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2020 届江苏省南通市如皋中学高三创新班下学期 4 月模拟考
试数学试题
一、填空题
1．设 ， ，且 ，则实数 m 的值是________.
【答案】0；
【解析】根据集合相等，即两集合中元素对应相等可得 ，求解可得到m 的值.
【详解】
因为 ， ，且 ，所以 ，解得 ，
故答案为：0.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，利用集合相等求解 m 的值是解题关键,属于基础题.
2．已知实数 a，b (0，2)，且满足 ，则 a＋b 的值为
_______．
【答案】2
【解析】由 ，且a，b (0，2)，化简为： ，
设 ，则 在 上递增，由 ，得 a＋b 的值.
【详解】
由 ，化简为： ，即
，
设 ，则 在 上递增，因为 a，b (0，2)，所以 2-b (0，2)，
且 ，所以 ，即 .
故答案为 2
【点睛】
{ ,2}M m= { 2,2 }N m m= + M N=
+2 2
2
m
m m
=
=
{ ,2}M m= { 2,2 }N m m= + M N=
+2 2
2
m
m m
=
= 0m =
∈ 2 2 44 2 42
a
ba b b− − = − −
2 2 44 2 42
a
ba b b− − = − − ∈ 2 2 22 (2 ) 2a ba b −+ = − +
( ) 2 2xf x x= + ( )f x ( )0,2 ( ) ( )2f a f b= −
2 2 44 2 42
a
ba b b− − = − − 2 2 22 2 ( 2)a ba b−+ = + −
2 2 22 (2 ) 2a ba b −+ = − +
( ) 2 2xf x x= + ( )f x ( )0,2 ∈ ∈
( ) ( )2f a f b= − 2a b= − 2a b+ =第 2 页 共 20 页
本题考查了等式的化简，构造函数，利用函数的单调性求值的问题，属于中档题.
3．已知关于 的不等式 的解集为空集，
的最小值为______.
【答案】
【解析】根据一元二次不等式的解集的情况得出二次项系数大于零，根的判别式小于零，
可得出 ，再将 化为 ，由
和均值不等式可求得最小值.
【详解】
由题意可得： ， ，可以得到 ，
而 ，可以令 ，
则有 ，当且仅当 取等号.所以 的
最小值为 4.
故答案为：4.
【点睛】
本题主要考查均值不等式,关键在于由一元二次不等式的解集的情况得出 的关系，
再将所求的式子运用不等式的性质降低元的个数，运用均值不等式，属于中档题.
4．已知 ，二次三项式 对于一切实数 x 恒成立，又 ，使
成立，则 的最小值为____．
【答案】
【解析】分析： 对于一切实数 恒成立，可得 ；再由 ，
使 成立，可得 ，所以可得 ， 可化为 ，
平方后换元，利用基本不等式可得结果.
x ( )21 0 1x bx c aba
+ + < >
( )
( )21
2 1 1
a b cT ab ab
+= +− −
4
2
4
abc ≥ ( )
( )21
2 1 1
a b cT ab ab
+= +− −
2 21 2
2( 1)
ab a bT ab
+ +≥ − 1ab >
1 0a
> 2 4 0cb a
− ≤ 2
4
abc ≥
2 21 ( 2 ) 1 2 4 1 2
2( 1) 1 2( 1) 2( 1)
a b c ab ac ab a bT ab ab ab ab
+ + + + += + = ≥− − − − 1 >0ab m− =
21 2( 1) ( 1) 2 2 42 2
m m mT m m
+ + + +≥ = + + ≥ 1>0m = T
, ,a b c
a b> 2 4 0ax x b+ + ≥ 0x R∃ ∈
2
0 04 0ax x b+ + = 2 2a b
a b
+
−
4 2
2 4 0x x b+ + ≥ x 4ab ≥ 0x R∃ ∈
2
0 04 0ax x b+ + = 4ab ≤ 4ab =
2 2a b
a b
+
−
2
2
16
4
a a
a a
+
−第 3 页 共 20 页
详解： 已知 ，二次三项式 对于一切实数 恒成立，
，且 ；
再由 ，使 成立，
可得 ，
， ，
令 ，则
（当 时，等号成立），所以， 的最小值为 ，
故 的最小值为 ，故答案为 .
