2020届全国100所名校高三模拟金典卷（二）数学（理）试题（解析版）

第 1 页 共 22 页 2020 届全国 100 所名校高三模拟金典卷（二）数学（理）试 题 一、单选题 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】按交集定义，即可求解. 【详解】 因为 ， ， 所以 ． 故选：B. 【点睛】 本题考查集合间的运算，属于基础题． 2．复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】根据复数乘法运算法则，求出 ，即可得出结论. 【详解】 ， 所以复数 在复平面上对应的点位于第一象限． 故选：A. 【点睛】 本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题． 3．设双曲线 的实轴长为 8，一条渐近线为 ，则双曲线 { | 0 1}A x x=   1| 2B x x = >   A B = 1 ,12      1 ,12      (0,1) 10, 2      { | 0 1}A x x=   1| 2B x x = >   1| 12A B x x ∩ = > 3 4y x=第 2 页 共 22 页 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得 ，再由渐近线方程，建立 的等量关系，即可求出结论. 【详解】 由题知， ， ，所以 ， ， 所以双曲线的方程为 ． 故选：D. 【点睛】 本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质，属于基础题． 4．函数 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用函数的奇偶性以及特殊值进行排除即可． 【详解】 由题意 ，排除 B，C， 又 ， C 2 2 164 36 x y− = 2 2 136 64 x y− = 2 2 19 16 x y− = 2 2 116 9 x y− = 4a = b 2 8a = 3 4 b a = 4a = 3b = 2 2 116 9 x y− = 2( ) ln( 1 ) 1f x x x x= + − + ( )0 1f = ( ) ( )2ln 1 1f x x x x− = − + + + ( )( )2 2 2 2 1 1 1ln 1 ln 1 1 1 x x x x x x x x x x + + + − = − + = − + + − + − ( ) ( )2 1 2ln( 1 ) 1 ln 1 1x x x x x x f x−= − + − + = + − + =第 3 页 共 22 页 则函数 是偶函数，排除 D，故选 A． 【点睛】 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数值进行排除是解决本题 的关键． 5．已知 为公差不为 0 的等差数列，且 是 与 的等比中项， 为 的前 项和， ，则 的值为（ ） A．0 B． C．90 D．110 【答案】A 【解析】设 公差为 ，将 用 表示，得到 等量关系，进而求出 即可. 【详解】 因为 为等差数列，设公差为 ， 所以 ， ， ． 因为 是 与 的等比中项，所以 ， 即 ， 所以 ，于是 ． 故选：A. 【点睛】 本题考查等差数列基本量运算、等比中项的应用以及等差数列的前 项和公式，考查逻 辑推理、计算求解能力，属于基础题． 6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布 饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中一定正确的是（ ） （注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及 以前出生）． ( )f x { }na 7a 3a 9a nS { }na n *n∈N 21S 90− { }na d 3 7 9, ,a a a 1,a d 1,a d 11a { }na , 0d d ≠ 3 1 2a a d= + 7 1 6a a d= + 9 1 8a a d= + 7a 3a 9a 2 7 3 9a a a= ( ) ( )( )2 1 1 1 16 2 8 , 0, 10 0a d a d a d d a d+ = + + ≠ ∴ + = 11 0a = ( )21 1 121 210 21 10 0S a d a d= + = + = n第 4 页 共 22 页 A．互联网行业从业人员中 80 前占 3%以上 B．互联网行业 90 后中，从事设计岗位的人数比从事市场岗位的人数要多 C．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% D．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 【答案】C 【解析】根据互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条 形图，逐项进行分析. 【详解】 由题知，互联网行业从业人员中 80 前占 3%，故选项 A 错误； 互联网行业 90 后中，从事设计岗位的人数占 12.3%， 从事市场岗位的人数占 13.2%，故选项 B 错误； 在 90 后中，从事技术岗位的人数占总人数的比例为 ， 故选项 C 正确； 互联网行业中从事技术岗位的人数 80 后无法确定，故选项 D 错误． 故选：C. 【点睛】 本题考查统计图，考查学生的数据分析及逻辑推理的能力，属于基础题． 7．