1
专题 07 坐标系与参数方程（巩固训练）
1．在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数， ），以原点
为极点，以 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，且 ，求 的值.
2．以坐标原点为极点，以 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为
，直线 的参数方程为 （ 为参数）．
（1）点 在曲线 上，且曲线 在点 处的切线与直线： 垂直，求点 的直角坐标；
（2）设直线 与曲线 有且只有一个公共点，求直线 的斜率的取值范围．
3．已知曲线 的参数方程是 （参数 ）.
（1）曲线 的普通方程；
（2）过点 的直线与该曲线交于 ， 两点，求线段 中点 的轨迹方程.
4．平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点， 轴
为非负半轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程；
（2）求直线 与曲线 交于两点 ，线段 的中点的横坐标为 ，求 的值.
xOy l
cos
sin
x t
y t
α
α
=
= t 0 α π< < O
x C ( 0)1 cos
p pρ θ= >−
l C
l C A B
1 1 1| | | |OA OB
+ = p
x C
2 ,2 2
ρ θ π π = ∈ − l
2 cos
4 sin
x t
y t
α
α
= − +
= − + t
A C C A 2 1 0x y+ + = A
l C l
C
2 2
2 4
1
2
tx t
y t t
= +
= −
t R∈
C
( )2,1A P Q PQ M
xOy C
2 2 cos
sin
x
y m
α
α
=
=
,m α x
l 2 sin( ) 14
πρ θ − =
l C
l C ,M N MN 2
3
− m2
5．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为
（ 为参数），曲线 与 轴交于 两点.以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立
极坐标系.
（1）求直线 的普通方程及曲线 的极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 在第一象限交于点 ，且线段 的中点为 ，点 在曲线 上，求
的最小值.
6．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以原点 为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）直接写出曲线 的普通方程；
（2）设 是曲线 上的动点， 是曲线 上的动点，求 的最大值．
7．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）求曲线 与 交点的极坐标.
8．曲线 的极坐标方程为 （常数 ），曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
xOy l
2
2
x t
y t
= −
= − t 1C
1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
α 1C x ,O A O x
l 1C
l 2
2 : 4C y x= M MA N P 1C
| |PN
xOy 1C 2 2cos
2sin
x
y
α
α
= +
=
α O x
2C 2
2
3 cos2 sin
ρ
θ θ
=
+ −
2C
A 1C B 2C AB
xOy 1C
1,
1
x t t
y t t
= −
= +
t O x
2C 2 2ρ =
1C 2C
1C 2C
1C rρ = 0r > 2C
( )
2
2 1
3
1
tx t
y t
− = +
= +
t3
（1）求曲线 的直角坐标方程和 的普通方程；
（2）若曲线 ， 有两个不同的公共点，求实数 的取值范围.
9．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 被曲线 所截得的弦长为 ，求 的值.
10．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方程为
（ 为参数），设直线 与 的交点为 ，当 变化时点 的轨迹为曲线 .
（1）求出曲线 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
，点 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最大值.
11．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数)，点 是曲线 上的动点，点
在 延长线上，且 ．
（1）求点 轨迹 的参数方程；
（2）以 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线 与曲线 (与原点不重合)的交点分
1C 2C
1C 2C r
xOy l
2
2
22 2
x a t
y a t
= +
= − +
t O x
C 2 2 2 cos 44a
πρ ρ θ − + =
l C
l C 2 10 a
xOy 1l 3x t
y kt
= − =
t 2l
3
3
x m
my k
= − =
m 1l 2l P k P 1C
1C
x 2C
sin 3 24
πρ θ + = Q 1C Q 2C
xOy 1C cos
1 sin
x
y
α
α
=
= +
α P 1C
Q OP 3PQ OP=
Q 2C
O x
3
πθ = 1 2,C C4
别为 ，求 ．
12．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，直线 与曲线 相交于点 ，求 的值.
13．在以直角坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，过点 的直线 的极坐标方程
为 ，曲线 的方程为 .
（1）求直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 分别交于点 ，且 成等比数列，求 的值.
14．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线 的极坐标方程为 .
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）已知 与 相切，求 的值.
