2020届湖南省衡阳市高三下学期第一次联考（一模）数学（文）试题（解析版）

- 1 - 湖南省衡阳市 2020 届高三第一次联考（一模） （文科）数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数 所对应的点 的坐标为 ，则 的实部与虚部的和是（ ） A．2 B．0 C． D． 3．已知 ，则 、 、 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．研究机构对 20 岁至 50 岁人体脂肪百分比 和年龄 （岁）的关系进行了研究通过样本数据，求得 回归方程 现有下列说法： ①某人年龄为 70 岁，有较大的可能性估计他的体内脂肪含量约 40.15%； ②年龄每增加一岁，人体脂肪百分比就增加 0.45%； ③20 岁至 50 岁人体脂肪百分比 和年龄 （岁）成正相关． 上述三种说法中正确的有（ ） A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 5．若 ， ，且 ，则 （ ） A． B．2 C．0 D． 6．程序框图所示的算法来自于《九章算术》．若输入 的值为 8， 的值为 6，则执行该程序框图输出的结 果为（ ） { |( 1)( 1) 0}A x x x= − + < { }| 2 ,xB y y x R= = ∈ A B∩ = ( 1,0]− ( 1,1)− (0,1) Φ z A (1, 1)− z 1 i+ 1 i− 1 3 2 2log 3, 2 , 2a b c−= = = a b c a c b> > c a b> > c b a> > a b c> > (%)y x ˆ 0.58 0.45y x= − (%)y x | | 2a = | | 2b = ( )a b a− =⊥  a b− =  2 2 2 a b- 2 - A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长 为 1 的等腰直角三角形（如图所示）．则此几何体的表面积为（ ） A． B． C． D．4 8．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 ，若 点 ，则 的最大值是（ ） A． B．2 C． D． 9．已知命题 ：函数 f(x)的定义域为 ，命题 ：存在实数 满足 ，若 为真，则实数 的 取值范围是（ ） A． B． C． D． 4 2 6+ + 4 6+ 2 4 2+ 2 2 2 2 2 2 4 ( , ) ( 1) 1 ( 1) 1 0 x y A x y x y x y x   + = + − + + ≥       或    ( , )x y A∈ z x y= + 2 1− 1 2+ 2 2 p R q x lnax x≤ p q∨ a 12, e  −   1 ,2e      [2, )+∞ ( ,2]−∞- 3 - 10．已知 ， 分别是双曲线 的左右焦点，过点 与双曲线的一条渐近线平行 的直线交双曲线的另一条渐近线于点 ，若 ，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．已知 是函数 的最大值，若存在实数 使得对任意实 数 总有 成立，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 12．如图，矩形 中， ， 为边 的中点，将 绕直线 翻转成 （ 平面 ）， 为线段 的中点，则在 翻折过程中，①与平面 垂直的直线必与 直线 垂直；②线段 的长恒为 ③异面直线 与 所成角的正切值为 ④当三棱锥的体积 最大时，三棱锥 外接球的体积是 ．上面说法正确的所有序号是（ ） A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①④ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分．第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答．第（22）题 -第（23）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分，满分 20 分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 13．在区间 上随机地取一个数 ，则事件“ ”发生的概率为__________． 14．设抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 与抛物线分别交于两点 、 ，若点 满足 ，则 __________． 15．