抛物线 上的点到直线 距离的最小值是 （ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】 为抛物线 上任意一点. 则 . ∴点 P 到直线的距离为 ∴ . 数形结合法:设把已知直线平移到与抛物线相切,然后求出两条平行线间的距离即为所求 的最小距离. 8．程序框图如下图所示，若程序运行的结果 ，则判断框中应填入（ ） A． B． C． D． 56% 39.6% 20%× > 2y x= − 4 3 8 0x y+ − = 4 3 7 5 8 5 0 0( , )P x y 2y x= − 2 0 0y x= − 2 0 0 0 2 203( )4 3 8 3 3 5 5 xx yd − − −+ −= = min 20 43 5 3d = = 60S = 4?k 3?k 2?k 1?k第 5 页 共 22 页 【答案】C 【解析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，判断出当 为何值时输出，得到 结论中的条件. 【详解】 循环前， ， ， 第一次循环： ， ，不输出， 第二次循环： ， ，不输出， 第三次循环： ， ， 循环终止，输出的 ． 故选：C. 【点睛】 本题考查补全循环结构中的语句，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 9． 的展开式中 的系数是（ ） A．160 B．240 C．280 D．320 【答案】C 【解析】首先把 看作为一个整体，进而利用二项展开式求得 的系数，再求 的展开式中 的系数，二者相乘即可求解. 【详解】 由二项展开式的通项公式可得 的第 项为 ，令 ，则 ，又 的第 为 ，令 ，则 ，所以 的系数是 . 故选：C 【点睛】 本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题. 10．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡 除”．现有一个羡除如图所示， 平面 ，四边形 ， 均为等腰 k 1S = 5k = 5S = 4k = 20S = 3k = 60S = 2k = 60S = 8 21 x yx  + +   1 2x y− 1 xx + 2y 71 xx  +   1x− 8 21 x yx  + +   1r + 8 2 1 8 1 r r r rT C x yx − +  = +   1r = 7 1 2 2 8 1T C x yx  = +   71 xx  +   1r + 7 2 7 1 7 7 1 r r r r r rT C x C xx − − +  = =   3r = 3 7 35C = 1 2x y− 35 8 280× = DA ⊥ ABFE ABFE CDEF第 6 页 共 22 页 梯形，四边形 为正方形， ， ， ，点 到平面 的距离为 2，则这个羡除的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得平面 平面 ，得到点 到平面 的距离为点 到 的距离，进而求出 ，即可求解. 【详解】 因为 平面 ，平面 平面 ， 根据面面垂直的性质定理， 得点 到平面 的距离为 到 的距离， 所以等腰梯形 的高为 2， 腰 ， 因为四边形 为正方形，且 ， 等腰梯形 的高为 ， 所以该羡除的表面积为 ． 故选：B. 【点睛】 本题以数学文化为背景，考查多面体的表面积，注意空间垂直的相互转化，考查直观想 象及数学运算的能力，属于中档题． 11．已知函数 的零点构成一个公差为 的等差数列， 把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位，得到函数 的图象．关于函数 ，下列说法正确的是( ) ABCD //AB EF 2AB = 6EF = F ABCD 10 12 2+ 12 12 2+ 12 14 2+ 12 10 2+ ABCD ⊥ ABEF F ABCD F AB ,AE DE DA ⊥ ABFE ABCD ⊥ ABEF F ABCD F AB ABFE 2 22 ( ) 2 22 EF ABAE −= + = ABCD 2AB = 2 2 2 3DE AD AE= + = CDEF 2 2( ) 2 22 EF CDDE −− = 1 1 12 2 (2 6) 2 (2 6) 2 2 2 2 2 2 12 12 22 2 2 × + × + × + × + × + × × × = + ( ) ( )sin 3 cos 0f x x xω ω ω= + > 2 π ( )f x x 6 π ( )g x ( )g x第 7 页 共 22 页 A．在 上是增函数 B．其图象关于直线 对称 C．函数 是偶函数 D．在区间 上的值域为 【答案】D 【解析】化简 f（x）=2sin（ωx ），由三角函数图象的平移得：g（x）＝2sin2x， 由三角函数图象的性质得 y＝g（x）的单调性，对称性，再由 x 时，求得函 数 g（x）值域得解. 【详解】 f（x）＝sinωx cosωx＝2sin（ωx ）， 由函数 f（x）的零点构成一个公差为 的等差数列， 则周期 T＝π，即 ω＝2， 即 f（x）＝2sin（2x ）， 把函数 f（x）的图象沿 x 轴向右平移 个单位，得到函数 g（x）的图象， 则 g（x）＝2sin[2（x ） ]＝2sin2x， 当 ≤2x≤ ,即 ≤x≤ , y＝g（x）是减函数，故 y＝g（x） 在[ ， ]为减函数， 当 2x= 即 x （k∈Z）,y＝g（x）其图象关于直线 x （k∈Z）对 称,且为奇函数， 故选项 A，B，C 错误， 当 x 时，2x∈[ ， ]，函数 g（x）的值域为[ ，2]， 故选项 D 正确， 故选：D． 