2020 年广东省广州、深圳市学调联盟高三第二次调研考试
文科数学
2020.4
一、选择题：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式可得集合 ，根据并集的概念即可得结果.
【详解】由 ， ，则
故选 B.
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合并集的运算，属于基础题.
2.设复数 的共轭复数是 ，且 ，又复数 对应的点为 ， 与 为定点，则函数
取最大值时在复平面上以 ， ， 三点为顶点的图形是（ ）
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
假设 ，根据模长公式构造关于 的函数，从而可确定当 取最大值时， 的取值
，从而求得 ；利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而可确定三角形形状.
【详解】 可设
{ } { }2 4 , x 2A x x B x x= < = < − A B =
{ }2 2x x− < < { }2x x < { }1x x > − { }2x x > −
,A B
{ } { }2 4 2 2A x x x x= < = − < < { } { }2 1B x x x x x= < − = < { }2A B x x∪ = <
z z 1z = z Z ( 1,0)A − (0,1)B
( ) ( 1)( )f z z z i= + − Z A B
cos sinz iθ θ= + ( )f z ( )f z θ
z
1z = ∴ cos sinz iθ θ= +
( )( ) ( )( )1 cos 1 sin cos sinz z i i i iθ θ θ θ∴ + − = + + − −
2 2cos sin cos cos cos sin sin cos sin sini i i i iθ θ θ θ θ θ θ θ θ θ= − − + − − + + +
当 时， 取最大值
即当 ，即 时， 取最大值
此时 ，
； ；
，且
该图形为等腰三角形
本题正确选项：
【点睛】本题考查复数模长的应用和求解、复数的几何意义.关键在于能够根据 的模长将 假设为
，从而可利用三角函数的知识确定 的最大值，根据复数几何意义可确定 对应的点
的坐标，进而可求得三角形的各个边长.
3.已知函数 的图象过两点 ， 在 内有
且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则 （ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】
.
( ) ( )cos sin 1 cos sin 1iθ θ θ θ= + + − + +
( ) ( ) ( )
2
2 2cos sin 1 cos sin 1 2 1 2 sin 4f z
πθ θ θ θ θ ∴ = + + + + + = + +
sin 14
πθ + =
( )f z
2 ,4 2 k k Z
π πθ π+ = + ∈ 2 ,4 k k Z
πθ π= + ∈ ( )f z
2 2
2 2z i= + 2 2
2 2z i= −
2 2
2 2 21 0 2 22 2ZA
∴ = − + − = −
2 2
2 2 21 2 22 2ZB
∴ = + − = −
( ) ( )2 2 21 0 0 1 2AB = − − + − =
ZA ZB∴ = 2 2 2ZA ZB AB+ ≠
∴
D
z z
cos sinz iθ θ= + ( )f z z
( ) ( )( )sin 0, 0f x xω ϕ ω ϕ π= + > < < 2(0, ), ( ,0)2 4A B
π ( )f x (0, )4
π
( )f x =
( ) sin 3 4f x x
π = +
( ) 3sin 5 4f x x
π = +
( ) sin 7 4f x x
π = +
( ) 3sin 9 4f x x
π = +
由 在 内有且只有两个极值点可得 ，再由 ， ，得到 或
，分别对 进行讨论即可.
【详解】 在 内有且只有两个极值点，则 ， ，又 ，
，所以 或 ；
当 时， ，解得 ，
若 时， 在 内极大值点为 ，极小值点为 ，满足题意；
当 时， ，解得 ，
若 时， 在 内极小值点为 ，极大值点为 ，不符合题意.
故选：C
【点睛】本题主要考查正弦型函数的图象与性质，考查学生的逻辑推理能力，数形结合思想，是一道中档
题.
4.在同一平面内，已知 A 为动点，B，C 为定点，且∠BAC= ， ，BC=1，P 为 BC 中点．过点 P
作 PQ⊥BC 交 AC 所在直线于 Q，则 在 方向上投影的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先建系，由三点共圆得点 A 的轨迹方程为 ，则 ，则 ，再由 在
方向上投影的几何意义可得解．
( )f x (0, )4
π
6 10ω< ≤ 2sin 2
ϕ = 0 ϕ π< <
4
πϕ =
3
4
πϕ = ϕ
( )f x (0, )4
π 3 5
4 4 4T T
π< ≤ 6 10ω< ≤ 2sin 2
ϕ =
0 ϕ π< <
4
πϕ = 3
4
πϕ =
4
πϕ = sin( ) 04 4
π πω + = *1 4 ,k k Nω = − + ∈
7ω = ( ) sin 7 4f x x
π = + (0, )4
π
28
π 5
28
π
3
4
πϕ = 3sin( ) 04 4
π πω + = *3 4 ,k k Nω = − + ∈
9ω = ( ) 3sin 9 4f x x
π = + (0, )4
π
12
π 7
36
π
3
π
2ACB
π∠ ≠
AQ BC
1
3
1
2
3
3
2
3
2
2 3 1
6 3x y
+ − =
2 1
3x ≤ 3 03 x− ≤ < AQ BC
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则 B（- ，0），C（ ，0），P（0，0），
由 可知，ABC 三点在一个定圆上，且弦 BC 所对的圆周角为 ，所以圆心角为 .圆心在 BC 的
中垂线即 轴上，且圆心到直线 BC 的距离为 ，即圆心为 ，半径为
.
所以点 A 的轨迹方程为： ，则 ，则 ，
由 在 方向上投影的几何意义可得： 在 方向上投影为|DP|=|x|，
则 在 方向上投影的最大值是 ，
故选 C．
【点睛】本题考查了轨迹问题及平面向量数量积的运算，属中档题．
5.若深圳人民医院有 5 名医护人员，其中有男性 2 名，女性 3 名． 现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽
调的两人刚好为一男一女的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
采用列举法，将从 5 人中抽调 2 人的基本事件总数求出，再找到抽调的两人刚好为一男一女所包含的基本
事件个数，结合古典概型的概率计算公式即可得到答案.
1
2
1
2
BAC 3
π∠ =
3
π 2
3
π
y
1
32
6tan 3
BC
π = 3(0, )6
2 21 3 3( ) ( )2 6 3
+ =
2
2 3 1
6 3x y
+ − =
2 1
3x ≤ 3 03 x− ≤ <
AQ BC AQ BC
AQ BC 3
3
1
6
2
5
3
5
2
3
【详解】记两名男性为 ，三名女性为 ，则从 5 人中抽调 2 人有 ， ， ，
， ， ， ， ， ， 共 10 种不同结果，抽调的两人刚
好为一男一女有 ， ， ， ， ， 共 6 种不同结果，由古
典概型的概率计算公式可得所求事件的概率为 .