在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则（1） 1F 2F 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1F M 1 2 0MF MF⋅ >  (1, 2) ( 3, )+∞ (1,2) (2, )+∞ A ( ) sin 2020 cos 20206 3f x x x π π   = + + −       1 2,x x x ( ) ( )1 2( )f x f x f x≤ ≤ 1 2A x x⋅ − 2020 π 1010 π 505 π 4040 π ABCD 2 2BC AB= = N BC ABN△ AN 1B AN△ 1B ∈ ABCD M 1B D ABN△ 1B AN CM CM 5 2 CM 1NB 3 3 1B AND− 4 3 π [0, ]π x 2sin 2x ≤ 2 4y x= F F l A B (2, )M t 1 ( )2OM OA OB= +   | |AB = ABC△ A B C a b c 22sin sin cos sinA B C C=- 4 - __________，（2） 的最大弧度数为___________． 16．己知直线 上有两点 、 且满足 若 ， 则这样的点 共有_____个． 三、解答题：本大题必做题 5 个，每题 12 分，选做题两个只选做一个，10 分，满分 70 分．解答应写出文 字说明，证明过程或推演步骤． 17．已知 的三个内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若三边 ， ， 的长成等比数列， 的面积为 ，求 的长． 18． 2020 年 1 月 22 日，国新办发布消息：新型冠状病毒来源于武汉一家海鲜市场非法销售的野生动．专 家通过全基因组比对发现此病毒与 2003 年的非典冠状病毒以及此后的中东呼吸综合征冠状病毒，分别达到 70%和 40%的序列相似性．这种新型冠状病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此，某生物疫苗研究所加 紧对新型冠状病毒疫苗进行实验，并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验，得到统计 数据如下： 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射疫苗 20 注射疫苗 30 总计 50 50 100 现从所有试验小白鼠中任取一只，取到“注射疫苗”小白鼠的概率为 ． （1）求 列联表中的数据 ， ， ， 的值； （2）能否有 99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效？ 附： ． 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 19．已知在四棱锥 中， ， ， ， ， 且 平面 平面 2 2 2 a b c + = C∠ 1y x= + 1 1( , )A a b 2 2( , )B a b 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 22 a a b b a b a b+ = + × + 1 2a a> | | 2 2AB = A ABC△ A B C a b c sin( ) sin 3a A C b A π + = +   A b a c ABC△ 3 , ,a b c x A y B 2 5 2 2× x y A B 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b a c c d b d −= = + + ++ + + + ( )2 0P K k 0k C ABED− DE AB∥ AC BC⊥ 2 4BC AC= = 2AB DE= DA DC= DAC ⊥ ABCD- 5 - （1）设点 为线段 的中点，试证明 平面 ； （2）若直线 与平面 所成的角为 60°，求四棱锥 的体积． 20．已知椭圆 的离心率为 ，左右焦点分别为 、 ， 为椭圆上一点， 与 轴交于点 ， ， ． （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 与椭圆 相交于 、 两点，过 作与 轴垂直的直线 ，点 坐标为 ，试问直线 与直线 交点的横坐标是否为定值，请说明理由． 21 ． 若 方 程 有 实 数 根 ， 则 称 为 函 数 的 一 个 不 动 点 ． 已 知 函 数 （ 为自然对数的底数） ． （1）当 时 是否存在不动点？并证明你的结论； （2）若 ，求证 有唯一不动点． 请考生在（22）．（23）两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的 轨迹，因其形状象心形而得名．在极坐标系 中，方程 表示的曲线 就是一条心 形线，如图，以极轴 所在直线为 轴，极点 为坐标原点的直角坐标系 中，已知曲线 的参数方 程为 ( 为参数）． F BC EF ⊥ ABC BE ABC C ABED− 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 1F 2F A 1AF y B 2| |AB F B= 2| | 4OB = C 1 : 1l x my= + C M N M y 2l K 3 ,02     NK 2l ( )f x x= 0x 0x ( )f x ln( ) ( 1) lnx xf x e a x a x−= + + − e a R∈ 0a ≥ ( )f x a e= − ( )f x Ox (1 sin )( 0)a aρ θ= − > 1C xO x O xOy 2C 31 3 3 x t y t  = +  = + t- 6 - （1）求曲线 的极坐标方程； （2）若曲线 与 相交于 、 、 三点，求线段 的长． 