北京市通州区2020届高三数学一模试题（附答案Word版）

通州区高三年级一模考试 数学试卷 2020 年 4 月 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2. 已知复数 （i 是虚数单位），则 A. 1 B. 2 C. D. 3 3. 函数 的最小正周期是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4. 已知 为定义在 R 上的奇函数，且 ，下列一定在函数 图象上的点是 A. （1，-2） B. （-1，-2） C. （-1，2） D. （2，1） 5. 已知 a，3，b，9，c 成等比数列，且 a>0，则 等于 A. B. C. D. 6. 已知抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 A. B. C. D. 7. 在 的展开式中，常数项是 A. -160 B. -20 C. 20 D. 160 8．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 ， . 则 考 生 须 知 1.本试卷共 4 页，满分 150 分．考试时长 120 分钟． 2.本试卷分为第一部分和第二部分两部分． 3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 4 .考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． { }0 2A x x= < ≤ { }1 3B x x= < < A B = { }0 3x x< < { }2 3x x< < { }0 1x x< ≤ { }1 2x x< ≤ =i(2 i)z + z = 5 ( ) sin 2 cos2f x x x= + π 2 π 2π 4π ( )f x (1) 2f = ( )f x 3 3log logb c− 1− 1 2 − 1 2 1 2 2 ( 0)y px p= > 2 2 13 x y− = p = 2 2 2 2 4 6(2 )1x x − (cos ,sin )A α α (cos( ),sin( ))3 3B π πα α+ + OA OB+ = A.1 B. C. 2 D. 与 有关 9. 若 a>0，b>0，则“ab≥1”是 “a+b≥2”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10. 某同学在数学探究活动中确定研究主题是“ 是几位数”，他以 为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如下表： 的位数 一位数 一位数 一位数 两位数 两位数 两位数 三位数 三位数 三位数 四位数 试用该同学的研究结论判断 是几位数（参考数据 ） A. 101 B. 50 C. 31 D. 30 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11. 已 知 向 量 ， ， 其 中 ． 若 共 线 ， 则 m 等 于 ___________. 3 α ( 1, N )na a n ∗> ∈ 2 ( N )n n ∗∈ 2 ( 0)nN n= > lg N N 12 lg 2 22 lg 4 32 lg8 42 1 lg1.6+ 52 1 lg3.2+ 62 1 lg6.4+ 72 2 lg1.28+ 82 2 lg2.56+ 92 2 lg5.12+ 102 3 lg1.024+    504 lg2 0.3010≈ (1, 2)= −a ( 3, )m= −b m∈R ,a b12. 圆 的圆心到直线 的距离为 . 13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等 于 . 14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有 物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上 述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 ，则 ； . （注： 三三数之余二是指此数被 3 除余 2，例如“5”） 15.给出下列四个函数，① ；② ；③ ；④ 其中值域为 的函数的序号是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题 14 分）已知△ABC，满足 ， ， ，判断△ABC 的面积 是否成立？说明理由. 从① ， ② 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中 的空格处并做答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17． （本小题 14 分）2019 年 1 月 1 日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操 作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、 赡养老人．