备战2020中考数学全真模拟卷10（含解析）

1 备战 2020 中考全真模拟卷 10 数 学 （考试时间：90 分钟 试卷满分：120 分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号 填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5．考试范围：广东中考全部内容。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的） 1．在 0，1， ， 四个数中，最小的实数是 A． B． C．0 D．1 【答案】A． 【解析】 ， 最小的数是 ，故选 ． 2．若 ，且 ，则 A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】 ，且 ， ．故选 ． 3．如图， 岛在 岛的北偏东 方向， 岛在 岛的北偏西 方向，则从 岛看 、 两岛的视角 的度数是 1− π 1− π 1 0 1 π− < < M 1 5y x= − + N 1 5y x= − + 2 ( 0, 0)ky k xx = ≠ > 1 4x< < 1 2y y 5 4 y x y x = − + = 1 4 x y =  = 4 1 x y =  = N∴ 1 5y x= − + 4y x= − + 4 4 y x y x = − + = 1 1 2 2 x y =  = 2 2 2 2 x y =  = ∴ 1 5y x= − + 2 ( 0, 0)ky k xx = ≠ > (1,4)M (4,1)N 1 4x< < 1 2y y> B = × 8 4 32= × = 2 2ay ay a+ + = 2( 1)a y + 2 2ay ay a+ + 2( 2 1)a y y= + + 2( 1)a y= + 2( 1)a y + x5 现的频数是__________． 【答案】1． 【解析】 这组数据的平均数是 5， ，解得： ． 则这组数据中 5 出现的频数是 1．故答案为 1． 14．半径等于 12 的圆中，垂直平分半径的弦长为__________． 【答案】 ． 【解析】如图， ， 由勾股定理得 ， 由垂径定理得 ，故答案为： ． 15．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为__________． 【答案】 ． 【解析】根据三视图可得该几何体是一个三棱柱，底面积为 ，侧面积为 ， 则该几何体的全面积为 ，故答案为： ． 16 ． 将 矩 形 按 如 图 所 示 的 方 式 折 叠 ， 得 到 菱 形 ， 若 ， 则 菱 形 的 周 长 为 __________． 【答案】8． 【 解 析 】 矩 形 按 如 图 所 示 的 方 式 折 叠 ， 得 到 菱 形 ， ， ， ，  (4 4 5 6 6 7) 7 5x∴ + + + + + + ÷ = 3x = 12 3 6OD CD= = ∴ 6 3AD = ∴ 12 3AB = 12 3 8 3 72+ 2 21 4 4 2 4 32 × × − = 4 3 6 72× × = 4 3 2 72 8 3 72× + = + 8 3 72+ ABCD AECF 3AB = AECF  ABCD AECF AD AO∴ = CO BC= BCE OCE∠ = ∠6 而 ， ， ， ， ， ， ， ， 菱形 的周长 ． 17．如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为 ，按此规律，则第 个正多边形的面 积为__________． 【答案】 ． 【解析】第一个：正多边形的面积等于 ； 第二个：如图作 于 ， 设正六边形的边长为 2， 正六边形的一个内角为 ， ，则 ， ， 的面积为： ， ， 正六边形的面积为： ， 第三个：如图， 正八边形的一个内角为 ， ， 设正八边形的边长为 2，则 ， 的面积为 1， 四边形 的面积为 ， ， 正八边形的面积为 ，通过计算可以看出：第 个正多边形的面积为 ． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分） 18．