点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，属于难题.
利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正
是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积
定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参
数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.
5．已知 ， 是圆 ： 上的两个动点， ， .
若 是线段 的中点，则 的值为__.
【答案】3
【解析】易得 ，可得 ，
结合 ， 是圆 ： 上的两个动点， ，计算可得答案.
【详解】
解：设 ， ，
a b> 2 4 0ax x b+ + ≥ x
0a∴ > 16 4 0, 4ab ab∆ = − ≤ ∴ ≥
0x R∃ ∈ 2
0 04 0ax x b+ + =
16 4 0, 4ab ab∆ = − ≥ ∴ ≤
4ab∴ =
2
2 2 2
16
42, , 04
aa b aa b a a b a a
++∴ > = = >− −
2
2
16 8a ta
+ = >
( )
2
222 2 22
16
648 16 16 16 324 8 8
aa b ta ta b t ta a
+ + = = = − + + ≥ + = − − − −
16t =
22 2a b
a b
+
−
32
2 2a b
a b
+
− 32 4 2= 4 2
≥ ≤
A B O 2 2 4x y+ = 2AB = 5 2
3 3OC OA OB= −
M AB OC OM⋅
1OM (OA OB)2
= + 1 5 2( )2 3 3OC OM OA OB OA OB ⋅ = + ⋅ −
A B O 2 2 4x y+ = 2AB =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y第 4 页 共 20 页
则 ， ， ，
，
所以 .
由 ，
得 ， ①
又 ， 在圆 上，
所以 ， ， ②
联立①②得 ，
所以
化简并整理，得
.
优解
由条件易知 为正三角形.
又由 为 的中点，
则 ，
所以
.
【点睛】
本题主要考查平面向量的应用及平面向量数量积运算，由已知得出
代入计算是解题的关键.
1 1( , )OA x y=
2 2( , )OB x y= 1 2 1 2,2 2
x x y yOM
+ + =
( )2 1 2 1,AB x x y y= − −
1 2 1 2
5 2 5 2 5 2, ,3 3 3 3 3 3OC OA OB x x y y = − = − −
2AB =
( ) ( )2 2
2 1 2 1 4x x y y− + − =
A B O
2 2
1 1 4x y+ = 2 2
2 2 4x y+ =
1 2 1 2 2x x y y+ =
1 2 1 2
1 2 1 2
5 2 5 2, ,3 3 3 3 2 2
x x y yOC OM x x y y
+ + ⋅ = − − ⋅
( ) ( ) ( )2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
5 1 1
6 3 2x y x y x x y y+ − + + +
5 1 14 4 26 3 2
= × − × + ×
3=
OAB∆
M AB
1OM (OA OB)2
= +
1 5 2( )2 3 3OC OM OA OB OA OB ⋅ = + ⋅ −
2 21 5 2| | | |2 3 3OA OA OB OB = + ⋅ −
3=
1OM (OA OB)2
= + 第 5 页 共 20 页
6．过直线 上一点 ，作圆 的两条切线，切点分别
为 ， ，若 ，则 ______.
【答案】
【解析】由 ， ，设 的中点 ，则有
， ，将两式作差得，
，再结合已知条件 ，可得 的
中点 的轨迹方程是 ，由 得点 ，运用勾股定理
可求得 的长.
【详解】
由 ， ，设 的中点 ，则有 ，
，将两式作差得，
，又 ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 的中点 的轨迹方程是 ，
而点 也在直线 上，
所以由 得点 ，而圆 的圆心 ，
半径 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：8.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系之切线的相关问题，关键在于运用点差法，得出弦的中点
的轨迹方程，属于中档题.