15．在平面直角坐标系 ， ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
的极坐标方程为 ，点 为 上的动点， 为 的中点．
（1）请求出 点轨迹 的直角坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 若直线 经过点 且与曲线 交于点 ，弦 的中点为 ，求
,A B AB
xOy l
,
5 2
x t
y t
= = +
t O x
C 2 cos2 4 0ρ θ + =
l C
(0, 5)A l C ,M N 1 1
| | | |AM AN
+
O x 31, 2P
π
l
1cos 6 2
πρ α + = C 22 sin cos 0( 0)a aθ ρ θ− = >
l C
l C ,M N | |,| |,| |PM MN PN a
xOy C
1 1
2
2 1
2
x t t
y t t
= +
= −
t O x
l 2 cos sin 0mρ θ ρ θ− + =
C l
l C m
xOy (2,0)P x
C 2ρ = ( , )(0 )Q ρ θ θ π C M PQ
M 1C
A (1, )A π l A 1C ,E F EF D5
的取值范围．
16．在平面直角坐标系 中,曲线 过点 ,其参数方程为 （t 为参数， ），以
为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ．
求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
已知曲线 和曲线 交于 两点，且 ，求实数 的值．
| |
| | | |
AD
AE AF⋅
xoy 1C ( ),1P a 2
1 2
x a t
y t
= +
= +
a R∈ O
x 2C 2cos 4cos 0ρ θ θ ρ+ − =
( )1 1C 2C
( )2 1C 2C ,A B 2PA PB= a1
参考答案
1．【答案】（1） ； （2）
【分析】（1）消去参数 ，即可求得直线的普通方程，再化简为直角方程即可；利用公式 ，
，即可求得曲线 的直角坐标方程；
（2）联立直线的极坐标方程和曲线的极坐标方程，求得 ，代值计算即可.
【解析】（1）由 （ 为参数， ），得
当 时，直线 的普通方程是 ，其极坐标方程为 和 ；
当 时，消去参数 得 ，直线 过原点、倾斜角为 ，
其极坐标方程为 和 .
综上所述，直线 的极坐标方程为 和 ，
也可以写成 .
由 ，得 ，
又因为 ， ，
所以 ，整理得 .
（2）设 ， ，
( R)θ α ρ= ∈ 2 2 ( 0)2
py p x p = + > 2p =
t 2 2 2x yρ = +
cos xρ θ = C
,OA OB
cos
sin
x t
y t
α
α
=
= t 0 α π< <
2
πα = l 0x =
2
πθ = 3
2
πθ =
2
πα ≠ t tany x α= l α
θ α= θ α π= +
l θ α= (0 )θ α π α π= + < <
( R)θ α ρ= ∈
( 0)1 cos
p pρ θ= >− cos pρ ρ θ− =
2 2 2x yρ = + cos xρ θ =
2 2 2( )x y x p+ = + 2 2 ( 0)2
py p x p = + >
( )1 1,A ρ θ ( ),B ρ θ2 22
解方程组 ，得 ，即 ；
解方程组 ，得 ，即 .
所以 ，
又已知 ，所以 .
【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程之间的转化，极坐标方程和普通方程之间的转化，以及利用极坐
标求解距离问题，属综合中档题.
2．【答案】（1）点 的坐标为 ；（2） .
【分析】（1）求出曲线 的普通方程，根据题意求出直线 的方程，再将直线 的方程与曲线 的方程
联立，即可求得点 的坐标；
（2）设直线 的方程为 （其中 为直线 的斜率），求出直线 与半圆 相切时直线 的斜
率 的值，设点 ， ， ，求出直线 、 的斜率，利用数形结合思想
可求得直线 的斜率的取值范围.
【解析】（1）由 ，所以，曲线 的直角坐标方程为： ，
点 在曲线 上，且曲线 在点 处的切线与直线： 垂直，
直线 与直线： 平行，
直线 的斜率 ，即 的方程为 ，
1 cos
p
θ α
ρ θ
= = −
1 1 cos
pρ α= − | | 1 cos
pOA α= −
1 cos
p
θ α π
ρ θ
= + = −
2 1 cos
pρ α= + | | 1 cos
pOB α= +
1 1 1 cos 1 cos 2
| | | |OA OB p p p
α α− ++ = + =
1 1 1| | | |OA OB
+ = 2p =
A 2 10 10,5 5
−
{ }4 2 4 2, 12 2
− +
C OA l C
A
l ( )2 4y k x= − + k l l C l
k ( )0, 2B ( )0, 2D − ( )2, 4P − − PB PD
l
2 ,2 2
π πρ θ = ∈ − C ( )2 2 2 0x y x+ = ≥
A C C A 2 1 0x y+ + =
∴ OA 2 1 0x y+ + =
∴ OA 1
2
− OA 1
2y x= −3
由 ，得： ．
即点 的坐标为 ；
（2）将直线 化为普通方程： （ 为直线 的斜率），
当直线 与半圆 相切时，则有 ．
， 或 ，
设点 ， ， ，则 ， ．
由图象知，当直线 与半圆 相切时，则 ，此时 .