已知 、 分别是方程 的两个实数根，求 的值． AD BC= 2AC BC∴ = 30CAB∴∠ = ° 3 33BC AB∴ = = 60ACB∠ = ° 30BCE∴∠ = ° 3 13BE BC∴ = = 2 2CE BE∴ = = ∴ AECF 4 2 8= × = a n 1 2 n a + a AE BD⊥ E  120° 30ABE∴∠ = ° 1AE = 3BE = ABD∆ 1 2 3 1 32 × × = 2 2 3 4 3a = × = ∴ 3 2 a  135° 45ABD∴∠ = ° 2BD AD= = ABD∆ ABEF 1 2 2 1 2 2 2+ + = + 2 (2 2 2) 4 2 4a = × + = + ∴ 2a n 1 2 n a + a b 2 3 4 0x x− − = 2 2 1( )a b a b a b b a − ÷− + −7 【解析】原式 ， 、 分别是方程 的两个实数根， ， 原式 ． 19．如图，已知 是坐标原点， 、 两点的坐标分别为 、 ． （1）以 0 点为位似中心在 轴的左侧将 放大到两倍（即新图与原图的相似比为 ，画出图形； （2）分别写出 、 两点的对应点 、 的坐标； （3）如果 内部一点 的坐标为 ，写出 的对应点 的坐标． 【解析】（1） （2） ， ； （3）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以 的坐标，所以 的坐标 为 ，写出 的对应点 的坐标为 ． 20．广州市中山大道快速公交（简称 试验线道路改造工程中，某工程队小分队承担了 100 米道路的改 造任务．为了缩短对站台和车道施工现场实施围蔽的时间，在确保工程质量的前提下，该小分队实际施工 时每天比原计划多改造道路 10 米，结果提前 5 天完成了任务，求原计划平均每天改造道路多少米？ 【解析】设原计划每天改造 米，则实际每天改造 米， 由题意，得 ， 解得： ， ， 经检验， ， 都是原方程的根，但 不符合题意，舍去． 1[ ]( )( ) a b a a b a b a b b −= − ×+ − + ( ) ( ) a b a a b b a b b − −= −+ + 1 a b = − + a b 2 3 4 0x x− − = 3a b∴ + = ∴ 1 3 = − O B C (3, 1)− (2,1) y OBC∆ 2) B C B′ C′ OBC∆ M ( , )x y M M′ ( 6,2)B′ − ( 4, 2)C′ − − 2− M ( , )x y M M′ ( 2 , 2 )x y− − )BRT x ( 10)x + 100 100 510x x = ++ 1 20x = − 2 10x = 20x − 10x = 20x −8 ． 答：原计划平均每天改造道路 10 米． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 21．已知：如图，在 中， ，点 在 上，以 为圆心， 长为半径的圆与 ， 分别交于点 ， ，且 ． （1）判断直线 与 的位置关系，并证明你的结论； （2）若 ，求 的面积． 【解析】（1）直线 与 相切． 证明：如图 1，连接 ． ， ． ， 又 ， ， ． 直线 与 相切． （2）连 、 ． ， ． 在 中， ， ， ，即有 ． 由 ，得 ． 又 ， ， 为等边三角形， ． 即 的半径 ，故 的面积 ． 10x∴ = Rt ABC∆ 90C∠ = ° O AB O OA AC AB D E CBD A∠ = ∠ BD O⊙ 2AD BD= = O⊙ BD O⊙ OD OA OD= A ADO∴∠ = ∠ 90C∠ = ° 90CBD CDB∴∠ + ∠ = ° CBD A∠ = ∠ 90ADO CDB∴∠ + ∠ = ° 180 ( ) 90ODB ADO CDB∴∠ = ° − ∠ + ∠ = ° ∴ BD O⊙ OD DE AD BD= A DBA∴∠ = ∠ Rt BDC∆ 90C∠ = ° CBD A DBA∠ = ∠ = ∠ 3 90A∴ ∠ = ° 30A∠ = ° tan DEA AD ∠ = 3 2 3tan30 2 3 3DE AD= ° = × = 60DOE∠ = ° OD OE= DOE∴∆ ∴ 2 3 3OD DE= = O⊙ 2 3 3r OD= = O⊙ 2 4 3S r ππ= =9 22．