7．在△ABC 中，( )⊥ ( ＞1)，若角 A 的最大值为 ，则实数 的值是
2 0x y+ + = P ( ) ( )2 23 1 16x y− + + =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )( )2 2
2 1 1 2 1 2 2y y x x x x− = − + − PA =
8
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB ( )0 0,M x y
( ) ( )2 2
1 13 1 16x y− + + = ( ) ( )2 2
2 23 1 16x y− + + =
1 2 1 2
1 2 1 2
+ 6
+ +2
y y x x
x x y y
− −= −− ( )( )2 2
2 1 1 2 1 2 2y y x x x x− = − + − AB
M +2 1 0x y − = +2 1
2 0
0y
x y
x
+ +
=
=
−
， ( )5,3P −
PA
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB ( )0 0,M x y ( ) ( )2 2
1 13 1 16x y− + + =
( ) ( )2 2
2 23 1 16x y− + + =
1 2 1 2
1 2 1 2
+ 6
+ +2
y y x x
x x y y
− −= −− ( )( )2 2
2 1 1 2 1 2 2y y x x x x− = − + − 1 2 1 2
1 2 1 2
+ 2
+
y y x x
x x y y
− −= −−
1 2 1 2
1 2 1 2
+ 6 + 2
+ +2 +
x x x x
y y y y
− −− = −
0 0
0 0
0 0
3 1 +2 1 0+1
x x x yy y
− −= − =， AB M +2 1 0x y − =
P +2 1 0x y − =
+2 1
2 0
0y
x y
x
+ +
=
=
−
， ( )5,3P − ( ) ( )2 23 1 16x y− + + = 3 1C −（ ， ）
4R =
( ) ( )2 25 3 1 3 4 5PC = − − + − − = 2 2 8PA PC R= − =
AB ACλ− BC λ
6
π λ第 6 页 共 20 页
_______．
【答案】3
【解析】把向量 进行转化，用 表示 ，利用基本不等式可求实数 的值.
【详解】
，解得 ＝3．
故答案为：3.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核
心素养.
8．已知 、 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是他们的一个公共点，且
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.
【答案】
【解析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2, 由余弦
定理可得
4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos ，①在椭圆中，①化简为即 4c2=4a2﹣3r1r2…②，在
双曲线中，
化简为即 4c2=4a12+r1r2…③， ，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的
离
心率的倒数之和的最大值.
【详解】
设椭圆的长半轴为 a，双曲线的实半轴为 a1，（a＞a1），半焦距为 c，
由椭圆和双曲线的定义可知，
设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，
椭圆和双曲线的离心率分别为 e1，e2,
∵∠F1PF2= ，则∴由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos ，①
在椭圆中，①化简为即 4c2=4a2﹣3r1r2…②，
BC λ cos A λ
2 2( ) ( ) ( 1) cos 0AB AC AB AC c b bc Aλ λ λ− ⋅ − + = − − + + =
1 2 3cos ( )1 1 2
b cA c b
λ λ
λ λ= + ≥ =+ +
λ
1F 2F P
1 2 3F PF
π∠ =
4 3
3
3
π
2 2
1 2
1 3 4e e
+ =所以
3
π
3
π第 7 页 共 20 页
在双曲线中，①化简为即 4c2=4a12+r1r2…③，
，
由柯西不等式得（1+ ）（ ）≥（ ）2
故答案为
【点睛】
本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题
的关
键．属于难题．
9．已知夹角为 的两个单位向量 ，向量 满足 ，则 的最大值
为______.
【答案】
【解析】建立平面直角坐标系，设出向量 的坐标，得出向量 的终点 的轨迹
方程，再运用点与圆的位置关系可以得到 的最大值.
【详解】
由已知建立平面直角坐标系，设
，又 ，
所以 ，
所以点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，
所以 的最大值为 ，
所以 的最大值为 ，
故答案为： .
【点睛】
本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的
2 2
1 2
1 3 4e e
+ =所以
1
3 2 2
1 2
1 3
e e
+
1 2
1 3 1
3e e
+ ×
1 2
1 1 4 3
3e e
+ ≤所以
4 3
3
θ ,a b c ( ) ( ) 0a c b c− ⋅ − = c
cos sin2 2
θ θ+
a b c ， ， c C
| |c
( ) ( ) ( )1 0 cos ,sin , ,OA a OB b OC c x yθ θ= = = = = = ， ， ( ) ( ) 0a c b c− ⋅ − =
( )2 2+ 1+cos sin +cos 0x x yy θ θ θ− ⋅ − ⋅ =
C 1+cos sin,2 2P
θ θ
sin 2R
θ=
c 2 21+cos sin+ +sin cos +sin2 2 2 2 2OP R
θ θ θ θ θ = + =
c cos sin2 2
θ θ+
cos sin2 2
θ θ+第 8 页 共 20 页
轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题.
