2020年中考数学热点专题冲刺7坐标几何问题（全国版）

热点专题 7 坐标几何问题 一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线 （图），或者建立坐标系，将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，借助于坐标解决则能使 原问题的本质得到充分的显示，从而使原问题顺利获解. 在坐标系内从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果―――（1）构造基本图形； （2）构造等腰（边）三角形：（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形； （6）构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法―――（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换； （10）对称变换；（11）平移变换和旋转变换.下面通过 2019 年全国各地中考的实例探讨其应用. 考向 1 平面直角坐标系内点的坐标特征 1. （2019·常德）点(－1，2) 关于原点的对称点坐标是（ ） A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(1，2) D．(2，－1) 【答案】B 【解析】根据平面直角坐标系中的点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)，故点(－1，2) 关于原点的对 称点坐标是(1，－2)，故选择 B． 2.（2019·杭州）在平面直角坐标系中，点 A（m，2）与点 B(3，n)关于 y 轴对称，则 A．m=3，n=2 B．m=-3，n=2 C．m=2，n=3 D．m=-2，n=3 【答案】B 【解析】A，B 关于 y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同，故选 B． 3.（2019·滨州）在平面直角坐标系中，将点 A（1，－2）向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长 度，得到点 B，则点 B 的坐标是（　　） A．（－1，1） B．（3，1）C．（4，－4） D．（4，0） 【答案】A 【解析】点 A（1，－2）向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到（1－2，－2+3），即 B （－1，1）．故选 A． 4. （2019·泸州）在平面直角坐标系中，点 M（a，b）与点 N（3，﹣1）关于 x 轴对称，则 a+b 的值 是　　． 【答案】4 【解析】∵点 M（a，b）与点 N（3，﹣1）关于 x 轴对称，∴a=3，b=1，∴a+b 的值是 4．故答案为：4． 5. （2019·陇南）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 使 “ 帅 ” 位 于 点 （ 0 ， ﹣2 ） ， “ 马 ” 位 于 点 （ 4 ， ﹣2 ） ， 则 “ 兵 ” 位 于 点　 　． 【答案】（-1，1）． 【解析】由题意可以得到如下平面直角坐标系，则“兵”位于点（-1，1），故答案为：（-1，1） 6.（2019·临沂）在平面直角坐标系中，点 P（4，2）关于直线 x=1 的对称点的坐标是 ． 【答案】（﹣2，2）． 【解析】∵点 P（4，2），∴点 P 到直线 x=1 的距离为 4﹣1=3， ∴点 P 关于直线 x=1 的对称点 P′到直线 x=1 的距离为 3， ∴点 P′的横坐标为 1﹣3=﹣2，∴对称点 P′的坐标为（﹣2，2）． 故答案为：（﹣2，2）．考向 2 点的坐标与距离（长度）的计算 1.（2019 · 常州）平面直角坐标系中，点 P(－3，4)到原点的距离是__________． 【答案】5 【解析】本题考查了平面内两点间的距离公式及勾股定理知识，根据两点间的距离公式或勾股定理，可求 得点 P(－3，4)到原点的距离是 =5，因此本题答案为 5． 2. （ 2019· 鄂 州 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 点 P （ x0 ， y0 ） 到 直 线 Ax+By+C=0 的 距 离 公 式 为 ： d = |Ax0 + By0 + C| A2 + B2 ，则点 P（3，﹣3）到直线 y = - 2 3x + 5 3的距离为　 　． 【答案】 8 13 13． 【解析】∵y = - 2 3x + 5 3，∴2x+3y﹣5=0， ∴点 P（3，﹣3）到直线 y = - 2 3x + 5 3的距离为：|2 × 3 + 3 × ( - 3) - 5| 22 + 32 = 8 13 13，故答案为： 8 13 13． 3. (2019·泰安)在平面直角坐标系中，直线 l:y=x+1 与 y 轴交于点 A1，如图所示，依次作正方形 OA1B1C1， 正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，……，点 A1，A2，A3，A4，……在直线上，点 C1，C2， C3，C4，……在 x 轴正半轴上，则前 n 个正方形对角线长的和是________. 