【点睛】 本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，熟记三角函 数基本性质，熟练计算是关键，属中档题 12．设数列 满足 ，且对任意正整数 ，总有 成立， ,4 2 π π     2x π= ( )g x 2,6 3 π π     3,2 −  π 3 + π 2π 6 3  ∈  ， 3+ π 3 + π 2 π 3 + π 6 π 6 − π 3 + π2kπ 2 + 3π2kπ 2 + πkπ 4 + 3πkπ 4 + π 4 π 2 πkπ 2 + kπ π 2 4 = + kπ π 2 4 = + π 2π 6 3  ∈  ， π 3 4π 3 3− { }na 1 2a = − n ( )( )1 1 1 2n n na a a+ − − =第 8 页 共 22 页 则数列 的前 2019 项的和为（ ） A． B．589 C． D． 【答案】A 【解析】已知递推公式化简为 ，可得 ，所以 是周期为 4 的 数列，求出一个周期的和，即可求解. 【详解】 因为 ，所以 ， 所以 ， ， ，所以 是周期为 4 的数列， 因为 ， 又因为 ， 所以数列 的前 2019 项的和为 ． 故选：A. 【点睛】 本题考查数列的前 项和、数列的性质，确定数列周期是解题的关键，意在考查直观想 象和数学运算的能力，属于中档题． 二、填空题 13．若向量 ， ，且 ，则实数 等于_________． 【答案】 【解析】求出 坐标，根据向量垂直的坐标关系，建立关于 的方程，即可求解. 【详解】 { }na 3517 6 3523 6 3515 6 1 1 1 n n n aa a+ += − 4n na a+ = { }na ( )( )1 1 1 2n n na a a+ − − = 1 1 1 2n n n n na a a a a+ +− − + = 1 1 1 n n n aa a+ += − 1 2 1 111 1 1 11 1 1 n n n n nn n n a a aa aa a a + + + +++ −= = = −+− − − 4 2 1 1 1n n n n a aa a + + = − = − = − { }na 21 3 4 1 2 1 2 1 1 1 1, , 31 2 3 22,a a aa aa −= = − = − = = −+− == 1 2 3 4 1 1 72 33 2 6a a a a  + + + = − + − + + =   { }na 7 1 1 3517504 ( 2)6 3 2 6  × + − + − + =   n ( 1, )a m= − ( 2,1)b = − ( )b a b⊥ +   m 7− a b+  m第 9 页 共 22 页 因为 ， ，所以 ， 因为 ，所以 ，解得 ． 故答案为： . 【点睛】 本题考查向量的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题． 14．若 ， 满足 ，则 的最大值为________． 【答案】3 【解析】做出满足条件的可行域，根据图形求出目标函数的最大值. 【详解】 做出约束条件表示的可行域，如图所示阴影部分， 当目标函数 经过点 时， 取得最大值， 由 ，解得 ， 即点 的坐标为 ，故 取得最大值为 3． 故答案为：3. 【点睛】 本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于 基础题. 15．已知偶函数 的图象经过点 ，且当 时，不等式 恒成立，则使得 成立的 的取值范围是_________． 【答案】 ( 1, )a m= − ( 2,1)b = − ( 3, 1)a b m+ = − +  ( )b a b⊥ +   2 ( 3) 1 ( 1) 0m− × − + × + = 7m = − 7− x y 2 0 0 2 4 0 x y x y x y + − ≤  − ≥  − − ≤ 2z x y= + 2z x y= + A z 0 2 0 x y x y − =  + − = 1 1 x y =  = A (1,1) z ( )f x ( 1,2)− 0a b<  ( ) ( ) 0f b f a b a − 0 时，f(x)在 上为减函数，在 上为增函数. (Ⅱ)①当 a=0 时，因为 ，所以 恒成立，所以 a=0 符合题意. ②当 a0 时，由(Ⅰ)知 f(x)在 上为减函数，f(x)在 上为增函数. 下面先证明： . 设 ，因为 ， 所以 p(a)在 上为增函数. 所以 ，因此有 . 所以 f(x)在 上为增函数. ( ) ( )ln 1f x x a x a a R= − + − ∈ ( )f x ),ax e∈ +∞ ( ) 0f x ≥ a 0a ≥ ( )0, ∞+ ( ) a x af x 1 x x ′ −= − = a 0≤ ( ) x af x 0x −′ = > ( )0, ∞+ ( ) x af x 0x −′ = > x a> ( ) x af x 0x −′ = < 0 x a< < ( )0,a ( )a, ∞+ a 0≤ ( )0, ∞+ ( )0,a ( )a, ∞+ x 1≥ ( )f x x 1 0= − ≥ ae 1< ( ) ( ) ( )af x f e f 1 a 0min = < = < ( )f x 0≥ ( )0,a ( )a, ∞+ ( )ae a a 0> > ( ) ap a e a= − ( ) ap a e 1 0′ = − > ( )0, ∞+ ( ) ( )p a p 0 1 0≥ = > ae a> )ae , ∞ +第 20 页 共 22 页 所以 . 设 ，则 ， . 由 得 ；由 得 . 