2020届全国100所名校高考模拟金典卷（二）数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 19 页 2020 届全国 100 所名校高考模拟金典卷（二）数学（文）试 题 一、单选题 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】按交集定义，即可求解. 【详解】 因为 ， ， 所以 ． 故选：B. 【点睛】 本题考查集合间的运算，属于基础题． 2．复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】根据复数乘法运算法则，求出 ，即可得出结论. 【详解】 ， 所以复数 在复平面上对应的点位于第一象限． 故选：A. 【点睛】 本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题． 3．设双曲线 的实轴长为 8，一条渐近线为 ，则双曲线 { | 0 1}A x x=   1| 2B x x = >   A B = 1 ,12      1 ,12      (0,1) 10, 2      { | 0 1}A x x=   1| 2B x x = >   1| 12A B x x ∩ = > 3 4y x=第 2 页 共 19 页 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得 ，再由渐近线方程，建立 的等量关系，即可求出结论. 【详解】 由题知， ， ，所以 ， ， 所以双曲线的方程为 ． 故选：D. 【点睛】 本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质，属于基础题． 4．已知正方体 的棱长为 1， ， 分别是下底面的棱 ， 的中点， 是上底面的棱 上的一点， ，过 ， ， 的平面交上底 面于 ， 在 上，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据已知条件，先由面面平行的性质定理可以得到 ，再根据条件可 以得到 ，即可得到 的值. 【详解】 如图所示，易知平面 平面 ，则 ，因为 ，所以 ， 所以 ，所以 . C 2 2 164 36 x y− = 2 2 136 64 x y− = 2 2 19 16 x y− = 2 2 116 9 x y− = 4a = b 2 8a = 3 4 b a = 4a = 3b = 2 2 116 9 x y− = 1 1 1 1ABCD A B C D− M N 1 1A B 1 1B C P AD 1 3AP = P M N PQ Q CD PQ 2 2 3 3 2 2 3 2 3 3 //MN PQ 2 3DP DQ= = PQ //ABCD 1111 DCBA //MN PQ 1 3AP = 1 3CQ = 2 3DP DQ= = 2 2 2 2 3PQ DP DQ= + =第 3 页 共 19 页 故选：A. 【点睛】 本题考查面面平行的性质，考查学生的数学运算与直观想象能力，属于一般题. 5．函数 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用函数的奇偶性以及特殊值进行排除即可． 【详解】 由题意 ，排除 B，C， 又 ， 则函数 是偶函数，排除 D，故选 A． 【点睛】 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数值进行排除是解决本题 的关键． 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布 饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（ ） （注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及 以前出生）． 2( ) ln( 1 ) 1f x x x x= + − + ( )0 1f = ( ) ( )2ln 1 1f x x x x− = − + + + ( )( )2 2 2 2 1 1 1ln 1 ln 1 1 1 x x x x x x x x x x + + + − = − + = − + + − + − ( ) ( )2 1 2ln( 1 ) 1 ln 1 1x x x x x x f x−= − + − + = + − + = ( )f x第 4 页 共 19 页 A．互联网行业从业人员中 80 前占 3%以上 B．互联网行业 90 后中，从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多 C．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% D．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 【答案】C 【解析】根据互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条 形图，逐项进行分析. 【详解】 由题知，互联网行业从业人员中 80 前占 3%，故选项 A 错误； 互联网行业 90 后中，从事设计岗位的人数占 12.3%， 从事市场岗位的人数占 13.2%，故选项 B 错误； 在 90 后中，从事技术岗位的人数占总人数的比例为 ， 故选项 C 正确； 互联网行业中从事技术岗位的人数 80 后无法确定，故选项 D 错误． 故选：C. 【点睛】 本题考查统计图，考查学生的数据分析及逻辑推理的能力，属于基础题． 7．已知函数 的最小正周期 ，下列说法正确的是（ ） A．函数 在 上是减函数 B．函数 的图象的对称中心为 C．函数 是偶函数 D．函数 在区间 上的值域为 56% 39.6% 20%× > ( ) 2sin 3f x x πω = −   T π= ( )f x 5,12 12 π π −   ( )f x 5 ,012 π     6f x π +   ( )f x 2,6 3 π π     [0,2]第 5 页 共 19 页 【答案】D 【解析】先根据函数的最小正周期 可得到 ，从而可写出函数的解析式： ，然后根据解析式判断函数的单调性，对称性，奇偶性，以及最 值，即可得出答案. 【详解】 因为函数 的最小正周期 ， ，得 ， 所以 ， ⑴令 ， 解得： ， 函数 在 上是增函数，故 A 选项错误； ⑵令 ， 解得： ， 其对称中心的横坐标 ，所以 B 选项错误； ⑶因为 ，所以函数 是奇函数，故 C 选项错误； ⑷当 时， ， . 故选：D. 【点睛】 本题考查三角函数的性质，考查学生的数学运算的能力，属于较易题. 8．抛物线 上的点到直线 距离的最小值是 （ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】 为抛物线 上任意一点. 