程序框图所示的算法来自于《九章算术》．若输入 的值为 8， 的值为 6，则执行该程序框图输出的结
果为（ ）
{ |( 1)( 1) 0}A x x x= − + < { }| 2 ,xB y y x R= = ∈ A B∩ =
( 1,0]− ( 1,1)− (0,1) Φ
z A (1, 1)− z
1 i+ 1 i−
1
3 2
2log 3, 2 , 2a b c−= = = a b c
a c b> > c a b> > c b a> > a b c> >
(%)y x
ˆ 0.58 0.45y x= −
(%)y x
| | 2a = | | 2b = ( )a b a− =⊥ a b− =
2 2 2
a b- 2 -
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长
为 1 的等腰直角三角形（如图所示）．则此几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．4
8．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 ，若
点 ，则 的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
9．已知命题 ：函数 f(x)的定义域为 ，命题 ：存在实数 满足 ，若 为真，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4 2 6+ + 4 6+ 2 4 2+
2 2
2 2 2 2
4
( , ) ( 1) 1 ( 1) 1
0
x y
A x y x y x y
x
+ = + − + + ≥
或
( , )x y A∈ z x y= +
2 1− 1 2+ 2 2
p R q x lnax x≤ p q∨ a
12, e
−
1 ,2e
[2, )+∞ ( ,2]−∞- 3 -
10．已知 ， 分别是双曲线 的左右焦点，过点 与双曲线的一条渐近线平行
的直线交双曲线的另一条渐近线于点 ，若 ，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知 是函数 的最大值，若存在实数 使得对任意实
数 总有 成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，矩形 中， ， 为边 的中点，将 绕直线 翻转成
（ 平面 ）， 为线段 的中点，则在 翻折过程中，①与平面 垂直的直线必与
直线 垂直；②线段 的长恒为 ③异面直线 与 所成角的正切值为 ④当三棱锥的体积
最大时，三棱锥 外接球的体积是 ．上面说法正确的所有序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①④
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答．第（22）题
-第（23）题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分，满分 20 分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13．在区间 上随机地取一个数 ，则事件“ ”发生的概率为__________．
14．设抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 与抛物线分别交于两点 、 ，若点 满足
，则 __________．
15．在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则（1）
1F 2F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F
M 1 2 0MF MF⋅ >
(1, 2) ( 3, )+∞ (1,2) (2, )+∞
A ( ) sin 2020 cos 20206 3f x x x
π π = + + − 1 2,x x
x ( ) ( )1 2( )f x f x f x≤ ≤ 1 2A x x⋅ −
2020
π
1010
π
505
π
4040
π
ABCD 2 2BC AB= = N BC ABN△ AN 1B AN△
1B ∈ ABCD M 1B D ABN△ 1B AN
CM CM 5
2 CM 1NB 3
3
1B AND− 4
3
π
[0, ]π x 2sin 2x ≤
2 4y x= F F l A B (2, )M t
1 ( )2OM OA OB= + | |AB =
ABC△ A B C a b c 22sin sin cos sinA B C C=- 4 -
__________，（2） 的最大弧度数为___________．
16．己知直线 上有两点 、 且满足 若
， 则这样的点 共有_____个．
三、解答题：本大题必做题 5 个，每题 12 分，选做题两个只选做一个，10 分，满分 70 分．解答应写出文
字说明，证明过程或推演步骤．
17．已知 的三个内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若三边 ， ， 的长成等比数列， 的面积为 ，求 的长．
18． 2020 年 1 月 22 日，国新办发布消息：新型冠状病毒来源于武汉一家海鲜市场非法销售的野生动．专
家通过全基因组比对发现此病毒与 2003 年的非典冠状病毒以及此后的中东呼吸综合征冠状病毒，分别达到
70%和 40%的序列相似性．这种新型冠状病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究所加
紧对新型冠状病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计
数据如下：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 20
注射疫苗 30
总计 50 50 100
现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为 ．
（1）求 列联表中的数据 ， ， ， 的值；
（2）能否有 99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？
