2020年中考数学热点专题冲刺2规律探究问题（江苏版）

热点专题 2 规律探究问题 规律探究型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能 出现，一般多以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变 化规律、点的坐标规律等。基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、 比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规 律题可以说是每年中考的必考题，预计 2020 年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴 题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。 能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律． 学会通过通过观察、猜想、归纳、总结有关实数、代数式、图形、坐标等 相关的规律问题。 中考 要求 通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式 的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力． 考向 1 图形设计规律探究 1．(2019 江苏省徐州市)阅读理解 用 的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为 的图案．已知长度为 、 、 的所有图案如下： 10 20cm cm× 20cm 10cm 20cm 30cm尝试操作 如图，将小方格的边长看作 ，请在方格纸中画出长度为 的所有图案． 归纳发现 观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整． 图案的长度 所有不同图案的个数 1 2 3 　　 　　 　　 【答案】如图，5， 【解析】如图：根据作图可知 时，所有图案个数 5 个； 时，所有图案个数 8 个； 时，所有图案个数 13 个； 故答案为 5，8，13； 考向 2 图形性质规律探究 1. (2019 江苏省扬州市)如图，在△ABC 中，AB＝5，AC＝4，若进行以下操作，在边 BC 上从 左到右依次取点 D1、D2、D3、D4、…；过点 D1 作 AB、AC 的平行线分别交 AC、AB 于点 E1、 F1；过点 D1 作 AB、AC 的平行线分别交 AC、AB 于点 E2、F2；过点 D3 作 AB、AC 的平行线分别 交 AC、AB 于 点 E3 、F3… ， 则 4 （D1E1+D2E2+…+D2019E2019 ） +5 （D1F1+D2F2+…+D2019F2019 ） 10cm 40cm 10cm 20cm 30cm 40cm 50cm 60cm 40cm 50cm 60cm＝　 　． 【答案】40380 【解析】∵D1F1∥AC，D1E1∥AB， ∴ ，即 ， ∵AB＝5，BC＝4， ∴4D1E1+5D1F1＝20， 同理 4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20， ∴4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2019＝40380； 故答案为 40380． 2. (2019 江苏省连云港市)问题情境：如图 1，在正方形ABCD 中，E 为边 BC 上一点（不与点 B、C 重合），垂直于 AE 的一条直线 MN 分别交 AB、AE、CD 于点 M、P、N．判断线段 DN、MB、 EC 之间的数量关系，并说明理由． 问题探究：在“问题情境”的基础上． （1）如图 2，若垂足 P 恰好为 AE 的中点，连接 BD，交 MN 于点 Q，连接 EQ，并延长交边 AD 于点 F．求∠AEF 的度数； （2）如图 3，当垂足 P 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上时，连接 AN，将△APN 沿着 AN 翻折， 点 P 落在点 P'处，若正方形 ABCD 的边长为 4，AD 的中点为 S，求 P'S 的最小值． 问题拓展：如图 4，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 M、N 分别为边 AB、CD 上的点，将正方形 ABCD 沿着 MN 翻折，使得 BC 的对应边 B'C'恰好经过点 A，C'N 交 AD 于点 F．分别过点 A、F 作 AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为 G、H．若 AG＝ ，请直接写出 FH 的长． 