【答案】2n － 【解析】∵点 A1 是 y=x+1 与 y 轴的交点，∴A1(0，1)，∵OA 1B1C1 是正方形，∴C1(1，0)，A 1C1= ，∴ A2(1，2)，C1A2=2，A2C2=2 ，∴A3C2=4，A3C3=4 ，按照此规律，AnCn=2n－1 ，∴前 n 个正方形对角线 2 23 4+ 2 2 2 2 2 2长的和为: +2 +4 +…+2n－1 = (1+2+4+…+2n－1)= (1+1+2+4+…+2n－1－1)= (2n－1)=2n － . 4. （2019·河北）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了 A、B、C 三地的坐标，数据如图(单 位：km).笔直铁路经过 A、B 两地. (1)A、B 间的距离为 km； (2)计划修一条从 C 到铁路 AB 的最短公路 l，并在 l 上建一个维修站 D，使 D 到 A、C 的距离相等，则 C、D 间的距离为 km. 【答案】（1）20；（2） 【解析】（1） ；（2）如图所示， 设 AD=CD=x，则 OD=17-x，OA=12，∵∠AOD=90°，∴ ，解得 x= . 考向 3 坐标与几何图形的位置变换 1.（2019·荆州）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1， 3），以原点为中心，将点 A 顺时针旋转 30° 得到点 A'，则点 A'的坐标为（　　） A．（ 3，1） B．（ 3，﹣1） C．（2，1） D．（0，2） 【答案】A 【解析】如图，作 AE⊥x 轴于 E，A′F⊥x 轴于 F． 2 2 2 2 2 2 2 2 2 34 433 20812)8(12 =+=−−=AB 222 12)17( xx =+− 34 433∵∠AEO=∠OFA′=90°，∠AOE=∠AOA′=∠A′OF=30°，∴∠AOE=∠A′. ∵OA=OA′，∴△AOE≌△OA′F（AAS），∴OF=AE = 3，A′F=OE=1，∴A′（ 3，1）．故选 A． 2. （2019 · 北京）在平面直角坐标系 中，点 在双曲线 上．点 关于 轴的对称点 在双曲线 上，则 的值为_______. 【答案】0 【解析】∵A、B 两点关于 x 轴对称，∴B 点的坐标为 . 又∵A 、B 两点分别在又曲线 和 上；∴ .∴ ；故填 0. 3. （2019·攀枝花）正方形 A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如图所示的方式放置，点 A1，A2，A3，…和 点 B1，B2，B3，…分别在直线 y=kx＋b（k＞0）和 x 轴上，已知 A 1（0，1），点 B1（1，0），则 C5 的坐标 是 . 【答案】（47，16） 【解析】如图， xOy A ( )a b， ( )0 0a b> >， 1ky x = A x B 2ky x = 1 2k k+ ( ),a b− ( )a b， ( ),a b− 1ky x = 2ky x = 1 2,ab k ab k= − = 1 2 0k k+ =C1（2，1），C2（5，2），C 3（11，4），C 4（23，8），… ∵C1 的横坐标：2=21， 纵坐标：1=20，C2 的横坐标：5=22＋20， 纵坐标：2=21， C3 的横坐标：11=23＋21＋20， 纵坐标：4=22，C4 的横坐标：23=24＋22＋21＋20， 纵坐标：8=23， …依此类推，C5 的横坐标：25＋23＋22＋21＋20=47， 纵坐标：16=24， ∴C5（47，16）. 考向 4 坐标与几何图形 1. （2019·镇江）如图，菱形 的顶点 、 在 轴上 在 的左侧），顶点 、 在 轴上方，对 角线 的长是 ，点 为 的中点，点 在菱形 的边上运动．当点 到 所在直 线的距离取得最大值时，点 恰好落在 的中点处，则菱形 的边长等于 　　 A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】如图 1 中，当点 是 的中点时，作 于 ，连接 ． ， ， ， ， ， ， ， 当点 与 重合时， 的值最大． ABCD B C x (B C A D x BD 2 103 ( 2,0)E − BC P ABCD (0,6)F EP P AB ABCD ( ) 10 3 10 16 3 P AB FG PE⊥ G EF ( 2,0)E − (0,6)F 2OE∴ = 6OF = 2 22 4 2 10EF∴ = + = 90FGE∠ = ° FG EF∴  ∴ G E FG如图 2 中，当点 与点 重合时，连接 交 于 ， 交 于 ．设 ． ， ， ， ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故选 ． 2.（2019·天水）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点 O，与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点， 点 B 坐标为（0，2 3），OC 与⊙D 交于点 C，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为 ． 