附： ．
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
19．已知在四棱锥 中， ， ， ， ， 且
平面 平面
2 2
2
a b
c
+ = C∠
1y x= + 1 1( , )A a b 2 2( , )B a b 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 22 a a b b a b a b+ = + × +
1 2a a> | | 2 2AB = A
ABC△ A B C a b c sin( ) sin 3a A C b A
π + = +
A
b a c ABC△ 3 , ,a b c
x A
y B
2
5
2 2× x y A B
2
2 ( ) ,( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b a c c d b d
−= = + + ++ + + +
( )2
0P K k
0k
C ABED− DE AB∥ AC BC⊥ 2 4BC AC= = 2AB DE= DA DC=
DAC ⊥ ABCD- 5 -
（1）设点 为线段 的中点，试证明 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 60°，求四棱锥 的体积．
20．已知椭圆 的离心率为 ，左右焦点分别为 、 ， 为椭圆上一点，
与 轴交于点 ， ， ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，过 作与 轴垂直的直线 ，点 坐标为
，试问直线 与直线 交点的横坐标是否为定值，请说明理由．
21 ． 若 方 程 有 实 数 根 ， 则 称 为 函 数 的 一 个 不 动 点 ． 已 知 函 数
（ 为自然对数的底数） ．
（1）当 时 是否存在不动点？并证明你的结论；
（2）若 ，求证 有唯一不动点．
请考生在（22）．（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题
目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑
22．选修 4-4：坐标系与参数方程
心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的
轨迹，因其形状象心形而得名．在极坐标系 中，方程 表示的曲线 就是一条心
形线，如图，以极轴 所在直线为 轴，极点 为坐标原点的直角坐标系 中，已知曲线 的参数方
程为 ( 为参数）．
F BC EF ⊥ ABC
BE ABC C ABED−
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2
2 1F 2F A
1AF y B 2| |AB F B= 2| | 4OB =
C
1 : 1l x my= + C M N M y 2l K
3 ,02
NK 2l
( )f x x= 0x 0x ( )f x
ln( ) ( 1) lnx xf x e a x a x−= + + − e a R∈
0a ≥ ( )f x
a e= − ( )f x
Ox (1 sin )( 0)a aρ θ= − > 1C
xO x O xOy 2C
31 3
3
x t
y t
= +
= +
t- 6 -
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）若曲线 与 相交于 、 、 三点，求线段 的长．
23．选修 4-5；不等式选讲
已知函数 的定义域为 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）设 为 的最大值，实数 满足 ，试证明 ．
衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题
衡阳市 2020 届高三第一次联考数学（文科）参考答案
1．【答案】C
【解析】依题意， ， ，所以 ，故选 C．
2．【答案】B
【解析】 ，所以复数 的实部是 1，虚部是 ，其和为 0，故选 B．
3．【答案】A
【解析】∵ ，因此 ，故选 A．
4．【答案】C
【解析】只有③正确，故选 C．
5．【答案】D
【解析】∵ ， ， ，因此 ，故选 D．
6．【答案】B
【解析】程序框图所示的算法是更相减损术求最大公约数，通过计算可得 ，故选 B．
7．【答案】A
【解析】∵根据斜二侧画法可知，几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为 2、 ，由此可计
算出该几何体的表面积为 ，故选 A．
2C
1C 2C A O B AB
( ) | 6 | | |f x x x m= − + − R
m
t m , ,a b c 2 2 2a b c t+ + = 2 2 2
1 1 1 11 1 1a b c
+ + ≥+ + +
( 1,1)A = − (0, )B = +∞ (0,1)A B∩ =
1z i= − z 1−
1
32
2
3log 3 2 1 22
−> > > > a c b> >
| | 2a = | | 2b = ( )a b a− ⊥ 2 2| | 2 ( 2) 2a b− = − =
2a =
2
4 2 6+ +- 7 -
8．【答案】C
【解析】作直线 ，当直线上移与圆 的右上方相切时， 取最大值，此时，
利用圆心 到直线 的距离等于 1，解得 的最大值为 ．故选 C．
9．【答案】D
【解析】若命题 为真，则 ；若命题 为真，则 ；所以若 为真，则
，故选 D．
10．【答案】D
【解析】不妨设过点 与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为 ，与另一条渐近线
的交点为 ，由 是 ，即有 ，又
因为 ，故选 D．
11．【答案】B
【解析】因为
∴ ， 周 期
， 又 存 在 实 数 ， 对 任 意 实 数 总 有 成 立 ， ∴
， ， 的最小值为 ，故选 B．
12．【答案】A
【解析】取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，显然 平面 ，故①
正确； ，故②正确； 即为异面直线 与 所
