2020 届暨实验学校高三理科数学月考试卷
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
审题人：高三数学备课组
一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中,只有一个
选项是符合题目要求的）
1. 已 知 为 虚 数 单 位 , 若 复 数 , 在 复 平 面 内 对 应 的 点 分 别 为 , , 则 复 数
（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
3．设 为等差数列 的前 项和,若 ,则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知定义在 上的偶函数 满足 ,且在区间 上是减函数,令
,
,则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5．若点 上,则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
i 1z 2z (2,1) (1, 2)−
1 2z z
i
⋅ =
3 4i− − 3 4i− + 4 3i− − 3−
{ | 2 0}A x x= − ≥ { | ln( 1)}B x y x= ∈ = +Z A B =
[ 1,2]− ( 1,2]− {0,1,2} { 1,0,1,2}−
nS { }na n 4 10 122 22a a a+ + = 14S =
56 66 77 78
R ( )f x ( 2) ( )f x f x+ = − [ ]1,2
2log 3a =
1
2
2
1 1, log16 2b c
− = =
( ) ( ) ( ), ,f a f b f c
( ) ( ) ( )f a f b f c< < ( ) ( ) ( )f a f c f b< < ( ) ( ) ( )f b f a f c< <
( ) ( ) ( )f c f a f b< <
( ) xyP 2sin,cos −=在直线αα sin 2 2
πα +
5
3- 5
3
5
4- 5
46. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前
一时期相比较的增长率.2020 年 2 月 29 日人民网发布了我国 2019 年国民经济和社会发展
统计公报图表，根据 2019 年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )
A．2019 年我国居民每月消费价格与 2018 年同期相比有涨有跌
B．2019 年我国居民每月消费价格中 2 月消费价格最高
C．2019 年我国居民每月消费价格逐月递增
D．2019 年我国居民每月消费价格 3 月份较 2 月份有所下降
7．已知 ,如图是求 的近似值的一个程序框图,则图中空白框中
应填入（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数 满足约束条件 ,则 的取值范围是（ ）
A． B． C．
D．
9．函数 的图象大致为（ ）
1 1 1 1 114 3 5 7 9 41
π ≈ − + − + − + π
( )n+11
2 1i n
−= +
( 1)
2 1
n
i n
−= +
( )n+11
2i i
−= +
( 1)
2
n
i i
−= +
,x y
2 2 0
2 2 0
1, 1
x y
x y
x y
− + ≥
− − ≤
≥ − ≥ − 2x y+
( 3,6]− [ 3,6]−
3( ,6]2
− 3[ ,6]2
−
1( ) ln | |1
xf x x
+= −10．2019 年 10 月 1 日,中华人民共和国成立 70 周年,举国同庆.将 2,0,1,9,10 这 5 个数字按
照任意次序排成一行,拼成一个 6 位数,则产生的不同的 6 位数的个数为（ ）
A．72 B．84 C．96 D．120
11．已知 , 是椭圆 的左、右焦点,过 的直线交椭圆于 两点.
若 依次构成等差数列,且 ,则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 是函数 的极大值点,则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分）
13 ． 设 向 量 与 的 夹 角 为 , 定 义 与 的 “ 向 量 积 ” ： 是 一 个 向 量 , 它 的 模
.若 ,则 ____________.
14. 若 ,则 的展开式中 的系数为___________.
15．在棱长为 4 的正方体 中, 为线段 的中点,若三棱锥 的四个
顶点都在球 的球面上,则球 的表面积为 .