故选：C
【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，注意要做到不重不漏，是一道容易题.
6.若 是数列 的前 项和，若 ，则 是（ ）
A. 等比数列，但不是等差数列 B. 等差数列，但不是等比数列
C. 等差数列，而且也是等比数列 D. 既非等比数列，也非等差数列
【答案】B
【解析】
【分析】
当 时， ；当 时， .
【详解】当 时， ;
当 时，
又 时， ，满足通项公式，
所以此数列为等差数列.
故选 B.
【点睛】本题考查根据数列前 n 项和求数列通项，注意检验 时的公式对 是否适用.
7.已知函数 的定义域为 ，当 时 ，且对任意的实数 ，等式
成立，若数列 满足 ，且 ，则下列结
论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
,A B , ,a b c { , }A B { , }A a { , }A b
{ , }A c { , }B a { , }B b { , }B c { , }a b { , }a c { , }b c
{ , }A a { , }A b { , }A c { , }B a { , }B b { , }B c
6 3
10 5
=
nS { }na n 22nS n= { }na
1n = 1 1a S= 2n ≥ 1n n na S S −= −
1n = 2
1 1 1 1a S= = =
2n ≥ 2 2
1 ( 1) 2 1n n na S S n n n−− = − − = −=
1n = 1 2 1 1a = − =
2n ≥ 1n =
( )y f x= R 0x < ( ) 1f x > ,x y R∈
( ) ( ) ( )f x f y f x y= + { }na ( ) ( )1
1 11n
n
f a f n Na
∗
+
= ∈ +
( )1 0a f=
( ) ( )2016 2018f a f a> ( ) ( )2017 2020f a f a>
( ) ( )2018 2019f a f a> ( ) ( )2016 2019f a f a>
【解析】
【分析】
通过赋值可求得 且当 时， ；利用单调性的定义可判断出函数单调递减；根据
可得 ；利用递推关系式可知数列 是以
为周期的周期数列，进而可得各个自变量的具体取值，根据函数单调性判断出结果.
【详解】由 ，令 ， ，则
时，
当 时，令 ，则 ，即
又 当 时，
令 ，则
，即
在 上单调递减
又
令 ， ；令 ， ；令 ，
数列 是以 为周期的周期数列
， ， ， ，
在 上单调递减
， ， ，
本题正确选项：
【点睛】本题考查抽象函数性质的应用、根据递推关系式确定数列的周期问题.关键是能够通过赋值法求得
( )0 1f = 0x > ( )0 1f x< <
( ) ( )1 1
1 1 01 1n n
n n
f a f f a fa a+ +
= + = + + 1
1
1n
n
a a+ = − + { }na 3
( ) ( ) ( )f x f y f x y= + 0x = 1y = − ( ) ( ) ( )0 1 1f f f− = −
0x ( )1 1f∴ − > ( )0 1f∴ = 1 1a∴ =
0x > y x= − ( ) ( ) ( )0 1f x f x f− = = ( ) ( )
1f x f x
= −
( ) 1f x− > ∴ 0x > ( )0 1f x< <
2 1x x> 2 1 0x x− >
( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x x f x∴ − = ( )
( ) ( ) ( )2
2 1
1
0,1f x f x xf x
= − ∈
( )f x∴ R
( ) ( )1 1
1 1 1 01 1n n
n n
f a f f a fa a+ +
= + = = + +
1
1
1n
n
a a+∴ = − +
1n = 2
1
2a = − 2n = 3 2a = − 3n = 4 1a =
∴ { }na 3
2016 3 2a a∴ = = − 2017 1 1a a= = 2018 2
1
2a a= = − 2019 3 2a a= = − 2020 1 1a a= =
( )f x R ( ) ( )12 12f f f ∴ − > − >
( ) ( )2016 2018f a f a∴ > ( ) ( )2017 2020f a f a= ( ) ( )2018 2019f a f a< ( ) ( )2016 2019f a f a=
A
特殊值，利用单调性的定义求得函数单调性并得到递推关系式，通过递推关系式得到数列的周期性，难度
较大.
8.执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，
利用等比数列的求和公式即可计算得解．
【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的
值，
由于 ．
故选 C．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是
基础题．
9.已知 F 为双曲线 的右焦点，过 F 做 C 的渐近线的垂线 FD，垂足为 D，且满足
（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
( )
20192 1− 20192 2− 20202 2− 20202 1−
2 3 20192 2 2 2S = + + +…+
2 3 20192 2 2 2S = + + +…+
( )2019
2 3 2019 20202 1 2
2 2 2 2 2 21 2S
−
= + + +…+ = = −−
2 2
2 2 1x y
a b
− = 1
2FD OF=
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中条件求出双曲线基本量的比例关系，然后即可求出离心率的值.
【详解】由题知 ，又因为焦点到双曲线渐近线的距离为 ，
所以 ，
整理得 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，属于基础题.
10.如图，斜 满足 ， ， ，其中
表示 a，b 中较大的数（ 时定义 ）．线段 AC 的中垂线上有一点 D，过点 D 作
于点 E，满足 ，则点 D 到 外接圆上一点的距离最大值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ，知 为锐角，设 的中垂线交于 ，过 作 的垂
线，垂足为 ，由 得到 ， ，再由 得到
，所以 ，再利用几何意义即可得点 D 到 外接圆上一点的距离最大.
2 3
3
10
3
1
2FD OF= b FD=
( )2 2 2 2 21 1 2 4 42 2FD OF b c b c b c c a c= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ − =
2
2 2 2
2
4 2 33 4 3 3
cc a e ea
= ⇒ = = ⇒ =
ABC tan tan 4 2 3A B+ = + 1AB = { }max ,AB BC AC< { }max ,a b
a b= { }max ,a b a b= =
DE BC⊥ AB BE CE+ = ABC
{ }max ,AB BC AC< C ,BC AC O D OT
M tan tan 4 2 3A B+ = + 3tan 3C ≥
2 6C
π π> ≥ AB BE CE+ =
1| | 2TE = 1| | 2sinDO C
= ABC
【详解】由 ，知 为锐角，设 的中垂线交于 ，过 作 的垂
线，垂足为 ，因为 ，所以
，当且仅当 ，
即 时，等号成立，所以 ，又 ， ，
所以 ，即 ，又易得 ，
所以 ，由正弦定理可得 ， ，
故点 D 到 外接圆上一点的距离最大为 .
