2020 届暨实验学校高三文科数学月考试卷
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中,只有一个
选项是符合题目要求的）
1．若复数 z 满足 ,则复数 z 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合 , ,则 为（ ）
A． B． C． D．
3．若点 在直线 上,则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
4.在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前
一时期相比较的增长率.2020 年 2 月 29 日人民网发布了我国 2019 年国民经济和社会发展统
计公报图表，根据 2019 年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )
A．2019 年我国居民每月消费价格与 2018 年同期相比有涨有跌
B．2019 年我国居民每月消费价格中 2 月消费价格最高
1(1 2 0)z i− =
{ }0 lg 2lg3P x x= < < ( ){ }2 0Q x x x= − > P Q
( )0,2 ( )1,9 ( )2,9 ( )1,2
( )cos ,sinP α α 2y x= −
+
22sin
πα
5
3−
5
3
5
4−
5
4C．2019 年我国居民每月消费价格逐月递增
D．2019 年我国居民每月消费价格 3 月份较 2 月份有所下降
5．如图所示的程序框图可以计算 的近似值(其中 P 表示 的近似值),若输入 ,则输出
的结果是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知实数 满足约束条件 ,则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在 中, , 为 上一点,若 ,则实数 的值（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的图象大致为（ ）
9．将函数 的图象向左平移 个单位长度,向下平移 个单位长度后,得到
的图象,若对于任意的实数 , 都单调递增,则正数 的最大值为（ ）
π π 10n＝
1 1 1 14(1 )3 5 7 17P = − + − +⋅⋅⋅+ 1 1 1 14(1 )3 5 7 19P = − + − +⋅⋅⋅−
1 1 1 14(1 )3 5 7 21P = − + − +⋅⋅⋅+ 1 1 1 14(1 )3 5 7 21P = − + − +⋅⋅⋅−
,x y
2 2 0
2 2 0
1, 1
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
≥ − ≥ − 2x y+
( 3,6]− [ 3,6]− 3( ,6]2
− 3[ ,6]2
−
ABC∆ 4AC AD= P BD 1
3AP AB ACλ= + λ
1
8
3
16
1
6
3
8
1( ) ln | |1
xf x x
+= −
( ) 1 7cos48 8f x x= +
12
π 7
8
( )h x ,12 6x
π π ∈
( )h xω ωA． B． C． D．
10．若将双曲线 绕其对称中心旋转 后可得某一函数的图象,则双曲线
的离心率等于（ ）
A． B． C．2 或 D．2 或
11．某同学自制了一套数学实验模型,该模型三视图如图所示.模型内置一个与其各个
面都相切的球,该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候,随机往模型中投掷
大小相等,形状相同的玻璃球,通过计算落在球内的玻璃球数量,来估算圆周率的近似值.
已知某次实验中,某同学一次投掷了 个玻璃球,请你估算落在球内的玻璃球数量
（其中 ）（ ）
A．286 B．289 C．298 D．302
12．已知数列 各项为正, , ,记 ,
,则（ ）
A． B． C．
D．
二、填空题（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分）
13． 的内角 的对边分别为 ,已知 ,则
______.
14．已知正实数 满足 ,则 的最小值为______.
15．已知 分别是椭圆 的左右顶点, 是 的右焦点,点 在 上
且满足 （ 为坐标原点）,线段 交 轴于点 ,连线段 交 于点 ,且
,则椭圆 的离心率为______.
3 5
2
7
3
7
6
( )2 2
: 1 0x yC mnm n
− = >
6
π
C
2 3
3 3 2 3
3 3
1000
3≈π
{ }na 1 2a = 2
1 1n n na a a+ = − +
1 2
1 1 1
n
n
A a a a
= + +…+
1 2
1 1 1
n
n
B a a a
= ⋅ ⋅…⋅
2020 2020 1A B+ > 2020 2020 1A B+ < 2020 2020
1
2A B− > 2020 2020
1
2A B− <
ABC∆ , ,A B C , ,a b c c 55, 47 os，a c B= = = sin A =
a b， 2 3 6a b+ = 2 3
1 1a b
+− −
、A B
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > F C P C
PF OF⊥ O AP y M BM PF N
MN 2NB= C16．已知函数 , ,曲线 上总存在两点 ,
,使曲线 在 两点处的切线互相平行 ,则 的取值范
围为______.