16．已知 , 为双曲线 的左、右顶点,双曲线 的渐近
0x = ( )( ) tanf x x ax x= − a
1F 2F
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b
+ = > >： 2F ,P Q
2 2 1 1| |,| |,| |,| |QF PF PF QF 1| |PQ PF= C
2
3
3
4
15
5
105
15
( ]1,−∞− ( ,1]−∞ [0, )+∞ [1, )+∞
a b θ a b a b×
sina b a b θ× = ⋅ ⋅ ( ) ( )1 3 , 3,1a b= − − = , a b× =
2
0
a xdx= ∫ ( )51−+ ayx 2 2x y
1 1 1 1ABCD A B C D− P 1 1A D P ABC−
O O
1( 3,0)A − 2 (3,0)A
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > C线上存在一点 满足 ,则 的最大值为________．
三、解答题（本大题共 6 小题,共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 ．（本小题满分 12 分）如图, 在平面四边形 中, , , 且
.
（1）若 ,求 的值；
（2）求四边形 面积的最大值.
18.（本小题满分 12 分）如图,在四棱锥 中, 是正三角形, ,
, .
（1）若 ,求证： 平面 ；
（2）若 ,求二面角 的正弦值．
19．（本小题满分 12 分）2018 年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治
P 1 22| | | |PA PA= b
ABCD 2BC = 2 3CD =
AB BD DA= =
6CDB
π∠ = tan ABC∠
ABCD
P ABCD− PAB∆ BC AB⊥
BC CD=2 3= AB AD 2= =
3PB BE= AE∥ PCD
4PC = A PC B− −疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病
的特效药品 的研发费用 （百万元）和销量 （万盒）的统计数据如下：
研发费用 （百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21
销量 （万盒） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6
（1）根据数据用最小二乘法求出 与 的线性回归方程 （系数用分数表示，不能
用小数）；
（2）该药企准备生产药品 的三类不同的剂型 , , ,并对其进行两次检测,当第一次
检测合格后,才能进行第二次检测．第一次检测时,三类剂型 , , 合格的概率分别为 ,
, ,第二次检测时,三类剂型 , , 合格的概率分别为 , , ．两次检测过程相互
独立,设经过两次检测后 , , 三类剂型合格的种类数为 ,求 的分布列与数学期
望．
附：（1） （2） ．
20．（ 本 小 题 满 分 12 分 ） 给 定 椭 圆 , 称 圆 心 在 原 点 , 半 径 为
的圆是椭圆 的“准圆”.若椭圆 的一个焦点为 ,其短轴上的一个端点
到 的距离为 .
（1）求椭圆 的方程和其“准圆”方程；
A x y
x
y
y x ˆ ˆy bx a= +
A 1A 2A 3A
1A 2A 3A 1
2
3
4
3
5 1A 2A 3A 4
5
2
3
2
3
1A 2A 3A X X
1
22
1
ˆ ˆˆb
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
a y bx
x nx
=
=
−
= = −
−
∑
∑
，
8 8
2
1 1
347 1308i i i
i i
x y x
= =
= =∑ ∑，
:C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > O
2 2a b+ C C ( 3 0)F ，
F 6
C（2）点 是椭圆 的“准圆”上的动点,过点 作椭圆的切线 交“准圆”于点 .
①当点 为“准圆”与 轴正半轴的交点时,求直线 的方程并证明 ；
②求证：线段 的长为定值.
21.（本小题满分 12 分）已知函数 .
（1）若 在 上存在单调递增区间,求实数 的取值范围；
（2）设 ,若 ,恒有 成立,求 的最小值.
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做,则按所
做的第一个题目计分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中,直线 的参数方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极
点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
（2）若射线 与 和 分别交于点 ,求 ．
( ) sinaxf x e x=
( )f x a
1a ≥ 0, 2x
π ∀ ∈
( )f x bx≤ 2b e a−
P C P 1 2,l l ,M N
P y 1 2,l l 1 2l l⊥
MN
6 3x
π π ∈ ，
xOy l
8
2
4
2
x t
ty t
= +
= +
t O
x C θρ sin2=
l C
( 0)4
θ ρπ= > l C ,A B | |AB23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 的最小值为 M,且 ,求证： .