因此，当直线 与半圆 有且只有一个公共点时，直线 的斜率的取值范围是 ．
【点睛】本题第（1）问考查极坐标与直角坐标的转化，圆的切线问题；第（2）问考查利用直线与圆位置
关系求参数，考查数形结合思想的应用，属中等题．
2 2 2
1
2
0
x y
y x
x
+ =
= −
≥
2 10
5
10
5
x
y
=
= −
A 2 10 10,5 5
−
l ( )2 4y k x= − + k l
l ( )2 2 2 0x y x+ = ≥
2
2 4 2
1
k
k
− =
+
2 8 7 0k k∴ − + = 1k∴ = 7k =
( )0, 2B ( )0, 2D − ( )2, 4P − − 4 2
2PBk
+= 4 2
2PCk
−=
l C PDk k< 1k =
l C l { }4 2 4 2, 12 2
− + ∪ 4
3．【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）先把 变形为 ，然后两式平方相减可得曲线 的普通方程；
（2）设出点的坐标，代入方程，作差，结合中点公式和斜率公式可求.
【解析】（1）因为 ，整理得 ，所以有 ，
两式相减可得 ，即 .
（2）设 ，则 ，
两式相减得 ，即 .
因为 为 的中点，所以 ，
因为 均在直线上，所以 ，
整理可得 ，经检验知符合题意，
即线段 中点 的轨迹方程 .
【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程及轨迹方程的求解，参数方程化为普通的关键是消去参数，
点差法是求解有关弦中点问题的首选方法，侧重考查数学运算的核心素养.
4．【答案】（1） ； ；（2）4.
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得直线的直角坐标方程，再由曲线的参数方程，
消去参数，即可得出曲线的普通方程；
2
2 12
yx − = 2 22 4 0x x y y− − + =
2 2
2 4
tx t
= + 12 2x t t
= + C
2 2
2 4
tx t
= + 12 2x t t
= + 2 2
2
2 2
2
1 12 1, 14 4t tx ty t
= + + = + −
2 22 2x y− =
2
2 12
yx − =
1 1 2 2( , ), ( , ), ( , )P x y Q x y M x y
2 2
2 21 2
1 21, 12 2
y yx x− = − =
1 2 1 2
1 2 1 2
( )( )( )( ) 02
y y y yx x x x
− +− + − = 1 2 1 2
1 2 1 22( )
x x y y
y y x x
+ −=+ −
M PQ 1 2 1 22 , 2x x x y y y+ = + =
,M A 1 2
1 2
1
2
y y y
x x x
− −=− −
2 22 4 0x x y y− − + =
PQ M 2 22 4 0x x y y− − + =
: 1l y x= + 2 2
: 18
x yC m
+ =5
( 2)根据曲线的普通方程，由中点弦问题，利用点差法，即可求解.
【解析】（1）由题意，曲线 的参数方程 ，
可得 ，平方相加，即可得到曲线 普通方程为 ，
又由直线 ，即 ，
即 ，根据 ，
代入可得则直线的直角坐标力程为 .
（2）依题意，线段 的中点坐标 ，
设 ， 则 ，
两式相减可得 ，
整理得 ，即 ，解得 .
【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题中
“点差法”的应用，着重考查运算求解能力以及化归转化思想.