三、解答题（本大题共 6 小题,共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停
学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之
间的相关关系,在高三年级中随机选取 45 名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间
不少于 6 小时的有 20 人,在这 20 人中分数不足 120 分的有 4 人；在每周线上学习数学时间不
足于 6 小时的人中,在检测考试中数学平均成绩不足 120 分的占 ：
（1）请完成 列联表；并判断是否有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学
习时间有关”；
（2）在上述样本中从分数不足于 120 分的学生中,按照分层抽样的方法,抽到线上学习时间不
少于 6 小时和线上学习时间不足 6 小时的学生共 5 名,若在这 5 名学生中随机抽取 2 人,求这
2 人每周线上学习时间都不足 6 小时的概率.（临界值表仅供参考）
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式 其中 ）
( ) 21 1ln xf x k xk x
− = + +
[ )1,k ∈ +∞ ( )y f x= ( )1 1,M x y
( )2 2,N x y ( )y f x= ,M N ( )1 2x x≠ 1 2x x+
16
25
2 2×
2
0( )P K k≥
0k
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +18．（本小题满分 12 分）已知正项单调递增的等比数列 中 ,且
依次构成等差数列．
（I）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 , ,求数列 的前
项和 ．
19.（本小题满分 12 分）如图, 是边长为 3 的正方形, 平面 ,
平面 , .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）点 在 上,且 ,求平面 将几何体 分成上下两部分的体积之
比？
20．（本小题满分 12 分）已知抛物线 上一点 到其准线的距离为 2．
{ }na 1 2 3 13a a a+ + =
1 2 3
13 3
、 、a a a
{ }na
{ }nb 1 2b = ( )*
1( 1) 1 2,n nn b nb n n−− − = ≥ ∈N { }n na b− n
nS
ABCD DE ⊥ ABCD
AF ⊥ ABCD 3 3DE AF= =
//ABF DCE
G DE 1EG = FBG ABCDEF
2E 2y px=： ( )1,n（1）求抛物线 的方程；
（2）如图 , , 为抛物线 上三个点, ,若四边形 为菱形,求四边形
的面积．
21．（本小题满分 12 分）已知 , .
（1）若 ,证明函数 在 单调递增；
（2）设 ,对任意 , 恒成立,求实数 的取值范围.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所
做的第一个题目计分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）若射线 与 和 分别交于点 ,求 ．
E
A B C E ( )8,0D ABCD
ABCD
( ) ( )sinf x a x a R= ∈ ( ) xg x e=
=1a ( ) ( ) lnG x f x x= − + ( )0,1
( ) ( ) ( )f x g xF x a
⋅= 0a ≠ 0, 2x
π ∈
( )F x kx≥ k
xOy l
8
2
4
2
x t
ty t
= +
= +
t O
x C 2sinρ θ=
l C
( 0)4
θ ρπ= > l C ,A B | |AB23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 的最小值为 ,且 ,求证： .
( ) | | | 2 |f x x x= + −
| 4 |( ) xf x x
>
( )f x M 2 2 ( , , )a b c M a b c+ + = ∈R
2 2 2 4
9a b c+ + ≥2020 届暨实验学校高三文科数学月考答案
一、单选题
1-5．ADADB 6-10．BCDBC 11-12．BC
二、填空题
13． 14．25 15． 16．
三、解答题
17．【答案】（1）见解析，有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”
（2）0.6
解：（1）
分数不少于 120 分 分数不足 120 分 合计
线上学习时间不少于 5 小时 16 4 20
线上学习时间不足 5 小时 9 16 25
合计 25 20 45
有 99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” ………………6
（2）抽到线上学习时间不足于 6 小时的学生 人，设为 ， ， ，
线上学习时间不足 6 小时的学生 1 人，设为
所有基本事件有： 、 、 、 、 、 、
2
2
2
3
( )2,+∞
2
2 45(16 16 9 4) 8.712 6.63525 20 25 20K
× − ×= = >× × ×
∴
165 420
× =
1A 2A 3A 4A
1B
( )21 AA ， ( )31 AA ， ( )41 AA ， ( )32 AA ， ( )42 AA ， ( )43 AA ，、 、 、 共 10 种 …………………………8
其中 2 人每周线上学习时间都不足 6 小时有： 、 、 、
、 、 共 6 种 …………………………10
故 2 人每周线上学习时间都不足 6 小时的概率为 （或 0.6）…………………………12
18.【答案】（I） （Ⅱ）
（I）设等比数列 的公比为 ，由题可知
所以 ，解得 ．所以 ．…………………4
（Ⅱ）当 时，由 知 ．
于是 ，所以 ．…………………………8
…………………………
12
19．【答案】（1）见解析（2） .