( ) | | | 2 |f x x x= + −
| 4 |( ) xf x x
>
( )f x 2 2 ( , , )a b c M a b c+ + = ∈R
2 2 2 4
9a b c+ + ≥2020 届暨实验学校高三理科数学月考答案
一、单选题
1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．【答案】（1） （2）
法一：解：（1）在 中，由正弦定理得 ，∴
∵ ，∴ 或 ………………3 分
当 时，此时 三点共线，矛盾 ∴ ………………4 分
∴ .………………6 分
法二：由余弦定理 ………………
3 分
若 时，此时 ，即 三点共线，矛盾………………4 分
∴ ，此时 ∴ …
6 分
2 120− π41 4
3− 38
BCD∆
sin sin
CD BC
CBD BDC
=∠ ∠
2 3 sin 36sin 2 2CBD
π×
∠ = =
0 CBD π< ∠ <
3CBD
π∠ = 2
3CBD
π∠ =
2
3CBD
π∠ = A B C、 、
3CBD
π∠ =
( ) 2tan tan tan tan 33 3 3ABC ABD CBD
π π π ∠ = ∠ + ∠ = + = = −
2 2 2 3cos 2 42 2
BD CD BCBDC BD BDBD CD
+ −∠ = = ∴ = =⋅ 或
2BD = 2
3CBD
π∠ = A B C、 、
4BD =
3CBD
π∠ = ( )tan tan tan 33 3ABC ABD CBD
π π ∠ = ∠ + ∠ = + = − （2）设 ，在 中，由余弦定理得
……
8 分
∴
.……………………11 分
当 时，四边形 面积的最大值 . ……………………12 分
备注：（1）若第 1 问用正弦定理没写出 ，扣 1 分
（2）若第 1 问用余弦定理没写出 ，并且排除 ，扣 1 分
18.【答案】（1）见详细答案（2）
（1）如图，作 ，交 于 ，连接 .
因为 ，所以 是 的三等分点，可得 .
因为 ， ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，…………………1 分
因为 ，所以 ，所以 ，（2 分）
因为 ，所以 ，所以 ，……3 分
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .……4 分
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 .……………5 分
因为 ， 、 平面 ，所以平面 平面 ，所以 平面
BCD θ∠ = BCD∆
2 2 2 2 cosBD BC CD BC CD θ= + − ⋅ ( )222 2 3 2 2 2 3 cos 16 8 3 cosθ θ= + − × × = −
21 1 1 3sin sin sin2 2 2 4ABC BCD BADD S S BC CD BA BD BC CD BDS θ θ θ∆ ∆= + = ⋅ + ⋅ = ⋅ +四边形
2 3sin 4 3 6cos 4 3sin 4 33
πθ θ θ = + − = − +
5
6
πθ = ABCD 8 3
2
3CBD
π∠ =
2BD = 2BD =
2 5
5
EF PC∥ BC F AF
3PB BE= E PB 2 3
3BF =
2AB AD= = 2 3BC CD= = AC AC= ABC ADC△ ≌△
BC ⊥ AB 90ABC∠ = °
2 3tan 32 3
ABACB BC
∠ = = = 30ACB ACD∠ = ∠ = ° 60BCD∠ = °
2tan 3
2 3
3
ABAFB BF
∠ = = =
60AFB∠ = ° AF CD∥
AF ⊄ PCD CD ⊂ PCD AF∥ PCD
EF PC∥ EF ⊄ PCD PC ⊂ PCD EF∥ PCD
AF EF F= AF EF ⊂ AEF AEF∥ PCD AE∥.…6 分
（2）因为 是等边三角形， ，所以 .
又因为 ， ，所以 ，所以 .
又 ， 平面 ， ，所以 平面 .
因 为 平 面 ， 所 以 平 面 平 面 . 在 平 面 内 作 平 面
.………7 分
以 B 点为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系 ，
则 ， ， ，
所以 ， ， ， .………8 分
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，
令 ，可得 .………………9 分
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，
令 ，可得 .………………10 分
所以 ………………11 分
则 ， 所 以 二 面 角 的 正 弦 值 为
.……………………12 分
备注：若第 2 问用几何法做对也给满分.