5．【答案】（1） ； （2）
【分析】（1）利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化公式求解即可；
（2）联立直线方程和曲线 的方程求出点 坐标，利用中点坐标表示可得点 ，结合（1）知，判断点
C
2 2 cos
sin
x
y m
α
α
=
=
cos
2 2
sin
x
y
m
α
α
=
=
C
2 2
18
x y
m
+ =
2 sin( ) 14
πρ θ − = 2 22 sin cos 12 2
ρ θ θ − =
sin cos 1ρ θ ρ θ− = cos , sinx yρ θ ρ θ= =
1 0x y− + =
MN 2 1,3 3
−
1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y
2 2 2 2
1 1 2 21, 18 8
x y x y
m m
+ = + =
1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 08
x x x x y y y y
m
− + − ++ =
1 2
1 2
4
2 3 03 8
y y
x x m
−− ⋅ + =−
1 2 02 m
− + = 4m =
2 4 0x y− − = 2cosρ θ= 2 2 1−
2C M N6
与圆 的位置关系求出 的最小值即可.
【解析】（1）由 可得 ，即 ，
所以直线 的普通方程为 .
由 可得 ，即 ，
将 ， 代入上式，可得 ，即 ，
所以曲线 的极坐标方程为 .
（2）由 ，可得 或 ，
因为点 位于第一象限，所以 ，
由（1）可得 ，因为线段 的中点为 ，所以 ，
由（1）可知曲线 表示圆，其圆心为 ，半径 ，
所以 ，
因为点 在曲线 上，所以 .
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化公式、点与圆的位置关系；考查运算求解
能力和逻辑思维能力；正确判断点 与圆 的位置关系是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
6．【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用互化公式即可将曲线 的极坐标方程化成普通方程；
N 1C | |PN
2
2
x t
y t
= −
= −
2 4x y= + 2 4 0x y− − =
l 2 4 0x y− − =
1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
2 2( 1) 1x y− + = 2 2 2 0x y x+ − =
cosx ρ θ= 2 2 2x yρ = + 2 2 cos 0ρ ρ θ− = 2cosρ θ=
1C 2cosρ θ=
2
2 4 0
4
x y
y x
− − =
=
1
2
x
y
=
= −
4
4
x
y
=
=
M (4,4)M
(2,0)A MA N (3,2)N
1C 1(1,0)C 1r =
2 2
1| | (3 1) (2 0) 2 2C N r= − + − = >
P 1C min 1| | 2 2 1PN C N r= − = −
N 1C
2
2 14
yx + =
max
2 21 23AB = +
2C7
（2）消去参数，求出曲线 的普通方程为 ，从而得出 的参数方程，由题可知，
，设 ，利用两点间的距离公式求出 ，运用二次函数的性质求出
，从而得出 的最大值．
【解析】（1）曲线 的普通方程为 ；
（2）由曲线 的参数方程为 （ 为参数），
得曲线 的普通方程为 ，
它是一个以 为圆心，半径等于 2 的圆，
则曲线 的参数方程为： 为参数），
∵ 是曲线 上的点， 是曲线 上的点，
∴ ．
设 ，
则
，
∴当 时， ，
∴ ．
【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程，利用消参法将参数方程化为普通方程，运
1C 2 22 4x y− + =（ ） 2C
max max 2AB BC= + cos 2sinB β β（ ， ） BC
maxBC AB
2C
2
2 14
yx + =
1C 2 2cos
2sin
x
y
α
α
= +
=
α
1C 2 22 4x y− + =（ ）
2 0C（ ，）
2C cos (2sin
x
y
β ββ
=
=
A 1C B 2C
max max 2AB BC= +
cos 2sinB β β（ ， ）
2 2 2= cos 2 4sin = 3cos 4cos 8BC β β β β− + − − +（ ）
22 28= 3 cos 3 3
β − + +
2cos = 3
β −
max
28 2 21= =3 3BC
max
2 21 23AB = +8
用曲线的参数方程表示点坐标，以及结合两点间的距离和二次函数的性质，求出距离最值，考查转化思想
和计算能力.
7．【答案】（1） ； （2） ， ， ，
【分析】（1）由曲线 的参数方程通过将两个式子两边分别平方再相减可消去参数 ，得到曲线 的普通
方程，再由公式 化为极坐标方程即可.对于曲线 利用公式 直接化为直角坐标
方程即可.
（2）把曲线 的极坐标方程和曲线 的极坐标联立即可求得交点的极坐标.
【解析】（1）由题意，将 与 -两式平方相减可得 .因为 所以
，
即曲线 的极坐标方程为 .