23．选修 4-5；不等式选讲 已知函数 的定义域为 ． （1）求实数 的取值范围； （2）设 为 的最大值，实数 满足 ，试证明 ． 衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题 衡阳市 2020 届高三第一次联考数学（文科）参考答案 1．【答案】C 【解析】依题意， ， ，所以 ，故选 C． 2．【答案】B 【解析】 ，所以复数 的实部是 1，虚部是 ，其和为 0，故选 B． 3．【答案】A 【解析】∵ ，因此 ，故选 A． 4．【答案】C 【解析】只有③正确，故选 C． 5．【答案】D 【解析】∵ ， ， ，因此 ，故选 D． 6．【答案】B 【解析】程序框图所示的算法是更相减损术求最大公约数，通过计算可得 ，故选 B． 7．【答案】A 【解析】∵根据斜二侧画法可知，几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为 2、 ，由此可计 算出该几何体的表面积为 ，故选 A． 2C 1C 2C A O B AB ( ) | 6 | | |f x x x m= − + − R m t m , ,a b c 2 2 2a b c t+ + = 2 2 2 1 1 1 11 1 1a b c + + ≥+ + + ( 1,1)A = − (0, )B = +∞ (0,1)A B∩ = 1z i= − z 1− 1 32 2 3log 3 2 1 22 −> > > > a c b> > | | 2a = | | 2b = ( )a b a− ⊥  2 2| | 2 ( 2) 2a b− = − = 2a = 2 4 2 6+ +- 7 - 8．【答案】C 【解析】作直线 ，当直线上移与圆 的右上方相切时， 取最大值，此时， 利用圆心 到直线 的距离等于 1，解得 的最大值为 ．故选 C． 9．【答案】D 【解析】若命题 为真，则 ；若命题 为真，则 ；所以若 为真，则 ，故选 D． 10．【答案】D 【解析】不妨设过点 与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为 ，与另一条渐近线 的交点为 ，由 是 ，即有 ，又 因为 ，故选 D． 11．【答案】B 【解析】因为 ∴ ， 周 期 ， 又 存 在 实 数 ， 对 任 意 实 数 总 有 成 立 ， ∴ ， ， 的最小值为 ，故选 B． 12．【答案】A 【解析】取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，显然 平面 ，故① 正确； ，故②正确； 即为异面直线 与 所 成角， ，故③错误；当三棱锥 的体积最大时，易证 为三棱锥 外接球球心，且 ，故④正确，综上，①②④正确，选 A． 0x y+ = 2 2( 1) 1x y+ − = z x y= + (0,1) 0x y z+ − = z 1 2+ p 2 2a− ≤ ≤ q max ln 1xa x e  ≤ =   p q∨ ( ,2]a ∈ −∞ 1( ,0)F c− ax y cb = − by xa = − ,2 2 c bcM a  −   1 2 0MF MF⋅ >  3, , 02 2 2 2 c bc c bc a a    − − ⋅ − >       2 2 3b a > 2 21 2be a = + > 3 1 1( ) sin 2020 cos 2020 sin2020 cos2020 cos20206 3 2 2 2f x x x x x x π π   = + + − = + +       3 sin2020 3sin2020 cos2020 2sin 20202 6x x x x π + = + = +   max( ) 2A f x= = 2 2020 1010T π π= = 1 2,x x x ( ) ( )1 2( )f x f x f x≤ ≤ ( )2 max( ) 2f x f x= = ( )1 min( ) 2f x f x= = − 1 2A x x⋅ − 2 1010 TA π⋅ = 1AB K AD O KM KN 1OB ON CM∥ 1B AN 2 2 2 2 1 1 1 51 2 2CM NK B N B K  = = + = + =   1KNB∠ CM 1NB 1 1 1 1tan 2 B KKNB B N ∠ = = 1B AND− O 1B AND− 1R OA= =- 8 - 二．填空题 13【答案】 【解析】∵在区间 上， ，则 ，因此其概率为 ． 14．【答案】6 【解析】地物线 的焦点 ，设 ， ，∵直线 过焦点 ， ∴ ，又 ，则 为 中点，所以 ． 15．【答案】2， 【解析】∵ ，∴ ； 又 ，∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号． 16．