故选：C
【点睛】本题考查动点到圆上一点距离的最值问题，涉及到正弦定理与三角恒等变换，考查学生逻辑推理
与数学运算能力，是一道中档题.
11.记不等式组 ，表示的平面区域为 .下面给出的四个命题： ；
； ； 其中真命题的
是：
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
{ }max ,AB BC AC< C ,BC AC O D OT
M tan tan 4 2 3A B+ = + tan tantan tan( ) tan tan 1
A BC A B A B
+= − + = −
2
4 2 3 4 2 3 3
tan tan 36 4 3( ) 12
A B
+ +≥ = =+ +− tan tan 2 3A B= = +
7
12A B
π= =
2 6C
π π> ≥ AB BE CE+ = | | | |TB TC=
1 | | | | | | | |TB TE TC TE+ − = + 1| | 2TE = DOM C∠ = ∠
| | 1| | sin 2sin
DMDO C C
= = 2sin
AB RC
= 1
2sinR C
=
ABC
1 1| | 2sin sin 6
DO R C π+ = ≤ =
2 0
2 0
3 6 0
x y
x y
x y
+ − ≤
− + ≤
− + ≥
D 1 : ( , ) , 0P x y D x y∀ ∈ +
2 : ( , ) ,2 1 0P V x y D x y∈ − + 3
1: ( , ) , 41
yP Z x y D x
+∈ −−
2
4
2: ( , ) , 2P x y D x y∃ ∈ +
1 2PP 2 3,P P 2 4,P P 3 4,P P
由约束条件作出可行域，利用目标函数的几何意义求解 z=x+y，z1＝2x﹣y，z2 ，z3＝x2+y2，的范围，
判断命题的真假即可．
【详解】实数 x，y 满足 ，由约束条件作出可行域为 D，如图阴影部分，
A（﹣2，0），B（0，2），C（﹣1，3），z=x+y 经过可行域的点 A 及直线 BC 时分别取得最值，可得：z∈[﹣2
，2]，所以 错误；
z1＝2x﹣y 经过可行域的 B、C 时分别取得最值，可得：z1∈[﹣5，﹣2]，所以 正确；
z2 ，它的几何意义是可行域内的点与（1，﹣1）连线的斜率，
可得：DA 的斜率是最大值为： ；
BD 的斜率取得最小值为： ；z2∈[ ， ]；所以 错误；
z3＝x2+y2，它的几何意义是可行域内的点与（0，0）连线的距离的平方，
最小值为原点到直线 y=x+2 的距离的平方：（ ）2 ，最大值为 OC 的平方：（﹣1﹣0）2+（3﹣0）
2＝10，z3∈[ ，10]．所以 正确；
故选 C．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
12.已知函数 的导函数 是偶函数，若方程 在区间 (其
1
1
y
x
+= −
2 0
2
3 6 0
x y
y x
x y
+ − ≤
− ≥
− + ≥
1P
2P
1
1
y
x
+= −
1
3
−
3− 3− 1
3
− 3P
2
1 1+ 2=
2 4P
( ) 3 21 1
6 2f x x bx cx= + + ( )'f x ( )' ln 0f x x− = 1,ee
中 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由导函数为偶函数，得出 ，由 ，得出 ，将问题转化为当直线 与
函数 在区间 上的图像有两个交点时，求实数 的取值范围，然后作出函数
在区间 上的图象，利用数形结合思想求出实数 的取值范围．
【详解】 ， ，
导函数 的对称轴为直线 ，由于该函数为偶函数，则 ，
，令 ，即 ，得 .
问题转化为当直线 与函数 在区间 上的图像有两个交点时，求实数 的取值
范围．
，令 ，得 ，列表如下：
极大值
所以，函数 在 处取得极大值，亦即最大值， ，
e c
2
1 11 ,2e 2
− − − 2
1 11 ,2e 2
− − −
21 11 e ,2 2
− −
21 11 e ,2 2
− −
0b = ( ) ln 0f x x′ − = 21ln 2c x x= − y c=
( ) 21ln 2g x x x= − 1 ,ee
c
( )y g x= 1 ,ee
c
( ) 3 21 1
6 2f x x bx cx= + + ( ) 21
2f x x bx c′∴ = + +
( )y f x′= x b= − 0 0b b− = ⇒ =
( ) 21
2f x x c′∴ = + ( ) ln 0f x x′ − = 21 ln 02 x c x+ − = 21ln 2c x x= −
y c= ( ) 21ln 2g x x x= − 1 ,ee
c
( ) 21 1 xg x xx x
−′ = − = ( ) 0g x′ = 1x =
x
1 ,1e
1 ( )1,e
( )g x′ + 0 −
( )g x
( )y g x= 1x = ( ) ( )max
11 2g x g= = −
又 ， ，显然， ，如下图所示：
结合图象可知，当 时，即当 时，直线 与函数 在区间
上有两个交点，因此，实数 的取值范围是 ．
故选 B．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，本题的关键在于利用参变量分离的方法，将问题转
化为直线 与函数 的图象的交点个数，在画函数的图象中，需要用到导数研究函数的单调性、
极值以及端点值，通过这些来确定函数图象，考查数形结合思想，属于中等题．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.对于实数 x，[x]表示不超过 x 的最大整数，已知正数列{an}满足 Sn= （an ），n∈N*，其中 Sn 为
数列{an}的前 n 项的和，则[ ]=______．
【答案】20
【解析】
【分析】
先由数列 的关系求出 ，再利用放缩法和裂项相消求得前 n 项和 S 的值，可得答案.
【 详 解 】 由 题 可 知 ， 当 时 ， 化 简 可 得 ， 当
所以数列 是以首项和公差都是 1 的等差数列，即
2
1 11 2g e e
= − − ( ) 2
1 2
eg e = − ( ) 1g e g e
<
( )1 1g c ge
≤ 1n > 1
1
1 1[( ) ]2n n n
n n
S S S S S−
−
= − + −
2 2
1 1n nS S −− =
2 2
1 11, 1n S a= = =
2{ }nS 2
n nS n S n= ∴ =
又 时，
记
一方面
另一方面
所以
即
故答案为 20
【点睛】本题考查了新定义、数列通项与求和、不等式知识点，构造新的等差数列 以及用放缩法求数
列的和是解答本题的关键，注意常见的裂项相消法求和的模型，属于难题.