将曲线 的极坐标方程 化为直角坐标方程为 .
（2）由题意得 ，故 ，
所以 或 或 或 ，即 或 或 或 .
所以两曲线交点的极坐标为 ， ， ， .
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查两曲线交点
的极坐标的求法.．极坐标与直角坐标之间由关系式 相互转化．
2 cos2 4ρ θ = − 2 2 8x y+ = 2 2, 3
π
22 2, 3
π
2 2, 3
4π
2 2, 3
5π
C t C
cos ,
sin ,
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 2C cos ,
sin ,
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
1C 2C
1x t t
= − 1y t t
= + 2 2 4x y− = − cos ,
sin ,
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=
2 2 2 2cos sin 4ρ θ ρ θ− = −
1C 2 cos2 4ρ θ = −
2C 2 2ρ = 2 2 8x y+ =
2 cos2 4,
2 2,
ρ θ
ρ
= − =
1cos2 2
θ = −
22 3
πθ = 4
3
π 8
3
π
3
10π
3
πθ = 2
3
π 4
3
π 5
3
π
2 2, 3
π
22 2, 3
π
2 2, 3
4π
2 2, 3
5π
cos ,
sin ,
x
y
ρ θ
ρ θ
=
=9
8．【答案】（1） ： ， ： ；（2）
【分析】（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件 得曲线 的直角坐标方程，利用消元法
消去 t 可得 的普通方程；
（2）若曲线 ， 有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实
数 的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数 的取值范围.
【解析】（1）方法一：由 得： .
由 得： ，即 .
∴曲线 的直角坐标方程为： ， 的普通方程为： .
方法二：由 得： .
由 得： ；由 得： .
∴ .
整理得 的普通方程为： .
∴曲线 的直角坐标方程为： ， 的普通方程为： .
1C 2 2 2x y r+ = 2C ( )2 1 0 0x y y+ − = ≠ 5 1 1, ,5 2 2
+∞
cos
sin
x
y
r
ρ θ
ρ θ
ρ
=
=
=
1C
2C
1C 2C
r r
cos
sin
x
y
r
ρ θ
ρ θ
ρ
=
=
=
2 2 2x y r+ =
( )
2
2 1
3
1
tx t
y t
− = +
= +
2 1x y+ = ( )2 1 0 0x y y+ − = ≠
1C 2 2 2x y r+ = 2C ( )2 1 0 0x y y+ − = ≠
cos
sin
x
y
r
ρ θ
ρ θ
ρ
=
=
=
2 2 2x y r+ =
( )
2
2 1
tx t
−= +
2 2
1 2
xt x
+= −
3
1y t
= +
3 yt y
−=
2 2 3
1 2
x y
x y
+ −=−
2C ( )2 1 0 0x y y+ − = ≠
1C 2 2 2x y r+ = 2C ( )2 1 0 0x y y+ − = ≠10
（2）方法一：由 消 得： .
由曲线 ， 有两个不同的公共点得： ， 解得： .
又当圆 ： 过点 时，有 ，且曲线 表示不过点 的直线.
∴ .
∴实数 的取值范围为 .
方法二：圆心 到直线 的距离为： .
由曲线 ， 有两个不同的公共点得： ，即 .
又当圆 ： 过点 时，有 ，且曲线 表示不过点 的直线.
∴ .
∴实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，解题的
关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系，直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解，
属于中等题.
9．【答案】（1） ， ；（2） .
【分析】（1）在直线 的参数方程中消去参数 可得出直线 的普通方程，将曲线 的极坐标方程变形为
，利用极坐标方程与普通方程的转换关系可得出曲线 的普通方程；
2 2 2
2 1x y
x y r
+ =
+ =
y 2 25 4 1 0x x r− + − =
1C 2C 220 4 0r∆ = − > 0r > 5
5r >
1C 2 2 2x y r+ = 1 ,02
1
2r = 2C 1 ,02
1
2r ≠
r 5 1 1, ,5 2 2
+∞
( )0,0 2 1 0x y+ − = 5
5d =
1C 2C d r< 5
5r >
1C 2 2 2x y r+ = 1 ,02
1
2r = 2C 1 ,02
1
2r ≠
r 5 1 1, ,5 2 2
+∞
: 3l y x a= − 2 2: 2 2 4C x y ax ay+ − + = 2±
l t l C
( )2 2 cos sin 4aρ ρ θ θ− − = C11
（2）计算出圆心到直线 的距离，利用勾股定理可得出关于 的等式，可求得 的值.