19．【答案】（1） （2）分布列见详解，数学期望为 .
PCD
PAB△ 2AB = 2PB =
4PC = 2 3BC = 2 2 2PC PB BC= + BC PB⊥
BC ⊥ AB ,AB PB ⊂ PAB AB PB B= BC ⊥ PAB
BC ⊂ ABCD PAB ⊥ ABCD PAB Bz ⊥
ABCD
, ,BC BA Bz , ,x y z
B xyz−
(2 3,0,0)C (0,2,0)A (0,1, 3)P
(2 3,0,0)BC = (0,1, 3)BP = (2 3, 2,0)AC = − (0, 1, 3)AP = −
1 1 1( , , )x y z=m BPC
0
0
BC
BP
⋅ =
⋅ =
m
m
1
1 1
2 3 0
3 0
x
y z
=
+ =
1 1z = − (0, 3, 1)= −m
2 2 2( , , )x y z=n APC
0
0
AC
AP
⋅ =
⋅ =
n
n
2 2
2 2
2 3 2 0
3 0
x y
y z
− =
− + =
2 1z = (1, 3,1)=n
3 1 5
5,
2 5
cos
−= =
×m n
25 2 51 ( )n 5s , 5i = − =m n A PC B− −
2 5
5
83 107
340 340y x= + 13
10解：解：（1）由题意可知 ，
，………………2 分
由公式 ………………3 分
………………4 分
∴ ……………5 分
（2）药品 的三类剂型 经过两次检测后合格分别为事件 ,则
……………7 分
由题意，
………10 分
0 1 2 3
2 3 6 10 21 13 15 18 118x
+ + + + + + += =
1 1 2 2.5 6 3.5 3.5 4.5 38y
+ + + + + + += =
1
222
1
ˆ 347 8 11 3 83
1308 8b 11 340
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
x nx
=
=
− × ×= =− ×
−
=
−
∑
∑
83 107ˆˆ 3 11340 340a y bx= − = − × =
83 107
340 340y x= +
A 1 2 3A A A、 、 1 2 3B B B、 、
( ) ( ) ( )1 2 3
1 4 2 3 2 1 3 2 2, ,2 5 5 4 3 2 5 3 5p B P B P B= × = = × = = × =
0,1,2,3X可取
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
1 2 3
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
2 1 90 1 15 2 50
2 1 2 2 1 211 1 1 1 25 2 5 5 2 50
2 1 2 2 1 82 1 1 25 2 5 5 2 25
23 5
p X p B B B
p X p B B B B B B B B B
p X p B B B B B B B B B
p X p B B B
= = = − − =
= = + + = − ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ =
= = + + = ⋅ − + − ⋅ ⋅ ⋅ =
= = =
2 1 2
2 25
⋅ =
X∴ 的分布列为
X
p 9
50
21
50
8
25
2
25…………12 分
20.【答案】(1) 椭圆方程为 ，准圆方程为 ；
① 方程为 ②见详解
【解析】（1） ，………………2 分
椭圆方程为 ，………………3 分 准圆方程为 ．………………
4 分
（2）（ⅰ）因为准圆 与 轴正半轴的交点为 ，
设过点 且与椭圆相切的直线为 ，
所以由 得 .……………5 分
因为直线 与椭圆相切，
所以 ，解得 ，……………6 分
所以 方程为 ．……………7 分
， ．……………8 分
（ⅱ）①当直线 中有一条斜率不存在时，不妨设直线 斜率不存在，
则 ： ，
当 ： 时， 与准圆交于点 ，
9 21 8 2 131 2 3 .50 50 25 50 10X∴ × + × + × + × =的期望为：EX=0
2 2
16 3
x y+ = 2 2 9x y+ =
1 2l l， 3 3y x y x= + = − +，
3 6 3c a b= = ∴ = ， ，
∴ 2 2
16 3
x y+ = 2 2 9x y+ =
2 2 9x y+ = y (0 3)P ，
(0 3)P ， 3y kx= +
2 2
3
{
16 3
y kx
x y
= +
+ =
，
，
2 2(1 2 ) 12 12 0k x kx+ + + =
3y kx= +
2 2144 4 12(1 2 ) 0k k∆ = − × + = 1k = ±
1 2l l， 3 3y x y x= + = − +，
1 2
1l lk k⋅ = − 1 2l l∴ ⊥
1 2l l， 1l
1l 6x = ±
1l 6x = ( 6 3) ( 6 3)−， ， ，此时 为 （或 ），显然直线 垂直；
同理可证当 ： 时，直线 垂直……………9 分
②当 斜率存在时，设点 ，其中 .