14.方程 在区间 上的解为_______________．
【答案】 或 .
【解析】
【分析】
，即 ，原方程等价于 ，再解方程即可
.
【详解】由题意， ，即 ，原方程等价于
，解得 或 （舍），
故 或
故答案为： 或 .
【点睛】本题考查解三角函数方程，涉及到二倍角公式，考查学生的等价转化思想，注意要先求 x 的有意
义的范围.
15.已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的左、右顶点分别为 ．直线 l：
交椭圆于 P，Q 两点，直线 和直线 相交于椭圆外一点 R，
则点 R 的轨迹方程为_______________．
.
1n > 2 2 22( 1 ) 2( 1)21 1n
n n n nSn n n n
+ − = < < = − −
+ + + −
1 2 121
1 1 1S S S S
= + +
2[ 122 121 2 1] 2( 122 1) 20S > − + − = − >
1 2[( 121 120) ( 2 1)] 1 2( 121 1) 21S < + − + + − = + − =
20 21S< <
[ ] 20S =
2{ }nS
1 sin 2sin 3 3tan 2
xx x
= + [ ]0, 2π
6
π 5
6
π
2 ,2x k k Z
ππ≠ + ∈ ,2 4
kx k Z
π π≠ + ∈ 23sin 1 cos2 2 2sinx x x= + = −
2 ,2x k k Z
ππ≠ + ∈ ,2 4
kx k Z
π π≠ + ∈
23sin 1 cos2 2 2sinx x x= + = − 1sin 2x = sin 2x = −
6x
π= 5
6x
π=
6
π 5
6
π
2 2
1 : 19 5
x yC + = 1 2,A A
( ) ( ) ( )2 1 2 1m y m x y m R− + − = + ∈ 1AP 2A Q
【答案】
【解析】
【分析】
由 已 知 ， 可 得 直 线 l 恒 过 ， 由 题 意 知 ， 直 线 斜 率 不 为 0 ， 设 的 方 程 为 ，
， ，联立椭圆方程，解得 ，再由由 三点共线可得
，由 三点共线可得 ，两式相除可得 ，再将
代入化简即可.
【详解】因为 ，所以 ，由
得 ，故直线 l 恒过 ，由题意知，直线 斜率不为 0，设
的方程为 ， ， ，联立椭圆方程，
得 ，
则 ， ， ，
由 三点共线可得 ，
由 三点共线可得 ，
两式相除可得
，解得 ，
所以点 在定直线 上，故点 R 的轨迹方程为 .
故答案为：
【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系中的定值问题，考查学生的逻辑推理与数学运算能力，是一道中档
题.
9x =
(1,0) PQ PQ 1x ty= +
1 1 2 2 1 2( , ), ( , )( 0, 0)P x y Q x y y y> < ( , )R x y 1 2,y y 1, ,A P R
1
13 3
y y
x x
=+ + 2 , ,A Q R 2
23 3
y y
x x
=− −
1 2
2 2
3 ( 3)
3 ( 3)
x y x
x y x
− −=+ + 1 2,y y
( ) ( ) ( )2 1 2 1m y m x y m R− + − = + ∈ (2 2 ) 1 0m y x x y− − + − − =
2 2 0
1 0
y x
x y
− − =
− − =
1
0
x
y
=
= (1,0) PQ
PQ 1x ty= + 1 1 2 2 1 2( , ), ( , )( 0, 0)P x y Q x y y y> < ( , )R x y
2 2(5 9) 10 40 0t y ty+ + − =
> 0∆ 1 2 1 22 2
40 10, ,5 9 5 9
ty y y yt t
− −= + =+ +
( )1 2
1 2
4 y yy y t
+=
1, ,A P R 1
13 3
y y
x x
=+ +
2 , ,A Q R 2
23 3
y y
x x
=− −
1 2 1 2
2 2 2 1
3 ( 3) ( 2)
3 ( 3) ( 4)
x y x y ty
x y x y ty
− − −= = =+ + +
1 2 1
2 1 2
2
4
ty y y
ty y y
−
+
( )
( )
1 2
1
1 2
2
4 2 1
4 24
y yt yt
y yt yt
+⋅ −
= =+⋅ +
9x =
R 9x = 9x =
9x =
16.在棱长为 4 的密封正方体容器内有一个半径为 1 的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积
为__________．
【答案】
【解析】
依题意所求体积为 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17.已知 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，且 ， ，
.
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（Ⅰ） ， ;（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：（1）根据条件列出关于公差与公比的方程组,解方程组可得 ， ，再代入等差与等比
数列通项公式,（2）利用错位相减法求和,注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项
数，最后要除以
试题解析：（Ⅰ）设数列 的公差为 ， 的公比为 ，依题意得
解得 ， ，
所以 ，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，则
①
②
①-②得：
2232 3
π+
3 2 2 4 224 (1 1 ) 2 12 (8 ) 324 3 3V
π π π= − − × × × − − = +
{ }na { }nb 1 1 1b a= = 3 4b a= 1 2 3 3 4b b b a a+ + = +
{ }na { }nb
n n nc a b= { }nc n nT
na n= 12n
nb −= ( )1 2 1n
nT n= − ⋅ +
1d = 2q =
1 q−
{ }na d { }nb q
2
2
1 3{
1 2 5
d q
q q d
+ =
+ + = +
1d = 2q =
( )1 1na n n= + − = 1 11 2 2n n
nb − −= × =
12n
n n nc a b n −= = ⋅
0 11 2 2 2nT = ⋅ + ⋅ + 2 13 2 2nn −⋅ + ⋅
2 nT = 1 21 2 2 2⋅ + ⋅ + ( ) 11 2 2n nn n−+ − ⋅ + ⋅
0 1 21 2 1 2 1 2nT− = ⋅ + ⋅ + ⋅ 11 2 2n nn−+ + ⋅ − ⋅
所以 .
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)
在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的
表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求
解.
18.如图，在多面体 中， ，四边形 和四边形 是两个全等的等腰梯
形.