某单位有老年员工 140 人，中年员工 180 人，青年员工 80 人，现采用分层抽样 的方法，从该单位员工中抽取 20 人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员 工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下： 专项 员工 人数 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利息 住房租金 赡养老人 老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工 1 2 0 1 2 1 （Ⅰ）在抽取的 20 人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人； （Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取 2 人，记 X 为选出的中年员工 的人数，求 X 的分布列和数学期望. 18. （本小题 15 分） ( ) 11 22 =+− yx 3 1 0x y+ + = { }na 1a = na = 2 1y x= + 1 2y x x= + + + 2 1xy = + 2 cosy x x= + [1 )+ ∞， 7a = 2b = 2S > 3A = π 21cos 7B = 2 俯视图 左（侧）视图正（主）视图 2 3 4 2如图，已知四边形 ABCD 为菱形，且 ，取 AD 中点为 E.现将四边形 EBCD 沿 BE 折起至 EBHG，使得 . (Ⅰ)求证： 平面 ； (Ⅱ)求二面角 A-GH-B 的余弦值； (Ⅲ)若点 F 满足 ，当 平面 时，求 的值. 19．（本小题 14 分） 已知椭圆 C： 的离心率为 ，点 A(0，1)在椭圆 C 上． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 O 为原点，过原点的直线（不与 x 轴垂直）与椭圆 C 交于 M、N 两点，直线 AM、 AN 与 x 轴分别交于点 E、F．问： y 轴上是否存在定点 G，使得∠OGE=∠OFG？若存在， 求点 G 的坐标；若不存在，说明理由． 20．（本小题 14 分）已知函数 ，设 . 060=∠A 90AEG∠ =  ⊥AE EBHG ABλAF = //EF AGH λ )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 2 2 ( ) ( )exf x x a x a= − + + ( ) ( )g x f x′= E C D B A E B G B H BA（Ⅰ）求 的极小值； （Ⅱ）若 在 上恒成立，求 a 的取值范围. 21．（本小题 14 分） 用[x]表示一个小于或等于 x 的最大整数.如：[2]=2，[4.1]=4，[-3.1]=-4.已知实数 列 对于所有非负整数 i 满足 ，其中 是任意一个非零 实数. (Ⅰ) 若 ，写出 a1,a2,a3； (Ⅱ)若 ，求数列 的最小值； (Ⅲ)证明：存在非负整数 k，使得当 时， . ( )g x ( ) 0f x > (0, )+∞ ,, 10 aa ])[(][1 iiii aaaa −⋅=+ 0a 6.20 −=a 00 >a ]}{[ ia ki ≥ 2+= ii aa通州区高三年级一模考试 数学试卷参考答案及评分标准 2020 年 4 月 一、选择题：（每小题 4 分，共 40 分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B A D A B A C 二、填空题（每道小题 5 分，共 25 分） 11． ； 12. ；13． ； 14．8；15n-7；（第一空 2 分，第二空 3 分） 15．①②④ （答对一个给 1 分，答对两个给 3 分，全对给 5 分，出现一个错误不得分.） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题 14 分） 解：选○1 ，△ABC 的面积 成立，理由如下: 当 时， ， …………… 4 分 所以 ，所以 ， …………… 6 分 则△ABC 的面积 .