成角， ，故③错误；当三棱锥 的体积最大时，易证 为三棱锥
外接球球心，且 ，故④正确，综上，①②④正确，选 A．
0x y+ = 2 2( 1) 1x y+ − = z x y= +
(0,1) 0x y z+ − = z 1 2+
p 2 2a− ≤ ≤ q
max
ln 1xa x e
≤ = p q∨
( ,2]a ∈ −∞
1( ,0)F c− ax y cb
= −
by xa
= − ,2 2
c bcM a
− 1 2 0MF MF⋅ > 3, , 02 2 2 2
c bc c bc
a a
− − ⋅ − >
2
2 3b
a
>
2
21 2be a
= + >
3 1 1( ) sin 2020 cos 2020 sin2020 cos2020 cos20206 3 2 2 2f x x x x x x
π π = + + − = + +
3 sin2020 3sin2020 cos2020 2sin 20202 6x x x x
π + = + = + max( ) 2A f x= =
2
2020 1010T
π π= = 1 2,x x x ( ) ( )1 2( )f x f x f x≤ ≤
( )2 max( ) 2f x f x= = ( )1 min( ) 2f x f x= = − 1 2A x x⋅ −
2 1010
TA
π⋅ =
1AB K AD O KM KN 1OB ON CM∥ 1B AN
2
2 2 2
1 1
1 51 2 2CM NK B N B K = = + = + = 1KNB∠ CM 1NB
1
1
1
1tan 2
B KKNB B N
∠ = = 1B AND− O 1B AND−
1R OA= =- 8 -
二．填空题
13【答案】
【解析】∵在区间 上， ，则 ，因此其概率为 ．
14．【答案】6
【解析】地物线 的焦点 ，设 ， ，∵直线 过焦点 ，
∴ ，又 ，则 为 中点，所以 ．
15．【答案】2，
【解析】∵ ，∴ ；
又 ，∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号．
16．【答案】2
【解析】由已知条件和数量积的定义可知 或 ，又 ，所以 的外接圆的半
径 ，设其圆心为 ，则 点到直线 的距离为 ，所以 点应在与直线
平行且距离为 的两条平行直线 、 上，且 点到原点 的距离为 2；而原点
到 的距离为 ，所以 上不存在这样的点 ；而原点 到 的距离为
，所以 上存在两个符合条件的点 ；每个 点都确定唯一一个点 ，所以这样的点 共
有 2 个．
三．解答题
1
2
[ ]0,π 2sin 2x ≤ 30, ,4 4x
π π π ∈ ∪
1
2
2 4y x= (1,0)F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB (1,0)F
1 2| | 2AB x x= + + 1 ( )2OM OA OB= + (2, )M t AB | | 4 2 6AB = + =
3
π
22sin sin cos sinA B C C=
2 2
2 2 2 2 2
22 cos 2a bab C c a b c c c
+= ⇒ + − = ⇒ =
2 2 2 2 2 1cos 2 4 2
a b c a bC ab ab
+ − += = ≥ 0 C π< <
3C
π≤ a b=
4AOB
π∠ = 3
4
π
| | 2 2AB = ABO△
| | 2 2 2
22sin 4
ABR π= = = C C 1y x= + 2 C
1y x= + 2 1y x= − 3y x= + C O
O 3y x= + 3 2 22
> 3y x= + C O 1y x= −
2 22
< 1y x= − C C A A- 9 -
17．【解析】（1）∵
∴
∵ ，∴
（2）由 的面积为 得 ，又 ，∴
由余弦定理知： ∴
∴
所以
18 ．【解 析 】（ 1 ） 由 已 知 条 件 可 知 ： ， ， ，
.
（2）∵
显然
所以有 99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效
19．【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 和 ，
∵在 中 ，∴ ．
由于平面 平面 ，且交线为 ，∴ 平面 ．
又∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ 且 ．
又 ， ，∴ 且 ．
∴四边形 为平行四边形．∴ ，
∴ 平面 ．
（2）方法一：∵ 平面 ，所以直线 与平面 所成的角为 ，
由于 ，∴ ，
又 ∴ 、 点到平面 的距离相等，∵平面 平面 ， ，
∴ 平面 ∴ 点到平面 的距离等于 2
∴
方法二：∵ 平面 ，所以直线 与平面 所成的角为 ，
由于 ，∴ ，
sin( ) sin sin sin sin sin3 3 3a A C b A a B b A A A
π π π + = + ⇒ = + ⇒ = +
sin 3cos tan 3A A A= ⇒ =
0 A π< <
3A
π=
ABC△ 3 4bc = 2 4a bc= = 2a =
2 2 2 2 cos 3a b c bc
π= + − 2 2 8b c+ =
2 2 2( ) 2 0b c b c bc b c− = + − = ⇒ =
2b c= =
0.4 100 40B = × = 100 60A B= − = 60 20 40x = − =
40 30 10y = − =
2
2 100(20 10 30 40) 100 50 16.66750 50 60 40 6 3K
× − ×= = = ≈× × ×
16.667 10.828>
AC O DO OF
DAC△ DA DC= DO AC⊥
DAC ⊥ ABC AC DO ⊥ ABC
O F AC BC AB OF∥ 2AB OF=
DE AB∥ 2AB DE= OF DE∥ OF DE=
DEFO EF DO∥
EF ⊥ ABC
EF ⊥ ABC BE ABC 60EBF∠ = °
1 22BF BC= = 2 3EF DO= =
EF DO∥ E F DAC DAC ⊥ ABC CF AC⊥
CF ⊥ DAC E DAC
1 12 3 2 4 2 3 4 33 3C ABED E DAC E ABCV V V− − −= + = × × + × × =