【解析】解：线段 DN、MB、EC 之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD， 过点 B 作 BF∥MN 分别交 AE、CD 于点 G、F，如图 1 所示： ∴四边形 MBFN 为平行四边形， ∴NF＝MB， ∴BF⊥AE， ∴∠BGE＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF＝∠BAE， 在△ABE 和△BCF 中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF，∵DN+NF+CF＝BE+EC， ∴DN+MB＝EC； 问题探究： 解：（1）连接 AQ，过点 Q 作 HI∥AB，分别交 AD、BC 于点 H、I，如图 2 所示： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴四边形 ABIH 为矩形， ∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD， ∵BD 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠BDA＝45°， ∴△DHQ 是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI， ∵MN 是 AE 的垂直平分线， ∴AQ＝QE， 在 Rt△AHQ 和 Rt△QIE 中， ， ∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL）， ∴∠AQH＝∠QEI， ∴∠AQH+∠EQI＝90°， ∴∠AQE＝90°， ∴△AQE 是等腰直角三角形， ∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°； （2）连接 AC 交 BD 于点 O，如图 3 所示： 则△APN 的直角顶点 P 在 OB 上运动，设点 P 与点 B 重合时，则点 P′与点 D 重合；设点 P 与点 O 重合时，则点 P′的落点为 O′， ∵AO＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠ODA＝∠ADO′＝45°， 当点 P 在线段 BO 上运动时，过点 P 作 PG⊥CD 于点 G，过点 P′作 P′H⊥CD 交 CD 延长线于 点 H，连接 PC， ∵点 P 在 BD 上， ∴AP＝PC， 在△APB 和△CPB 中， ， ∴△APB≌△CPB（SSS）， ∴∠BAP＝∠BCP， ∵∠BCD＝∠MPA＝90°， ∴∠PCN＝∠AMP， ∵AB∥CD， ∴∠AMP＝∠PNC， ∴∠PCN＝∠PNC， ∴PC＝PN， ∴AP＝PN， ∴∠PNA＝45°， ∴∠PNP′＝90°， ∴∠P′NH+PNG＝90°，∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°， ∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H， 由翻折性质得：PN＝P′N， 在△PGN 和△NHP'中， ， ∴△PGN≌△NHP'（ASA）， ∴PG＝NH，GN＝P'H， ∵BD 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠PDG＝45°， 易得 PG＝GD， ∴GN＝DH， ∴DH＝P'H， ∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°， ∴点 P'在线段 DO'上运动； 过点 S 作 SK⊥DO'，垂足为 K， ∵点 S 为 AD 的中点， ∴DS＝2，则 P'S 的最小值为 ； 问题拓展： 解：延长 AG 交 BC 于 E，交 DC 的延长线于 Q，延长 FH 交 CD 于 P，如图 4： 则 EG＝AG＝ ，PH＝FH， ∴AE＝5，在 Rt△ABE 中，BE＝ ＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝1， ∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC， ∴△ABE∽△QCE， ∴ ＝ ＝3， ∴QE＝ AE＝ ， ∴AQ＝AE+QE＝ ， ∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B， ∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：AM＝ ， 由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°， ∴B'M＝ ＝ ，AC'＝1， ∵∠BAD＝90°，∴∠B'AM＝∠C'FA， ∴△AFC'∽△MAB'，∴ ＝ ＝ ，解得：AF＝ ， ∴DF＝4﹣ ＝ ， ∵AG⊥MN，FH⊥MN， ∴AG∥FH，∴AQ∥FP，∴△DFP∽△DAQ， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：FP＝ ， ∴FH＝ FP＝ ． 考向 3 与坐标有关规律探究 1．(2019 江苏省连云港市)如图，将一等边三角形的三条边各 8 等分，按顺时针方向（图中 箭头方向）标注各等分点的序号 0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为 8 的 两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示 （水平方向开始，按顺时针方向），如点 A 的坐标可表示为（1，2，5），点 B 的坐标可表示 为（4，1，3），按此方法，则点 C 的坐标可表示为　 　． 