【答案】2 【解析】由已知条件和数量积的定义可知 或 ，又 ，所以 的外接圆的半 径 ，设其圆心为 ，则 点到直线 的距离为 ，所以 点应在与直线 平行且距离为 的两条平行直线 、 上，且 点到原点 的距离为 2；而原点 到 的距离为 ，所以 上不存在这样的点 ；而原点 到 的距离为 ，所以 上存在两个符合条件的点 ；每个 点都确定唯一一个点 ，所以这样的点 共 有 2 个． 三．解答题 1 2 [ ]0,π 2sin 2x ≤ 30, ,4 4x π π π   ∈ ∪       1 2 2 4y x= (1,0)F ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB (1,0)F 1 2| | 2AB x x= + + 1 ( )2OM OA OB= +   (2, )M t AB | | 4 2 6AB = + = 3 π 22sin sin cos sinA B C C= 2 2 2 2 2 2 2 22 cos 2a bab C c a b c c c += ⇒ + − = ⇒ = 2 2 2 2 2 1cos 2 4 2 a b c a bC ab ab + − += = ≥ 0 C π< < 3C π≤ a b= 4AOB π∠ = 3 4 π | | 2 2AB = ABO△ | | 2 2 2 22sin 4 ABR π= = = C C 1y x= + 2 C 1y x= + 2 1y x= − 3y x= + C O O 3y x= + 3 2 22 > 3y x= + C O 1y x= − 2 22 < 1y x= − C C A A- 9 - 17．【解析】（1）∵ ∴ ∵ ，∴ （2）由 的面积为 得 ，又 ，∴ 由余弦定理知： ∴ ∴ 所以 18 ．【解 析 】（ 1 ） 由 已 知 条 件 可 知 ： ， ， ， . （2）∵ 显然 所以有 99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效 19．【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 和 ， ∵在 中 ，∴ ． 由于平面 平面 ，且交线为 ，∴ 平面 ． 又∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ 且 ． 又 ， ，∴ 且 ． ∴四边形 为平行四边形．∴ ， ∴ 平面 ． （2）方法一：∵ 平面 ，所以直线 与平面 所成的角为 ， 由于 ，∴ ， 又 ∴ 、 点到平面 的距离相等，∵平面 平面 ， ， ∴ 平面 ∴ 点到平面 的距离等于 2 ∴ 方法二：∵ 平面 ，所以直线 与平面 所成的角为 ， 由于 ，∴ ， sin( ) sin sin sin sin sin3 3 3a A C b A a B b A A A π π π     + = + ⇒ = + ⇒ = +           sin 3cos tan 3A A A= ⇒ = 0 A π< < 3A π= ABC△ 3 4bc = 2 4a bc= = 2a = 2 2 2 2 cos 3a b c bc π= + − 2 2 8b c+ = 2 2 2( ) 2 0b c b c bc b c− = + − = ⇒ = 2b c= = 0.4 100 40B = × = 100 60A B= − = 60 20 40x = − = 40 30 10y = − = 2 2 100(20 10 30 40) 100 50 16.66750 50 60 40 6 3K × − ×= = = ≈× × × 16.667 10.828> AC O DO OF DAC△ DA DC= DO AC⊥ DAC ⊥ ABC AC DO ⊥ ABC O F AC BC AB OF∥ 2AB OF= DE AB∥ 2AB DE= OF DE∥ OF DE= DEFO EF DO∥ EF ⊥ ABC EF ⊥ ABC BE ABC 60EBF∠ = ° 1 22BF BC= = 2 3EF DO= = EF DO∥ E F DAC DAC ⊥ ABC CF AC⊥ CF ⊥ DAC E DAC 1 12 3 2 4 2 3 4 33 3C ABED E DAC E ABCV V V− − −= + = × × + × × = EF ⊥ ABC BE ABC 60EBF∠ = ° 1 22BF BC= = 2 3EF DO= =- 10 - ∵ ， ∴ ，∴ ∴ ∵ ∴ ． 方法三：（也可以用等体积法求 点等平面 的距离，再求体积） 20 ．【解析】（1 ）连接 ，由题意得 ，所以 为 的中位线，又因为 ，所以 ，且 ， 又 ， ，得 ， ， 故所求椭圆方程为 ． （2）设 ， 由 得 ∴ 直线 的方程： ， 令 ，则有 ∴ 与 交点的横坐标为定值 2． 21．【解析】（1）当 时， 不存在不动点． 