10．已知长方体 ， ， ， ，过点 且与直线
平行的平面 将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，
则在平面 变化的过程中，这两个球的半径之和的最大值为______.
【答案】
【解析】设 ，根据 得 ，设圆 的半径为 ，根据
等面积法得 ，又 ，解得 ，设圆 的半径为 ，则
，解得 ，所以 ，设
，求导判断函数的单调性，可得最值.
【详解】
如图所示:平面 将长方体分成两部分,延长 与 交于点 , 如图 2 所示，
设 ，根据 得 ，
设圆 的半径为 ，根据等面积法得 ，又 ，解得 ，
设圆 的半径为 ，则 ，解得 ，
所以 ，设 ，则
，
设 ，则 在 上单调递减，且 ，所以
恒成立，
所以 恒成立，所以函数 在 上单调递减，所以
1 1 1 1ABCD A B C D− 5AB = 3AD = 1 4AA = A
CD α
α
21
10
CM x= 1 ~BB P BCM∆ ∆ 1
12B P x
= 1O 1r
1 2
3
3 9
xr
x x
=
+ + + 1
3
2r ≤ 0x ≥ 2O 2r
2 22
12 3, 23 9
r r
x x
= ≤
+ + +
8
5x ≥ 1 2 2
3 12
3 9
xr r
x x
++ =
+ + +
2
3 12 8( ) , ,53 9
xf x x
x x
+ = ∈ +∞ + + +
ABMN 1 1B C BM P
CM x= 1 ~BB P BCM∆ ∆ 1
12B P x
=
1O 1r 1 2
3
3 9
xr
x x
=
+ + + 1
3
2r ≤ 0x ≥
2O 2r 2 22
2
48
12 3, 212 144 3 94 16
xr r
x x
x x
= = ≤
+ + ++ + +
8
5x ≥
1 2 2
3 12
3 9
xr r
x x
++ =
+ + + 2
3 12 8( ) , ,53 9
xf x x
x x
+ = ∈ +∞ + + +
2
22
2 2 2 2 2
3(3 9) (3 12) 1
27 12 3 99( )
(3 9) (3 9) 9
xx x x
x xxf x
x x x x x
′
+ + + − + + − − ++ = =
+ + + + + + +
2( ) 27 12 3 9g x x x= − − + ( )g x 8 ,5
+∞
8 05g 2ln x t= 2
tx e= 11 2
x t− = 1 2 2x t= − 1 2 (2 2 )tx x e t∴ = −
1
2t >
( ) (2 2 )tg t e t= − 1
2t > ( ) 2 tg t te′ = − 1 , ( ) 02t g t′ ∈ +∞ >
( ),M x y ( )2 ,2A y y ( )2 2 ,0B x y−
( )1 2 2 22S x y y= − ⋅
AB M
( )1 1 1,M x y ( )2 2 2 1 2, 1M x y y y⇒ + =
22
2
S yx y
+=
2 2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2
2 2 4
S y S y S Su x x y y Sy y y y
+ + += = ⋅ = + − 1 1
1
4t y y= ≤
2 2
4
S Sy t t
+= +第 16 页 共 20 页
（1）设 ，则 ，所以 ，所以 ,
所以线段 的中点 的轨迹 ;
（2）设 ， ，
因为 ，所以 ,
令 ， 在 单调递减，在
单调递增，
所以当 ，即 ， ，
当 ，则 ， .
【点睛】
本题考查与直线有关的函数的最值问题，曲线的轨迹方程的求法,导数的应用,单调性常
常利用导数求解;考查计算能力,转化思想,属于难度题.
18．已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 ， ，
分别是椭圆 的左、右焦点， 为等腰三角形.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过左焦点 作直线 交椭圆于 两点，其中 ，另一条过 的直线 交
椭圆于 两点（不与 重合），且 点不与点 重合. 过 作 轴的垂线分
别交直线 ， 于 , .