…………… 10 分 因为 ， …………… 12 分 所以 成立. ……………14 分 选○2 ，△ABC 的面积 不成立，理由如下： 当 时， ，…………… 4 分 即 整理得， ，所以 . …………… 6 分 因 ， …………… 8 分 所以△ABC 是 A 为直角的三角形， …………… 10 分 所以△ABC 的面积 ，…………… 12 分 所以不成立. …………… 14 分 6 1 16 3 3 2S > 3A = π 21 4 7cos 2 2 2 cA c + −= = ⋅ 2 2 3 0c c− − = 3c = 1 1 3sin 2 3 sin 32 2 3 2S bc A π= = × × × = 3 273 4 22 4 = > = 2S > 2S > 21cos 7B = 2 2 2 21cos 2 7 a c bB ac + −= = 27 4 21 72 7 c c + − = 2 2 3 3 0c c− + = 3c = 2 2 27, 4 3 7a b c= + = + = 1 1 2 3 3 22 2S bc= = × × = ( )g x ( 2, )a − +∞ 2x a< − ( ) 0g x′ < ( )g x ( , 2)a−∞ − ( )g x 2x a= − 2( 2) 1ag a e −− = − + 2( ) ( ) 1af x g x e −′ = ≥ − + 2a ≤ 2( ) 1 0af x e −′ ≥ − + > ( )f x ( ) (0) 0f x f> = 2a ≤ ( ) 0f x > (0, )+∞ 2a > (0) (0) 2 0f g a′ = = − < ( ) ( ) 1 0af a g a e′ = = + > ( )f x′ ( 2, )a − +∞ (0, 2)a − (0, )a 0x 0( ) 0f x′ =所以 在 递减，在 递增， 所以 ……………… 12 分 所以在 存在 ，使得 ， ……………… 13 分 所以当 时， 在 上不恒成立 所以 a 的取值范围为 . ………………14 分 21. （本小题 14 分） 解：(Ⅰ) 、 、 . ……………… 3 分 （Ⅱ）因 ，则 ， 所以 ， 设 ，则 ， 所以 . 又因 ， 则 ，则 . ……………… 4 分 假设 成立， 则 ， 则 ，即 ，……………… 5 分 则 ， 则当 时， ， 这与假设矛盾，所以 不成立，………………6 分 即存在 , . 从而 的最小值为 0. ……………… 7 分 （Ⅲ）当 时，由（2）知，存在 , ， 所以 所以 所以 ，成立. ……………… 8 分 当 时，若存在 , ,则 ，得证；……………… 9 分 若 ，则 ， 则 ， 则 ， 所以数列 单调不减. 由于 是负整数， 所以存在整数 m 和负整数 c，使得当 时， . 所以，当 时， ， ( )f x 0(0, )x 0( , )x +∞ 0( ) (0) 0f x f< = (0, )+∞ 0x 0( ) 0f x < 2a > ( ) 0f x > (0, )+∞ ( ],2−∞ 2.11 −=a 6.12 −=a 8.03 −=a 0 0a > 0[ ] 0a ≥ 1 0 0 0[ ]( [ ]) 0a a a a= − ≥ [ ] 0, 1ia i≥ ≥ 1 [ ]( [ ]) 0i i i ia a a a+ = − ≥ [ ] 0, 0ia i≥ ∀ ≥ 0 [ ] 1i ia a≤ − < 1 [ ]( [ ]) [ ]i i i i ia a a a a+ = − ≤ 1[ ] [ ], 0i ia a i+ ≤ ∀ ≥ 0, [ ] 0ii a∀ ≥ >都有 1 [ ]( [ ]) [ ]i i i i ia a a a a+ = − < 1[ ] [ ], 0i ia a i+ < ∀ ≥ 1[ ] [ ] 1, 0i ia a i+ ≤ − ∀ ≥ 0[ ] [ ] , 1na a n n≤ − ∀ ≥ 0[ ]n a≥ [ ] 0na ≤ [ ] 0, 0ia i> ∀ ≥ k N∈ [ ] 0ka = {[ ]}ia 0 0a > k N∈ [ ] 0ka = 1 0,ka + = 1[ ] 0,ka + = 0,ia i k= ∀ ≥ 0 0a < k N∈ 0ka = 0,ia i k= ∀ ≥ 0, 0ia i< ∀ ≥ [ ] 1ia ≤ − 1 [ ]( [ ]) [ ]i i i i ia a a a a+ = − > 1[ ] [ ], 0i ia a i+ ≥ ∀ ≥ {[ ]}ia [ ]ia mi ≥ cai =][ mi ≥ 1 ( )i ia c a c+ = −则 ，令 ， 即 . 当 =0 时，则 ，则 ，得证. ………………11 分 当 时， ， ， 因当 时， ，则 ，则 有界， 所以 ，所以负整数 . ……………… 12 分 ， 则 ……………… 13 分 令 k=m，满足当 时， . 综上，存在非负整数 k，使得当 时， .………………14 分 2 2 1 ( )1 1i i c ca c ac c+ − = −− − 2 1i i cb a c = − − 1 ,i ib cb i m+ = ≥ mb 0,ib i m= ≥ 2 ,1i ca i mc = ≥− 0mb ≠ 0,ib i m≠ ≥ ,i m i mb c b i m−= ≥ mi ≥ cai =][ [ , 1)ia c c∈ + { }ib | | 1c ≤ 1c = − ))(2 1()1(2 1)1(2 1 miaba m mi m mi i ≥+−+−=−+−=∴ −− , , 2, 4, 1 , 1, 3, m i m a i m m ma a i m m = + += − − = + +   ki ≥ 2+= ii aa ki ≥ 2+= ii aa