（1）求证：四边形 为矩形；
（2）若平面 平面 ， ， ， ，求多面体 的体积.
【答案】（1）见证明；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据全等的等腰梯形和已知条件得到 且 ，由此证得四边形 为平行四边形.
分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，通过证明 四点共面，且 ，
且 相交，由此证得 平面 ，从而证得 ,由此证得四边形 为矩形.（2
）连结 ， ，作 ，垂足为 ，则 .先证明 平面 ，然后证明 平
面 ，由此求得点 到平面 的距离、点 到平面 的距离，分别求得 和 的
体积，由此求得多面体 的体积.
【详解】（1）证明：∵四边形 和四边形 是两个全等的等腰梯形，
( )1 1 2
21 2
n
nn
⋅ −
= − ⋅−
( )1 2 1nn= − ⋅ −
( )1 2 1n
nT n= − ⋅ +
nS nqS n nS qS−
ABCDFE AB CD EF ABCD ABEF
CDFE
ABEF ⊥ ABCD 2AB = 6CD = 2 2AD = ABCDFE
28
3
EF CD= CD EF CDFE
DF CE M N MN , , ,A B N M ,DF AM DF BN⊥ ⊥
,AM BN DF ⊥ ABNM DF EF^ CDFE
AC CF AH CD⊥ H AH AB⊥ CD∥ ABEF AH ⊥
ABEF C ABEF F ABCD F ACDV − C ABEFV −
ABCDFE
ABCD ABEF
∴ 且 ，∴四边形 为平行四边形.
分别取 ， 的中点 ， .
∵ ， 为 的中点，∴ ，同理 ，∴ .
∵ 为 的中点， 为 的中点，∵ ，且 .
∴ ， ， ， 四点共面，且四边形 是以 ， 为底的梯形.
∵ ， ，且 ， 是平面 内 相交线，∴ 平面 .
∵ 平面 ，∴ ，又 ，∴ .
∴四边形 为矩形.
（2）解：连结 ， ，作 ，垂足为 ，则 .
∵ ， ，∴ .
在 中， .
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴ 平面
∵平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，∴点 到平面 的距离为 2，同理，点 到平面 的距离为 2，
则 ， ；
， .
故多面体 的体积为 .
的
.
EF CD= CD EF CDFE
DF CE M N
AD AF= M DF AM DF⊥ BN CE⊥ DF BN⊥
M DF N CE MN EF CD AB MN EF CD= =
A B N M ABNM AB MN
DF AM⊥ DF BN⊥ AM BN ABNM DF ⊥ ABNM
MN ⊂ ABNM DF MN⊥ MN EF∥ EF DF⊥
CDFE
AC CF AH CD⊥ H AH AB⊥
2AB = 6CD = 2DH =
Rt AHD∆ 2 2 8 4 2AH AD DH= − = − =
CD AB CD ⊄ ABEF AB Ì ABEF CD∥ ABEF
ABEF ⊥ ABCD AH AB⊥ ABEF ABCD AB= AH ⊂ ABCD
AH ⊥ ABEF C ABEF F ABCD
1 62ACDS AH CD∆ = × = 1 6 2 43F ACDV − = × × =
1 ( ) 2 82ABEFS AB EF= + × =梯形
1 168 23 3C ABEFV − = × × =
ABCDFE 16 284 3 3
+ =
【点睛】本小题主要考查证明一个四边形为矩形的方法，考查四点共面的证明，考查线面平行的证明，考
查面面垂直的性质定理，考查分割法求几何体的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，综合性较强，
属于中档题.
19.某省的一个气象站观测点在连续 4 天里记录的 AQI 指数 M 与当天的空气水平可见度 y（单位：cm）的情
况如下表：
M 900 700 300 100
y 0.5 3.5 6.5 9.5
该省某市 2019 年 12 月份 AQI 指数 M 的频数分布表如下：
M
频数 3 6 12 6 3
（1）设 ，若 x 与 y 之间具有线性关系，试根据上述数据求出 y 关于 x 的线性回归方程；
（2）王先生在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与 AQI 指数的相关关系如下表：
M
日均收入（元） -2000 -1000 2000 6000 8000
估计王先生的洗车店 2019 年 12 月份每天的平均收入．
附参考公式： ，其中
【答案】（1） ；（2）2400 元
[ )0, 200 [ )200, 400 [ )400, 600 [ )600, 800 [ ]800,1000
100
Mx =
[ )0, 200 [ )200, 400 [ )400, 600 [ )600, 800 [ ]800,1000
y bx a= + 1
22
1
,
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b a y bx
x nx
=
=
−
= = −
−
∑
∑
21 41
20 4y x= − +
【解析】
【分析】
（1）分别计算出 ， ， ，再利用公式计算即可；
（2）由平均数的计算公式计算即可得到答案.
【详解】（1） ， ，
， ，
所以 ， ，
所以 ；
（2）由题可知该月 30 天中有 3 天每天亏损 2000 元，有 6 天每天亏损 1000 元，有 12 天每
天收入 2000 元，有 6 天每天收入 6000 元，有 3 天每天收入 8000 元，故估计王先生的洗车
店 2019 年 12 月份每天的平均收入为
元.
【点睛】本题考查线性回归方程的应用，涉及到估算平均数，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
20.已知直线 过椭圆 的右焦点，且交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的中点是
，
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线 l 与线段 AB 相交（不含端点）且交椭圆于 C，D 两点，求四边形 面积的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由直线 可得椭圆右焦点的坐标为 ,由中点 可得 ,且由斜率公式
可得 ,由点 在椭圆上,则 ,二者作差,进而代入整理可得 ,即
可求解；
,x y
4
1
i i
i
x y
=
∑ 4
2
1
i
i
x
=
∑
1 (9 7 3 1) 54x = + + + = 1 (0.5 3.5 6.5 9.5) 54y = + + + =
4
1
9 0.5 7 3.5 3 6.5 1 9.5 58i i
i
x y
=
= × + × + × + × =∑ 4
2 2 2 2 2
1
9 7 3 1 140i
i
x
=
= + + + =∑
2
58 4 5 5 21
140 4 5 20b
− × ×= = −− × 21 415 ( ) 520 4a = − − × =
21 41
20 4y x= − +
1 (( 2000) 3 ( 1000) 6 2000 12 6000 6 8000 3) 240030
− × + − × + × + × + × =
1x y+ = ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > >
2 1,3 3M
ACBD
2
2 12
x y+ = 4 3
3
1x y+ = (1,0) M 1 2 1 2
4 2,3 3x x y y+ = + =
2 1
2 1
1y y
x x
− = −− ,A B
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 21, 1x y x y
a b a b
+ = + = 2 22a b=
（2）设直线 ,点 到直线 的距离为 ,则四边形的面积为
,将 代入椭圆方程,再利用弦长公式求得 ,利用点到直线
距离求得 ,根据直线 l 与线段 AB（不含端点）相交,可得 ,即 ,进而整理换
元,由二次函数性质求解最值即可.