【解析】（1） .
所以，曲线 的直角坐标方程为 ，
在直线 的参数方程中消去参数 ，得 ，即直线 的普通方程为 ；
（2）圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离 ，
直线 被曲线 所截得的弦长 ，
解得 .
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考
查计算能力，属于中等题.
10．【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解析】（1）将 ， 的参数方程转化为普通方程.
： ，
： ，
两式相乘消 可得 ，
l a a
( )2 22 2 cos 4 2 cos sin 44a a
πρ ρ θ ρ ρ θ θ − + = ⇒ − − =
C 2 2 2 2 4x y ax ay+ − + =
l t 3y x a= − l 3y x a= −
C ( ) ( )2 2 22 4x a y a a− + + = + ( ),a a− 22 4r a= +
( ),a a− l
2
ad =
l C
2 2
2 2 2 32 10 2 2 2 4 2 42 2
a ar d a= − = + − = +
2a = ±
( )2
2 1 03
x y y+ = ≠ 4 2
1l 2l
1l ( )3y k x= +
2l ( )1 33y xk
= −
k
2
2 13
x y+ =12
因为 ，所以 ，所以 的普通方程为 .
（2）直线 的直角坐标方程为 ，
由（1）知曲线 与直线 无公共点.
由于 的参数方程为 （ 为参数， ， ），
所以曲线 上的点 到直线 的距离为
，
所以当 时， 的最大值为 .
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的
应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思
维能力，属于基础题．
11．【答案】（1） ( 为参数)．（2）
【分析】（1）由 得 ，设 ，则 ，将 点坐标代入曲线 的参数
方程，化简后求得 的轨迹 的参数方程.
（2）将 的参数方程消参，求得其对应的直角坐标方程，转化为极坐标方程，令 求得 和
，由此求得 .
【解析】（1）由点 在 延长线上，且 ，
0k ≠ 0y ≠ 1C ( )2
2 1 03
x y y+ = ≠
2C 6 0x y+ − =
1C 2C
1C 3 cos
sin
x
y
α
α
= =
α kα π≠ k Z∈
1C ( )3 cos ,sinQ α α 6 0x y+ − =
2sin 63 cos sin 6 3
2 2
d
παα α
+ − + − = =
sin 13
πα + = − d 4 2
4cos ,
4 4sin ,
x
y
α
α
=
= +
α 3 3
3PQ OP= 4OQ OP= ( ),Q x y ,4 4
x yP
P 1C
Q 2C
1 2,C C
3
πθ = OA
OB AB
Q OP 3PQ OP=13
可得 ，设 ，则 ，
由点 是曲线 上动点，可得 即
所以点 轨迹 的参数方程为 ( 为参数)．
（2）因为曲线 的参数方程分别为
消去参数 ，得曲线 的直角坐标方程分别为 ， ，
由 ， ，得曲线 的极坐标方程分别为 ， ，所以
， ，
所以 ．
【点睛】本小题主要考查代入法求轨迹方程，考查利用极坐标的几何意义求弦长，考查化归与转化的数学
思想方法，属于中档题.
12．【答案】（1）直线 的普通方程为： ，曲线 的直角坐标方程为：
；（2）4
【分析】（1）使用代入法消参，可得直线 的普通方程，根据 ，结合二倍角的余弦
公式，可得曲线 的直角坐标方程
（2）写出直线 参数方程的标准形式，然后联立曲线 的方程，可得关于参数 的一元二次方程，根据
的几何意义，可得结果.