所以 在 上为减函数， 在 上为增函数. 所以 . 所以 q(a)在 上为增函数， 所以 .所以 . 所以 恒成立. 故 a>0 符合题意. 综上可知，a 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想， 是一道综合题． 22．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以原 点 为极点，以 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆 的方程为 被圆 截得的弦长为 . （Ⅰ）求实数 的值； （Ⅱ）设圆 与直线 交于点 ，若点 的坐标为 ，且 ，求 的值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）先将圆C 的方程化成直角坐标方程，直线 l 化成普通方程，再由圆心到 直线的距离以及勾股定理列式可得；（Ⅱ）联立直线 l 与圆 C 的方程，根据韦达定理以 及参数的几何意义可得． 【详解】 （Ⅰ）由 得 即 . 直线的普通方程 为 ， 被圆 截得的弦长为 ，所以圆心到的距离为 ，即 ( ) ( )a a 2 minf x f e e a a 1= = − + − ( ) ( )a 2q a e a a 1 a 0= − + − > ( ) aq a e 2a 1= − +′ ( ) aq a e 2=′ −′ ( )q a 0′′ > a ln2> ( )q a 0′′ < 0 a ln2< < ( )q a′ ( )0,ln2 ( )q a′ ( )ln2, ∞+ ( ) ( )q a q ln2 3 2ln2 0≥ = −′ >′ ( )0, ∞+ ( ) ( )q a q 0 0> = ( )minf x 0> ( )f x 0≥ a 0≥ xOy l 2 5 2 x m t y t  = − = + t O x C 2 5 sin ,lρ θ= C 2 m C l A B、 P ( , 5)m 0m > PA PB+ 3 3m m= = −或 3 2 2 5sinρ θ= 2 2 2 5 0,x y y+ − = ( )22 5 5x y+ − = 5 0x y m+ − − = C 2 3 2第 21 页 共 22 页 解得 . （Ⅱ）法 1：当 时，将 的参数方程代入圆 的直角坐标方程得， ，即 ，由于 ，故 可设 是上述方程的两实根，所以 又直线 过点 ，故由上 式及 的几何意义得， . 法 2：当 时点 ，易知点 在直线 上. 又 ， 所以点 在圆外.联立 消去 得， . 不妨设 ，所以 . 【点睛】 本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线参数方程中参数 t 的几何意义的应用，属于基础题. 23．已知 . （Ⅰ）解不等式 ； （Ⅱ）若不等式 对任意 的都成立，证明： . 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等 式组的解集，再取并集即可．（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得 f(x)的最小值，得到 ，然后利用基本不等式进行证明即可. 【详解】 （Ⅰ） 就是 . （1）当 时， ，得 . 0 5 5 3 , 2 2 m+ − − = 3 3m m= = −或 3m = l C ( ) ( )2 2 3 2 2 5t t− + = 22 3 2 2 0t t− + = ( )2 3 2 4 4 2 0∆ = − × = > 1 2t t， 1 2 1 2 3 2 2 1 t t t t  + =  = ， l ( )3, 5P t PA PB+ = 1 22(| t |+|t |)= 1 22(t +t )= 3 2 3m = ( )3 5P ， P l ( )223 5 5 5+ − > P ( )22 5 5 3 5 0 x y x y  + − =  + − − = y 2 3 2 0x x− + = ( ) ( )21+ 5 1,2+ 5A B， 、 PA PB+ = 2 2 2 3 2+ = ( ) 2 1 2 1f x x x= + + − ( ) (1)f x f> 1 1( ) ( 0, 0)f x m nm n ≥ + > > x∈R 4 3m n+ ≥ ( )3, 1,2  −∞ − ∪ +∞   1 1 3m n + ≤ ( ) ( )1f x f> 2 1 2 1 5x x+ + − > 1 2x > ( ) ( )2 1 2 1 5x x+ + − > 1x >第 22 页 共 22 页 (2)当 时， ，得 ，不成立. （3）当 时， ，得 . 综上可知，不等式 的解集是 . （Ⅱ）因为 ， 所以 . 因为 ， 时， ，所以 ，得 . 所以 . 【点睛】 本题考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用绝对值三角不等式和基本不等式求最值 的应用，属于基础题. 11 2x− ≤ ≤ ( ) ( )2 1 2 1 5x x+ − − > 3 5> 1x < − ( ) ( )2 1 2 1 5x x− + − − > 3 2x < − ( ) ( )1f x f> ( )3 12  −∞ − ∪ + ∞  ， ， ( ) ( )2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 3x x x x x x+ + − = + + − ≥ + − − = 1 1 3m n + ≤ 0m > 0n > 1 1 12m n mn + ≥ 12 3mn ≤ 2 3mn ≥ 42 3m n mn+ ≥ ≥