某校九年级有 400 名学生参加全国初中数学竞赛初赛，从中抽取了 50 名学生，他们的初赛成绩（得分 为整数，满分为 100 分）都不低于 40 分，把成绩分成六组：第一组 ，第二组 ，第三 组 ，第四组 ，第五组 ，第六组 ．统计后得到下图所示的频数分 布直方图（部分）观察图形的信息，回答下列问题： （1）第五组的频数为__________（直接写出答案） （2）估计全校九年级 400 名学生在 的分数段的学生约有__________个．（直接写出答案） （3）在抽取的这 50 名学生中成绩在 79.5 分以上的学生组成一个培训小组，再从这个小组中随机挑选 2 名 学生参加决赛，用树状图或列表法求出挑选的 2 名学生的初赛成绩恰好都不小于 90 分的概率． 【解析】（1） ； （2） ； （3）设分数 的两个学生为 、 ，分数 的两个学生为 、 ； 树状图： 共有 12 种等可能出现的结果， 其中挑选的 2 名学生的初赛成绩恰好都不小于 90 分的结果共有 2 个 所以 （两个学生都不小于 90 分） . 23．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如 下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点 ，再在笔直的车道 上确定点 ，使 与 39.5 ~ 49.5 49.5 ~ 59.5 59.5 ~ 69.5 69.5 ~ 79.5 79.5 ~ 89.5 89.5 ~100.5 69.5 ~ 79.5 50 12 10 17 7 2 2− − − − − = 7 50 400 56÷ × = 79.5 ~ 89.5 A B 89.5 ~100.5 C D ( , )CD DC P 2 1 12 6 = = C l D CD10 垂直，测得 的长等于 21 米，在 上点 的同侧取点 、 ，使 ， ． （1）求 的长（精确到 0.1 米，参考数据： ， ； （2）已知本路段对校车限速为 40 千米 小时，若测得某辆校车从 到 用时 2 秒，这辆校车是否超速？说 明理由． 【解析】（1）由題意得， 在 中， （米）， 在 中， （米）， 则 （米） （2）超速． 理由： 汽车从 到 用时 2 秒， 速度为 （米 秒）， （米 时）， 该车速度为 43.56 千米 小时， 大于 40 千米 小时， 此校车在 路段超速． 五、解答题（三）（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 24．已知：如图，二次函数 的图象与 轴分别交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 是 二次函数 的图象的顶点， ． （1）求 的值． （2）点 在二次函数 图象的对称轴上，且 ，求点 的坐标． （3）将二次函数 的图象向下平移 个单位，平移后的图象与直线 分别交于 、 两点（点 在点 左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为 ，与 轴的交点为 ，是否存在实数 ， 使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． l CD l D A B 30CAD∠ = ° 60CBD∠ = ° AB 3 1.73= 2 1.41)= / A B Rt ADC∆ 21 21 3 36.33tan30 3 3 CDAD = = = =≈° Rt BDC∆ 21 7 3 12.11tan60 3 CDBD = = = ≈° 36.33 12.11 24.22 24.2AB AD BD= − = − = ≈  A B ∴ 24.2 2 12.1÷ = / 12.1 3600 43560× = / ∴ /  / ∴ AB 2( 1) 4y a x= + − x A B y D C 2( 1) 4y a x= + − 2CD = a M 2( 1) 4y a x= + − AMC BDO∠ = ∠ M 2( 1) 4y a x= + − ( 0)k k > CD E F F E 1C y 1D k 1CF FC⊥ k11 【解析】（1） ， ， ， ， ，即 ． （2）如图， 设抛物线对称轴与 轴的交点为 ，则 ； 由（1）的抛物线： ，得： 、 在 中， ， ， ． 