解：（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，∴ 平面 ，
∵ 是正方形， ，∴ 平面 ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，∴平面 平面
( )11 AB ， ( )21 AB ， ( )31 AB ， ( )41 AB ，
( )21 AA ， ( )31 AA ， ( )41 AA ，
( )32 AA ， ( )42 AA ， ( )43 AA ，
3
5
13n
na -=
23 3 1
2
n
n
n nS
− −−=
{ }na ( 1)q q >
1 3
3 2
2
1
13
13 23
a a a
a a a
+ =
+ + =
2
1 1 1
2
1 1 1
13
13 23
a a q a q
a a q a q
+ + = + =
1 1
3
a
q
=
= 1 1
1 3n n
na a q − −= ⋅ =
2n ≥ 1( 1) 1n nn b nb −− − = 1 1 1 1
1 ( 1) 1
n nb b
n n n n n n
−− = = −− − −
1
11nb bn n
− = − 3 1nb n= −
( ) ( ) 2
1 2 3 1 2 3
3 3
2
1
n
n
n n
n nS a c a b b b ba
−= + + + + − + + − −+⋅⋅⋅+ =
3:11
DE ⊥ ABCD AF ⊥ ABCD / /DE AF / /AF DCE
ABCD / /AB CD / /AB DCE
AB AF A= AB ⊂ ABF AF ⊂ ABF / /ABF.………………4
（2）过 作 交 于 ，连接 ，
，………………6
取 中点 ，连 ，则 ，且 则 为 中点，
…………………………………………8
………………………………10
………………………………12
20．【答案】(1) ；(2) 或
（1）由已知可得 ，得
抛物线 的方程为 …………………………4
（2）设 ， ，菱形 的中心 ,当 轴，则 在原点，
，
， ，菱形的面积 ，……………………………………6
当 与 轴不垂直时，设直线 方程： ，则直线 的斜率为
消去 得： ,
DCE
G / /MG BF EC M BG BM、
( )1 3 31 1 3 3 213 33 2 3 2 2ABCDEF B ADEF B CDEV V V− −
+ × ×= + = × × + × × =
DG N CN 1NDGNEG === GM / / NC M EC
1 3 31 =2 2 4EGMS∆ = × ×
1 3 1 3 93 33 4 3 2 4E GFBM B EFG B EGMV V V− − −∴ = + = × × + × × =
E-GFBM
ABCDEF
V 9 2 3
V 4 21 14
∴ = ⋅ = V 3
V 11
∴ =上
下
2 4y x= 32 16 5
1 22
p+ =
2p =
E 2 4y x=
( )1 1,A x y ( )2 2,C x y ABCD ( )0 0,M x y AC x⊥ B
( )4,0M
8AC = 8BD = 1 322S AC BD= ⋅ =
AC x AC x ty m= + BD t−
2 4y x
x ty m
=
= +
x 2 4 4 0y ty m− − =, ………………8
， ，∵ 为 的中点∴ ，
点 在抛物线上，且直线 的斜率为 ．
解得： ， ………………………………10
， ,
综上， 或 ………………………………12
21．【答案】（1） 在 上单调递增（2）
【详解】解：（1） ，
，由于 ，所以 ， ，
所以 ，即 在 上恒成立，故 在 上单调递
增.………………4
（2） ，由题意：对 ， 恒成立，
设 ， ………………………………6
又设
则 ，因此 在 单调递增，
1 2
1 2
4
4
y y t
y y m
+ =
= −
( )22 2
1 2 1 2 21 2
1 2
2 4 24 4
y y y yy yx x t m
+ −++ = = = +
2
0 2x t m= + 0 2y t= M BD ( )24 2 8,4B t m t+ −
B BD t−
( )
( )
2 2
2
16 4 4 2 8
2 , 02 8
t t m
t t tt m
= + −
= − ≠ + −
4m = 1t = ±
( )4, 4B ± 4 2BD =
2 2 2
1 21 1 16 16 2 16 64 4 10AC t y y t t m= + − = + + = + =