①求 点坐标； ②求证： .
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） 见解析.
【解析】（Ⅰ）根据已知求出 ，即得椭圆 方程为 . （Ⅱ）①
( ),M x y ( )2 ,2A y y ( )2 2 ,0B x y− ( )1 2 2 22S x y y= − ⋅
AB M ( )2: 2 2 0, 0C xy y S x y− = > >
( )1 1 1,M x y ( )2 2 2 1 2, 1M x y y y⇒ + =
22
2
S yx y
+=
2 2 2
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2 2
2 2 4
S y S y S Su x x y y Sy y y y
+ + += = ⋅ = + −
2
1 2
1 2
+ 1
2 4
y yt y y = ≤ =
2 2
4
S Sy t t
+= +
2 20, 4
S S +
2 2 ,4
S S + +∞
2 2 1 5 114 4 2 4
S S S t
+ ≥ ⇒ ≥ − + ⇒ = 1 2y y= 2
min
1
4u S S m= + + =
2 2 1 50 14 4 2
S S S
+ < ⇒ < < − +
2 2
4
S St
+= 2
min 2u S S S= + −
W
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2
2
( 2 , 3)P a 1F 2F
W 1 2PF F∆
W
1F 1l ,A B A (0,1) 1F 2l
,C D ,A B D ( )0 1−， 1F x
AD BC E G
B 1 1EF FG=
2
2 12
x y+ = 4 1, ,3 3B − −
2 22, 1a b= = W
2
2 12
x y+ =第 17 页 共 20 页
由 可求 . ②当 与 轴垂直时， 两点与 , 两点
重合，由椭圆的对称性， . 当 不与 轴垂直时，联立直线和椭圆方程证
明 ，即 .
【详解】
（Ⅰ）由已知 ， ，得 ， ，
为等腰三角形， ，
则 解得 ，
椭圆 方程为 .
（Ⅱ）①由题意可得直线 的方程为 .
与椭圆方程联立,由 ，可求 .
②当 与 轴垂直时， 两点与 , 两点重合，由椭圆的对称性， .
当 不与 轴垂直时，
设 ， ， 的方程为 （ ）.
由 消去 ，整理得 .
则 ， .
由已知， ，则直线 的方程为 ，
令 ，得点 的纵坐标 .
把 代入得 .
2
2
1
12
y x
x y
= + + =
4 1,3 3B − − 2l x ,C D E G
1 1EF FG= 2l x
0E Gy y+ = 1 1EF FG=
2
2
ce a
= = 2 2 2a b c= + b c= 2a c=
1 2PF F∆ ∴ 1 2 2F F F P=
( ) ( ) ( )2 222 2 1 3c a= − + 1c =
2 22, 1a b∴ = = ∴ W
2
2 12
x y+ =
1l 1y x= +
2
2
1
12
y x
x y
= + + =
4 1,3 3B − −
2l x ,C D E G 1 1EF FG=
2l x
( )1 1,C x y ( )2 2,D x y 2l ( )1y k x= + 1k ≠
( )
2
2
1
12
y k x
x y
= + + =
y ( )2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k x k+ + + − =
2
1 2 2
4+ 2 1
kx x k
−= +
2
1 2 2
2 2
2 1
kx x k
−= +
2 0x ≠ AD 2
2
11 yy xx
−− =
1x = − E 2 2
2
1
E
x yy x
− +=
( )2 2 1y k x= + ( )( )2
2
1 1
E
x ky x
+ −=第 18 页 共 20 页
由已知， ，则直线 的方程为 ,
令 ，得点 的纵坐标 .
把 代入得 .
,
把 ， 代入到 中，
= .
即 ，即 .