【答案】2π﹣2 3 【解析】连接 AB，∵∠AOB=90°，∴AB 是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°， ∵OB=2 3，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2 3 × 3 3 = 2，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为 2， ∴S 阴影=S 半圆﹣S△ABO = π × 22 2 - 1 2 × 2×2 3 = 2π﹣2 3．故答案为：2π﹣2 3． 3．（2019·龙东地区）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB，BC 的长分别是一元 二次方程 x2-7x+12=0 的两个根（BC>AB），OA=2OB，边 CD 交 y 轴于点 E，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速 G E AC BD H PE BD J 2BC a= PA PB= BE EC a= = / /PE AC∴ BJ JH=  ABCD AC BD∴ ⊥ 10 3BH DH= = 10 6BJ = PE BD∴ ⊥ 90BJE EOF PEF∠ = ∠ = ∠ = ° EBJ FEO∴∠ = ∠ BJE EOF∴∆ ∆∽ ∴ BE BJ EF EO = ∴ 10 6 22 10 a = 5 3a∴ = 102 3BC a∴ = = A度，从点 E 出发沿折线段 ED→DA 向点 A 运动，运动时间为 t（0≤t＜6）秒，设△BOP 与矩形 AOED 重叠部 分的面积为 S.（1）求点 D 的坐标；（2）求 S 关于 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在点 P 的运动过程中，是否存在点 P，使△BEP 为等腰三角形？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不 存在，请说明理由. 解：（1）∵x2-7x+12=0，∴x1=3，x2=4，∵BC＞AB，∴BC=4，AB=3，∵OA=2OB，∴OA=2，OB=1， ∵矩形 ABCD，∴点 D 的坐标为（-2，4）.（2）设 EP 交 y 轴于点 F，当 0≤t≤2 时，如图 1，PE=x， ∵CD∥AB，∴△OBF∽△EPF，∴ ，∴ ，∴OF= ，∴S= OF·PE= = ， 当 2＜t≤6 时，如图 2，AP=6-t， ∵OE∥AD，∴△OBF∽△ABP，∴ ，∴ ，∴OF= ，∴S= OF·OA= = ， 综上所述， . x y E A D C O B x y 备用图 E A D C O B x y 备用图 E A D C O B x y E F CD A O B P x y F E CD A O B P OF OB EF EP = 1 4 OF OF t =− 4 1t + 1 2 1 4 2 1 tt +  2 1 t t + OF OB AP AB = 1 6 3 OF t =− 6 3 t− 1 2 1 6 22 3 t−× × 1 23t− + 2 (0 2)1 1 2 (2 6)3 t ttS t t   +=  − + ≤ ≤ ＜ ＜（3）存在，P1(-2， ); P2(-2， ); P3(-2，4- ).理由如下： ①如图 3，作 BE 的中垂线，交 AD 于点 P1，连接 P1B，P1E，设点 P1 的坐标为（-2，m）， 在 Rt△ABP1 中，由勾股定理得 AB2+AP12=P1B2，即 32+m2=P1B2， 在 Rt△EDP1 中，由勾股定理得 ED2+DP12=P1E2，即 22+(4-m)2=P1E2， ∵P1B=P1E，∴32+m2=22+(4-m)2，解得 m= ，∴P1(-2， ); ②如图 4，当 BE=BP2 时，在 Rt△BCE 中，由勾股定理得 BE= = ，∴BP2= ， 在 Rt△ABP2 中，由勾股定理得 AP2= = ，∴P2(-2， ); ③如图 5，当 EB=EP3 时，在 Rt△DEP3 中，由勾股定理得 DP3= = ，∴AP3=4- ，∴P3(-2， 4- ).综上，点 P 的坐标为 P1(-2， )或 P2(-2， )或 P3(-2，4- ). x y P1 E CD A O B x y P2 E C D A O B x y P3 E CD A O B 11 8 2 2 13 11 8 11 8 2 24 1+ 17 17 2 2( 17) 3− 2 2 2 2 2 2( 17) 2− 13 13 13 11 8 2 2 13考向 5 坐标与 函数中的几何图形 1. (2019 山东泰安)已知一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于点 A，与 x 轴交于点 B(5， 0)，若 OB=AB，且 S△OAB= . (1)求反比例函数与一次函数的表达式; (2)若点 P 为 x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点 P 的坐标. 解：(1)过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，则 S△OAB= = . ∵B(5，0)，∴OB=5，即 = ，AM=3. ∵OB=AB，∴AB=5，在 Rt△ABM 中，BM= =4， ∴OM=OB+BM=9，∴A(9，3). ∵点 A 在反比例函数 图象上， ∴ ，m=27，反比例函数的表达式为: . 