【分析】根据点 A 的坐标可表示为（1，2，5），点 B 的坐标可表示为（4，1，3）得到经过 点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于 是得到结论． 【解答】：根据题意得，点 C 的坐标可表示为（2，4，2）， 故答案为：（2，4，2）． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关 键． 2．(2019 山东省菏泽市)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 O 出 发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位长度，其移动 路线如图所示，第一次移动到点 A1，第二次移动到点 A2……第 n 次移动到点 An，则点 A2019 的坐标是（　　） A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1） 【答案】C【解析】分析根据图象可得移动 4 次图象完成一个循环，从而可得出点 A2019 的坐标． A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…， 2019÷4＝504…3， 所以 A2019 的坐标为（504×2＋1，0）， 则 A2019 的坐标是（1009，0）． 故选：C． 2．(2019 湖南省娄底市)如图，在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为 2 米，圆心角为 的弧 AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点 从 为坐标原点）出发， 以每秒 米的速度沿曲线向右运动，则在第 2019 秒时点 的纵坐标为 　　 A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】点运动一个弧 AB 用时为 秒． 如图，作 于 ，与弧 AB 交于点 ． 在 中， ， ， ， ， ， 第 1 秒时点 运动到点 ，纵坐标为 1； 120° P (A A 2 3 π P ( ) 2− 1− 120 2 2 2180 3 π π× ÷ = CD AB⊥ D E Rt ACD∆ 90ADC∠ = ° 1 602ACD ACB∠ = ∠ = ° 30CAD∴∠ = ° 1 1 2 12 2CD AC∴ = = × = 2 1 1DE CE CD∴ = − = − = ∴ P E第 2 秒时点 运动到点 ，纵坐标为 0； 第 3 秒时点 运动到点 ，纵坐标为 ； 第 4 秒时点 运动到点 ，纵坐标为 0； 第 5 秒时点 运动到点 ，纵坐标为 1； ， 点 的纵坐标以 1，0， ，0 四个数为一个周期依次循环， ， 第 2019 秒时点 的纵坐标为是 ．故选： ． 3. (2019 湖南省张家界市)如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形OABC 绕点 O 顺 时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019 的坐标是（　　） A．（ ，﹣ ） B．（1，0） C．（﹣ ，﹣ ） D．（0，﹣1） 【答案】A 【解析】∵四边形 OABC 是正方形，且 OA＝1， ∴A（0，1）， P B P F 1− P G P H … ∴ P 1− 2019 4 504 3÷ = … ∴ P 1− B∵将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1， ∴A1（ ， ），A2（1，0），A3（ ，﹣ ），…， 发现是 8 次一循环，所以 2019÷8＝252…余 3， ∴点 A2019 的坐标为（ ，﹣ ）故选：A． 4．(2019 山东省潍坊市)如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原 点 O，它们的半径分别为 1，2，3，…，按照“加 1”依次递增；一组平行线， l0，l1，l2， l3，…都与 x 轴垂直，相邻两直线的间距为 l，其中 l0 与 y 轴重合若半径为 2 的圆与 l1 在 第一象限内交于点 P1，半径为 3 的圆与 l2 在第一象限内交于点 P2，…，半径为 n＋1 的圆与 ln 在第一象限内交于点 Pn，则点 Pn 的坐标为　 　．（n 为正整数） 【答案】A 【解析】连接 OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3 与 x 轴分别交于 A1、A2、A3，如图所示： 在 Rt△OA1P1 中，OA1＝1，OP1＝2，∴A1P1＝ ＝ ＝ ， 同理：A2P2＝ ＝ ，A3P3＝ ＝ ，……， ∴P1 的坐标为（ 1， ），P2 的坐标为（ 2， ），P3 的坐标为（3， ），……， …按照此规律可得点 Pn 的坐标是（n， ），即（n， ） 故答案为：（n， ）． 考向 4 与函数有关的规律 1．(2019 山东省淄博市)如图，△ ，△ ，△ ， 是分别以 ， ， ， 为直角顶点，一条直角边在 轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 ， ， ， ， ， ， 均 在 反 比 例 函 数 的 图 象 上 ． 