1 16 52S AC BD= = 32s = 16 5
( )G x (0,1) 1k ≤
( ) ( ) lnG x f x x= − + = ( )sin ln sin lnx x x x− + = − +
( ) 1' cosG x x x
= − + 1 cosxx
= − ( )0,1x∈ 1 1x
> cos 1x <
1 cos 0xx
− > ( )' 0G x > ( )0,1 ( )G x ( )0,1
( ) ( ) ( )
sinxf x g xF x e xa
⋅= = 0, 2x
π ∀ ∈ sin 0xe x kx− ≥
( ) sinxh x e x kx= − ( )' sin cosx xh x e x e x k= + −
( ) sin cosx xm x e x e x k= + −
( ) sin cos cos sinx x x xm x e x e x e x e x+ −′ = + 2 cos 0xe x= ≥ ( )m x 0, 2
π
所以 ，………………………………8
当 时， ，即 ， 在 单调递增，
故有 ，即 适合题意.……………………………………9
当 时， ， ，
若 ，则取 ， 时， ，
若 ，则在 上 存在唯一零点，记为 ，当 时， ，
总之，存在 使 时， ，即 ，所以 单调递减，
，
故 时存在 使 不合适题意，综上， 为所求.…………………………12
22.【解析】（1）由 可得 ，
由 ，消去参数 ，可得直线 的普通方程为 ．（2 分）
由 可得 ，将 ， 代入上式，可得 ，
所以曲线 的直角坐标方程为 ．…………………………5
（2）由（1）得， 的普通方程为 ，
将其化为极坐标方程可得 ，…………………………7
( ) ( )0 1m x m k≥ = −
1 1k ≤ ( ) 0m x ≥ ( )' 0h x ≥ ( )h x 0, 2
π
( ) ( )0 0h x h≥ = 1k ≤
2 1k > ( )0 1 0m k= − < 2
2m e k
ππ = −
2 0e k
π
− < 0 2x
π= ( )0 00,x x∈ ( ) 0m x <
2 0e k
π
− ≥ 0, 2
π
( )m x 0x ( )00,x x∈ ( ) 0m x <
0 0, 2x
π ∈
( )00,x x∈ ( ) 0m x < ( )' 0h x < ( )h x
( ) ( )0 0h x h< =
1k > ( )00, x ( ) 0h x < 1k ≤
8
2x t
= + 0x ≠
8
2
4
2
x t
ty t
= +
= +
t l 4 0( 0)x y x+ − = ≠
2sinρ θ= 2 2 sinρ ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x yρ = + 2 2 2 0x y y+ − =
C 2 2 2 0x y y+ − =
l 4 0( 0)x y x+ − = ≠
cos sin 4 0( )2
ρ θ ρ θ θ π+ − = ≠当 时 ， ， ， 所 以
．……………………10
23.【解析】（1）当 时， 等价于 ，该不等式恒成立；
当 时， 等价于 ，该不等式不成立；
当 时， 等价于 ，解得 ，…………………………3
所以不等式 的解集为 .…………………………5
（2）因为 ，当 时取等号，所以
, ，………7
由柯西不等式可得 ,
当且仅当 时等号成立，所以 .…………………………10
( )04
θ ρπ= > 2 2A
ρ = 2B
ρ =
| | | | | 2 2 2 | 2A BAB ρ ρ= − = − =
0x <
| 4 |( ) xf x x
> | | | 2 | 4x x+ − > −
0 2x< ≤
| 4 |( ) xf x x
>
2 4>
2x >
| 4 |( ) xf x x
>
2
2 2 4
x
x
>
− > 3x >
| 4 |( ) xf x x
> ( ,0) (3, )−∞ +∞
( ) | | | 2 | | ( 2) | 2f x x x x x= + − ≥ − − = 0 2x≤ ≤
2M = 2 2 2a b c+ + =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 ( 2 2 ) (1 2 2 )( ) 9( )a b c a b c a b c= + + ≤ + + + + = + +
2 4 4, ,9 9 9a b c= = = 2 2 2 4
9a b c+ + ≥
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