2020年中考数学热点专题冲刺5操作探究问题（全国版）

热点专题 5 操作探究问题 实践操作性问题以趣味性强、思维含量高为特点，在具体的实践操作中主要有以下类型：（1）裁剪、折叠、 拼图等问题，往往与面积与对称性相联系；（2）画图、测量、猜想、证明等探究性问题，往往要求答题者 在给定的操作规则下，进行探索研究、大胆猜想、发现结论，进而提高个人的创新能力与实践能力. 在 2019 年的中考中，操作性行问题主要包含几何体的展开与折叠，图案设计、程序框输入，尺规作图、几 何图形的探究等题型，分值不一，难度不等. 考向 1 几何体的展开与折叠 1.（2019·济宁）如图，一个几何体上半部为正四校锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何 体的表面展开图是（） A B C D 【答案】B 【解析】选项 A 和 C 带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；选项 B 能折叠成原几何体的形 式；选项 D 折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同． 2．（2019·山西）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与"点 "字所在面相对的面上的汉字是( ) A．青 B．春 C．梦 D．想 【答案】B【解析】根据正方体的展开与折叠中面的关系，可知与"点"字所在面相对的面上的汉字是春，故选 B． 考向 2 图案设计与几何变换 1．（2019·烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机 翼间无缝隙）， 的度数是 ． 【答案】 【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利 用图形的轴对称的性质，直接得到 的度数是 ． 2.（2019·南充）如图，正方形 在宽为 2 的矩形纸片一端，对折正方形 得到折痕 ，再翻 折纸片，使 与 重合，以下结论错误的是 　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在 中， ， ， ， 四边形 是平行四边形， ， 四边形 是菱形， ， ， ，故选项 正确， ， ， ，故选项 正确， 四边形 是菱形， ， ，故选项 正确，故选：A． 3．（2019 · 北京）已知 ，H 为射线 OA 上一定点， ，P 为射线 OB 上一点，M 为线段 OH 上一动点，连接 PM，满足 为钝角，以点 P 为中心，将线段 PM 顺时针旋转 ，得到线段 PN，连 AOB∠ 22.5° AOB∠ 22.5° MNCB MNCB AE AB AD ( ) 2 10 2 5AB = + 5 1 2 CD BC −= 2BC CD EH=  5 1sin 5AHD +∠ = Rt AEB∆ 2 2 2 22 1 5AB AE BE= + = + = / /AB DH / /BH AD ∴ ABHD AB AD= ∴ ABHD 5AD AB∴ = = 5 1CD AD AD∴ = = = − ∴ 5 1 2 CD BC −= B 2 4BC = ( 5 1)( 5 1) 4CD EH = − + = 2BC CD EH∴ =  C  ABHD AHD AHB∴∠ = ∠ 2 2 2 5 1sin sin 52 ( 5 1) AEAHD AHB AH +∴ ∠ = ∠ = = = + + D 30AOB∠ = ° 3 1OH = + OMP∠ 150°接 ON．（1）依题意补全图 1；（2）求证： ； （3）点 M 关于点 H 的对称点为 Q，连接 QP．写出一个 OP 的值，使得对于任意的点 M 总有 ON=QP，并证 明． 解：（1）见下图 （2）证明：∵ ，∴在△OPM 中， ， 又∵ ，∴ ，∴ . （3）如下图，过点 P 作 PK⊥OA 于 K，过点 N 作 NF⊥OB 于 F ∵∠OMP=∠OPN，∴∠PMK=∠NPF， 在△NPF 和△PMK 中， ， ∴△NPF≌△PMK （AAS），∴PF=MK，∠PNF=∠MPK，NF=PK， 又∵ON=PQ， 在 Rt△NOF 和 Rt△PKQ 中， ， ∴Rt△NOF≌Rt△PKQ （HL），∴KQ=OF， 设 ，∵∠POA=30°，PK⊥OQ， 备用图图1 B AO HHO A B OMP OPN∠ = ∠ 30AOB∠ = ° =180 150OMP POM OPM OPM° − ∠ − ∠ = ° − ∠∠ 150MPN∠ = ° 150OPN MPN OPM OPM∠ = ∠ − ∠ = ° − ∠ OMP OPN∠ = ∠ 90 NPF PMK NFO PKM PN PM ∠ = ∠ ∠ = ∠ = °  = ON PQ NF PK =  = ,MK y PK x= =∴ ，∴ ， ∴ ， ， . ∵M 与 Q 关于 H 对称，∴MH=HQ， ∴KQ=KH+HQ= = ， 又∵KQ=OF，∴ ， ∴ ，∴ ，即 PK=1， 又∵ ，∴OP=2. 