则 的值为 　　 1 1OA B 1 2 2A A B 2 3 3A A B … 1A 2A 3A … x 1 1(C x 1)y 2 2(C x 2 )y 3 3(C x 3 )y … 4 ( 0)y xx = > 1 2 10y y y+ +…+ ( )A． B．6 C． D． 【答案】A 【解析】过 、 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、 、 其斜边的中点 在反比例函数 ， 即 ， ， 设 ，则 此时 ，代入 得： ， 解得： ，即： ， 同理： ， ， ， 故选： ． 2 10 4 2 2 7 1C 2C 3C … x 1D 2D 3D … 1C 4y x = (2,2)C∴ 1 2y = 1 1 1 2OD D A∴ = = 1 2A D a= 2 2C D a= 2 (4 , )C a a+ 4y x = (4 ) 4a a+ = 2 2 2a = − 2 2 2 2y = − 3 2 3 2 2y = − 4 2 4 2 3y = − …… 1 2 10 2 2 2 2 2 3 2 2 2 10 2 9 2 10y y y∴ + +…+ = + − + − +…… − = A2．(2019 山东省德州市)如图，点 、 、 在反比例函数 的图象上，点 、 、 在反比例函数 的图象上， ，且 ，则 为正整数）的纵坐标 为　　．（用含 的式子表示） 【答案】A 【解析】过 A1 作 A1D1⊥x 轴于 D1， ∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°， ∴△OA1E 是等边三角形， ∴A1（1， ）， ∴k＝ ， ∴y＝ 和 y＝－ ， 过 A2 作 A2D2⊥x 轴于 D2， 1A 3A 5A … ( 0)ky xx = > 2A 4A 6A …… ( 0)ky xx = − > 1 2 1 2 3 2 3 4 60OA A A A A A A A α∠ = ∠ = ∠ =…= ∠ = ° 1 2OA = (nA n n∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°， ∴△A2EF 是等边三角形， 设 A2（x，－ ），则 A2D2＝ ， Rt△EA2D2 中，∠EA2D2＝30°， ∴ED2＝ ， ∵OD2＝2＋ ＝x， 解得：x1＝1－ （舍），x2＝1＋ ， ∴EF＝ ＝ ＝ ＝2（ －1）＝2 －2， A2D2＝ ＝ ＝ ， 即 A2 的纵坐标为－ ； 过 A3 作 A3D3⊥x 轴于 D3， 同理得：△A3FG 是等边三角形， 设 A3（x， ），则 A3D3＝ ， Rt△FA3D3 中，∠FA3D3＝30°， ∴FD3＝ ， ∵OD3＝2＋2 －2＋ ＝x， 解得：x1＝ （舍），x2＝ ＋ ； ∴GF＝ ＝ ＝2（ － ）＝2 －2 ， A3D3＝ ＝ ＝ （ － ）， 即 A3 的纵坐标为 （ － ）； … ∴An（n 为正整数）的纵坐标为：（－1）n＋1 （ ）；故答案为：（－1）n＋1 （ ）； 3. (2019 山东省东营市)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝ x 和 y＝﹣ x 的图象分 别为直线 l1，l2，过 l1 上的点 A1（1， ）作 x 轴的垂线交 l2 于点 A2，过点 A2 作 y 轴的垂 线交 l1 于点 A3，过点 A3 作 x 轴的垂线交 l2 于点 A4，…依次进行下去，则点 A2019 的横坐标 为　 　． 【答案】﹣31009 【解析】由题意可得， A1（1， ），A2（1，﹣ ），A3（﹣3，﹣ ），A4（﹣3，3 ），A5（9，3 ），A6（9， ﹣9 ），…， 可得 A2n＋1 的横坐标为（﹣3）n∵2019＝2×1009＋1， ∴点 A2019 的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009， 故答案为：﹣31009． 4．(2019 山东省泰安市)在平面直角坐标系中，直线 l：y＝x＋1 与 y 轴交于点 A1，如图所 示，依次作正方形 OA1B1C1，正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，……，点 A1，A2，A3，A4，……在直线 l 上，点 C1，C2，C3，C4，……在 x 轴正半轴上，则前 n 个正方 形对角线长的和是　 　． 【答案】 2（2n﹣1） 【解析】由题意可得， 点 A1 的坐标为（0，1），点 A2 的坐标为（1，2），点 A3 的坐标为（3，4），点 A4 的坐标为 （7，8），……， ∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……， ∴前 n 个正方形对角线长的和是： （OA1＋C1A2＋C2A3＋C3A4＋…＋Cn﹣1An）＝ （1＋2＋ 4＋8＋…＋2n﹣1）， 设 S＝1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1，则 2S＝2＋4＋8＋…＋2n﹣1＋2n， 则 2S﹣S＝2n﹣1， ∴S＝2n﹣1，∴1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1＝2n﹣1， ∴前 n 个正方形对角线长的和是： ×（2n﹣1）， 故答案为： 2（2n﹣1），