2AB DE= 1 2ADE ABES S=△ △ 1 2C ADE C ABEV V− −= 3 2C ABED C ABEV V− −= 1 1 8 32 4 2 33 2 3C ABEV −  = × × × =   3 3 8 3 4 32 2 3C ABED C ABEV V− −= = × = C ABED 2AF 2 1| |AB F B F B= = BO 1 2F AF△ 1 2BO F F⊥ 2 1 2AF F F⊥ 2 2 22 | | 2 bAF OB a = = = 2 2 ce a = = 2 2 2a b c= + 2 2a = 2 1b = 2 2 12 x y+ = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 2 1 12 x my x y = + + = ( )2 22 2 1 0m y my+ + − = 1 2 1 22 2 2 1,2 2 my y y ym m − −+ = =+ + NK 2 2 3 3 2 2 yy x x  = −  − 1y y= ( )1 2 1 2 2 1 2 22 2 2 2 3 1 3 1 232 2 2 2 2 2 my x y my y y y ymx y y y     −− − + − + +       += + = = 22 2 2 22 2 2 m m ym m y − + ++ += = NK 2l 0a ≥ ( )f x- 11 - 证明：由 可得： ， 令 ， ， 则 ， ∵ ，∴ 当 时， ， 在 上单调递减， 当 时， ， 在 上单调递增， 所以 ．所以方程 无实数根 故 不存在不动点． （2）当 e 时， ， ， 则 ， 再令 ，∴ 当 时， ， 在 上单调递减， 当 时， ， 在 上单调递增， ∴ 故当 时， ， 在 上单调递减， 当 时， ， 在 上单调递增， 所以 ． 所以 有唯一实数根 ， 故 有唯一不动点． ( )f x x= ln 0 xe ax a xx + − = ( ) ln xeF x ax a xx = + − (0, )x ∈ +∞ ( ) 2 2 ( 1) ( ) xx x x e axxe e aF x ax x x − +−′ = + − = 0, (0, )a x≥ ∈ +∞ 0xe ax+ > (0,1)x ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x (0,1) (1, )x ∈ +∞ ( ) 0F x′ > ( )F x (1, )+∞ min( ) (1) 0F x F e a= = + > ln 0 xe ax a xx + − = ( )f x a e= − ( ) ln xeF x ex e xx = − + (0, )x ∈ +∞ ( ) 2 2 ( 1) ( ) xx x x e exxe e eF x ex x x − −−′ = − + = ( ) xg x e ex= − ( ) xg x e e′ = − (0,1)x ∈ ( ) 0g x′ < ( )g x (0,1) (1, )x ∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x (1, )+∞ ( ) (1) 0g x g≥ = (0,1)x ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x (0,1) (1, )x ∈ +∞ ( ) 0F x′ > ( )F x (1, )+∞ min( ) (1) ln1 0F x F e e e= = − + = ln 0 xe ex e xx − + = 0 1x = ( )f x- 12 - 22．【解析】（1）由 ，（ 为参数），消参数 化简得善通方程： ， 令 ，即 化简得 ，即 即得曲线 的极坐标方程为 ． （2）由已知，不妨设 ， ， 于是 ， ， 故 ． 23．【解析】（1）由题意知， 恒成立， 又 ， 所以实数 的取值范围是 ． （2）由（1）可知， ，所以 从 而 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，证毕． 31 3 3 x t y t  = +  = + t t 3 0x y− = cosx ρ θ= siny ρ θ= 3 cos sin 0ρ θ ρ θ− = tan 3θ = 3 πθ = 2C ( )3 R πθ ρ= ∈ , 3AA πρ    4, 3BB πρ    31 sin 13 2A a a πρ   = − = −      4 31 sin 13 2B a a πρ   = − = +      | | 2AB a= | 6 | | |x x m− + ≥ | 6 | | | |( 6) | 6x x x x− + ≥ − − = m 6m ≤ 2 2 2 6a b c+ + = 2 2 21 1 1 9a b c+ + + + + = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 9 1 1 1 a b ca b c a b c   + + = + + + + + + +  + + + + + +  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 13 (3 6) 19 1 1 1 1 1 1 9 b a c a c b a b a c b c  + + + + + += + + + + + + ≥ + = + + + + + +  2 2 21 1 1 3a b c+ = + = + = 2 2 2 2a b c= = =