【解析】（1）由 （ 为参数），所以
4OQ OP= ( ),Q x y ,4 4
x yP
P 1C
cos ,4
1 sin ,4
x
y
α
α
=
= +
4cos ,
4 4sin ,
x
y
α
α
=
= +
Q 2C 4cos ,
4 4sin ,
x
y
α
α
=
= +
α
1 2,C C cos ,
1 sin ,
x
y
α
α
=
= +
4cos ,
4 4sin ,
x
y
α
α
=
= +
α 1 2,C C 2 2 2 0x y y+ − = 2 2 8 0x y y+ − =
2 2 2x yρ = + sin yρ θ = 1 2,C C 2sinρ θ= 8sinρ θ=
2sin 33OA
π= = 8sin 4 33OB
π= =
3 3AB OB OA= − =
l 2 5 0x y− + = C
2 2 4 0x y− + =
l cos , sinx yρ θ ρ θ= =
C
l C t t
,
5 2
x t
y t
= = +
t 5 2y x= +14
则直线 的普通方程为：
由 ，所以
又 ，所以
则曲线 的直角坐标方程为：
（2）由（Ⅰ）可知：
直线 参数方程标准形式为： （ 为参数）
将该方程代入曲线 的直角坐标方程
化简可得：
设点 所对应的参数分别为
所以 ，则
所以
则
【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程之间的转换，还考查直线参数方程参数的几何意义，
熟练公式以及直线参数方程参数的几何意义，注意直线参数方程的标准化，属中档题
13．【答案】（1） （ 为参数）. （2）
【分析】（1）先将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出直线 l 的参数方程.利用极直互化的公式
l 2 5 0x y− + =
2 cos2 4 0ρ θ + = ( )22 2cos s 4 0inθ θρ +− =
cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 2 4 0x y− + =
C 2 2 4 0x y− + =
l
5 ,5
2 55 5
x t
y t
=
= +
t
C
23 20 5 0t t+ + =
,M N 1 2,t t
1 2 1 2
20 5,3 3t t t t+ = − = 1 20, 0t t< <
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
| | | |AM AN t t t t
+ = + = − +
1 2
1 2
1 1 4| | | |
t t
AM AN t t
++ = − =
1 ,2
31 ,2
x t
y t
=
= − +
t 2 2 ( 0)x ay a= > 5
615
写出曲线 的直角坐标方程；（2）将 代入 ，得 ，再利用韦
达定理和直线参数方程 t 的几何意义得解.
【解析】（1）直线 的极坐标方程可变形为： ，
整理得 ，
的普通方程为 .
又点 的直角坐标为 ，
于是直线 的参数方程可以是 （ 为参数）.
，
，即 .
（2）将 代入 ，得 ，
由 ，且 ，解得 .
于是 ， .
成等比数列，
，即 ，
C
1 ,2
31 ,2
x t
y t
=
= − +
2 2x ay= 2 4 3 8 0t at a− + =
l 1cos cos sin sin6 6 2
π πρ α α − =
3 cos sin 1ρ α ρ α− =
l∴ 3 1 0x y− − =
P (0, 1)−
l
1 ,2
31 ,2
x t
y t
=
= − +
t
22 sin cos 0a θ ρ θ− =
2 22 sin cos 0aρ θ ρ θ∴ − = 2 2 ( 0)x ay a= >
1 ,2
31 ,2
x t
y t
=
= − +
2 2x ay= 2 4 3 8 0t at a− + =
2( 4 3 ) 4 8 0a a∆ = − − × > 0a > 2
3a >
1 2 4 3t t a+ = 1 2 8t t a=
| |,| |,| |PM MN PN
2| | | | | |MN PM PN∴ = ⋅ 2
1 2 1 2t t t t− =16
，即 ，解得 或 .
， .
【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程 t 的几何意义，
意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14．【答案】（1） 的直角坐标方程为 ,直线 的直角坐标方程为 （2）
【分析】（1）将 化为 ，两式平方相减，消去参数 ，求得 的普通方程；
代入极坐标方程，即可求出直线 的直角坐标方程；
（2）直线 与曲线 方程联立，消去 ，得到关于 的一元二次方程， 与 相切， ，即可求解.
【解析】（1）因为 ， ，两式相减，有 ，
所以 的直角坐标方程为 .
直线 的直角坐标方程为 .
（2）联立 与 的方程，有 ，消 ，
得 ，因为 与 相切，所以有 ，
解得： .