【详解】（1）直线 与 x 轴交于点 ,所以椭圆右焦点的坐标为 ,故 ,
因为线段 AB 的中点是 ,
设 ,则 ,且 ,
又 ,作差可得 ,
则 ,得
又 ,
所以 ,
因此椭圆的方程为 .
（2）由（1）联立 ,解得 或 ,
不妨令 ,易知直线 l 的斜率存在,
设直线 ,代入 ,得 ,
解得 或 ,
设 ,则 ,
则 ,
:l y kx= ,A B l 1 2,d d
( )1 2 1 2
1 1 1
2 2 2S CD d CD d CD d d= ⋅ + ⋅ = + y kx= CD
1 2,d d ( ) 4 10 1 03 3k k × − + −
1x y+ = (1,0) (1,0) 1c =
2 1,3 3M
( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 2
4 2,3 3x x y y+ = + = 2 1
2 1
1y y
x x
− = −−
2 2 2 2
1 1 2 2
2 2 2 21, 1x y x y
a b a b
+ = + =
2 2 2 2
2 1 2 1
2 2 0x x y y
a b
− −+ =
( )( ) ( )( )2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 0x x x x y y y y
a b
− + − ++ = 2 22a b=
2 2 2 , 1a b c c= + =
2 22, 1a b= =
2
2 12
x y+ =
2
2 12
1
x y
x y
+ =
+ =
0
1
x
y
=
=
4
3
1
3
x
y
=
= −
( ) 4 10,1 , ,3 3A B −
:l y kx= 2
2 12
x y+ = ( )2 22 1 2k x+ =
2
2
2 1
x
k
=
+ 2
2
2 1k
−
+
( ) ( )3 3 4 4, , ,C D xy yx 23 2 24
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1k k
x
k
x + =
+ +
−
+
=
2 2
3 4 2
2 21 1
2 1
C x xD k k
k
− == + + ⋅
+
因为 到直线 的距离分别是 ,
由于直线 l 与线段 AB（不含端点）相交,所以 ,即 ,
所以 ,
四边形 的面积 ,
令 , ,则 ,
所以 ,
当 ,即 时, ，
因此四边形 面积的最大值为 .
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考
查运算能力.
21.已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若对 ， ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）先求得函数的定义域，然后对函数求导，对 分成 四种情况，讨论函数
的单调性.（2）根据（1）中所求函数的单调区间，对 四种情况分别研究函数
的函数值，结合 来求得 的取值范围.
【详解】解：（1）由题意知， 的定义域为 ，
( ) 4 10,1 , ,3 3A B − y kx=
1 22 2
4 1
1 3 3,
1 1
k
d d
k k
+
= =
+ +
( ) 4 10 1 03 3k k × − + −
( )
1 2 2 2
4 4 4 13 3 3
1 1
k k
d d
k k
+ +
+ = =
+ +
ACBD ( )1 2 1 2 2
1 1 1 4 2 1
2 2 2 3 2 1
kS CD d CD d CD d d
k
+= ⋅ + ⋅ = + = ⋅
+
1k t+ = 3
4t > 2 22 1 2 4 3k t t+ = − +
2
222
4 2 4 2 4 2 1
3 3 2 4 3 3 4 12 4 3 2 3
t tS t tt t
t t
= ⋅ = ⋅ = ⋅− +− + − +
1 2
3t
= 1
2k = min
4 2 1 4 3
24 163 3
12
S = × =−
ACBD 4 3
3
2( ) 1 ln ( 1) ( )f x x x a x a R= − − − − ∈
( )f x
(0, )x∀ ∈ +∞ ( ) 0f x ≥ a
( ,0]−∞
a 1 1 10,0 , ,2 2 2a a a a≤ < < = >
1 1 10,0 , ,2 2 2a a a a≤ < < = >
( ) 0f x ≥ a
( )f x (0, )+∞
由 ，
得 .
①当 时，令 ，可得 ， ，得 ，故函数 的增区间为 ，减区
间为 ；
②当 时， ，令 ，可得 ， ，得 或 ，故
的增区间为 ，减区间为 、 ；
③当 时， ，故函数 的减区间为 ；
④当 时， ，令 ，可得 ， ，得 ，或 ，故
的增区间为 ，减区间为 ， .
综上所述：当 时， 在 上为减函数，在 上为增函数；当 时， 在 ，
上为减函数，在 上为增函数；当 时， 在 为减函数；当 时，
在 ， 上为减函数，在 上为增函数.
（2）由（1）可知：
①当 时， ，此时 ；
②当 时， ，当 时，有 ， ，可得
，不符合题意；
③当 时， ，由函数 的单调性可知，当 时 ，不符合题意；
④当 时， ，由函数 的单调性可知，当 时 ，不符合题意.
综上可知，所求实数 的取值范围为 .