若 ，则 ； 在 中， ， ； 故 或 ． （3）存在． ， ， 四边形 为平行四边形， ( 1, 4)C − − 2CD = (0, 3)D∴ − 1a∴ = 2( 1) 4y x∴ = + − 2 2 3y x x= + − x N ( 1,0)N − 2 2 3y x x= + − ( 3,0)A − (1,0)B Rt OBD∆ 3OD = 1OB = 1tan 3 OBBDO OD ∠ = = AMC BDO∠ = ∠ 1tan tan 3AMN BDO∠ = ∠ = Rt AMN∆ 2AN OA ON= − = tan 6MN AN AMN= ÷ ∠ = ( 1,6)M − ( 1, 6)− − 1 1CC DD k= = 1 1/ /CC DD ∴ 1 1CC D D12 ， ， ， 即 为等腰直角三角形， 是正方形． 与 互相垂直平分． 且 ， ， ， 由点 在新抛物线 上， ，解得 或 （舍 ， ．当 时， ． 25．在 中， ， ．点 在边 上（不与 ， 重合），连结 ， 为 中点． （1）若过点 作 于 ，连结 、 、 ，如图 1．设 ，则 ； （2）若将图 1 中的 绕点 旋转，使得 、 、 三点共线，点 仍为 中点，如图 2．求证： ； （3）若 ，点 在边 的三等分点处，将线段 绕点 旋转，点 始终为 中点，求线段 长度的取值范围． 【解析】（1） 于 ， 为 中点． ， ， ． ， ； （2）如图 2，过点 作 的垂线交 于点 ，设 与 的交点为 ． 1 1 / /C D CD∴ 1D∴∠ 1 45C C DCN= ∠ = ° 1CF FC⊥ 1 45CC F∴∠ = ° 1CFC∆ 1 1CFC D 1FD 1CC 1CC k= 1( 12F k∴ − − 1 4)2 k− − F 2 2 3y x x k= + − − 21 1 1( 1) 2( 1) 3 42 2 2k k k k∴ − − + − − − − = − − 2k = 0k = ) 2k∴ = 2k = 1CF FC⊥ Rt ABC∆ 90ACB∠ = ° 1tan 2BAC∠ = D AC A C BD F BD D DE AB⊥ E CF EF CE CF kEF= k = ADE∆ A D E B F BD 2BE DE CF− = 6BC = D AC AD A F BD CF DE AB⊥ E F BD ∴ 1 2CF BD= 1 2EF BD= CF EF∴ = CF kEF= 1k∴ = C CE BD G BD AC Q13 由题意， ， ． 、 、 三点共线， ． ， ， ． ， ， ． ． ． ． 是 中点， 是 中点． 在 中， ， ； （3）情况 1：如图，当 时，取 的中点 ，连结 和 ， ， ，且 ， ， ． 为 中点， ， ， ． 为 中点， 为 中点， ． 当且仅当 、 、 三点共线且 在线段 上时 最大，此时 ． 1tan 2BAC∠ = ∴ 1 2 BC DE AC AE = = D E B AE DB∴ ⊥ BQC AQD∠ = ∠ 90ACB∠ = ° QBC EAQ∴∠ = ∠ 90ECA ACG∠ + ∠ = ° 90BCG ACG∠ + ∠ = ° ECA BCG∴∠ = ∠ BCG ACE∴∆ ∆∽ ∴ 1 2 BC GB AC AE = = GB DE∴ = F BD F∴ EG Rt ECG∆ 1 2CF EG= 2BE DE EG CF∴ − = = 1 3AD AC= AB M MF CM 90ACB∠ = ° 1tan 2BAC∠ = 6BC = 12AC∴ = 6 5AB = M AB 3 5CM∴ = 1 3AD AC= 4AD∴ = M AB F BD 1 22FM AD∴ = = ∴ M F C M CF CF 2 3 5CF CM FM= + = +14 同理最小值为 ． 情况 2：如图，当 时，取 的中点 ，连结 和 ， 类似于情况 1，可知 的最大值为 ． 综合情况 1 与情况 2，可知当点 在靠近点 的 三等分点时，线段 的长度取得最大值为 ． 同理最小值为 ． 3 5 2− 2 3AD AC= AB M MF CM CF 4 3 5+ D C CF 4 3 5+ 3 5 4−