设经过点 与椭圆相切的直线为 ，
所以由
得 .……………10 分
由 化简整理得
因为 ，所以有 .
设 的斜率分别为 ，因为 与椭圆相切，
所以 满足上述方程 ，
所以 ，即 垂直．……………11 分
综合①②知：因为 经过点 ，又分别交其准圆于点 ，且 垂直.
所以线段 为准圆 的直径， ，
所以线段 的长为定值 6．……………12 分
21．【答案】（1） （2）
解：（1）由 ，得 ，……………1 分
2l 3y = 3y = − 1 2l l，
1l 3x = − 1 2l l，
1 2l l， 0 0( , )P x y 2 2
0 0 9x y+ =
0 0( )P x y， 0 0( )y t x x y= − +
0 0
2 2
( )
{
16 3
y t x x y
x y
= − +
+ =
，
，
2 2 2
0 0 0 0(1 2 ) 4 ( ) 2( ) 6 0t x t y tx x y tx+ + − + − − =
0∆ = ( )2 2 2
0 0 0 06 2 3 0x t x y t y− + + − =
2 2
0 0 9x y+ = 2 2 2
0 0 0 0(6 ) 2 ( 6) 0x t x y t x− + + − =
1 2l l， 1 2t t， 1 2l l，
1 2t t， 2 2 2
0 0 0 0(6 ) 2 ( 6) 0x t x y t x− + + − =
2
0
1 2 2
0
6 16
xt t x
−⋅ = = −− 1 2l l，
1 2l l， 0 0( )P x y， M N， 1 2l l，
MN 2 2 9x y+ = 6MN ＝
MN
( )3,− + ∞ 22e
π−
( ) sinaxf x e x= ( ) ( )' sin cosaxf x e a x x= +由 在 上 存 在 单 调 递 增 区 间 ， 可 得 在 上 有
解，……………2 分
即 在 上有解，则 ，∴ ，
∴ 的取值范围为 .……………4 分
（2）设 ， ，
则 .