考向 3 程序输入与规律探究 1.（2019·重庆 A 卷）按如图所示的运算程序，能使输出 y 值为 1 的是 （ ） A．m=1，n=1 B．m=1，n=0 C．m=1，n=2 D．m=2，n=1 【答案】D． 【解析】∵m=1，n=1，∴y=2m＋1=3；∵m=1，n=0，∴y=2n－1=－1；∵m=1，n=2，∴y=2m＋1=3；∵m=2， n=1，∴y=2n－1=1．故选 D． 18.(2019·东营)如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ， ，过 上的点 A1（1， ）作 x 轴的垂线交 于点 A2，过点 A2 作 y 轴的垂线交 于点 A3，过点 A3 作 x 轴的垂线 交 于点 A4…，一次进行下去，则点 的横坐标为 . 2OP x= 3 , 3OK x OM x y= = − 2OF OP PF x y= + = + ( )3 1 3MH OH OM x y= − = + − − 3 1 3KH OH OK x= − = + − 3 1 3 3 1 3x x y+ − + + − + 2 3 2 2 3x y+ − + 2 3 2 2 3 2x y x y+ − + = + ( )2 3 2 2 2 3x+ = + 1x = 30POA∠ = ° xy 3 3= xy 3−= 1l 2l 1l 3 3 2l 1l 2l 2019A【答案】：-31009 【解析】：本题考查坐标里的点规律探究题，观察发现规律：A1（1， ），A 2（1， ），A 3（-3， ），A 4 （-3， ），A 5 （9， ），A 6 （9， ），A 7 （-27， ），……A 2n+1[(-3)n ， 3×(-3)n]（n 为自然数），2019=1009×2+1，所以 A2019 的横坐标为：(-3)1009=-31009. 考向 4 尺规作图 1．（2019·长沙）如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于 AB 的长为 半径作弧，两弧相交于 M、N 两点，作直线 MN，交 BC 于点 D，连接 AD，则∠CAD 的度数是（ ） A．20° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【解析】在△ABC 中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作图可知 MN 为 AB 的中垂 线，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故本题选：B． 2．（2019·兰州）如图，矩形 ABCD，∠BAC=60°，以点 A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交 AB，AC 于点 M，N 两点，再分别以点 M，N 为圆心，以大于 MN 的长作半径作弧交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 E，若 BE=1，则矩形 ABCD 的面积等于 . 3 3 3− 3− 33 33 39− 39− 1 2 2 1【答案】 【解析】在矩形 ABCD 中，∠BAC=60°，∴∠B=90°，∠BCA=30°，∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC=30°∵ 在 Rt△ABE 中，BE=1，∴AE= =2，AB= ，∵∠EAC=∠ECA=30°，∴EC=AE=2，∴S矩形 ABCD=AB⋅BC= . 3.（2019·济宁）如图，点 M 和点 N 在∠AOB 内部． （1）请你作出点 P，使点 P 到点 M 和点 N 的距离相等，且到∠AOB 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不 写作法）；（2）请说明作图理由． 解：(1)画出∠AOB 的角平分线，画出线段 MN 的垂直平分线，两者的交点就得到 P 点． （2）作图的理由：点 P 在∠AOB 的角平分线上，又在线段 MN 的垂直平分线上，∠AOB 的角平分线和线段 MN 的垂直平分线的交点即为所求． 4. （2019·长春）图①、图②、图③处均是 6×6 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形 的边长为 1，点 A、B、C、D、E、F 均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格 中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法. （1）在图①中以线段 AB 为边画一个△ABM，使其面积为 6. （2）在图②中以线段 CD 为边画一个△CDN，使其面积为 6. （3）在图③中以线段 EF 为边画一个四边形 EFGH，使其面积为 9，且∠EFG=90°. 