【点睛】
本题主要考查椭圆是几何性质和方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学
生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
19．已知函数 ．
当 时，求曲线 在点 处切线的斜率；
若存在 ， ，且当 时， ，证明： ．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】 求出 ,求出 的值， 可得曲线 在点 处切线
的斜率； 令 ，将 转化为 ，设 ，所以
在 恒成立．所以 在 单调递减，故 ，从而
可得结论．
【详解】
依题意， ，
1
4
3x ≠ − BC
1
1
1
1 43
43 3
3
y
y x
x
+ + = + +
1x = − G
1 1
1
1
43 3
G
y xy
x
− −= +
( )1 1 1y k x= + ( )( )1
1
1 1
3 4G
x ky x
+ −= +
( )( ) ( )( )2 1
2 1
1 1 1 1
3 4E G
x k x ky y x x
+ − + −+ = + +
( ) ( )( ) ( )
( )
2 1 2 1
2 1
1 1 3 4 1
3 4
k x x x x
x x
− + + − + = ⋅ +
( ) ( )
( )
1 2 1 2
2 1
1 2 3 4
3 4
k x x x x
x x
− + + + = ⋅ +
2
1 2 2
4+ 2 1
kx x k
−= +
2
1 2 2
2 2
2 1
kx x k
−= +
( )1 2 1 22 3 4x x x x+ + +
( )1 2 1 22 3 4x x x x+ + +
2 2
2 2
2 2 42 3 4 02 1 2 1
k k
k k
− −× + × + = + +
0E Gy y+ = 1 1EF FG=第 19 页 共 20 页
，故 ，
即曲线 在点 处切线的斜率为：
依题意，不妨设 ，令 ，则 ．
令 ， ，故 ，故函数 在 上单调递增，
所以 ，从而 ；
因为 ，所以
所以 ，所以 ；
下面证明 ，即证明 ，只要证明 ．
设 ，所以 在 恒成立．
所以 在 单调递减，故 ，从而 得证．
所以 ，即 ．
【点睛】
本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括
能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题
的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的
要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二
层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，
包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结
合，设计综合题.
20．设数列 的前 项和为 ，且 .
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证： 为定值；
（3）判断数列 中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）不存在
【解析】试题分析：（1）依据题设探求出 ，再运用等比数列的定义进行推证；
（2）借助等比数列的前项和公式分别求出 ， ，然后再求其比值；（3）假设存在
{ }na n nS *2 2,n nS a n N= − ∈
{ }na
2{ }na n nT 2n
n
S
T
{ }3n
na−
12n na a −=
2nS nT第 20 页 共 20 页
满足题设条件的三项，然后运用假设进行分析推证，找出矛盾，从而断定不存在假设的
三项：
解：（1）当 时， ，解得 .
当 时， ，即 .
因为 ，所以 ，从而数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以
.
（2）因为 ，所以 ，
故数列 是以 4 为首项，4 为公比的等比数列，
从而 ， ，
所以 .
（3）假设 中存在第 项成等差数列，
则 ，即 .
因为 ，且 ，所以 .
因为 ，
所以 ，故矛盾，
所以数列 中不存在三项成等差数列.
点睛：数列是江苏高考的特色问题，这类问题的设置旨在考查等比数列、等差数列等特
殊数列的通项公式前项和公式等基础知识、基本公式与基本概念，同时考查运算求解能
力和推理论证能力．
1n = 1 12 2,S a= − 1 2a =
2n ≥ ( ) ( )1 1 12 2 2 2 2 2n n n n n n na S S a a a a− − −= − = − − − = − 12n na a −=
1 0a ≠
1
2n
n
a
a −
= { }na
2n
na =
( )22 2 4n n
na = =
2
1
2 4n
n
a
a
+ =
{ }2
na
( ) ( )2
2
2 1 2
2 4 11 2
n
n
nS
−
= = −−
( ) ( )4 1 4 4 4 11 4 3
n
n
nT
−
= = −−
2 3
2
n
n
S
T
=
{ }3n
na− , , ( )m n k m n k< <
( )2 3 3 3n m k
n m ka a a− = − + − ( )2 3 3 2 3 2n m m k k
na− = − + −
m n k< < *, ,m n k N∈ 1n k+ ≤
( ) 1 12 3 3 2 3 2 3 2 3 2n m m k k m m n n
na + +− = − + − ≥ − + −
3 3 2n m m− ≥ −
{ }3n
na−
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