( )2( ) 1 ln 2 1f x x x a x x= − − − − + 2 (2 1) ( 1) lnax a x a x= − + + − + −
1'( ) 2 (2 1)f x ax a x
= − + + −
22 (2 1) 1 (2 1)( 1)ax a x ax x
x x
− + + − −= − = −
0a ≤ '( ) 0f x > 1x > '( ) 0f x < 0 1x< < ( )f x (1, )+∞
(0,1)
10 2a< < 1 12a
> '( ) 0f x > 11 2x a
< < '( ) 0f x < 0 1x< < 1
2x a
> ( )f x
11, 2a
(0,1) 1 ,2a
+∞
1
2a = 2( 1)'( ) 0xf x x
−= − ( )f x (0, )+∞
1
2a > 10 12a
< < '( ) 0f x > 1 12 xa
< < '( ) 0f x < 10 2x a
< < 1x > ( )f x
1 ,12a
10, 2a
(1, )+∞
0a ≤ ( )f x (0,1) (1, )+∞ 10 2a< < ( )f x (0,1)
1 ,2a
+∞
11, 2a
1
2a = ( )f x (0, )+∞ 1
2a > ( )f x
10, 2a
(1, )+∞ 1 ,12a
0a ≤ min( ) (1) 0f x f= = ( ) 0f x ≥
10 2a< < (1) 0f = 1,ax a
+ ∈ +∞ ln 0x > 1ax a> +
2( ) 1 ( 1) ( 1)( 1 ) 0f x x a x x a ax< − − − = − + − <
1
2a = (1) 0f = ( )f x (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x <
1
2a > (1) 0f = ( )f x 1 ,12x a
∈ ( ) 0f x <
a ( ,0]−∞
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数研究函数值恒大于零的问题，考查分
类讨论的数学思想方法，综合性较强，属于难题.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的
题目．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ＝4，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ+2sinθ，以极点为坐
标原点 O，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线 l'：y＝kx（x≥0，0＜k＜1）与曲线 C 交于 O，M 两
点．
（Ⅰ）写出直线 l 的直角坐标方程以及曲线 C 的参数方程；
（Ⅱ）若射线 l′与直线 l 交于点 N，求 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）直线 l 的直角坐标方程 ，曲线 C 的参数方程 .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由直线 l 的极坐标方程能求出直线 l 的直角坐标方程；由曲线 C 的极坐标方程，求出曲线 C 的直角坐
标方程，由此能求出曲线 C 的参数方程．
（Ⅱ）用极径表示线段的长度，从而把比值问题转化为极坐标中极径的比值问题，再转化为以极角为变
量的三角函数求范围问题.根据角的范围求即可.
【详解】解：（Ⅰ）∵直线 l 的极坐标方程为 ρcos＝4，
∴直线 l 的直角坐标方程为 x＝4，
∵曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ+2sinθ，
∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2﹣2x﹣2y＝0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
∴曲线 C 参数方程为 ，（α 为参数）．
（Ⅱ）设 M（ρ1，β），N（ρ2，β），则 ρ1＝2cosβ+2sinβ， ，
∴ ＝ ＝ ＝
＝ ＝ + + ，
∴ ，
的
| |
| |
OM
ON
4x = 1 2 1 1 2,2 41 2
x cos
y sin
ϕ
ϕ
= + + = +
；（Ⅱ）
∴ 的取值范围是（ ]．
【点睛】本题考查直线的直角坐标方程、曲线的参数方程、两线段的比值的求法，考查极坐标方程、直
角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．
23.已知 ，函数 F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，
其中 min{p，q}=
（Ⅰ）求使得等式 F（x）=x2−2ax+4a−2 成立的 x 的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求 F（x）的最小值 m（a）；
（ⅱ）求 F（x）在区间[0,6]上的最大值 M（a）.
【 答 案 】 （ Ⅰ ） ． （ Ⅱ ） （ ⅰ ） ． （ ⅱ ）
．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）分别对 和 两种情况讨论 ，进而可得使得等式
成立的 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数 ， 的最小值，再根
据 的定义可得 的最小值 ；（Ⅱ）分别对 和 两种情况讨论 的最
大值，进而可得 在区间 上的最大值 ．
试题解析：（Ⅰ）由于 ，故
当 时， ，
当 时， ．
所以，使得等式 成立的 的取值范围为 ．
（Ⅱ）（ⅰ）设函数 ， ，
则 ， ，
所以，由 的定义知 ，即
3a ≥
{ , .
p p q
q p q
， ，≤
>
[ ]2,2a ( )
2
0,3 2 2{
4 2, 2 2
am a
a a a
≤ ≤ +=
− + − > +
( ) 34 8 ,3 4{2, 4
a aa a
− ≤ ( )F x ( ) 2 2 4 2F x x ax a= − + −
x ( ) 2 1f x x= − ( ) 2 2 4 2g x x ax a= − + −
( )F x ( )F x ( )m a 0 2x≤ ≤ 2 6x≤ ≤ ( )F x
( )F x [ ]0,6 ( )M a
3a ≥
1x ≤ ( ) ( )( )2 22 4 2 2 1 2 1 2 0x ax a x x a x− + − − − = + − − >
1x > ( ) ( )( )2 2 4 2 2 1 2 2x ax a x x x a− + − − − = − −
( ) 2 2 4 2F x x ax a= − + − x [ ]2,2a
( ) 2 1f x x= − ( ) 2 2 4 2g x x ax a= − + −
( ) ( )min 1 0f x f= = ( ) ( ) 2
min 4 2g x g a a a= = − + −
( )F x ( ) ( ) ( ){ }min 1 ,m a f g a= ( )
2
0,3 2 2{
4 2, 2 2.
am a
a a a
≤ ≤ +=
− + − > +
，
（ⅱ）当 时，
，
当 时， ．
所以， ．
【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．
【思路点睛】（Ⅰ）根据 的取值范围化简 ，即可得使得等式 成立的 的
取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数 和 的最小值，再根据 的定义可得 ；（Ⅱ）根据
的取值范围求出 的最大值，进而可得 ．
0 2x≤ ≤
( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )max 0 , 2 2 2F x f x f f F≤ ≤ = =
2 6x≤ ≤ ( ) ( ) ( ) ( ){ } { } ( ) ( ){ }max 2 , 6 max 2,34 8 max 2 , 6F x g x g g a F F≤ ≤ = − =