3 3 1 sin30° 1 3tan30 =° 3 3解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示. 考向 5 几何探究 1．（2019·武汉）问题背景：如图 1，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到△ADE，DE 与 BC 交于点 P，可推 出结论：PA＋PC=PE． 问题解决：如图 2，在△MNG 中，MN=6，∠M=75°，MG= ．点 O 是△MNG 内一点，则点 O 到△MNG 三个顶 点的距离和的最小值是___________． 【答案】2 【解析】由题构造等边△MFN，△MHO，图中 2 个彩色三角形全等（△MFH≌△MNO（SAS）） ∴OM＋ON＋OG=HO＋HF＋OG， ∴距离和最小值为 FG=2 （Rt△FQG 勾股定理） 2．（2019·山西）综合与实践动手操作: 第一步:如图 1，正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 所在的直线折叠，展开铺平，再沿过点 C 的直线折叠，使点 B，点 D 都落在对角线 AC 上.此时，点 B 与点 D 重合，记为点 N，且点 E，点 N，点 F 三点在同一条直线上， 折痕分别为 CE，CF.如图 2.第二步:再沿 AC 所在的直线折叠，△ACE 与△ACF 重合，得到图 3. 第三步:在图 3 的基础上继续折叠，使点 C 与点 F 重合，得到图 4，展开铺平，连接 EF，FG，GM，ME，如图 4 4 4 2 6 图2 Q F H GN O M 24 29 295.图中的虚线为折痕. 问题解决: （1）在图 5 中，∠BEC 的度数是_____， 的值是_____; （2）在图 5 中，请判断四边形 EMGF 的形状，并说明理由; （3）在不增加字母的条件下，请你以图 5 中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形（正方形除外）， 并写出这个菱形:_______. 【解题过程】（1）∵正方形 ABCD，∴∠ACB=45°，由折叠知:∠1=∠2=22.5°，∠BEC=∠CEN，BE=EN，∴∠ BEC=90°－∠1=67.5°，∴∠AEN=180°－∠BEC－∠CEN=45°，∴cos45°= ， ， ; （2）四边形 EMGF 是矩形.理由如下:∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠B=∠BCD=∠D=90°，由折叠可知:∠1=∠ 2=∠3=∠4，CM=CG，∠BEC=∠NEC=∠NFC=∠DFC，∴∠1=∠2=∠3=∠4= =22.5°，∴∠BEC=∠NEC=∠NFC= ∠DFC=67.5°，由折叠知:MH，GH 分别垂直平分 EC，FC，∴MC=ME，GC=GF.∴∠5=∠1=22.5°，∠6=∠ 4=22.5°，∴∠MEF=∠GFE=90°.∵∠MCG=90°，CM=CG，∴∠CMG=45°，又∵∠BME=∠1+∠5=45°，∴∠ EMG=180°－∠CMG－∠BME=90°，∴四边形 EMGF 是矩形; （3）答案不唯一，画出正确的图形（一个即可）.菱形 FGCH（或菱形 EMCH） 3．（2019·淮安）如图①，在△ABC 中，AB=AC=3，∠BAC=100°，D 是 BC 的中点.小明对图①进行了如下探 究：在线段 AD 上任取一点 P，连接 PB．将线段 PB 绕点 P 按逆时针方向旋转 80°，点 B 的对应点是点 E， 连接 BE，得到△BPE.小明发现，随着点 P 在线段 AD 上位置的变化，点 E 的位置也在变化，点 E 可能在直线 AE BE 2 2 EN AE = 2AE EN = 2AE AE BE EN= = °90 4AD 的左侧，也可能在直线 AD 上，还可能在直线 AD 的右侧. 请你帮助小明继续探究，并解答下列问题： (1)当点 E 在直线 AD 上时，如图②所示.①∠BEP= °； ②连接 CE，直线 CE 与直线 AB 的位置关系是 . (2)请在图③中画出△BPE，使点 E 在直线 AD 的右侧，连接 CE.试判断直线 CE 与直线 AB 的位置关系，并说 明理由.(3)当点 P 在线段 AD 上运动时，求 AE 的最小值. 【解题过程】（1）①由题意得，PE=PB，∠BPE=80°，∴∠BEP= ； ②如图所示， ∵AB=AC，D 是 BC 的中点，∠BAC=100°，∴∠ABC= ， ∵∠BEP=50°，∴∠BCE=∠CBE=40°，∴∠ABC=∠BCE，∴CE∥AB．答案：①50°；②平行 （2）在 DA 延长线上取点 F，使∠BFA=∠CFA=40°，总有△BPE∽△BFC． 又∵△BPF∽△BEC，∴∠BCE=∠BFP=40°，∴∠BCE=∠ABC=40°，∴CE∥AB． °=°−° 502 80180 °=°−° 402 100180(3)当点 P 在线段 AD 上运动时，由题意得 PB=PE=PC， ∴点 B、E、C 在以 P 为圆心、PB 为半径的圆上，如图所示： ∴AE 的最小值为 AC=3.