则 . T π= 2ω = ( ) sin( )f x x π= −2 2 3 ( ) 2sin 3f x x πω = −   T π= 2π πω = 2ω = ( ) sin( )f x x π= −2 2 3 32 2 22 3 2k x k π π ππ π+ ≤ − ≤ + k Z∈ 5 11 12 12k x k π ππ π+ ≤ ≤ + k Z∈ ∴ ( )f x 5,12 12 π π −   2 3x k π π− = k Z∈ 6 2 kx π π= + k Z∈ 5 12x π≠ 2sin 26f x x π + =   6f x π +   2,6 3x π π ∈   2 [0, ]3x π π− ∈ 2sin [0,2]3x πω − ∈   2y x= − 4 3 8 0x y+ − = 4 3 7 5 8 5 0 0( , )P x y 2y x= − 2 0 0y x= −第 6 页 共 19 页 ∴点 P 到直线的距离为 ∴ . 数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求 的最小距离. 9．程序框图如下图所示，若程序运行的结果 ，则判断框中应填入（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，判断出当 为何值时输出，得到 结论中的条件. 【详解】 循环前， ， ， 第一次循环： ， ，不输出， 第二次循环： ， ，不输出， 第三次循环： ， ， 循环终止，输出的 ． 故选：C. 【点睛】 本题考查补全循环结构中的语句，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 10．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡 除”．现有一个羡除如图所示， 平面 ，四边形 ， 均为等腰 梯形，四边形 为正方形， ， ， ，点 到平面 的距离为 2，则这个羡除的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2 0 0 0 2 203( )4 3 8 3 3 5 5 xx yd − − −+ −= = min 20 43 5 3d = = 60S = 4?k 3?k 2?k 1?k k 1S = 5k = 5S = 4k = 20S = 3k = 60S = 2k = 60S = DA ⊥ ABFE ABFE CDEF ABCD //AB EF 2AB = 6EF = F ABCD 10 12 2+ 12 12 2+ 12 14 2+ 12 10 2+第 7 页 共 19 页 【解析】由已知可得平面 平面 ，得到点 到平面 的距离为点 到 的距离，进而求出 ，即可求解. 【详解】 因为 平面 ，平面 平面 ， 根据面面垂直的性质定理， 得点 到平面 的距离为 到 的距离， 所以等腰梯形 的高为 2， 腰 ， 因为四边形 为正方形，且 ， 等腰梯形 的高为 ， 所以该羡除的表面积为 ． 故选：B. 【点睛】 本题以数学文化为背景，考查多面体的表面积，注意空间垂直的相互转化，考查直观想 象及数学运算的能力，属于中档题． 11．已知偶函数 的图象经过点 ，且当 时，不等式 恒成立，则使得 成立的 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先由已知条件不等式 恒成立，可得函数 在区间 上单调递减，然后把不等式右边的 改为 ，又是偶函数，利用单调性解不等 式即可. 【详解】 ABCD ⊥ ABEF F ABCD F AB ,AE DE DA ⊥ ABFE ABCD ⊥ ABEF F ABCD F AB ABFE 2 22 ( ) 2 22 EF ABAE −= + = ABCD 2AB = 2 2 2 3DE AD AE= + = CDEF 2 2( ) 2 22 EF CDDE −− = 1 1 12 2 (2 6) 2 (2 6) 2 2 2 2 2 2 12 12 22 2 2 × + × + × + × + × + × × × = + ( )f x ( 1,2)− 0a b<  ( ) ( ) 0f b f a b a − 1 2t t， 1 2 1 2 3 2 2 1 t t t t  + =  = ， l ( )3, 5P t PA PB+ = 1 22(| t |+|t |)= 1 22(t +t )= 3 2 3m = ( )3 5P ， P l ( )223 5 5 5+ − > P ( )22 5 5 3 5 0 x y x y  + − =  + − − = y 2 3 2 0x x− + = ( ) ( )21+ 5 1,2+ 5A B， 、 PA PB+ = 2 2 2 3 2+ = ( ) 2 1 2 1f x x x= + + −第 19 页 共 19 页 （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）若不等式 对任意 的都成立，证明： . 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等 式组的解集，再取并集即可．（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得 f(x)的最小值，得到 ，然后利用基本不等式进行证明即可. 【详解】 （Ⅰ） 就是 . （1）当 时， ，得 . (2)当 时， ，得 ，不成立. （3）当 时， ，得 . 综上可知，不等式 的解集是 . （Ⅱ）因为 ， 所以 . 因为 ， 时， ，所以 ，得 . 所以 . 【点睛】 本题考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用绝对值三角不等式和基本不等式求最值 的应用，属于基础题. ( ) (1)f x f> 1 1( ) ( 0, 0)f x m nm n ≥ + > > x∈R 4 3m n+ ≥ ( )3, 1,2  −∞ − ∪ +∞   1 1 3m n + ≤ ( ) ( )1f x f> 2 1 2 1 5x x+ + − > 1 2x > ( ) ( )2 1 2 1 5x x+ + − > 1x > 11 2x− ≤ ≤ ( ) ( )2 1 2 1 5x x+ − − > 3 5> 1x < − ( ) ( )2 1 2 1 5x x− + − − > 3 2x < − ( ) ( )1f x f> ( )3 12  −∞ − ∪ + ∞  ， ， ( ) ( )2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 3x x x x x x+ + − = + + − ≥ + − − = 1 1 3m n + ≤ 0m > 0n > 1 1 12m n mn + ≥ 12 3mn ≤ 2 3mn ≥ 42 3m n mn+ ≥ ≥