( ) 34 8 ,3 4{2, 4
a aM a a
− ≤ − { }2x x > −
z z 1z = z Z ( 1,0)A − (0,1)B
( ) ( 1)( )f z z z i= + − Z A B
( ) ( )( )sin 0, 0f x xω ϕ ω ϕ π= + > < < 2(0, ), ( ,0)2 4A B
π ( )f x (0, )4
π
( )f x =
( ) sin 3 4f x x
π = +
( ) 3sin 5 4f x x
π = +
( ) sin 7 4f x x
π = +
( ) 3sin 9 4f x x
π = +
3
π
2ACB
π∠ ≠
AQ BC
1
3
1
2
3
3
2
3
A. B. C. D.
6.若 是数列 的前 项和，若 ，则 是（ ）
A. 等比数列，但不是等差数列 B. 等差数列，但不是等比数列
C. 等差数列，而且也 等比数列 D. 既非等比数列，也非等差数列
7.已知函数 的定义域为 ，当 时 ，且对任意的实数 ，等式
成立，若数列 满足 ，且 ，则下列结
论成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8.执行如图所示的程序框图，输出的结果为
A. B. C. D.
9.已知 F 为双曲线 右焦点，过 F 做 C 的渐近线的垂线 FD，垂足为 D，且满足
（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
是
的
1
6
2
5
3
5
2
3
nS { }na n 22nS n= { }na
( )y f x= R 0x < ( ) 1f x > ,x y R∈
( ) ( ) ( )f x f y f x y= + { }na ( ) ( )1
1 11n
n
f a f n Na
∗
+
= ∈ +
( )1 0a f=
( ) ( )2016 2018f a f a> ( ) ( )2017 2020f a f a>
( ) ( )2018 2019f a f a> ( ) ( )2016 2019f a f a>
( )
20192 1− 20192 2− 20202 2− 20202 1−
2 2
2 2 1x y
a b
− = 1
2FD OF=
2 3
3
10
3
10.如图，斜 满足 ， ， ，其中
表示 a，b 中较大的数（ 时定义 ）．线段 AC 的中垂线上有一点 D，过点 D 作
于点 E，满足 ，则点 D 到 外接圆上一点的距离最大值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
11.记不等式组 ，表示 平面区域为 .下面给出的四个命题： ；
； ； 其中真命题的
是：
A. B. C. D.
12.已知函数 的导函数 是偶函数，若方程 在区间 (其
中 为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.对于实数 x，[x]表示不超过 x 的最大整数，已知正数列{an}满足 Sn= （an ），n∈N*，其中 Sn 为
数列{an}的前 n 项的和，则[ ]=______．
14.方程 在区间 上 解为_______________．
15.已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 的左、右顶点分别为 ．直线 l：
交椭圆于 P，Q 两点，直线 和直线 相交于椭圆外一点 R，
的
的
ABC tan tan 4 2 3A B+ = + 1AB = { }max ,AB BC AC< { }max ,a b
a b= { }max ,a b a b= =
DE BC⊥ AB BE CE+ = ABC
2 0
2 0
3 6 0
x y
x y
x y
+ − ≤
− + ≤
− + ≥
D 1 : ( , ) , 0P x y D x y∀ ∈ +
2 : ( , ) ,2 1 0P V x y D x y∈ − + 3
1: ( , ) , 41
yP Z x y D x
+∈ −−
2
4
2: ( , ) , 2P x y D x y∃ ∈ +
1 2PP 2 3,P P 2 4,P P 3 4,P P
( ) 3 21 1
6 2f x x bx cx= + + ( )'f x ( )' ln 0f x x− = 1,ee
e c
2
1 11 ,2e 2
− − − 2
1 11 ,2e 2
− − −
21 11 e ,2 2
− −
21 11 e ,2 2
− −
1
2 n
1
a
+
1 2 121
1 1 1
S S S
+ +…+
1 sin 2sin 3 3tan 2
xx x
= + [ ]0, 2π
2 2
1 : 19 5
x yC + = 1 2,A A
( ) ( ) ( )2 1 2 1m y m x y m R− + − = + ∈ 1AP 2A Q
则点 R 的轨迹方程为_______________．
16.在棱长为 4 的密封正方体容器内有一个半径为 1 的小球，晃动此正方体，则小球可以经过的空间的体积
为__________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17.已知 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列，且 ， ，
.
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 .
18.如图，在多面体 中， ，四边形 和四边形 是两个全等的等腰梯
形.
（1）求证：四边形 为矩形；
（2）若平面 平面 ， ， ， ，求多面体 的体积.
19.某省的一个气象站观测点在连续 4 天里记录的 AQI 指数 M 与当天的空气水平可见度 y（单位：cm）的情
况如下表：
M 900 700 300 100
y 0.5 3.5 6.5 9.5
该省某市 2019 年 12 月份 AQI 指数 M 的频数分布表如下：
{ }na { }nb 1 1 1b a= = 3 4b a= 1 2 3 3 4b b b a a+ + = +
{ }na { }nb
n n nc a b= { }nc n nT
ABCDFE AB CD EF ABCD ABEF
CDFE
ABEF ⊥ ABCD 2AB = 6CD = 2 2AD = ABCDFE
M
频数 3 6 12 6 3
（1）设 ，若 x 与 y 之间具有线性关系，试根据上述数据求出 y 关于 x 的线性回归方程；
（2）王先生在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与 AQI 指数的相关关系如下表：
M
日均收入（元） -2000 -1000 2000 6000 8000
估计王先生的洗车店 2019 年 12 月份每天的平均收入．
附参考公式： ，其中
20.已知直线 过椭圆 的右焦点，且交椭圆于 A，B 两点，线段 AB 的中点是
，
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点 直线 l 与线段 AB 相交（不含端点）且交椭圆于 C，D 两点，求四边形 面积的最大值.
21.已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若对 ， ，求实数 的取值范围.
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的
题目．如果多做，则按所做的第一题计分．
22.在极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ＝4，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cosθ+2sinθ，以极点为坐
的
[ )0, 200 [ )200, 400 [ )400, 600 [ )600, 800 [ ]800,1000
100
Mx =
[ )0, 200 [ )200, 400 [ )400, 600 [ )600, 800 [ ]800,1000
y bx a= + 1
22
1
,
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b a y bx
x nx
=
=
−
= = −
−
∑
∑
1x y+ = ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > >
2 1,3 3M
ACBD
2( ) 1 ln ( 1) ( )f x x x a x a R= − − − − ∈
( )f x
(0, )x∀ ∈ +∞ ( ) 0f x ≥ a
标原点 O，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系，射线 l'：y＝kx（x≥0，0＜k＜1）与曲线 C 交于 O，M 两
点．
（Ⅰ）写出直线 l 的直角坐标方程以及曲线 C 的参数方程；
（Ⅱ）若射线 l′与直线 l 交于点 N，求 的取值范围．
23.已知 ，函数 F（x）=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，
其中 min{p，q}=
（Ⅰ）求使得等式 F（x）=x2−2ax+4a−2 成立的 x 的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求 F（x）的最小值 m（a）；
（ⅱ）求 F（x）在区间[0,6]上的最大值 M（a）.
| |
| |
OM
ON
3a ≥
{ , .
p p q
q p q
， ，≤
>
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