设 ， 则
， ……………5 分
∴ 单 调 递 增 ， 即 在 上 单 调 递 增 ∴
.……………6 分
当 时， ， 在 上单调递增，∴ ，不符合题意；
当 时， ， 在 上单调递减， ，符合题意；
当 时，由于 为一个单调递增的函数，
而 ， ，
由零点存在性定理，必存在一个零点 ，使得 ，
( )f x 6 3x
π π ∈ ， ( )' 0f x > ,6 3
π π
sin cos 0a x x+ > ,6 3
π π
min
1
tana x
> − 3a > −
a ( )3,− + ∞
( ) ( ) sinaxbx e xg xf x bx = − = − 0, 2x
π ∈
( ) ( )' sin cosaxg x e a x x b= + −
( ) ( )sin cosaxh x e a x x b= + −
( ) ( )2' 1 sin 2 cos 0axh x e a x a x = − + ≥
( )h x ( )'g x 0, 2
π
( ) 2' 1 , a
g x b ae b
π ∈ − −
1b ≤ ( )' 0g x ≥ ( )g x 0, 2
π
( ) ( )0 0g x g≥ =
2 a
b ae
π
≥ ( )' 0g x ≤ ( )g x 0, 2
π
( ) ( )0 0g x g≤ =
21 a
b ae
π
< < ( )'g x
( )' 0 1 0g b= − < 2' 02
a
g ae b
ππ = − >
0x ( )0' 0g x =从而 在 上单调递减，在 上单调递增， ……………9 分
因此只需 ，∴ ，∴ ，从而 ，
综上， 的取值范围为 ，……………10 分
因此 . 设 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，……………11 分
从而 ，∴ 的最小值为 .……………12 分
备注：第 1 问写 扣 1 分
22.（1） , （2）
【解析】（1）由 可得 ，
由 ，消去参数 ，可得直线 的普通方程为 ．………………2
分
由 可 得 ， 将 ， 代 入 上 式 ， 可 得
，
所以曲线 的直角坐标方程为 ．…………………………5 分
( )g x [ ]00,x x∈ 0 , 2x
π
02g
π ≤
2
2
a
e b
π π≤ 22 a
b e
π
π≥ 2 22 a a
e b ae
π π
π ≤ <
b 22 ,a
e
π
π
+∞
2 222 a
b e a e e a
π
π− ≥ − ( ) 222 a
G a e e a
π
π= − ( ) 22' a
ea eG
π
= −
( )' 0G a = 4 1a π= >
( )G a 41,π
4 ,π
+∞
( ) 24 2eG a G π π
≥ = −
2b e a−
22e
π−
)3,− +∞
: 4 0( 0)l x y x+ − = ≠ 2 2: 2 0C x y y+ − = 2
8
2x t
= + 0x ≠
8
2
4
2
x t
ty t
= +
= +
t l 4 0( 0)x y x+ − = ≠
2sinρ θ= 2 2 sinρ ρ θ= siny ρ θ= 2 2 2x yρ = +
2 2 2 0x y y+ − =
C 2 2 2 0x y y+ − =（2）由（1）得， 的普通方程为 ，
将其化为极坐标方程可得 ，…………………………7 分
当 时 ， ， ， 所 以
．………………10 分
备注：第 1 问没写 扣 1 分
23.（1） （2）见详解
【解析】（1）当 时， 等价于 ，该不等式恒成立；
当 时， 等价于 ，该不等式不成立；
当 时， 等价于 ，解得 ，…………………………3 分
所以不等式 的解集为 .…………………………5 分
（ 2 ） 因 为 ， 当 时 取 等 号 ， 所 以 ,
，……7 分
由柯西不等式可得 ,
当且仅当 时等号成立，所以 .…………………………10
分
备注：第 1 问结果没用集合或区间表示扣 1 分
l 4 0( 0)x y x+ − = ≠
cos sin 4 0( )2
ρ θ ρ θ θ π+ − = ≠
( )04
θ ρπ= > 2 2A
ρ = 2B
ρ =
| | | | | 2 2 2 | 2A BAB ρ ρ= − = − =
0x ≠
( ,0) (3, )−∞ +∞
0x < | 4 |( ) xf x x
> | | | 2 | 4x x+ − > −
0 2x< ≤ | 4 |( ) xf x x
> 2 4>
2x > | 4 |( ) xf x x
> 2
2 2 4
x
x
>
− > 3x >
| 4 |( ) xf x x
> ( ,0) (3, )−∞ +∞
( ) | | | 2 | | ( 2) | 2f x x x x x= + − ≥ − − = 0 2x≤ ≤ 2M =
2 2 2a b c+ + =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 ( 2 2 ) (1 2 2 )( ) 9( )a b c a b c a b c= + + ≤ + + + + = + +
2 4 4, ,9 9 9a b c= = = 2 2 2 4
9a b c+ + ≥
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