设一次函数表达式为 y=kx+b， ∵点 A(9，3)，B(5，0)在直线上，∴3=9k+b，0=5k+b， 解之，得 k= ，b= ，∴一次函数的表达式为:y= x . (2)设点 P(x，0)，∵A(9，3)，B(5，0)，∴AB2=(9－5)2+32=25，AP2=(9－x)2+32=x2－18x+90，BP2=(5－x)2=x2 my x = 15 2 1 2 OB AM⋅ 15 2 1 52 AM× ⋅ 15 2 2 2AB AM− my x = 3 9 m= 27y x = 3 4 15 4 − 3 4 15 4 −－10x+25，根据等腰三角形的两边相等，分类讨论: ①令 AB2=AP2，得 25=x2－18x+90，解之，得:x1=5，x2=13，当 x=5 时，点 P 与点 B 重合，故舍去，P1(13，0); ②令 AB2=BP2，得 25=x2－10x+25，解之，得:x 3=0，x 4=10，当 x=0 时，点 P 与原点重合，故 P2(0，0)， P3(10，0); ③令 AP2=BP2，得 x2－18x+90=x2－10x+25，解之，得:x= ，∴P4( ，0); 综上所述，使△ABP 是等腰三角形的点 P 的坐标为:P1(13，0)，P2(0，0)，P3(10，0)，P4( ，0). 2. （2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 ABCDEF 的对称中心 P 在反比例函数 y= （k＞0，x ＞0）的图像上，边 CD 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，已知 CD=2． （1）点 A 是否在该反比例函数的图像上？请说明理由． （2）若该反比例函数图像与 DE 交于点 Q，求点 Q 的横坐标． （3）平移正六边形 ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图像上，试描述平移过程． 【解题过程】（1）连结 PC，过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H，∵在正六边形 ABCDEF 中，点 B 在 y 轴上， ∴△OBD 和△PCH 都含有 30°角的直角三角形，BC=PC=CD=2． ∴OC=CH=1，PH= ．∴点 P 的坐标为（2， ），∴k=2 ． ∴反比例函数的表达式为 y= （x＞0）．连结 AC，过点 B 作 BG⊥AC 于点 G， ∵∠ABC=120°，AB=BC=2，∴BG=1，AG=CG= ． 65 8 65 8 65 8 k x 3 3 3 2 3 x 3∴点 A 的坐标为（1，2 ）．当 x=1 时，y=2 ，所以点 A 该反比例函数的图像上． （2）过点 Q 作 QM⊥x 轴于点 M，∵六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠EDM=60°． 设 DM=b，则 QM= B．∴点 Q 的坐标为（b＋3， b）．∴ b（b＋3）=2 ． 解得 b1= ，b2= （舍去）， ∴b＋3= ．∴点 Q 的横坐标为 ． （3）连结 AP．∵AP=BC=EF，AP∥BC∥EF， ∴平移过程：将正六边形 ABCDEF 先向右平移 1 个单位，再向上平移 个单位，或将正六边形 ABCDEF 向左 平移 2 个单位． 3.（2019·广州)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 P（﹣1，2），AB⊥ x 轴于点 E，正比例函数 y=mx 的图象与反比例函数 y = n - 3 x 的图象相交于 A，P 两点． （1）求 m，n 的值与点 A 的坐标；（2）求证：△CPD∽△AEO；（3）求 sin∠CDB 的值． 【解题过程】解：将点 P（﹣1，2）代入 y=mx，得：2=﹣m，解得：m=﹣2， ∴正比例函数解析式为 y=﹣2x； 将点 P（﹣1，2）代入 y = n - 3 x ，得：2=﹣（n﹣3），解得：n=1， 3 3 3 3 3 3 3 17 2 − + 3 17 2 − − 3 17 2 + 3 17 2 + 3∴反比例函数解析式为 y = - 2 x．联立正、反比例函数解析式成方程组，得：{y = -2x y = - 2 x ， 解得：{x1 = -1 y1 = 2 ，{x2 = 1 y2 = -2，∴点 A 的坐标为（1，﹣2）． （2）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD， ∴∠DCP=∠BAP，即∠DCP=∠OAE． ∵AB⊥x 轴，∴∠AEO=∠CPD=90°，∴△CPD∽△AEO． （3）解：∵点 A 的坐标为（1，﹣2）， ∴AE=2，OE=1，AO = AE2 + OE2 = 5． ∵△CPD∽△AEO，∴∠CDP=∠AOE， ∴sin∠CDB=sin∠AOE = AE AO = 2 5 = 2 5 5 ． 4．（2019·山西）综合与探究 如图，抛物线 y=ax2+bx+6 经过点 A（－2，0），B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C．点 D 是抛物线上一个动点， 设点 D 的横坐标为 m(1