( )2
1 2 1 2 1 24t t t t t t∴ + − = 2(4 3 ) 40 0a a− = 0a = 5
6a =
2
3a >
5
6a∴ =
C
2
2 12
yx − = l 2 0x y m− + =
2m = ±
1 1
2
2 1
2
x t t
y t t
= +
= −
12
12
x t t
y t t
= +
= −
t C
cos , sinx yρ θ ρ θ= = l
l C y x l C 0∆ =
( )2 2
2
12 2x t t
= + +
2
2
2
2 1 2
2
y t t
= + −
2 24 2 4x y− =
C
2
2 12
yx − =
l 2 0x y m− + =
l C
2
2 12
2 0
yx
x y m
− =
− + =
y
2 22 4 2 0x mx m+ + + = l C ( )2 2 216 4 2 2 8 16 0m m m∆ = − × + = − =
2m = ±17
【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线与圆锥曲线的位
置关系，属于中档题,
15．【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程为 ，可得点 满足
．利用相关点法即可得出 点轨迹 的直角坐标方程；
(2)根据已知条件求出直线 的参数方程，把直线 的参数方程代入 ，利用根与系数关系求出 ，
由直线 的参数方程中 的几何意义可将 用 表示，再将 代入即可求出
的取值范围．
【解析】(1)因为 的直角坐标方程为 ，
所以点 满足 ．
设 ，因为 为 的中点，
所以 ， ，所以 ， ，
所以 ，
整理得 的轨迹方程为 ．
(2)因为直线 过点 ，
所以直线 的参数方程为 ( 为参数， 为倾斜角， )
代入 得 ，所以 ， ，
2 2( 1) 1( 0)x y y− + = ≥ 3 2,3 3
C 2 2 4x y+ = ( )0 0,Q x y
2 2 4( 0)x y y+ = ≥ M 1C
l l 1C 1 2 1 2,t t t t+
l t | |
| | | |
AD
AE AF⋅ 1 2,t t 1 2 1 2,t t t t+
| |
| | | |
AD
AE AF⋅
C 2 2 4x y+ =
( )0 0,Q x y 2 2 4( 0)x y y+ = ≥
( , )M x y M PQ (2,0)P
0 2
2
xx
+= 0
2
yy = 0 2 2x x= − 0 2y y=
2 2(2 2) (2 ) 4( 0)x y y− + = ≥
1C 2 2( 1) 1( 0)x y y− + = ≥
l ( 1,0)A −
l
1 cos ,
sin ,
x t
y t
θ
θ
= − +
=
θ θ 0, 6
πθ ∈
1C 2 4 cos 3 0t t− + =θ 1 2 4cost t+ = θ 1 2 3t t =18
所以 ．
【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线 的参数方程中参数 的几何意义，本题中
求 的关键是联立直线的参数方程与 的直角坐标方程的基础上，利用直线的参数方程的几何
意义并结合根与系数关系求解．
16．【答案】（1） , ；（2） 或 .
【分析】(1)直接消参得到曲线 C1 的普通方程，利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线 C2 的直角坐标方
程；（2）把曲线 C1 的标准参数方程代入曲线 C2 的直角坐标方程利用直线参数方程 t 的几何意义解答.
【解析】C1 的参数方程为 消参得普通方程为 x－y－a＋1＝0，
C2 的极坐标方程为 ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，
两边同乘 ρ 得 ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得 y2＝4x．
所以曲线 C2 的直角坐标方程为 y2＝4x．
(2)曲线 C1 的参数方程可转化为 (t 为参数，a∈R)，代入曲线 C2：y2＝4x，
得 ＋1－4a＝0，由 Δ＝ ，得 a>0，
设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，
由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，即 t1＝2t2 或 t1＝－2t2，
当 t1＝2t2 时， 解得 a＝ ；
1 2
1 2
| | 2cos 3 22 ,| | | | 3 3 3
t t
AD
AM AN t t
θ
+
= = ∈ ⋅ ⋅
l t
| |
| | | |
AD
AE AF⋅ 1C
1 0x y a− − + = 2 4y x= 1
36a = 9
4
2
1 2
x a t
y t
= +
= +
2
2
21 2
x a t
y t
= +
= +
21 22 t t− 2 1( 2) 4 (1 4a) 02
− − × × − >
1 2
1 2
1 2
2
2 2
2(1 4 )
t t
t t
t t a
=
+ =
⋅ = −
1
3619
当 t1＝－2t2 时， 解得 a＝ ，
综上， 或 ．
【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程 t 的几何意义解
题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
1 2
1 2
1 2
2
2 2
2(1 4 )
t t
t t
t t a
= −
+ =
⋅ = −
9
4
1
36
9
4
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