EF ⊥ ABC BE ABC 60EBF∠ = °
1 22BF BC= = 2 3EF DO= =- 10 -
∵ ，
∴ ，∴
∴
∵
∴ ．
方法三：（也可以用等体积法求 点等平面 的距离，再求体积）
20 ．【解析】（1 ）连接 ，由题意得 ，所以 为 的中位线，又因为
，所以 ，且 ，
又 ， ，得 ， ，
故所求椭圆方程为 ．
（2）设 ， 由 得
∴
直线 的方程： ，
令 ，则有
∴ 与 交点的横坐标为定值 2．
21．【解析】（1）当 时， 不存在不动点．
2AB DE=
1
2ADE ABES S=△ △
1
2C ADE C ABEV V− −=
3
2C ABED C ABEV V− −=
1 1 8 32 4 2 33 2 3C ABEV −
= × × × =
3 3 8 3 4 32 2 3C ABED C ABEV V− −= = × =
C ABED
2AF 2 1| |AB F B F B= = BO 1 2F AF△
1 2BO F F⊥ 2 1 2AF F F⊥
2
2
22 | | 2
bAF OB a
= = =
2
2
ce a
= = 2 2 2a b c= + 2 2a = 2 1b =
2
2 12
x y+ =
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2
2
1
12
x my
x y
= + + =
( )2 22 2 1 0m y my+ + − =
1 2 1 22 2
2 1,2 2
my y y ym m
− −+ = =+ +
NK 2
2
3
3 2
2
yy x
x
= − −
1y y=
( )1 2 1 2 2 1 2 22
2 2 2
3 1 3 1 232 2 2 2 2
2
my x y my y y y ymx y y y
−− − + − + + += + = =
22 2
2
22 2 2
m m ym m
y
− + ++ += =
NK 2l
0a ≥ ( )f x- 11 -
证明：由 可得： ，
令 ， ，
则 ，
∵ ，∴
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ．所以方程 无实数根
故 不存在不动点．
（2）当 e 时， ， ，
则 ，
再令 ，∴
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
∴
故当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ．
所以 有唯一实数根 ，
故 有唯一不动点．
( )f x x= ln 0
xe ax a xx
+ − =
( ) ln
xeF x ax a xx
= + − (0, )x ∈ +∞
( )
2 2
( 1)
( )
xx x x e axxe e aF x ax x x
− +−′ = + − =
0, (0, )a x≥ ∈ +∞ 0xe ax+ >
(0,1)x ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x (0,1)
(1, )x ∈ +∞ ( ) 0F x′ > ( )F x (1, )+∞
min( ) (1) 0F x F e a= = + > ln 0
xe ax a xx
+ − =
( )f x
a e= − ( ) ln
xeF x ex e xx
= − + (0, )x ∈ +∞
( )
2 2
( 1)
( )
xx x x e exxe e eF x ex x x
− −−′ = − + =
( ) xg x e ex= − ( ) xg x e e′ = −
(0,1)x ∈ ( ) 0g x′ < ( )g x (0,1)
(1, )x ∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x (1, )+∞
( ) (1) 0g x g≥ =
(0,1)x ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x (0,1)
(1, )x ∈ +∞ ( ) 0F x′ > ( )F x (1, )+∞
min( ) (1) ln1 0F x F e e e= = − + =
ln 0
xe ex e xx
− + = 0 1x =
( )f x- 12 -
22．【解析】（1）由 ，（ 为参数），消参数 化简得善通方程： ，
令 ，即 化简得 ，即
即得曲线 的极坐标方程为 ．
（2）由已知，不妨设 ， ，
于是 ， ，
故 ．
23．【解析】（1）由题意知， 恒成立，
又 ，
所以实数 的取值范围是 ．
（2）由（1）可知， ，所以
从 而
，
当且仅当 ，即 时等号成立，证毕．
31 3
3
x t
y t
= +
= +
t t 3 0x y− =
cosx ρ θ= siny ρ θ= 3 cos sin 0ρ θ ρ θ− = tan 3θ =
3
πθ =
2C ( )3 R
πθ ρ= ∈
, 3AA
πρ
4, 3BB
πρ
31 sin 13 2A a a
πρ = − = −
4 31 sin 13 2B a a
πρ = − = +
| | 2AB a=
| 6 | | |x x m− + ≥
| 6 | | | |( 6) | 6x x x x− + ≥ − − =
m 6m ≤
2 2 2 6a b c+ + = 2 2 21 1 1 9a b c+ + + + + =
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 9 1 1 1 a b ca b c a b c
+ + = + + + + + + + + + + + + +
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 13 (3 6) 19 1 1 1 1 1 1 9
b a c a c b
a b a c b c
+ + + + + += + + + + + + ≥ + = + + + + + +
2 2 21 1 1 3a b c+ = + = + = 2 2 2 2a b c= = =
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